双曲线-山西省部分市2023-2024学年高二上学期期末数学试题分类汇编

双曲线专项训练 双曲线专项训练 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）双曲线，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·山西·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线上的一点，目，射线平分，交轴于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．3 8．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·山西大同·期末）已知双曲线的方程为，则（   ） A． B．的焦点可以在轴上 C．的焦距一定为8 D．的渐近线方程可以为 10．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 11．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 三、填空题 12．（23-24高三上·山西晋城·期末）如图，曲线C在顶点为O的角α的内部，A，B是曲线C上任意相异的两点，且，我们把满足条件的α的最小角叫做曲线C相对于点O的“确界角”．已知O为坐标原点，曲线C的方程为，那么此时曲线C相对于点O的“确界角”等于 (用弧度制表示)． 13．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为 （保留整数）.    14．（24-25高三上·山西大同·期末）设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 四、解答题 15．（23-24高三上·山西晋城·期末）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)，求的最小值． 16．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长. 17．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为． (1)求椭圆和双曲线的离心率； (2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：． 18．（23-24高三上·山西·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程. (2)过点的直线与交于不同的两点A，B，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$双曲线专项训练 双曲线专项训练 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线方程为：， 所以渐近线方程为：. 故选：D 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）双曲线，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线，可得， 又由双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知，又，故，解得，显然渐近线方程为. 故选：B 4．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，消去得， 所以，此时方程的解为， 所以， 解得，符合， 所以双曲线的焦距为. 故选：B. 5．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线方程得其渐近线方程为， 由题知轴且过右焦点，令，得，. 则的面积，解得. 双曲线（），，解得. 故选：. 6．（23-24高三上·山西·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线上的一点，目，射线平分，交轴于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，不妨设P在双曲线右支上， 因为射线平分，， ∴， 由双曲线定义知：，则，， 在中，由余弦定理得：， 得， ∴双曲线的离心率, 故选：C 7．（23-24高三上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由题意得，以为直径的圆的方程为，， 渐近线方程为， 联立，解得， 不妨令， 故， 因为，所以， 所以，解得， 故离心率.    故选：C 8．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 又因为， 所以，所以， 设，则， 故， 在中，由余弦定理得， ， 解得（舍去）， 所以， 因为，所以， 即， 即， 整理得，所以， 即的离心率是. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二上·山西大同·期末）已知双曲线的方程为，则（   ） A． B．的焦点可以在轴上 C．的焦距一定为8 D．的渐近线方程可以为 【答案】ACD 【详解】由题意得，解得，即A正确； 可得双曲线的标准方程为，故双曲线的焦点一定在轴上，所以B错误； 易知双曲线的焦距为，所以C正确； 显然当时，双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，所以D正确． 故选:ACD． 10．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 【答案】ABD 【详解】因为为平面上一点，且，所以为直角三角形， 设，，在中由勾股定理可得①， 由双曲线的定义可得②， ②式的平方减①式可得，所以，故A正确； 由对称性可知为等腰直角三角形，因此，又且， 所以，故B正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，所以该圆的圆心为原点，半径为， 即曲线与双曲线的交点即为，由， 则，即（负值舍去），所以， 所以离心率，故C错误； 由题意可知，，则， 所以，即为等边三角形，则直线的斜率为，故D正确. 故选：ABD 11．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程为 B． C．双曲线的焦距为 D．点到两条渐近线的距离之积为 【答案】BCD 【详解】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点， 因为平分，且，所以， 在中，，所以， 所以，， 即为线段的中点，可得为的中位线， 根据双曲线的定义， 因为为的中位线，所以，即， 离心率为，可得，所以， 所以双曲线的标准方程为，故A错误； 对于B，因为为的中位线，，即，故B正确； 对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确； 对于D，双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为，即， 设，则，即， 点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.    故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高三上·山西晋城·期末）如图，曲线C在顶点为O的角α的内部，A，B是曲线C上任意相异的两点，且，我们把满足条件的α的最小角叫做曲线C相对于点O的“确界角”．已知O为坐标原点，曲线C的方程为，那么此时曲线C相对于点O的“确界角”等于 (用弧度制表示)． 【答案】/ 【详解】当时，曲线方程为，即，所以曲线的渐近线是，与轴正半轴的夹角是， 由题意，如图得到函数的大致图象, 当 时, ， 设过原点的直线与曲线切于点 , 那么, 因为，解得 ，即 ， 此时，切线与 轴正半轴的夹角是 ， 那么曲线相对于原点的 “确界角” 等于 . 故答案为：. 13．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为 （保留整数）.    【答案】 【详解】根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系:    使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.此时上、下口的直径都平行于轴,且, 设双曲线的方程为，则， 因为直径是实轴，又两点都在双曲线上，所以 ，解得， 因为，所以， 解得， 所以双曲线方程为， 所以， 因为双曲线关于轴对称， 所以. 故答案为:. 14．（24-25高三上·山西大同·期末）设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出． 【详解】解析：设为双曲线右支上一点， 因为面积，所以得， 因为， 所以得 ， 即， 因为，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高三上·山西晋城·期末）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3， ∴， 整理化简可得：即， ∴动点M的轨迹方程为： （2）由题意及（1）得， 在中，直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且(O为坐标原点)， ∴各直线存在斜率且不为0， 可设直线的方程为，直线的方程为， 由可得， 所以， 同理可得， 又由且，可得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，即等号成立， 所以的最小值为． 16．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）拋物线的焦点坐标为，则双曲线的半焦距，由，得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为，设，， 由，得，显然， 则，，， 因此， 所以的周长为.    17．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为． (1)求椭圆和双曲线的离心率； (2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)椭圆的离心率为，双曲线的离心率为 (2)证明见解析 【详解】（1）椭圆的焦距，双曲线的焦距， 则，整理得， 从而，， 故椭圆的离心率，双曲线的离心率． （2）由（1）可知，椭圆， 因为，所以直线的方程为． 联立方程组，整理得， 则，则， 可得，即， 因为，，， 则，， 故．    18．（23-24高三上·山西·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程. (2)过点的直线与交于不同的两点A，B，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则双曲线的渐近线方程为. 由题可知解得故的方程为:. （2） ①当直线的倾斜角不为0时，如图，设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程可得 消去，整理得：. 显然且，设，， 则，. 假设存在点，满足为定值，则 ， 故当时，，为定值，此时点. ②当的倾斜角为0，即为轴时，不妨设，，取，此时为定值. 综上，当点的坐标为时，为定值. 19．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由于是右顶点，故. 而到渐近线的距离均为， 故由已知有. 所以，解得. 故的方程为. （2）如图所示，记，并设的中点为，设， 由于，假设的斜率不存在， 那么的方程是，该直线与只有一个公共点，矛盾； 所以的斜率存在，故可设其方程为. 将该直线与联立，得， 即. 所以该方程的两根之和为. 但，故此方程已有一根，从而另一根为. 又. 此时，由，知直线的方程为， 而过且垂直于轴的直线为，故. 这就得到的中点的坐标为. 由于 . 所以圆心在直线上， 设原点关于直线的对称点为, 则有，解得， 所以， 因为，点O在圆上，所以点T也在圆上， 故以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆一定经过. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$