第02讲 函数（6个知识点+9大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第02讲 函数（6个知识点+9大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.函数的概念； 2.函数的表示方法； 3.函数的取值范围； 1.掌握函数的概念； 2.掌握函数的三种表示方法； 3、掌握函数自变量的取值范围和函数值的概念； 知识点01：函数的概念（难点） 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与 它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【即学即练1】 1、如图，下列各曲线中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2、如图平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 知识点02：函数的三种表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 函数的三种表示方法的优缺点 解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解析式． 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中． 图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到它的完整图像． 【即学即练3】 3、某学习探究小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据，制成如下表格． 空气温度（空气温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化过程中，自变量是空气温度，因变量是声速 B．空气温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10°C时，声速增加6m/s D．当空气温度为0°C时，声音5s可以传播1680m 【即学即练4】 4、一物体从4m高的地方匀速降到地面，若物体每分钟下降0.4m，则物体与地面的距离y（单位：m）与下降时间t（单位：min）之间的函数图象是（　　） A． B． C． D． 知识点03：自变量的取值范围的确定 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【即学即练5】 5、函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9 【即学即练6】 6、函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0 知识点04：函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.在函数用记号表示时，表示当时的函数值. 要点诠释： 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【即学即练7】 7、根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 知识点05：确定函数表达式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： 1 函数解析式是等式． 2 函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【即学即练8】 8、已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（　　） A．y＝50﹣x（0＜x＜50） B．y＝50﹣x（0≤x≤50） C．y＝25﹣x（0＜x＜25） D．y＝25﹣x（0≤x≤25） 【即学即练9】 9、某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系： 销售数量x（个） 1 2 3 4 … 收入y（元） 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 … 则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（　　） A．y＝8.3x B．y＝8x+0.3 C．y＝8+0.3x D．y＝8.3+x 知识点06：由函数表达式画函数图象的一般步骤 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【即学即练10】 10、设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与x轴上表示﹣3的点的距离为y． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）画出这个函数的图象． 题型01 函数的概念 1．下列各图能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 2．“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周长C与半径r的关系式为，则其中的自变量是（　　） A．半径r B．周长C C．2 D． 3．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， 随 的变化而变化，其中因变量是 ． 4．下列式子中，是的函数关系的有 个． ①；②；③；④； 5．某电动车厂2023年各月份生产电动车的数量情况如下表： 时间/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9 10 10 10.5 (1)上表反应了哪两个变量之间的关系？ (2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ (3)从1月到6月，电动车的月产量随时间的增长而怎么变化？ 题型02 函数解析式 1．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 2．2024年国庆长假期间，“跟着悟空游山西”活动热度不减，“悟空效应”带动文旅热潮，山西各景区游人如织．已知某景区成人门票价格为60元/张，并规定购买团队成人票时，对10张以内（含10张）门票不优惠，超过10张的部分七折优惠．某旅行团参观该景区，需购买成人票张，所需总费用为元，则与的函数关系式为（   ）    A． B． C． D． 3．某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时．按原价售出；超过2千克时，超过的部分打8折．设某人在本次超市端午节活动期间购买糯米数量为千克，付款金额为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 4．一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为，则s与t的关系式为 ． 5．如图，在Rt中，已知，，，．点是射线上的一个动点（点不与点重合），设，的面积为，求与之间的关系式． 题型03 求自变量的取值范围 1．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在函数中，自变量的取值范围是 ． 4．在函数中，自变量x 的取值范围是 ． 5．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米） (1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； (2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围） (3)当时，是多少？当时，是多少？ 题型04 求自变量的值或函数值 1．已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，那么 ． 4．已知函数，那么 5．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ 题型05 函数图象识别 1．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小明的行为（填序号）．          4．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    5．张华上午8点骑自行车外出办事，如图表示他离家的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数图像．根据这个图像回答下列问题： (1)在这个过程中自变量、因变量各指什么？ (2)张华中途休息了多少时间？这时离家多远？ (3)他何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？ (4)他何时返回？何时到家？返回的平均速度是多少？ 题型06 从函数的图象获取信息 1．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④．以上结论正确的有（    ） A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 2．甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车； ②乙车行驶的速度是； ③两地相距；其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 3．某市去年居民用水按照元吨收取费用，为提倡居民节约用水，自今年月日起对居民用水实行阶梯水费，规定：若用水超过吨，超过吨的部分每吨增加元．图中，分别表示去年、今年水费（元）与用水量（吨）之间的关系．实行阶梯水费后，若用水超过吨，则超过吨的部分每吨水费为 元． 4．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车 ．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为 ． 5．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)甲车的速度是； (2)求乙车出发后多少时间追上甲车？ (3)求相遇后乙车出发多少时间，两车相距50千米？（直接写出结果） 题型07 用描点法画函数图象 1．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 2．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 3．试着画函数的大致图像，可知其图像有最 点（填“高”或“低”），该点的坐标为 ． 4．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 5．画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 题型08 动点问题的函数图象 1．如图1，在矩形中，连接，动点P从点B出发，沿图中的线段匀速运动，最终回到点B停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则边的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图1，长方形中，动点在长方形的边上沿的方向运动，设点的运动路程为的面积为与的关系图象如图所示，则图中的值为（    ）    A． B．6 C． D．7 3．如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象．其中点E为曲线的最低点，则的长为 ． 4．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为 ． 5．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S（）与时间t（秒）之间的关系用图乙中的图象表示，若AB=6cm，试回答下列问题： (1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的是多少？ 题型09 函数的三种表示方法 1．酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（    ） 酒精浓度 0 内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 2．课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 3．声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 4．对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 5．某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表： 降价x/元 0 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)求表中b的值； (3)若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？ 1．下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 2．科创爱好者徐艺同学研制了一架模型飞机，该模型飞机在某内飞行的高度与飞行时间之间的函数图象如图所示，由图象可知，在这内飞机飞行的最大高度与最小高度的差为（    ） A． B． C． D． 3．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为（   ） A． B． C． D． 4．如图是某楼房上的蓄水池横截面图，分为深水区与浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下列能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 5．小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米．图中分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系，下列结论：①小明让小亮先跑了；②表示小明的路程与时间的关系；③小明出发追上小亮；④小明跑步的速度比小亮快；⑤小亮从出发到跑完共用了；⑥若两人同时从百米赛道的两端出发，则两人经过相遇．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．已知函数，如果，那么 ． 7．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 8．为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用200元钱去买单价为5元的某种笔记本，他买完这种笔记本之后剩余的钱数（元）与购买的数量（本）之间的关系式是 ． 9．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲骑自行车以的速度先出发，小时后，乙开车以的速度出发．两人之间的距离与甲出发的时间的函数关系如图所示，当乙到达地时两人相距 ． 10．如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等． 七张桌面分开可组合成不同的图形． 如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为 ． 11．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)设汽车行驶的时间为小时，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； (2)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 12．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 13．节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水与滴水时间的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题． (1)容器内原有水多少升． (2)上午有几个小时水龙头关闭不严，请你计算当容器内显示水量升时是上午什么时间？ 14．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式； (2)求当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是多少？ (3)当油箱内剩余的油量为时，这台拖拉机已工作了几个小时？ 15．，两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 函数（6个知识点+9大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.函数的概念； 2.函数的表示方法； 3.函数的取值范围； 1.掌握函数的概念； 2.掌握函数的三种表示方法； 3、掌握函数自变量的取值范围和函数值的概念； 知识点01：函数的概念（难点） 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与 它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【即学即练1】 1、如图，下列各曲线中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 2、如图平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．根据函数的定义，A中的图象中存在一个x值，与之对应的y值有多个，那么A中不能表示y是x的函数，故A不符合题意． B．根据函数的定义，B中的图象存在一个x值，与之对应的y值有多个，那么B中不能表示y是x的函数，故B不符合题意． C．根据函数的定义，C中的图象存在一个x值，与之对应的y值有多个，那么C中不能表示y是x的函数，故C不符合题意． D．根据函数的定义，D中的图象中任意一个x值，总有一个y值与之对应，那么D中图象可以表示为y是x的函数，故D符合题意． 故选：D． 知识点02：函数的三种表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 函数的三种表示方法的优缺点 解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解析式． 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中． 图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到它的完整图像． 【即学即练3】 3、某学习探究小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据，制成如下表格． 空气温度（空气温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化过程中，自变量是空气温度，因变量是声速 B．空气温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10°C时，声速增加6m/s D．当空气温度为0°C时，声音5s可以传播1680m 【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A说法正确； ∵根据数据表，可得温度越高，声速越快， ∴选项B说法正确； ∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s）， ∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s， ∴选项C说法正确； ∵330×5＝1650（m）， ∴当空气温度为0℃时，声音5s可以传播1650m， ∴选项D说法错误． 故选：D． 【即学即练4】 4、一物体从4m高的地方匀速降到地面，若物体每分钟下降0.4m，则物体与地面的距离y（单位：m）与下降时间t（单位：min）之间的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：y＝4﹣0.4t， 当y＝0时，4﹣0.4t＝0，t＝10． 故选：D． 知识点03：自变量的取值范围的确定 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【即学即练5】 5、函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9 【解答】解：， 解得x≥2且x≠9． 故选：B． 【即学即练6】 6、函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0 【解答】解：由题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1， 故选：C． 知识点04：函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.在函数用记号表示时，表示当时的函数值. 要点诠释： 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【即学即练7】 7、根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【解答】解：当x＝4，8+b＝5． ∴b＝﹣3． ∴当x＝3，y＝﹣3×3+3＝﹣6． 故选：A． 知识点05：确定函数表达式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： 1 函数解析式是等式． 2 函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 【即学即练8】 8、已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（　　） A．y＝50﹣x（0＜x＜50） B．y＝50﹣x（0≤x≤50） C．y＝25﹣x（0＜x＜25） D．y＝25﹣x（0≤x≤25） 【解答】解：由题意得2（x+y）＝50， 解得y＝25﹣x（0＜x＜25）， 故选：C． 【即学即练9】 9、某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系： 销售数量x（个） 1 2 3 4 … 收入y（元） 8+0.3 16+0.6 24+0.9 32+1.2 … 则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（　　） A．y＝8.3x B．y＝8x+0.3 C．y＝8+0.3x D．y＝8.3+x 【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x＝8.3x； 故选：A． 知识点06：由函数表达式画函数图象的一般步骤 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 【即学即练10】 10、设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与x轴上表示﹣3的点的距离为y． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）画出这个函数的图象． 【答案】（1）y；（2）答案见解析． 【详解】（1）由题意得：y=|x﹣（﹣3）|=|x+3|， 即y； （2）列表： 函数图象如图， 题型01 函数的概念 1．下列各图能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：解：A、C、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，B选项符合函数的概念， 故选：B． 2．“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周长C与半径r的关系式为，则其中的自变量是（　　） A．半径r B．周长C C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数、自变量定义是解题的关键． 周长C随着半径r的变化而变化，可得周长C是因变量，半径r为自变量，即可求解． 【详解】∵水波的周长C随半径r的变化而变化， ∴关系式中，r是自变量，C是因变量． 故选：A． 3．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中， 随 的变化而变化，其中因变量是 ． 【答案】 温度 时间 温度 【分析】本题考查了函数的基本概念．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语中早、午、晚是时间，早穿皮袄说明早上冷，午穿纱说明中午热，说明温度随着时间在变化． 【详解】解：“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是时间，因变量是温度． 故答案为：温度；时间；温度． 4．下列式子中，是的函数关系的有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【分析】主要考查了函数的定义，本题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：①，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数关系； ②，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数关系； ③，对于的每一个取值，都有两个确定的值与之对应，故不是的函数关系； ④，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数关系； 故是的函数关系的有个， 故答案为：． 5．某电动车厂2023年各月份生产电动车的数量情况如下表： 时间/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9 10 10 10.5 (1)上表反应了哪两个变量之间的关系？ (2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ (3)从1月到6月，电动车的月产量随时间的增长而怎么变化？ 【答案】(1)上表反应了时间和电动车的月产量之间的关系 (2)6月份产量最高，1月份产量最低 (3)从1月到6月，电动车的月产量随时间的增长而增长 【分析】本题考查了函数的表示方法—列表法，利用了函数的定义． （1）根据函数的定义，可得答案； （2）比较月产量的大小，可得答案； （3）比较月产量的大小，可得答案． 【详解】（1）解：电动车的月产量y为随着时间的变化而变化，故上表反应了时间和电动车的月产量之间的关系； （2）解：根据表格数据可得：六月份产量最高，一月份产量最低； （3）解：根据表格数据可得：从1月到6月，电动车的月产量随时间的增长而增长． 题型02 函数解析式 1．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 【详解】解：某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为， 故选：C 2．2024年国庆长假期间，“跟着悟空游山西”活动热度不减，“悟空效应”带动文旅热潮，山西各景区游人如织．已知某景区成人门票价格为60元/张，并规定购买团队成人票时，对10张以内（含10张）门票不优惠，超过10张的部分七折优惠．某旅行团参观该景区，需购买成人票张，所需总费用为元，则与的函数关系式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，根据总费用为元张以内（含10张）门票超过10张的部分门票费用，可得函数关系式． 【详解】解：由题意，得 ． 故选D． 3．某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时．按原价售出；超过2千克时，超过的部分打8折．设某人在本次超市端午节活动期间购买糯米数量为千克，付款金额为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据促销方案，付款金额等于2千克的费用加上超出部分的费用，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故答案为： 4．一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为，则s与t的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数解析式．根据路程等于速度乘以时间即可得到答案． 【详解】解：∵一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为， ∴s与t的关系式为， 故答案为： 5．如图，在Rt中，已知，，，．点是射线上的一个动点（点不与点重合），设，的面积为，求与之间的关系式． 【答案】 【分析】此题考查直角三角形的面积求法，列关系式的方法，能理解图形中三角形的面积求法得到高线的值是解题的关键． 过点作于，则为边上的高．根据的面积不变即可求出；根据三角形的面积公式得出，分当点在线段上时和当点在线段延长线上时两种代入数值，即可求出y与x之间的关系式． 【详解】如图，过点B作于D． ∵， ∴； ∵，， ①当点在线段上时，即； ∴， ∴， ②当点在线段延长线上时，即； ∴， ∴， ∴综上所述：y与x之间的关系式为：． 题型03 求自变量的取值范围 1．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了自变量和函数值：求自变量的取值范围以及分式有意义，根据得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围，根据分式的分母不能为0求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， ∴． 故选C． 3．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 4．在函数中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ∴， 故答案为：． 5．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米） (1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； (2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围） (3)当时，是多少？当时，是多少？ 【答案】(1)行驶路程，剩油量 (2) (3)42，40 【分析】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识． （1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案； （2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式； （3）分别令，及代入即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量， 故答案为：行驶路程，剩油量； （2）根据每行1千米，耗油0.6升及总油量为48升可得：， 由题意可得， ∴，解得 故答案为：； （3）当时，； 当时，，解得； 故答案为：42，40． 题型04 求自变量的值或函数值 1．已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查的是求函数值，先判断出时，所符合的关系式，然后将代入对应的函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2．某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，根据题意当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解． 【详解】解：根据题意，当尺码增加，则衣长增加， 到，增加了个尺码， ∴， ∴他的衣长可能是； 故选：B． 3．已知函数，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了函数值、分式求值，看懂函数解析式是解题的关键． 把自变量的值代入函数解析式即可求解， 【详解】解：， 把代入得 ， 故答案为：． 4．已知函数，那么 【答案】 【分析】本题考查求函数值．把代入函数关系式，计算求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ 【答案】(1)海拔高度h，气温t (2) (3)气温是 【分析】此题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式． （1）结合题意和函数的定义进行求解； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中进行计算、解答． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是海拔高度h；因变量是气温t． 故答案为：海拔高度h，气温t； （2）解：由题意得，h每增加1千米，气温就下降， 可得， ∴气温t与海拔高度h的关系式：， 故答案为：； （3）解：由题意得，当时， ， 答：气温是； 题型05 函数图象识别 1．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，根据函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应判断即可，掌握函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键． 【详解】解：A选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； B选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； C选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，故该选项符合题意； D选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的识别，根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、能表示y是x的函数，不符合题意； B、对于部分的值，对应2个值，不能表示y是x的函数，符合题意； C、能表示y是x的函数，不符合题意； D、能表示y是x的函数，不符合题意； 故选B． 3．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第 幅描述了小明的行为（填序号）．          【答案】② 【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可． 【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意； ②由图可知，速度先快后慢，符合题意； ③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意； ④由图可知，速度先慢后快，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 4．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    【答案】①②③ 【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键． 5．张华上午8点骑自行车外出办事，如图表示他离家的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数图像．根据这个图像回答下列问题： (1)在这个过程中自变量、因变量各指什么？ (2)张华中途休息了多少时间？这时离家多远？ (3)他何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？ (4)他何时返回？何时到家？返回的平均速度是多少？ 【答案】(1)所用时间t（小时）是自变量、离家的距离S（千米）是因变量； (2)休息了30分钟，这时离家15千米； (3)11:00到达目的地，逗留了1个小时，目的地距家30千米； (4)12:00开始返回，14:00到家，返回的平均速度为每小时15千米． 【分析】（1）根据自变量、因变量的定义，即可求解； （2）9：30-10：00休息了30分钟，即可求解； （3）11：00到达目的地，逗留了1个小时，即可求解； （4）12：00开始返回，14：00到家，路程除以时间即为平均速度，即可求解． 【详解】（1）解：如图是张华离家的距离S（千米）与所用时间t（小时）之间的函数图象，所用时间t（小时）是自变量、离家的距离S（千米）是因变量； （2）由图象可知，张华在9:30−10:00休息了30分钟，这时离家15千米； （3）由图象可知，张华11:00到达目的地，逗留了1个小时，目的地距家30千米； （4）由图象可知，张华12:00开始返回，14:00到家， 速度为30÷(14−12)=15千米/小时， 即返回的平均速度为每小时15千米． 【点睛】本题考查了函数的定义，观察函数图象的能力，读懂图意，根据图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行求解是解题关键． 题型06 从函数的图象获取信息 1．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④．以上结论正确的有（    ） A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，根据图象分别对应的状态，再逐项判断即可． 【详解】解：由图象过知，甲、乙两人出发时相距，即A，B之间的距离为，故①正确； ∵， ∴乙的速度为， ∵， ∴乙行走的速度是甲的（倍），故②正确； ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∴结论正确的有：①②④； 故选：D． 2．甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车； ②乙车行驶的速度是； ③两地相距；其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车小时行驶的路程为，由此即可判断①；根据在乙出发后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发小时后到达 地，求出两地的距离即可判断③，据此即可求解，正确读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：∵甲车的速度为， ∴根据函数图象可知，甲车先出发， ∵根据函数图象可知，甲出发后，乙追上甲， ∴甲车提前出发，乙车出发后追上甲车，故①正确； ∴ 乙车的速度为，故②正确； 根据图可知，乙出发后到达点， ∴两地相距，故③正确； ∴正确的说法有个， 故选：． 3．某市去年居民用水按照元吨收取费用，为提倡居民节约用水，自今年月日起对居民用水实行阶梯水费，规定：若用水超过吨，超过吨的部分每吨增加元．图中，分别表示去年、今年水费（元）与用水量（吨）之间的关系．实行阶梯水费后，若用水超过吨，则超过吨的部分每吨水费为 元． 【答案】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，根据图象求出的值，再根据图象求出今年用水不超过吨时每吨的水费，最后根据超过吨的部分每吨增加元计算超过吨的部分每吨水费即可，读懂题意，通过函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得（吨）， 今年用水不超过吨时，每吨的水费为（元）， ∵超过吨的部分每吨增加元， ∴超过吨的部分每吨水费为（元）， 故答案为：． 4．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车 ．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为 ． 【答案】 相遇 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，结合图象确定各分段代表的意义是解题关键． （1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即可求解； （2）段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶，段为两车相向行驶，即可确定慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时，慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时，然后确定快车行驶的时间即可点C的横坐标，再求两车之间的距离即可． 【详解】解：（1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即两车相遇； 故答案为：相遇； （2）由图象得：段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶， ∴慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时， ∵段为两车相向行驶， ∴快车的速度为：千米/小时， ∴快车行驶的时间为：小时， ∴点C的横坐标为6， 此时两车之间的距离为：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 5．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)甲车的速度是； (2)求乙车出发后多少时间追上甲车？ (3)求相遇后乙车出发多少时间，两车相距50千米？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)1.5 (3)相遇后乙车出发2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据题意求出乙车的速度，再列方程解答即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，甲车的速度是：． 故答案为：； （2）解：乙车的速度为：， 设乙车出发后x小时追上甲车，根据题意得： ， 解得， 答：乙车出发后1.5小时追上甲车； （3）解：设甲车出发小时，两车相距50千米，根据题意得： 或， 解得3.75或． 乙车比甲车晚出发1小时， 此时乙车出发的时间为2.75小时或小时 答：相遇后乙车出发2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米 题型07 用描点法画函数图象 1．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【答案】D 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 【详解】解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 2．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 3．试着画函数的大致图像，可知其图像有最 点（填“高”或“低”），该点的坐标为 ． 【答案】 高 【分析】本题主要考查函数的图象，找到隐含条件是解题的关键． 先画出函数的图象，再根据函数的图象的性质即可求解． 【详解】解：如图，函数的大致图像如图， 由函数可知， 随着的增大而减小， 因为， 当时，有最大值为1， 所以函数图象有最高点且该点的坐标为． 故答案为：高；． 4．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 5．画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)3，1，-1 (2)见解析 (3)点A、B不在函数的图象上，点C在其图象上 (4)-4 【分析】本题考查了画函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题的关键 （1）分别把的值代入函数的解析式，计算求出的值； （2）在平面直角坐标系中描出点、和，再连线即可； （3）分别把点的横坐标代入函数的解析式，计算求出点的纵坐标，再判定即可； （4）把点的坐标代入函数的解析式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：3，1，； （2）解：如图： （3）解：∵当时，； 当时，； 当时，， ∴点不在函数的图象上，点C在其图象上． （4）解：∵点在函数的图象上， ∴，解得． 题型08 动点问题的函数图象 1．如图1，在矩形中，连接，动点P从点B出发，沿图中的线段匀速运动，最终回到点B停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则边的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． 先判断出点P的运动路线，即先沿着运动到D，再沿着运动到C，后沿着回到B，再依图求出及的长，再根据勾股定理求出即可 【详解】解：由图2可知当点P运动时，的面积为y呈先变大，再不变，后变小的规律， 可判断出点P先沿着运动到D，再沿着运动到C，后沿着回到B， 当时，点P运动到点C，即， 当时，点P回到点B，即， 在中，， 即， ∴， 故选：A． 2．如图1，长方形中，动点在长方形的边上沿的方向运动，设点的运动路程为的面积为与的关系图象如图所示，则图中的值为（    ）    A． B．6 C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图象上点知，且点P在点时，的面积为，根据三角形面积求得，即可求解． 【详解】解：由图象上点知，且点P在点时，的面积为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象．其中点E为曲线的最低点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理，能从函数图象中获取有用信息是解答的关键．过A作于D，由图象得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过A作于D， 由图象知，当时，，此时点P运动到点B处，则， 当时，最小，此时点P运动到点D处，当时，点P运动到点C处， 则，， 由勾股定理得，则， 解得， 故答案为：． 4．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象、结合图形求出、的值，即可得出矩形的对角线． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程，时，开始不变，说明，时，接着变化，说明， ，， 矩形的对角线长为． 故答案为：． 5．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S（）与时间t（秒）之间的关系用图乙中的图象表示，若AB=6cm，试回答下列问题： (1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的是多少？ 【答案】(1)图甲中的BC长是8cm； (2)图乙中的a是24． 【分析】（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，由动点的速度，可得BC的长； （2）由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得a的值． 【详解】（1）解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒， ∴BC=2×4=8(cm)； 故图甲中的BC长是8cm； （2）解：由（1）可得，BC=8cm， 则：a=×BC×AB=24（）； 图乙中的a是24． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． 题型09 函数的三种表示方法 1．酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（    ） 酒精浓度 0 内心跳次数 33 30 24 18 15 0 A．酒精浓度越高，水蚤心率越低 B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度 C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0 D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响 【答案】B 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，理解表格信息是解本题的关键，根据表格信息结合函数定义可得答案； 【详解】解：由表格信息可得：酒精浓度越高，水蚤心率越低，正确，A不符合题意； 自变量是酒精溶液浓度，因变量是水蚤心率，原来说法错误，B符合题意； 酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0，正确，C不符合题意； 酗酒对人体的心跳可能有不利影响，正确，D不符合题意； 故选B 2．课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 【答案】C 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行逐一判断即可求解． 【详解】解：由表格数据可得，秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意； 由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意； 由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是（米），故D不符合题意； 故选：C． 3．声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 4．对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数的定义可知，为自变量，为函数，也叫因变量；取全体实数；随的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图像法． 【详解】解：对于关系式，①是自变量，是因变量，正确；②的数值可以任意选择，正确；③y是变量，随的变化而变化，故③错误；④与的关系还可以用列表法和图像法表示，正确， 综上所述正确的说法有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键． 5．某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表： 降价x/元 0 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)求表中b的值； (3)若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？ 【答案】(1)自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件） (2) (3)该商品的日销量为（件） 【分析】（1）根据函数的定义可得答案； （2）根据表格信息可得每降价10元，销量增加5件，从而可得答案； （3）由150件加上增加的销量即可得到答案． 【详解】（1）解：上表中的自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件）． （2）根据表格信息可得：； （3）该商品的日销量为（件）． 【点睛】本题考查的是函数的定义，理解利用表格表示的函数关系，求解函数的函数值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 1．下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义和函数图象的含义，能作为函数图象，需满足：按照图象得出的对应关系，对于自变量的取值范围内的每一个值，按照图象得出的对应关系，都有唯一的一个值和它对应；从图象直观来看，平行与轴的直线与图象至多有一个交点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、平行与轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意； 、平行与轴的直线与图象有两个交点，不能作为函数图象，符合题意； 、平行与轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意； 、平行与轴的直线与图象有一个交点，能作为函数图象，不符合题意； 故选：． 2．科创爱好者徐艺同学研制了一架模型飞机，该模型飞机在某内飞行的高度与飞行时间之间的函数图象如图所示，由图象可知，在这内飞机飞行的最大高度与最小高度的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，由函数图象可知，最大高度为米，最低高度为米，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，最大高度为米，最低高度为米， ∴在这内飞机飞行的最大高度与最小高度的差为 故选：B． 3．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数关系式，根据油箱内余油量等于原有的油量减去t小时消耗的油量，可列出函数关系式，再求出自变量t的取值范围，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∵t应满足，解得， ∴油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为． 故选：C 4．如图是某楼房上的蓄水池横截面图，分为深水区与浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下列能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，掌握函数图象的意义得结论． 根据水面面积和水位升高速度得结论． 【详解】解：由题意可知，随着时间的变化水位越来越高，由于底部面积大，上部面积小，水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，水位升高先慢后快． A．表示水的最大深度h与随着时间t的增加上升一段后，不再上升，故不符合题意； B．表示水的最大深度h与随着时间t的增加，先慢后快，故符合题意； C．表示水的最大深度h与随着时间t的增加，先快后慢，故不符合题意； D．表示水的最大深度h与随着时间t的增加，匀速增加，不符合题意； 故选：B． 5．小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米．图中分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系，下列结论：①小明让小亮先跑了；②表示小明的路程与时间的关系；③小明出发追上小亮；④小明跑步的速度比小亮快；⑤小亮从出发到跑完共用了；⑥若两人同时从百米赛道的两端出发，则两人经过相遇．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． 根据与y轴的交点为，判断出小明让小亮先跑了，表示小亮的路程与时间的关系，然后求出小明和小亮的速度，进而求解即可． 【详解】解：∵与y轴的交点为 ∴小明让小亮先跑了，①正确，符合题意； 由图象可得，表示小亮的路程与时间的关系，②错误，不符合题意； 由图象得，小明的速度为，小亮的速度为， ∴ ∴小明跑步的速度比小亮快，④正确，符合题意； ∴设时，小明出发追上小亮 ∴ 解得 ∴小明出发追上小亮，③错误，不符合题意； ∵小亮的速度为， ∴小亮从出发到跑完共用了，⑤错误，不符合题意； 若两人同时从百米赛道的两端出发， ∴ ∴两人经过相遇，⑥正确，符合题意． 综上所述，其中正确的个数是3个． 故选：B． 6．已知函数，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数的值．把代入求解即可． 【详解】解：把代入得， 解得． 故答案为：． 7．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 8．为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用200元钱去买单价为5元的某种笔记本，他买完这种笔记本之后剩余的钱数（元）与购买的数量（本）之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数解析式，根据剩余的钱数等于准备的钱数减去买笔的费用即可． 【详解】解：根据题意，得， 剩余的钱数（元）与购买的数量（本）之间的关系式是 故答案为：． 9．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲骑自行车以的速度先出发，小时后，乙开车以的速度出发．两人之间的距离与甲出发的时间的函数关系如图所示，当乙到达地时两人相距 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象，有理数的乘法运算的应用等知识．从图象中获得正确的信息是解题的关键． 由题意知，乙到达地用时，此时甲出发，则当乙到达地时两人相距，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，乙到达地用时， 此时甲出发， ∴当乙到达地时两人相距， 故答案为：． 10．如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等． 七张桌面分开可组合成不同的图形． 如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 11．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)设汽车行驶的时间为小时，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； (2)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1) (2)16小时 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）用油箱原有油量减去消耗的油量即可得到答案； （2）求出当时，自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，解得， ∴这辆汽车最多能行驶16小时． 12．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当，， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 13．节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水与滴水时间的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题． (1)容器内原有水多少升． (2)上午有几个小时水龙头关闭不严，请你计算当容器内显示水量升时是上午什么时间？ 【答案】(1)容器内原有水0.5升 (2)上午有3个小时水龙头关闭不严，当容器内显示水量升时是上午． 【分析】（1）根据函数的图象时，即可求解； （2）根据图象计算出流水速度，再列式，解出方程，即可作答．． 本题考查了一元一次方程，函数的图象，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象可知， 当时，， 即容器内原有水升． （2）解：， 设上午有个小时水龙头关闭不严，导致容器内显示水量升， ∴， 则， ∵开始时间是上午， ∴经过3小时应该是上午． ∴上午有3个小时水龙头关闭不严，当容器内显示水量3.5升时是上午． 14．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式； (2)求当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是多少？ (3)当油箱内剩余的油量为时，这台拖拉机已工作了几个小时？ 【答案】(1) (2) (3)这台拖拉机已工作了5个小时 【分析】本题主要考查函数的解析式，熟练掌握函数的相关概念是解题的关键． （1）根据“剩余油量=原有油量－消耗的油量”即可得出其函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算求解即可； （3）把代入（1）中函数关系式计算求解即可． 【详解】（1）解：根据“剩余油量=原有油量－消耗的油量”得：， ∴油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式为； （2）解：当时，， 所以，当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是 （3）解：当时，， 解得：， ∴这台拖拉机已工作了5个小时． 15．，两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 【答案】(1)2；； (2)千米小时 (3)见解析 【分析】本题考查了函数图象，路程和时间速度公式等． （1）路程不变的过程就是休息的过程，结合函数图象可得出点至点之间骑车人骑了千米； （2）根据路程等于速度乘以时间进行计算即可； （3）计算出时，时客车与地的路程，利用两点法继而得到图象． 【详解】（1）解：通过图象可知骑行人休息了两次，共休息了2小时，点至点之间骑车人骑了千米， 故答案为：2；；； （2）解：平均速度千米小时， 答：骑车人返回家时的平均速度是千米小时； （3）解：9点时客车从出发，此时距离地千米， 时，客车到达地，千米， 时，客车又到达地，千米， 如图所示： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 $$