专题01 数列（易错必刷60题12种题型专项训练）（期末复习专项训练）高二数学上学期湘教版

专题01 数列（易错必刷60题12种题型专项训练） 题型一　周期数列 题型二　等差数列的通项公式及其应用 题型三　等差数列性质的应用 题型四　等差数列前项和的比值问题 题型五　等差数列片段和的性质 题型六　等差数列的奇数项与偶数项和 题型七　等比数列的通项公式及其应用 题型八　等比数列性质的应用 题型九　等比数列片段和的性质 题型十　等比数列的奇数项与偶数项和 题型十一 求数列的前项和 题型十二 利用错位相减法求数列的前项和 题型一　周期数列 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，则的前2024项和为（   ） A．589 B．590 C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则数列前2023项的积为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．（23-24高二上·广西百色·期末）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 题型二　等差数列的通项公式及其应用 6．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知为递增的等差数列，，，则（   ） A． B． C． D．或 7．（23-24高二上·湖北孝感·期末）过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 9．（23-24高二上·河北沧州·期末）在等差数列中，p，，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·四川德阳·期末）等差数列满足，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 题型三　等差数列性质的应用 11．（22-23高二上·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 12．（23-24高二上·安徽合肥·期末）在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 13．（22-23高二下·广东汕尾·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 14．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知，均为等差数列，且，，，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 15．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知数列为等差数列，且，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四　等差数列前项和的比值问题 16．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二上·宁夏中卫·阶段练习）若两个等差数列和的前项和之比为，则 （    ） A． B． C． D． 19．（22-23高二下·湖北·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五　等差数列片段和的性质 21．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 22．（22-23高二下·内蒙古·期末）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．12 C．15 D．21 23．（22-23高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（     ） A．1240 B．1550 C．1860 D．2170 24．（22-23高二上·陕西汉中·期末）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 25．（22-23高二上·新疆喀什·期末）若为等差数列，其前n项和为，，，则（    ） A．10 B．14 C．16 D．18 题型六　等差数列的奇数项与偶数项和 26．（15-16高二上·广东深圳·期末）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是 A． B． C． D． 27．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 29．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则（    ） A．10 B． C． D．20 题型七　等比数列的通项公式及其应用 31．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 32．（22-23高二上·广东深圳·期末）在数列中，且，则（ ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·福建福州·期末）在正项等比数列中，，则数列的公比为（    ） A． B．4 C． D．2 34．（23-24高二上·山东青岛·期末）等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（    ） A．0或 B．2或 C．2 D．0或2 35．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型八　等比数列性质的应用 36．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 37．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 38．（23-24高二下·河南·期末）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（    ） A．4 B．3 C．1 D．2 39．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 40．（23-24高二上·湖北孝感·期末）若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（    ） A．4 B． C．6 D． 题型九　等比数列片段和的性质 41．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 42．（23-24高二上·河南开封·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．21 B．18 C．15 D．12 43．（23-24高二上·广西·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 44．（23-24高二上·河北保定·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A．144 B．324 C．400 D．364 45．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型十　等比数列的奇数项与偶数项和 46．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 47．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 48．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 49．（2025·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 50．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 题型十一 求数列的前项和 51．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 52．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 53．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式；(2)求取最大值时的值；(3)设，求． 54．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列的前n项和为，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和… 55．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型十二 利用错位相减法求数列的前项和 56．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 57．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数． 58．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 59．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 60．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列（易错必刷60题12种题型专项训练） 题型一　周期数列 题型二　等差数列的通项公式及其应用 题型三　等差数列性质的应用 题型四　等差数列前项和的比值问题 题型五　等差数列片段和的性质 题型六　等差数列的奇数项与偶数项和 题型七　等比数列的通项公式及其应用 题型八　等比数列性质的应用 题型九　等比数列片段和的性质 题型十　等比数列的奇数项与偶数项和 题型十一 求数列的前项和 题型十二 利用错位相减法求数列的前项和 题型一　周期数列 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再由此求出. 【详解】在数列中，，则， 因此数列数列的周期为3，所以. 故选：D 2．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，则的前2024项和为（   ） A．589 B．590 C． D． 【答案】C 【分析】由递推公式写出前项，发现数列是以4为周期的周期数列，从而利用周期可得结果. 【详解】因为， 所以，，， 而，所以数列是以4为周期的周期数列， 所以的前2024项和． 故选：C. 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：B. 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则数列前2023项的积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】先找到数列的周期，然后求得数列前2023项的积. 【详解】由，， 得， 所以数列是以为周期的周期数列，且， 故数列前2023项的积为. 故选：A. 5．（23-24高二上·广西百色·期末）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】结合题意：由，可得，，，， 所以数列是周期为3的周期数列， 因为，所以. 故选：B. 题型二　等差数列的通项公式及其应用 6．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知为递增的等差数列，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质和基本量法，列式求解. 【详解】因为为等差数列，，所以， 由，得或（舍），所以，. 故选：A 7．（23-24高二上·湖北孝感·期末）过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，过点的2023条弦构成公差为正数的等差数列，要使公差最大，必须使首项取到最短弦长，末项取到最长弦长，利用等差数列基本量运算即得. 【详解】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10， 最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下) 如图，过点且与垂直，过点另作弦,过点作于点， 在中，显然,而, 因，则得，即为过点的最短弦长. 要使公差d最大，则这2023条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项. 即，解得：，故公差的最大值为. 故选：B. 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 【答案】B 【分析】根据条件得出数列是以，的等差数列，即可求出结果. 【详解】由，得到，又， 所以数列是以，的等差数列，得到， 故选：B. 9．（23-24高二上·河北沧州·期末）在等差数列中，p，，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出首项和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出结果即可． 【详解】设等差数列的公差为d，则，， 两式相减得，则， 故选：C． 10．（23-24高二上·四川德阳·期末）等差数列满足，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，先根据条件列方程求出和，再利用等差数列的通项公式求即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由已知可得， 解得， 所以. 故选：B. 题型三　等差数列性质的应用 11．（22-23高二上·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：D 12．（23-24高二上·安徽合肥·期末）在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 【答案】B 【分析】利用等差公式下标和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列，，， 所以，即，解得. 故选：B. 13．（22-23高二下·广东汕尾·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以. 故选：C 14．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知，均为等差数列，且，，，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列， 因此，，所以的公差为1， 故， 故选：B 15．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知数列为等差数列，且，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先利用等差数列的性质可得，进而可得公差，再利用和公差求出. 【详解】由等差数列的下角标性质可知 ，得， ，得， 设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：D. 题型四　等差数列前项和的比值问题 16．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列前n项和的性质，可设、，计算即可得. 【详解】由，为等差数列，故可令、， 则. 故选：C. 17．（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，结合等差中项公式和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】 由两个等差数列，的前项和分别为，且， 根据等差数列的求和公式，可得. 故选：C. 18．（22-23高二上·宁夏中卫·阶段练习）若两个等差数列和的前项和之比为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列性质直接计算即可. 【详解】因为两个等差数列和的前项和之比为， 所以令，则. 故选：C 19．（22-23高二下·湖北·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由已知得，可设，， 则，， 即， 故选：. 20．（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为， 所以， 因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 所以， 故选：C 题型五　等差数列片段和的性质 21．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可. 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 22．（22-23高二下·内蒙古·期末）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．12 C．15 D．21 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可得. 【详解】设，则，， 因为为等差数列，所以，，也成等差数列， 则，解得． 故选：C 23．（22-23高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（     ） A．1240 B．1550 C．1860 D．2170 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和的性质得成等差数列，即可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列 所以，所以，解得. 故选：C. 24．（22-23高二上·陕西汉中·期末）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和得性质求解即可. 【详解】由题可知数列为等差数列， 所以有 得，解得， 故选：A 25．（22-23高二上·新疆喀什·期末）若为等差数列，其前n项和为，，，则（    ） A．10 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等差数列的性质得到，，成等差数列，即，代入求值即可. 【详解】为等差数列，由等差数列的性质得，，成等差数列， ∴，即， 解得：． 故选：D． 题型六　等差数列的奇数项与偶数项和 26．（15-16高二上·广东深圳·期末）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质列式计算即得. 【详解】等差数列共有项，偶数项之和， 奇数项之和，因此， 所以. 故选：A 27．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 28．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】 设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 29．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则（    ） A．10 B． C． D．20 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，求得，再由等差数列的求和公式，列出方程求得的值，结合通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为数列共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100， 可得，解得， 所以奇数项的和为，解得， 故． 故选：B. 题型七　等比数列的通项公式及其应用 31．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 【答案】A 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解. 【详解】解：∵等比数列中，，， 所以，解得. 又，可得与同号， 故. 故选：A. 32．（22-23高二上·广东深圳·期末）在数列中，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定公比，再利用通项公式求解. 【详解】因为，，则， 所以为等比数列，公比， 所以. 故选：D. 33．（23-24高二上·福建福州·期末）在正项等比数列中，，则数列的公比为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，然后将已知条件结合等比数列通项公式化简计算可得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故选：D 34．（23-24高二上·山东青岛·期末）等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（    ） A．0或 B．2或 C．2 D．0或2 【答案】A 【分析】利用等比中项及等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为成等比数列， 所以， 因为等差数列的首项为1，公差为， 所以，即，解得或. 故选：A. 35．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式列方程求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得， 所以. 故选：A. 题型八　等比数列性质的应用 36．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质求解． 【详解】由题意得，得，则. 由，得. 所以. 故选：B． 37．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解. 【详解】解：由是单调递增的等比数列且， 所以是的两个实数根，且， 得，故． 故选：C． 38．（23-24高二下·河南·期末）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（    ） A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质计算即可. 【详解】因为与的等比中项为2， 所以， 所以． 故选：D． 39．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，求得，结合，，成等差数列，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为等比数列满足，可得，解得， 又因为，，成等差数列，可得， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 40．（23-24高二上·湖北孝感·期末）若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列性质和等比数列通项公式求出答案. 【详解】由题意得， 又，故. 故选：C 题型九　等比数列片段和的性质 41．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：B 42．（23-24高二上·河南开封·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．21 B．18 C．15 D．12 【答案】A 【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出，得到答案. 【详解】因为为等比数列的前项和且， 所以成等比数列，即3，6，成等比数列， 所以，所以． 故选：A． 43．（23-24高二上·广西·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【分析】用等比数列基本量列方程组求解. 【详解】由题意，，设公比为q，，. 故选:D. 44．（23-24高二上·河北保定·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A．144 B．324 C．400 D．364 【答案】D 【分析】由等比数列的性质得到，，成等比数列，从而得到方程，求出答案. 【详解】因为，，成等比数列，所以， 即，解得． 故选：D 45．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和， 所以成等比数列， 由，得，则， 所以，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 所以. 故选：C. 题型十　等比数列的奇数项与偶数项和 46．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 47．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由等比数列中等价于公比或，结合前项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现无最大值不一定推得,继而选项可定. 【详解】充分性：设等比数列的公比为， ，， ， 可得或， 又， 当时，若为奇数，， ，，当为奇数时单调增，则无最大值， 当时， ，,单调增, 则无最大值； 必要性：当时，，又，则无最大值. 可得“”不是“无最大值”的必要条件； 由此可知“”是“无最大值”的充分不必要条件. 故选：A. 48．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 49．（2025·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到. 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 50．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 题型十一 求数列的前项和 51．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等差数列及其前项和的基本量的计算求出即可得解； （2）分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又， 所以， 解得， 所以. （2）由（1）知， 当时，，所以； 当时，， 所以当时，， 当时，. 综上，. 52．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 【答案】(1)(2)36(3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论的取值，结合等差数列的前项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）解：由题意知在等差数列中，，设公差为， 则，解得，则， 故， ∴通项公式为； （2）解：由（1）可得前项和， ∴当时，取最大值； （3）解：∵， ∴当时，得， 即时有，时有， 当时，， 当时， ， 综上所述. 53．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式；(2)求取最大值时的值；(3)设，求． 【答案】(1)(2)6(3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 54．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列的前n项和为，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和… 【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接利用数列前n项和与数列通项的关系求出数列的通项公式； （2）数列前3项都小于0，第4项等于0，从第5项开始都大于0，当时求和，和时，利用分组法求出数列的和． 【详解】（1）当时， 当时， 所以. （2）数列前3项都小于0，第4项等于0，从第5项开始都大于0， 当时，， ， 当时， 所以 55．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)(2). 【分析】（1）由解的方式解出，进而解出； （2）分类讨论去除绝对值解出即可. 【详解】（1）因为，且， 当时，， 得， 整理得：， 所以为首项是，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以当时，，当时，； 所以当，， 当时，， 而， 所以. 题型十二 利用错位相减法求数列的前项和 56．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）分和两种情况，根据前n项积与之间的关系分析求解； （2）由（1）可知，利用错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，，可得； 且符合，所以． （2）由（1）可知， 则，可得， 两式相减得， 所以． 57．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数． 【答案】(1)证明见解析(2)1 【分析】（1）变形给定等式，利用等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和，结合恒成立即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 即，又， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）知，， ， 则， 两式相减得， 因此，而，则，又恒成立，因此， 所以最小的整数为1. 58．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由构造得，又，可证数列是等比数列； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）由，得，即， 又，有， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则有， ， ， ①-②得 ， ，即. 59．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据给定条件，结合数列第项与前项和的关系变形，再利用等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由时，，知数列是等差数列， 由得，知数列的公差为1， 则， ， 当时，，且也满足上式，， ，由为定值，知数列是等比数列. （2）易得， 则 则 两式相减得， 化简得. 60．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求； （2）利用数列的错位相减，可得结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由， 得，作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$