专题08 空间向量与立体几何（3大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（山西专用）

专题08 空间向量与立体集合 空间向量及其线性运算 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西大同·期末）在四面体OABC中，，，，点M在线段OA上，且AM＝2MO，N为线段BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知向量与共线，则实数k＝（    ） A．0 B．1 C．－1或2 D．－2或1 4．（22-23高二上·山西太原·期末）已知，，，若共面，则实数（    ） A． B．3 C．1 D． 5．（23-24高二上·山西阳泉·期末）如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山西晋城·期末）在平行六面体中，若分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 空间向量的数量积运算 1．（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24高二上·山西·期末）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为 A． B． C． D．2 3．（23-24高二上·山西太原·期末）如图，把边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则（    ） A．3 B． C．4 D． 空间向量及其坐标运算 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西晋城·期末）已知空间向量，，，且，，共面，则实数（    ） A． B． C．0 D．1 3．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·山西运城·期末）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高二上·山西运城·期末）在四面体中分别是的中点，P是的三等分点（靠近点N），若，则（    ） A． B． C． D． 直线与平面的位置关系 1．（22-23高二上·山西大同·期末）已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 4．（22-23高二上·山西太原·期末）已知，，若，则实数的值分别是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西长治·期末）已知空间向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·山西太原·期末）若的三个顶点分别为，，，则角的大小为 A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山西晋城·期末）已知向量，，若平行，则实数等于（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-6 8．（22-23高二上·山西太原·期末）若向量，，则（  ） A． B． C． D． 空间向量距离问题 1．（22-23高二上·山西太原·期末）已知平面的一个法向量为，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，垂足为A C．，但不垂直 D． 2．（23-24高二上·山西运城·期末）设的方向向量为的方向向量为.若，则等于（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（23-24高二上·山西·期末）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 空间向量夹角问题 1．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点G，使得平面EFG C．G为中点时，直线EG与所成角最小 D．点F到直线EG距离的最小值为 2．（23-24高二上·山西朔州·期末）在空间直角坐标系中，、、，则（    ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B． C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 4．（22-23高二上·山西朔州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．平面的一个法向量是 D． 5．（22-23高二上·山西临汾·期末）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，是与的交点，为线段上的动点（包含线段的端点），则以下说法正确的是（    ） A．为线段的中点时， B．存在点，使得∥平面 C．与所成角的正弦值为 D．与平面所成的角可能为 6．（22-23高二上·山西吕梁·期末）已知直三棱柱中，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．无论点在上怎么运动，都有 B．当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球表面积为 C．若三棱柱，内放有一球，则球的最大体积为 D．周长的最小值 7．（23-24高二上·山西运城·期末）在棱长为1的正方体中，，分别是棱，上的点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，若，则 B．当是棱的中点时，异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．若平面，则与的长度之和为1 空间向量存在性问题 1．（23-24高二上·山西长治·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△沿对角线翻折到处，得到如图2所示的三棱锥，且，点是线段上一点，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（23-24高二上·山西长治·期末）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 3．（23-24高二上·山西·期末）如图，在直四棱柱中，，与相交于点，，为线段上一点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图，多面体由正四面体和正四面体组合而成，棱长为.    (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 5．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，在三棱柱中，． (1)求证：平面； (2)若，直线AB与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 6．（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，,，点在线段上，且为的中点 . (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为，求平面与平面所成角的余弦值. 7．（22-23高二上·山西晋中·期末）在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.    (1)点在棱上，当时，平面，试确定动点在直线上的位置，并说明理由； (2)若为底面的中心，求点到平面的最大距离. 8．（22-23高二上·山西晋中·期末）如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.    (1)用表示，并求出； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9．（22-23高二上·山西临汾·期末）如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，是棱上一点，且. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 10．（22-23高二上·山西晋中·期末）如图，四边形为正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且，点是线段上的一点（不包括端点）． (1)证明； (2)若，且直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 11．（22-23高二上·山西运城·期末）如图，在圆柱中，CE是圆柱的一条母线，ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，. (1)若，求证：平面CEO； (2)若，求直线BE与平面ADE所成角的正弦值. 12．（22-23高二上·山西·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且. (1)棱上是否存在点E，使∥平面？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由； (2)若四棱锥的体积为10，求平面与平面的夹角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 空间向量与立体集合 空间向量及其线性运算 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可. 【详解】因为， ， 所以有，因此， 故选：C 2．（23-24高二上·山西大同·期末）在四面体OABC中，，，，点M在线段OA上，且AM＝2MO，N为线段BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算，，即得解 【详解】 ，，，点在上，且，为的中点， . 故选：C. 3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知向量与共线，则实数k＝（    ） A．0 B．1 C．－1或2 D．－2或1 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的性质直接求解． 【详解】向量与共线， ， 解得或1． 故选：． 4．（22-23高二上·山西太原·期末）已知，，，若共面，则实数（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【解析】利用空间向量共面的条件，设实数，使 ，列出方程组，求出的值即可． 【详解】因为向量 共面，所以存在实数使得， 即， 所以； 解得． 故选：B． 5．（23-24高二上·山西阳泉·期末）如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为在四面体中,是的中点,是的中点,,即可求得答案. 【详解】在四面体中,是的中点,是的中点 故选:C. 6．（23-24高二上·山西晋城·期末）在平行六面体中，若分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图像，利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】如图， . 故选：C. 空间向量的数量积运算 1．（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据线线垂直、线面垂直的知识确定正确答案. 【详解】由于平面，平面， 所以，则与垂直，D选项错误. 由于平面，所以平面， 由于平面，所以，所以与垂直，C选项错误. 由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 所以与垂直，B选项错误. 由于与不一定垂直，是在平面内的射影， 所以与不一定垂直，即与的数量积不一定为，A选项正确. 故选：A    2．（23-24高二上·山西·期末）在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为 A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】画出图形，作，则，可得，沿轴将坐标平面折成的二面角，故两异面直线所成的角为，结合已知，即可求得答案. 【详解】如图为折叠后的图形，其中作 则， 沿轴将坐标平面折成的二面角 两异面直线所成的角为． 可得： 故由 得 故选：D. 3．（23-24高二上·山西太原·期末）如图，把边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】取的中点，根据正方形的特点和线面垂直的判定定理，可证平面，进而可得；又边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，可知；再根据向量的减法可得，再利用数量积和模的关系即可求出结果. 【详解】取的中点，连接，如下图所示： 则， 又，所以平面，所以， 又边长为1的正方形沿对角线折成直二面角， 所以平面，所以为直角三角形， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：A. 空间向量及其坐标运算 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 2．（23-24高二上·山西晋城·期末）已知空间向量，，，且，，共面，则实数（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】因为三个向量共面，由向量的基本定理可知存在实数，使得， 代入计算即可. 【详解】因为共面， 所以存在实数，使得， 即 所以，解得. 故选：D. 3．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】点M在线段OA上，且， 又， ∵N为BC的中点， . 故选：D. 4．（22-23高二上·山西运城·期末）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理，进而得出方程，解之即可. 【详解】因为， 所以，即． 因为M是平面ABC上一点，所以，所以． 故选：B. 5．（23-24高二上·山西运城·期末）在四面体中分别是的中点，P是的三等分点（靠近点N），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理求解. 【详解】如图所示： ， ， . 故选：B 直线与平面的位置关系 1．（22-23高二上·山西大同·期末）已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由，则两直线的方向向量共线列式计算即可. 【详解】由题意可得：，解得：，. 故选：B. 2．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于啥轴对称啥不变，其它坐标变相反的对称变换口诀，结合点的坐标即可求解. 【详解】依题意，点关于轴的对称点. 故选：A. 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则， 即的最小值是， 故选：D 4．（22-23高二上·山西太原·期末）已知，，若，则实数的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量共线的坐标表示列方程组，由此求得的值. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 5．（23-24高二上·山西长治·期末）已知空间向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知中向量，，求出两个向量的模和数量积，代入夹角余弦公式，可得答案． 【详解】空间向量，， 与的夹角满足， ， . 故选：A 6．（22-23高二上·山西太原·期末）若的三个顶点分别为，，，则角的大小为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的坐标，再由向量的夹角公式即可求出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以，所以. 故选A 7．（23-24高二上·山西晋城·期末）已知向量，，若平行，则实数等于（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-6 【答案】D 【详解】由于两个向量平行，故，故. 8．（22-23高二上·山西太原·期末）若向量，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算求夹角、模长、数量积判断A、B、D；根据共线定理判断向量是否平行判断C. 【详解】由，B错误； 由，所以，D正确． 由，A错误， 如果则存在实数使，显然不成立，C错误. 故选：D 空间向量距离问题 1．（22-23高二上·山西太原·期末）已知平面的一个法向量为，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，垂足为A C．，但不垂直 D． 【答案】D 【分析】直接利用空间向量法判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为平面的一个法向量为，且， 所以， 又， 所以， 故选：D 2．（23-24高二上·山西运城·期末）设的方向向量为的方向向量为.若，则等于（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用直线垂直，方向向量垂直，数量积为0即可. 【详解】因为，所以， 则有，所以，即. 故选：C 3．（23-24高二上·山西·期末）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】验证哪个选项中直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直． 【详解】计算，A,C,D中都是=0，只有B中且，即， 故选：B． 【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面垂直．直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行． 空间向量夹角问题 1．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点G，使得平面EFG C．G为中点时，直线EG与所成角最小 D．点F到直线EG距离的最小值为 【答案】AB 【分析】根据等体积法可知，即可判断A项；建系，假设存在点G﹐设.根据向量的坐标，由，解出的值，即可判断B项；由已知推出，根据二次函数以及余弦函数的性质，结合的取值范围，即可判断C项；求出在方向上投影向量的长度为，然后根据勾股定理表示出点F到直线EG的距离，根据二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，，. 对于A项，在正方体中，平面平面，平面， 由面面平行的性质可得，平面， 由点G在线段上， 则到平面的距离，即点到平面的距离等于. 因为，所以. 则是个定值，故A项正确； 对于B项，假设存在点G﹐使得平面. 设. ，，，， 则. 所以， ， 所以，满足条件. 此时有，，平面，平面，， 所以，存在点G﹐使得平面，故B项正确； 对于C项，设直线EG与所成角为. 因为，. 所以， 所以. 因为， 所以当时，有最小值，显然有，则有最大值， 根据余弦函数的单调性可知，当时，有最小值，故C项错误； 对于D项，因为，， 所以，在方向上投影向量的长度为， 由C知，当时，有最小值， 则有最大值为，又， 所以点F到直线EG距离的最小值为，故D项错误. 故选：AB. 2．（23-24高二上·山西朔州·期末）在空间直角坐标系中，、、，则（    ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用空间向量法可判断BD选项；利用空间中点的对称性可判断C选项. 【详解】因为在空间直角坐标系中，、、， 对于A选项，，，所以，，A对； 对于B选项，设异面直线与所成的角为，则， ，故， 所以，异面直线与所成的角为，B错； 对于C选项，点关于轴的对称点为，C对； 对于D选项，易知平面的一个法向量为， 所以，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为，D对. 故选：ACD. 3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B． C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，空间的距离公式和点到直线、点到平面的距离的向量运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，，可得，所以，所以A正确； 对于B中，由空间的距离公式，可得，所以B正确； 对于C中，取向量，， 可得，，所以点到直线的距离为，所以C错误； 对于D中，由向量，，， 设平面的法向量为，则, 令，可得，，所以， 所以点到平面的距离为，所以D错误． 故选：AB． 4．（22-23高二上·山西朔州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．平面的一个法向量是 D． 【答案】BCD 【分析】A选项，求得的坐标，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，记，验证即可；D选项，验证即可. 【详解】对于A，，，，，故A错误； 对于B，，，，， 则，故B正确； 对于C，，，记， 则， 所以，又平面，，则平面， 故是平面的一个法向量，故C正确； 对于D，，，故D正确. 故选：BCD. 5．（22-23高二上·山西临汾·期末）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，是与的交点，为线段上的动点（包含线段的端点），则以下说法正确的是（    ） A．为线段的中点时， B．存在点，使得∥平面 C．与所成角的正弦值为 D．与平面所成的角可能为 【答案】BD 【分析】对于A，由向量的加法、减法及数乘运算即可判断； 利用空间向量解答B，C； 对于D，由题意可得为与平面所成的角，当运动到点时，取得最大，且，从而即可判断. 【详解】解：对于，，故错误； 对于，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以 设平面的法向量为 则， 令，可得， 设， 则， 所以， 当时，可得∥平面， 所以，即. 所以在线段上存在点，且，故B正确； 对于， 所以与所成角的正弦值为，故C错误； 对于，在中，为的中点，所以， 又平面平面， 可得，而， 所以平面与平面所成的角即为， 由题可得当运动到点时，取得最大，且， 所以与平面所成的角可能为，此时，故D正确. 故选：BD. 6．（22-23高二上·山西吕梁·期末）已知直三棱柱中，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．无论点在上怎么运动，都有 B．当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球表面积为 C．若三棱柱，内放有一球，则球的最大体积为 D．周长的最小值 【答案】ABD 【分析】由题知两两垂直，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，进而利用判断A；根据向量求解线面角得是的中点时直线与平面所成的角最大，进而求解几何体的外接球判断B；根据内切圆的半径为判断C；根据是的中点时求解判断D. 【详解】解：因为直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为 所以，两两垂直，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 因为是的中点，为的中点，点是上的动点 则，，，，，，， 对于A选项，，，故，，A正确； 对于B选项，由题已知平面的法向量为，， 设直线与平面所成的角为， 所以，，当且仅当时等号成立， 此时是的中点，， 此时中点到点的距离均为，故三棱锥的外接球心为，半径为， 所以，三棱锥的外接球表面积为，故B正确； 对于C选项，三棱柱，内放有一球，当球的体积最大时，为该三棱柱的内切球，由于内切圆的半径为，故三棱柱内切球的半径为，其体积不等于，故C错误； 对于D，当是的中点时，此时，， 此时，即， 所以当是的中点时，，即取得最小值，分别为 因为 所以，周长的最小值，故D正确. 故选：ABD 7．（23-24高二上·山西运城·期末）在棱长为1的正方体中，，分别是棱，上的点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，若，则 B．当是棱的中点时，异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．若平面，则与的长度之和为1 【答案】BD 【分析】根据空间向量运算可判断A；建立空间直角坐标系，根据直线夹角的向量公式即可判断B；根据线面夹角的向量公式即可判断C；若平面，只需，利用坐标运算即可判断D． 【详解】对于选项A，，，所以，所以A错误； 对于选项B，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 当是棱的中点时，，，，，， ，，所以B正确； 对于选项C，易知是平面的一个法向量．，，， ，，所以与平面所成角的 正弦值为，故C错误； 对于选项D，设，，则，，， 又，，.由于，故若平面， 只需，所以，D正确． 故选：BD. 空间向量存在性问题 1．（23-24高二上·山西长治·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△沿对角线翻折到处，得到如图2所示的三棱锥，且，点是线段上一点，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）在△中，根据线段长度关系可证，又，根据线面垂直的判定定理可得平面，则可证； （2）过点作于点,过点作的平行线，结合平面,可以以为轴，为轴，过点的的平行线为轴建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量法求解即可. 【详解】（1）由题知. 在△中，，，， ，. ，，平面，平面. 平面，. （2）过点作于点,过点作的平行线， 又由（1）知平面，以为轴，为轴，过点的的平行线为轴建立如图空间直角坐标系.      由题意可知，，，，. 在△中，根据等面积法，得,， 则 ，，，, 由，得, ，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，，. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 2．（23-24高二上·山西长治·期末）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面平行的空间向量法证明即可； （2）根据空间向量法求二面角余弦，再结合同角三角函数关系求解. 【详解】（1）   如图建系，设 则, , 设平面法向量为, , , 可得 即得， 因为所以,不在平面内，所以平面. （2）设平面法向量为, , 可得, 即得, 设二面角为， 则, 因为所以 3．（23-24高二上·山西·期末）如图，在直四棱柱中，，与相交于点，，为线段上一点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据三角形相似得到，再由，得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又为线段上一点，且， 所以，在中， 又平面，平面， 所以平面. （2）在直四棱柱中，平面，又， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，， 所以平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角的大小为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图，多面体由正四面体和正四面体组合而成，棱长为.    (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）取的中心为坐标原点，建立空间直角坐标系，再取的中心为，求得，得到向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 在正四面体和正四面体中，可得和均为等边三角形， 所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）取的中心为坐标原点，过作的平行线为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，    因为正四面体的棱长是，可得，则, 所以， 则， 再取的中心为，因为， 设，可得， 解得，即， 所以，，可得， 则 又由平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 5．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，在三棱柱中，． (1)求证：平面； (2)若，直线AB与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）借助线面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）结合题意建立适当空间直角坐标系计算即可得. 【详解】（1）因为，四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形，所以， 又因为，、平面，， 所以平面，又因为平面， ， 且、平面，， 所以平面； （2）因为AB与平面所成角为，平面，所以， 因为，所以是正三角形， 设，则， 以O为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的大小为(由图可知为锐角)， 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 6．（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，,，点在线段上，且为的中点 . (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）方法一：连接，证明四边形为平行四边形可得，结合线面平行的判定定理证明即可；方法二：连接，通过证明平面平面，进而证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）方法一:连接，    由题意知，，，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面平面， 所以平面. 方法二：由题意可得，又平面平面， 所以平面， 连接，    因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面， 又且平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）连接，由题意可得为等边三角形，故， 由平面可得为直线与平面所成的角， 故，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    则， 则， 设平面的法向量为， 则即， 令，得， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 7．（22-23高二上·山西晋中·期末）在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.    (1)点在棱上，当时，平面，试确定动点在直线上的位置，并说明理由； (2)若为底面的中心，求点到平面的最大距离. 【答案】(1)为的中点，理由见解析；(2). 【分析】（1）利用线面平行性质定理和面面平行性质定理即可确定动点在直线上的位置； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得点到平面的最大距离. 【详解】（1）设平面与平面的交线为， 因为平面平面， 平面平面，所以. 由正方体知，平面平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以，所以， 取的中点，连接，易知，所以， 又因为为的中点，所以为的中点.    （2）法一：以点为原点，分别为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则有，其中，    设平面的法向量为， 则有即， 不妨取，，则， 所以点到平面的距离 当时，； 当时， 当，即时，d取到最大值为. 综上，点到平面的最大距离为 8．（22-23高二上·山西晋中·期末）如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.    (1)用表示，并求出； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先利用正四面体几何性质用表示，进而求得； （2）先求得直线与直线所成角的余弦值，进而得到直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接并延长交于，则为中点， 则， ， 则    （2）根据题意，平面，因此，直线与平面所成角的正弦值 即为直线与直线所成角的余弦值的绝对值. ， 且 故. 则直线与平面所成角的正弦值为. 9．（22-23高二上·山西临汾·期末）如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，是棱上一点，且. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)2(2). 【分析】 （1）利用面面垂直得出线面垂直，建立坐标系，利用空间向量求解点到直线的距离； （2）分别求解平面与平面的法向量，利用法向量求解两平面的夹角. 【详解】（1）取的中点，连接，并过点作的平行线，交于， 则. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 则， 直线的一个单位方向向量为， 点到直线的距离. （2）， 设平面的法向量为， 则令， 设平面的法向量为， 则令， 设平面与平面的夹角为，则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 10．（22-23高二上·山西晋中·期末）如图，四边形为正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且，点是线段上的一点（不包括端点）． (1)证明； (2)若，且直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由面面垂直得平面，从而得．再由已知，得，从而可得平面，得证，再由线面垂直的判定定理证明平面，即可证得； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，由线面角的空间向量法求得值，然后由棱锥体积公式计算可得． 【详解】（1）证明：连接，因为四边形为正方形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以； （2）以A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，， 所以，．设， 则． 设平面的一个法向量为， ， 令，解得，，所以平面的一个法向量为， 又直线与平面所成角的大小为， 所以， 解得．所以，所以， 所以． 11．（22-23高二上·山西运城·期末）如图，在圆柱中，CE是圆柱的一条母线，ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，. (1)若，求证：平面CEO； (2)若，求直线BE与平面ADE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由已知得四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）以O为坐标原点，分别以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）因为所以因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）以O为坐标原点，分别以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，， 则点，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， 设直线BE与平面ADE所成角为， 所以直线BE与平面ADE所成角的正弦值为. 12．（22-23高二上·山西·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且. (1)棱上是否存在点E，使∥平面？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由； (2)若四棱锥的体积为10，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)存在，点E为中点(2) 【分析】（1）点E为中点时，∥平面．延长交于点，连接，证明即可； （2）由题意得，得，则平面，作，则平面，由四棱锥体积求得，则为正三角形，根据以上信息建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，用向量夹角公式解决问题． 【详解】（1）点E为中点时，∥平面． 延长交于点F，连接， 在中，是的平分线，且， ∴是等腰三角形，点B是的中点， 又∵E是的中点，∴， 又平面过平面， ∴∥平面. （2）在中，，满足， 则，即， 由，得，则，， 四边形的面积为， 又平面平面平面，平面平面, 所以平面，又平面，则， 作，垂足为O， 平面平面平面，平面平面， 则平面， 则四棱锥体积为，解得，∴， 又，所以为正三角形， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设分别为平面和平面的法向量， 则，即，取，则， ，即，取，则， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$