专题05 椭圆所有考点（4大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（山西专用）

专题05 椭圆所有考点 求椭圆的标准方程 1．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积. 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故选：C 2．（22-23高二上·山西大同·期末）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由椭圆定义可得，再利用中位线的性质即可求解． 【详解】如图，连接，，，    由椭圆方程可得：，则， 由椭圆定义可得，所以， 因为是的中点，是的中点，则由中位线可得：. 故答案为：C. 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即可得出该圆的最小面积. 【详解】由题意知该椭圆的长轴长为， 以16为弦长的圆的最小半径为8， 所以圆的最小面积为， 故选：D． 4．（23-24高二上·山西长治·期末）椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解 【详解】易得．设，，则． 在中，由余弦定理得， 即，则， 所以． 设点到轴的距离为，则，故，解得． 故选：C． 5．（23-24高二上·山西长治·期末）已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【分析】根据椭圆定义求得即可. 【详解】由椭圆定义知，点P到另一个焦点的距离为2×6-3=9. 故选：A 6．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（    ） A．m<－1或1<m< B．1<m<2 C．m<－1或1<m<2 D．m<2 【答案】A 【解析】由可得． 【详解】+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则， 取交集：m<－1或1<m<． 故选：A． 椭圆上的点到焦点或坐标轴上点的最值与定值 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点坐标得出两直线斜率公式，结合椭圆方程得到两直线斜率乘积为定值，由条件求出两直线斜率之间的等量关系，结合两个方程求出的值，通过求出的值，通过由正弦定理得到先与角之间的关系求得线段的比值. 【详解】由题意知，，设， 直线，的斜率分别为，，则， 又∵，即，∴，即， 由正弦定理得， 又，则， 联立解得，即， 所以，即. 故选：C 2．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 3．（22-23高二上·山西吕梁·期末）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 4．（23-24高二上·山西运城·期末）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，，的坐标，得到，为椭圆的焦点，得到，从而判断出为椭圆上一点，联立方程组，即可求解. 【详解】由曲线与坐标轴的交点为，，，， 不妨设，，，. 则，为椭圆的焦点，而为椭圆上一点， 所以. 因为，所以， 又， 根据椭圆定义知点的轨迹为以C、D为焦点的椭圆， 所以轨迹方程为， 联立，消去得，则， 故点到轴的距离为. 故选：A. 5．（23-24高二上·山西晋城·期末）已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．2 【答案】C 【分析】设，由坐标表示，由向量模的平方结合椭圆的范围得最小值． 【详解】椭圆的左右焦点. 设，则，， ∴， 又，则. ∴ ∵点P在椭圆上，∴， ∴当时，取最小值2． 故选：C． 椭圆焦点三角形问题所有考点 1．（22-23高二上·山西晋中·期中）设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则的周长是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】先求得椭圆的长轴长，再利用椭圆定义即可求得的周长 【详解】椭圆的长轴长 由椭圆的定义可知， 则的周长为， 故选：B． 2．（23-24高二上·山西晋城·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，若P为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点P有（    ） A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】根据内切圆的周长等于，可得其内切圆的半径，再根据椭圆的定义可求得的周长，用面积相等法可得的纵坐标，根据的纵坐标与椭圆方程即可求得满足条件的点的个数得选项. 【详解】由椭圆方程得,. 设的内切圆的半径为，所以的内切圆的周长为， 所以，， 又因为，所以， 所以符合条件的点P有两个，分别为椭圆的上下顶点. 故选：C. 3．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（    ） A．2 B．6 C．4 D．12 【答案】C 【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答. 【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴， A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上， 由椭圆定义得， 所以的周长 故选：C 4．（22-23高二上·山西运城·期末）椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】B 【分析】由已知条件可以求出椭圆中的，周长等于，进而计算可得答案. 【详解】由题意作图如下： 因为椭圆的标准方程为， 则的周长 故选： 5．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长． 【详解】解：为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：B． 根据椭圆的有界性求范围或最值 1．（23-24高二上·山西运城·期末）万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式． 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的长轴长为，则小椭圆的短轴长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到两椭圆离心率相同，从而得到两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，由此得解. 【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得， 所以小椭圆的短轴长为：． 故选：C． 2．（22-23高二上·山西太原·期末）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 【答案】C 【分析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，结合椭圆的性质即可判断A；根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，即可判断B；卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，即可判断C；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，由此即可判断D． 【详解】A选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； B选项：根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； C选项：卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C错误； D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故D正确. 故选：C． 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（    ） A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1) 【答案】D 【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围． 【详解】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆， 所以 ，即 ， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 4．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为 A． B．4 C． D．9 【答案】A 【分析】题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值． 【详解】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2， 令P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，① 由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，② 又∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③ ①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④ 将④代入③，得a12+a22=2c2， ∴4e12+e22==++≥+2=． 故选A． 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）. 【详解】设，圆心为， 则， 当时，取到最大值，∴最大值为． 故选：D. 求椭圆离心率的定值或取值范围 1．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合角的值，化简得出离心率即可. 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 2．（22-23高二上·山西运城·期末）椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求，再求离心率即可. 【详解】由题意可得：，且椭圆焦点在y轴上，则， 故椭圆的离心率是. 故选：A. 3．（22-23高二上·山西朔州·期末）若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率. 【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长， 所以椭圆离心率. 故选：C 4．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ）． A．长轴长为2 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，由此确定正确答案. 【详解】依题意椭圆， 所以， 所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误. 离心率为，D选项正确. 故选：D 5．（22-23高二下·山西忻州·期末）已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆通径，结合等腰直角三角形的性质可得，再由离心率公式即可得解. 【详解】不妨设椭圆方程为，焦点，离心率为e， 将代入可得，所以, 又是等腰直角三角形，所以， 所以即，所以，解得（负值舍去）. 故选：C. 6．（22-23高二上·山西临汾·期末）设椭圆的左､右焦点分别是，线段被点分成的两段，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：结合即可求离心率即可求解. 【详解】由题意可得：即， 因为，所以， 所以椭圆的离心率， 故选：C 7．（23-24高二上·山西太原·期末）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点.若(为坐标原点)，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，可求得点的坐标，由，从而可得答案． 【详解】依题意，设，则，， ， 又，，， ，即， ． 设该椭圆的离心率为e，则， 椭圆的离心率． 故选C． 8．（23-24高二上·山西长治·期末）直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出示意图，根据圆的性质以及直线的倾斜角求解出的长度，再根据椭圆的定义求解出的关系，则椭圆离心率可求. 【详解】设椭圆的左右焦点分别为，如下图： 因为以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点， 所以且，所以， 又因为的倾斜角为，所以， 所以为等边三角形，所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以，所以， 故选：D. 9．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，，满足，且点到直线的距离不小于，则离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取点为椭圆的左焦点，则四边形为平行四边形，利用椭圆的定义以及点到直线的距离公式即可求解． 【详解】解：如图所示：设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形为平行四边形， 所以，所以， 因为，所以点直线的距离不小于， 即，解得， 所以椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为，， 故选：． 10．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是 A． B．-1 C． D． 【答案】B 【分析】依题意知，直线y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率． 【详解】   ∵椭圆的方程为，作图如右图： ∵椭圆的焦距为2c， ∴直线 y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），又直线y=(x+c)与椭圆交于M点， ∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1， ∴∠MF2F1=30°， ∴∠F1MF2=90°． 设|MF1|=x，则 ，|F1F2|=2c=2x，故x=c． ∴ ， 又|MF1|+|MF2|=2a， ∴2a=（ +1）c， ∴该椭圆的离心率 故选B． 椭圆简单的几何性质的妙用 1．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 2．（22-23高二上·山西晋中·期末）曲线和，则和更接近圆的是（    ） A． B． C．相同 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论. 【详解】分别将曲线和化为标准方程可得， ，，由椭圆的性质可得，曲线的离心率为， 曲线的离心率为，显然，因此曲线更接近圆. 故选：A. 3．（22-23高二上·山西朔州·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴. 【详解】由椭圆，得，，， 故选：A． 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先分别设，，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长. 【详解】设，， 所以，即， 即，得，短轴长为. 故选：B 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）椭圆的焦距为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，由此求得焦距. 【详解】因为椭圆的方程为，所以，，因此，解得，所以椭圆的焦距为. 故选：D. 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） ①当时，曲线E表示双曲线.焦点在x轴上； ②当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆； ③当时，曲线E围成图形的面积的最小值为π. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由求得的取值范围，可判断①的正误；将代入曲线的方程，可判断②的正误；由求得的取值范围，判定曲线的形状，可判断③的正误. 【详解】对于①，当时，，则曲线表示双曲线，焦点在轴上，①正确； 对于②，当时，曲线的方程为，可得，曲线为两条平行的直线，②错误； 对于③，当时，，曲线的标准方程为，此时. 当时，曲线表示以原点为圆心，半径为的圆； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时椭圆的长半轴大于，短半轴为1. 设为椭圆上任意一点，则 所以，即椭圆上的点在圆上或圆外. 即圆在椭圆内（相切于椭圆短轴的两个端点） 所以当曲线围成图形是圆时面积最小. 综上所述，曲线围成图形的面积的最小值为，此时曲线为圆，③正确. 故选：B. 7．（23-24高二上·山西运城·期末）曲线与曲线的 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案. 【详解】曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C. 直线与椭圆综合求定点定直线问题 1．（23-24高二上·山西·期末）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，解得、即可； （2）设、的斜率分别为、，，即可得到，，联立直线与曲线方程求出、点坐标，即可求出直线的方程，从而求出定点坐标. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，． 将代入，整理得， 解得或，则， 可得． 将代入可得，解得或， 则，所以． 直线的斜率为， 因此直线方程为， 化简得，于是直线经过定点． 2．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据，结合椭圆的对称性，求得，即可求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的斜率关系，求得对应参数的约束条件，即可求得直线恒过的顶点. 【详解】（1）由题意知， 由 ， ， 椭圆方程为； （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则 解得，不符合题设； 从而可设直线PQ的方程设为， ， 则有 由 ， （舍）或， 当且仅当时，， ， ∴PQ直线恒过定点. 3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为，，上焦点为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条互相垂直的弦交于，两点.当点变化时，直线是否过定点？并说明理由. 【答案】(1)(2)过定点，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆的性质，求出，，的值，可得椭圆方程； （2）先设直线的方程，联立椭圆方程得到点坐标，同理得到点坐标，用两点式写出直线的方程，令可得为定值，即得直线过定点. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则. 所以椭圆的标准方程为：. （2）如图： 由题意：直线的斜率一定存在，设直线：， 联立，消去得：， 设，则，. 设，用代替得：，. 所以直线得方程为： 令，得： 所以直线过定点. 4．（23-24高三上·山西·期末）已知椭圆：. (1)若椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，求证：； (2)为直线：上的一个动点，，为椭圆的左、右顶点，，分别与椭圆交于，两点，证明为定值，并求出此定值. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析，定值为3 【分析】（1）先根据条件求解出椭圆方程，然后联立直线与椭圆方程得到横坐标的韦达定理形式，由此计算出的值并完成证明； （2）设出的坐标，然后根据，得到坐标关系式，利用“点差法”求解出的倍数关系，由此可证明为定值并求其值. 【详解】（1）由题意得,所以， 所以椭圆方程：， 设，， 联立可得， 且， 则，， ， 所以； （2）设，，，而，， 设，， 则，， 所以，，，， 因为，在椭圆：上， 所以， 所以，， 代入作差可得：. 化简得：，所以， 综上所述，为定值为3. 5．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知椭圆，，分别为的左､右顶点，为的上顶点，，且的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，点.若直线的斜率之和为0.求证：直线经过定点. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用数量积和离心率建立，，的方程，求解即可得椭圆的标准方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，韦达定理找到坐标关系，利用斜率和为0得到直线的斜率与截距的关系，求出直线恒过的定点 【详解】（1）由题设得. 则. 由得， 又由， 解得，椭圆的方程为 （2）设直线的方程为，联立消去得， ，， 设， 则，， 于是， 即 ，得. 故直线的方程为，过定点. 6．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆过点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，求出点的坐标，可证得；当直线的斜率存在时，设方程为，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示，证明即可． 【详解】（1）由题意知，解得，， 所以椭圆的标准方程是； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或． 若直线的方程为，不妨设，，所以，所以； 若直线的方程为，不妨设，，所以，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 又直线与圆相切，所以，即． 设，， 由，得， 所以， ，， 所以，所以．    综上，以为直径的圆过原点． 直线与椭圆综合求面积与周长问题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求得，则方程得解； （2）设出直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表达，利用基本不等式，即可求得结果. 【详解】（1）由方程组解得，， 故椭圆的方程为. （2）由题知，直线经过点，且斜率不为0.    设直线的方程为，，， 由得， 显然，， 又， ， 当时， 当时，， 当且仅当时，等号成立. 综上所述，的最大值为. 2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题设易得，结合椭圆定义及两点距离公式求得，进而可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率，设直线方程并联立椭圆求相交弦长，进而得到四边形的面积关于直线斜率的表达式，即可得求最小值. 【详解】（1）由题意，椭圆的左、右焦点分别为，，即， 所以， 即，，所以椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率不存在或为0时，，，，分别为椭圆的四个顶点，所以． ②当直线的斜率存在且不为0时，设，则， 设，，，， 联立，解得，即， 所以，同理， 所以． 令，则，， 所以，， 当时，又， 所以四边形的面积的最小值为． 3．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，长轴长为，点在椭圆上（不与重合），且，左右焦点分别为. (1)求的标准方程； (2)设过右焦点的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由椭圆的性质得到，设点，表示出，再代入椭圆方程，求出，得到椭圆方程； （2）设直线的方程：，直曲联立，韦达定理表示出，再用其表示出三角形面积，最后结合基本不等式求出结果. 【详解】（1）   依题意可得，，所以. 设，则， 又因为所以， 所以，所以的标准方程为. （2）   因为在直线上，设直线的方程：， 联立，整理得， ， 由题可知∶ 当且仅当， 即时，面积最大为，此时直线的方程是∶. 4．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求实数的取值范围； (3)若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由已知可得出的值，利用椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，由结合可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）列出韦达定理，根据直线、、的斜率成等比数列，可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为焦距为2，所以，由椭圆的对称性得. 又因为，所以， 则，所以，，， 所以椭圆的方程为. （2）解：联立得，① 所以，所以. 又，所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为. （3）解：设、，由①式得，， 设直线、的斜率分别为、， 因为直线、、的斜率成等比数列， 所以，即， 整理可得，即， 因为 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，直线或的斜率不存在，等号取不到， 所以的面积的取值范围为. 5．（22-23高二上·山西运城·期末）已知为坐标原点，过点的圆与直线：相切，设圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设点为曲线上任意一点，依题意可得与点到直线的距离相等，即，整理即可； （2）首先分析直线的斜率存在且不为，设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，依题意可得直线与直线垂直，即可求出，再由弦长公式求出，求出原点到直线的距离，即可得解. 【详解】（1）解：设点为曲线上任意一点，因为圆过点且与直线：相切， 所以与点到直线的距离相等，故， 整理得，所以曲线的方程为； （2）解：过点的斜率为的直线与抛物线只有1个交点，不满足要求， 过点的斜率不存在的直线为，直线与抛物线的交点为， ，此时线段的垂直平分线为，不满足要求， 所以直线斜率存在且不为，设直线方程为，， 由得， 方程的判别式， 设，，则， 设线段中点，，， 因为线段的垂直平分线交轴于点，所以直线与直线垂直， 故，解得. 又因为 ， 原点到直线的距离， 故的面积. 6．（23-24高二上·山西临汾·期末）已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O是坐标原点，求的面积S的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意得，解方程组可求出，从而可得椭圆C的方程， （2）设直线且交椭圆C于点、，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，而，再前面得到的式子代入化简可求得答案 【详解】（1）由题意知，， 解得，，所以椭圆C的方程为：. （2）设直线且交椭圆C于点、， 联立，得，整理得， ∵， ∴，， ∴. 令，，则， ， 令，则， 所以在上单调递增， 所以 所以当时，， 故的面积S的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 椭圆所有考点 求椭圆的标准方程 1．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 2．（22-23高二上·山西大同·期末）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西长治·期末）椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西长治·期末）已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 6．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（    ） A．m<－1或1<m< B．1<m<2 C．m<－1或1<m<2 D．m<2 椭圆上的点到焦点或坐标轴上点的最值与定值 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（22-23高二上·山西吕梁·期末）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高二上·山西运城·期末）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西晋城·期末）已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．2 椭圆焦点三角形问题所有考点 1．（22-23高二上·山西晋中·期中）设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则的周长是（    ） A．8 B．16 C． D． 2．（23-24高二上·山西晋城·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，若P为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点P有（    ） A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（    ） A．2 B．6 C．4 D．12 4．（22-23高二上·山西运城·期末）椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 5．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 根据椭圆的有界性求范围或最值 1．（23-24高二上·山西运城·期末）万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式． 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的长轴长为，则小椭圆的短轴长为（    ）      A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西太原·期末）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（    ） A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1) 4．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为 A． B．4 C． D．9 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是 A． B． C． D． 求椭圆离心率的定值或取值范围 1．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西运城·期末）椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山西朔州·期末）若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 4．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ）． A．长轴长为2 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 5．（22-23高二下·山西忻州·期末）已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·山西临汾·期末）设椭圆的左､右焦点分别是，线段被点分成的两段，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山西太原·期末）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点.若(为坐标原点)，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山西长治·期末）直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，，满足，且点到直线的距离不小于，则离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是 A． B．-1 C． D． 椭圆简单的几何性质的妙用 1．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西晋中·期末）曲线和，则和更接近圆的是（    ） A． B． C．相同 D．无法判断 3．（22-23高二上·山西朔州·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C．4 D．2 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（    ） A．1 B．2 C． D．4 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）椭圆的焦距为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） ①当时，曲线E表示双曲线.焦点在x轴上； ②当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆； ③当时，曲线E围成图形的面积的最小值为π. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（23-24高二上·山西运城·期末）曲线与曲线的 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 直线与椭圆综合求定点定直线问题 1．（23-24高二上·山西·期末）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 2．（23-24高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为，，上焦点为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点作两条互相垂直的弦交于，两点.当点变化时，直线是否过定点？并说明理由. 4．（23-24高三上·山西·期末）已知椭圆：. (1)若椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，求证：； (2)为直线：上的一个动点，，为椭圆的左、右顶点，，分别与椭圆交于，两点，证明为定值，并求出此定值. 5．（22-23高二上·山西临汾·期末）已知椭圆，，分别为的左､右顶点，为的上顶点，，且的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，点.若直线的斜率之和为0.求证：直线经过定点. 6．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知椭圆过点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点． 直线与椭圆综合求面积与周长问题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值. 2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 3．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，长轴长为，点在椭圆上（不与重合），且，左右焦点分别为. (1)求的标准方程； (2)设过右焦点的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 4．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求实数的取值范围； (3)若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 5．（22-23高二上·山西运城·期末）已知为坐标原点，过点的圆与直线：相切，设圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的面积. 6．（23-24高二上·山西临汾·期末）已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O是坐标原点，求的面积S的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$