专题06 双曲线所有考点（4大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（山西专用）

专题06 双曲线所有考点 求双曲线的标准方程 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 2．（23-24高二上·山西太原·期末）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（    ） A．4 B．4或6 C．3 D．3或7 3．（23-24高二上·山西大同·期末）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，若，则是　　 A．10 B．8 C．6 D．4 双曲线上的点到焦点或坐标轴上点的最值与定值 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 2．（23-24高二上·忻州·期中）双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ） A．15 B．3 C．3或15 D．5或12 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A．9 B． C．8 D．7 4．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 5．（22-23高二上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（    ） A． B． C． D． 双曲线假焦点三角形问题所有考点 1．（23-24高二上·山西运城·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（23-24高二上·山西晋城·期末）在平面直角坐标系中，，为双曲线的左、右焦点，，P为E左支上异于顶点的一点，直线PM平分，，，则E的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 4．（22-23高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·山西晋中·期末）设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 根据双曲线的有界性求范围或最值 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）曲线：，则“”是“曲线表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·山西大同·期末）“”是方程“表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·山西晋中·期末）若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 求双曲线离心率的定值或取值范围 1．（23-24高二上·山西大同·期末）若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西临汾·期末）设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高二上·山西运城·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ） A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为 C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线 4．（21-22高二上·山西运城·期末）已知双曲线，的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西临汾·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作x轴的垂线交双曲线C于A、B两点，且为等边三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线（，）的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足为A，且与双曲线C相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．（23-24高二上·山西晋中·期末）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知P是双曲线（，）上一点，且在x轴上方，、分别是双曲线的左、右焦点，且，直线与所成角为，的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 9．（23-24高二上·山西长治·期末）设分别为双曲线的左､右焦点.若为右支上的一点，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 双曲线简单的几何性质的妙用 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）双曲线，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上一点，满足，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（22-23高二上·山西太原·期末）有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 直线与双曲线综合求定点定直线问题 1．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线的右支交于两点，点与点关于轴对称，求证：两点所在直线过点. 2．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过原点，且与双曲线交于两点，为双曲线上一点（不同于）.求直线与直线的斜率之积. 3．（23-24高二上·山西太原·期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； (2)渐近线方程为，经过点． 4．（23-24高二上·山西运城·期末）命题：若点O和点F(-2，0)分别是双曲线（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为． 判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由． 直线与双曲线综合求面积与周长问题 1．（23-24高二上·山西·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且，点是双曲线第一象限内的动点，的平分线交轴于点，垂直于交于，则以下结论正确的是（    ） A．当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为 B．当时，点的坐标为 C．当时，三角形的面积 D．若，则双曲线的渐近线方程为 3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 4．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 5．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 双曲线所有考点 求双曲线的标准方程 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】B 【分析】设所求动圆圆心为，圆的半径为，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求动圆圆心为，圆的半径为，    由于动圆与圆、圆均外切，则， 所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 2．（23-24高二上·山西太原·期末）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（    ） A．4 B．4或6 C．3 D．3或7 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义有，注意、范围，即可得结果. 【详解】由双曲线定义知：，而，又且， ∴3或7， 故选：D. 3．（23-24高二上·山西大同·期末）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求得c，离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解． 【详解】由椭圆，得，，焦点在轴上． 由题意得双曲线，焦点在轴上，， 所以，， 所以． 所以双曲线方程为． 故选：D 4．（23-24高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先由求出，然后求t的最小值要转化为求的最小值，在求的最小值时要用双曲线的定义将转化为，最后可得当点共线时，最小 【详解】 因为两条渐近线的方程为：，直线的方程为： 所以、 所以 由可知， 所以 所以   又因为 所以，可解得 因为双曲线上存在一点P使得 所以求t的最小值即为求的最小值 易得要使最小，点应在双曲线的右支上 由双曲线的定义可得： 所以 所以 由图可知，当点共线时，最小 最小值为 所以的最小值为 故选：D 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，若，则是　　 A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出． 【详解】因为是的中点，是的中点， 所以，因为，所以， 因为在右支上，故，故，故选A． 双曲线上的点到焦点或坐标轴上点的最值与定值 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论． 【详解】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 2．（23-24高二上·忻州·期中）双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ） A．15 B．3 C．3或15 D．5或12 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义即可得解. 【详解】设的左,右焦点分别为，则. 因为，所以，则点在左支上， 所以，故. 故选：A. 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A．9 B． C．8 D．7 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出的最小值. 【详解】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，， 所以，当且仅当，，三点共线时取得等号． 故选：C. 4．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 5．（22-23高二上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的第二定义可得，即可利用中位线以及三点共线求解最值. 【详解】双曲线右支上的点到右焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率.（双曲线的第二定义） 由双曲线为等轴双曲线，故离心率为， 双曲线右焦点为,连接，取中点为， 过，分别作准线的垂线，垂足分别为, 设，则， 故根据双曲线的第二定义可得： ， 则，当且仅当三点共线时，取最小值， 故此时中点的横坐标最小为， 故选：A    双曲线假焦点三角形问题所有考点 1．（23-24高二上·山西运城·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】连接交双曲线的渐近线于点，结合已知探讨的性质，进而求出面积. 【详解】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点）， 而分别为的中点，则，，且， 由双曲线的一条渐近线为，得，则， 所以的面积为. 故选：D    2．（23-24高二上·山西晋城·期末）在平面直角坐标系中，，为双曲线的左、右焦点，，P为E左支上异于顶点的一点，直线PM平分，，，则E的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由题意得，设与交于点，可得，利用双曲线定义可得，由离心率公式计算即可. 【详解】由，得， 设与交于点，如图， 由直线PM平分，且， 可得为等腰三角形，则为的中点， 可得， 又因为， 可得，即， 所以双曲线E的离心率为. 故选：A. 3．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 4．（22-23高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】如图：    因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 5．（22-23高二上·山西晋中·期末）设双曲线的焦点为，，点在双曲线右支上，且，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由点在曲线上及，列出等式求解即可. 【详解】由题意可得：，设， 由题意可得：且， 两方程联立解得：， 所以. 故选：C 根据双曲线的有界性求范围或最值 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）曲线：，则“”是“曲线表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性的定义，结合曲线方程及双曲线方程的特征判断条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】当时，显然，即曲线表示双曲线，充分性成立； 而时，，此时也是双曲线，必要性不成立； 所以“”是“曲线表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高二上·山西大同·期末）“”是方程“表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出的取值范围使得方程表示双曲线，然后再判断与这个取值范围的关系. 【详解】要使方程表示双曲线，则. 解不等式，可得. 当时，不一定满足，例如当时，方程不表示双曲线； 而当方程表示双曲线时，一定有，那么一定满足. 所以是方程表示双曲线的必要不充分条件. 故选：B. 3．（23-24高二上·山西晋中·期末）若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的特点列不等式可解. 【详解】曲线是双曲线，则异号.则，解得. 故选：D. 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程的特征得到，解得即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 故的取值范围为. 故选：B. 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的特征得到的取值，再根据充分条件的判定即可得到结果. 【详解】若方程表示双曲线， 则，得或， 则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 求双曲线离心率的定值或取值范围 1．（23-24高二上·山西大同·期末）若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出，的范围，利用离心率恰好是关于的方程的两不等实根，即可得出实数的取值范围. 【详解】由椭圆与双曲线的性质可知，椭圆的离心率，双曲线的离心率， 关于的方程有两个不相等的实根，， 令，则解得：． 故选：D． 2．（22-23高二上·山西临汾·期末）设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的齐次式求解. 【详解】直线的方程为，即. 原点到直线的距离为，于是有， 所以，两边平方，得. 又，所以， 两边同时除以，得，解得，则. 所以双曲线的离心率为. 故选：A． 3．（23-24高二上·山西运城·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ） A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为 C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线 【答案】B 【分析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确． 【详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：， 则，，所以A不正确； 因为在以为直径的圆上，所以， 所以，所以B正确； 在△中，由勾股定理可得， 即，所以离心率， 所以C不正确； 由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为， 即，所以D不正确； 故选：B． 4．（21-22高二上·山西运城·期末）已知双曲线，的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线方程及双曲线的离心率公式即可直接求出答案. 【详解】根据题意，得， 所以双曲线的离心率. 故选：B. 5．（23-24高二上·山西临汾·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作x轴的垂线交双曲线C于A、B两点，且为等边三角形，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线通径及等边三角形建立方程，即可求出离心率. 【详解】如图， 由双曲线的通径可知， 由为等边三角形可知， ， 即， 所以， 解得或（舍去）， 故选：C 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线（，）的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足为A，且与双曲线C相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意可设出垂线的方程，联立解得A点坐标，根据可知点B为FA的中点，由此得其坐标，代入双曲线方程求得离心率. 【详解】由题意可知右焦点为F(c,0)， 过F作渐近线的垂线，垂足为A， 故可设 方程为 ，联立， 可得 ， 由可知，点B为FA的中点，故 ， 将代入中，可得 ， 即 ， 故选：A. 7．（23-24高二上·山西晋中·期末）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出渐近线方程，设直线的方程为，联立直线与渐近线方程可得两点坐标，由可得，结合即可求解. 【详解】如图，因为直线经过右焦点且与渐近线垂直， 所以直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为，所以，即 即，因为， 所以，解得， 故选：B. 8．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知P是双曲线（，）上一点，且在x轴上方，、分别是双曲线的左、右焦点，且，直线与所成角为，的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】由的面积为，可得，根据余弦定理可得，从而得到，得出答案. 【详解】由，则，的面积为， 则，即 在中， 所以 即，则 所以 ，，则 故选：D 9．（23-24高二上·山西长治·期末）设分别为双曲线的左､右焦点.若为右支上的一点，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知为的中垂线，由此计算出的长度，再结合双曲线的定义可求解出的关系，则离心率可求. 【详解】因为为线段的中点且，所以是的垂直平分线， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故选：C. 10．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线C：的一条渐近线为，先求得圆的圆心到渐近线的距离d，再根据所截得的弦长为2，由求解. 【详解】设双曲线C：的一条渐近线为， 圆的圆心到渐近线的距离为：， 因为所截得的弦长为2， 所以，化简得， 所以C的离心率为， 故选：B 双曲线简单的几何性质的妙用 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）双曲线，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 又由双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 2．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可. 【详解】联立，消去得， 所以，此时方程的解为， 所以， 解得，符合， 所以双曲线的焦距为. 故选：B. 3．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用离心率找到基本量的关系，得到渐近线方程即可. 【详解】易知，又，故，解得，显然渐近线方程为. 故选：B 4．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线方程为：， 所以渐近线方程为：. 故选：D 5．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上一点，满足，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出双曲线的焦点，结合已知求出点的坐标，进而求出，再求出到渐近线的距离作答. 【详解】双曲线的半焦距，则焦点，由，知点在的中垂线上，设点， 由，得，解得，即点或， 而点在双曲线上，于是，解得， 双曲线的渐近线为，点到渐近线的距离为， 所以该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为. 故选：D    6．（22-23高二上·山西太原·期末）有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程，再将已知点代入计算作答. 【详解】依题意，双曲线的渐近线方程为，设所求双曲线的方程为， 因此，即有， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：B 直线与双曲线综合求定点定直线问题 1．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线的右支交于两点，点与点关于轴对称，求证：两点所在直线过点. 【答案】(1)；(2)证明负了解析. 【分析】（1）根据双曲线离心率可得，再将给定点代入计算作答. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合向量共线的坐标表示推理作答. 【详解】（1）双曲线的离心率，则，即， 又点在上，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 由（1）知，双曲线渐近线，而直线l与双曲线右支交于两点，则，即， 由消去x并整理得：， ，则，设，则， 于是，则， 而，有， 因此， 即，而有公共点，从而三点共线， 所以两点所在直线过点. 2．（22-23高二上·山西太原·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过原点，且与双曲线交于两点，为双曲线上一点（不同于）.求直线与直线的斜率之积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由双曲线的离心率求得，再利用点代入求得，从而得解； （2）根据题意设出的坐标，再利用点差法即可求得，由此得解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，所以双曲线， 因为是双曲线上一点， 所以，解得，则 所以双曲线的方程为. （2）依题意，设， 因为直线过原点，且与双曲线交于两点， 所以由双曲线的对称性可得关于原点对称，则， 所以，， 因为为双曲线上的点，所以， 两式相减得， 所以. 所以直线与直线的斜率之积为. 3．（23-24高二上·山西太原·期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； (2)渐近线方程为，经过点． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先根据题意设双曲线的标准方程为：，得到，再解方程组即可. （2）首先根据题意设双曲线方程为：，再将代入求解即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为：，由题知： ，双曲线方程为：. （2）设双曲线方程为：， 将代入，解得， 所以双曲线方程为：. 4．（23-24高二上·山西运城·期末）命题：若点O和点F(-2，0)分别是双曲线（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为． 判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由． 【答案】真命题．证明见详解. 【分析】利用平面向量的数量积公式以及二次函数的性质进行求解. 【详解】此命题为真命题． 证明如下： ∵F(-2,0)是已知双曲线的左焦点，∴a2+1=4，解得a2=3， ∴双曲线方程为， 设点P(x0,y0)，则有，()， 解得，()， ∵=(x0+2,y0)，=(x0,y0)， ∴==x0(x0+2)+=， 这个二次函数的对称轴为， ∵，∴当时，取得最小值. ∴的取值范围为． 直线与双曲线综合求面积与周长问题 1．（23-24高二上·山西·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】离心率为可得，与渐近线垂直，则有，从而，由的面积是，可得，这样可求得，得双曲线方程． 【详解】 如图，渐近线方程是，即，由于且， 所以，所以， ，，又，即， ∴，， ∴，， 双曲线方程为：． 故选：B. 2．（22-23高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且，点是双曲线第一象限内的动点，的平分线交轴于点，垂直于交于，则以下结论正确的是（    ） A．当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为 B．当时，点的坐标为 C．当时，三角形的面积 D．若，则双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】利用点到直线的距离公式求出的值，可求得双曲线的离心率，可判断A选项；利用角平分线的性质求出点的坐标，可判断B选项；利用双曲线的定义、勾股定理以及三角形的面积公式可判断C选项；利用双曲线的定义求出的值，进而可求得的值，可得出双曲线的渐近线方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，双曲线的渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离为，且，故， 所以，，此时，双曲线的离心率为，A对； 对于B选项，若，由双曲线的定义可得， ，则， 设点，由可得，解得，即点，B对； 对于C选项，当时，由题意可得， 所以，，可得， 此时，，C错； 对于D选项，设直线交直线于点，如下图所示： 由已知，，， 所以，为等腰三角形，且，为的中点， 又因为为的中点，则， 且，故，则， 此时，双曲线的渐近线方程为，D错. 故选：AB. 3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的方程，结合其离心率的求解、范围问题、定值问题的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为双曲线，故可得， 则离心率，故A正确； 对B：因为，故可得， 则，因为，则， 令，故，，故当时，取得最大值. 故B错误； 对C：设点，则，又双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为.故C正确； 对D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故；当点在轴下方时，同理可得. 故D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】依题意可得为直角三角形，设，，利用勾股定理及双曲线的定义求出，即可判断A，对称性可知为等腰直角三角形，即可求出，从而得到，即可判断B，曲线与双曲线的交点即为，联立双曲线方程，求出，即可求出，从而求出，即可判断C，由双曲线的定义及所给条件求出，即可得到为等边三角形，从而判断D. 【详解】因为为平面上一点，且，所以为直角三角形， 设，，在中由勾股定理可得①， 由双曲线的定义可得②， ②式的平方减①式可得，所以，故A正确； 由对称性可知为等腰直角三角形，因此，又且， 所以，故B正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，所以该圆的圆心为原点，半径为， 即曲线与双曲线的交点即为，由， 则，即（负值舍去），所以， 所以离心率，故C错误； 由题意可知，，则， 所以，即为等边三角形，则直线的斜率为，故D正确. 故选：ABD 5．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 【答案】BCD 【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长交于点，根据三角形全等进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，由离心率求出可得双曲线方程可判断ABC；设，则，求出点到两条渐近线的距离之积可判断D. 【详解】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点， 因为平分，且，所以， 在中，，所以， 所以，， 即为线段的中点，可得为的中位线， 根据双曲线的定义， 因为为的中位线，所以，即， 离心率为，可得，所以， 所以双曲线的标准方程为，故A错误； 对于B，因为为的中位线，，即，故B正确； 对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确； 对于D，双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为，即， 设，则，即， 点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.    故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$