清单03 圆锥曲线与方程（考点清单，知识导图+14个考点清单+题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期湘教版

清单03 圆锥曲线与方程 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 【清单02】椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 【清单03】点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 【清单04】直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【清单05】直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【清单06】双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 【清单07】求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 【清单08】双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 【清单09】双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 【清单10】直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 【清单11】抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【清单12】焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【清单13】直线与抛物线的位置关系 以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【清单14】直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 结论如下： 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【考点题型一】椭圆的定义与标准方程 技巧：（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【例1】椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 技巧：求椭圆中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积s=b2×tanθ/2. 【例2】已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（    ） A． B． C． D．3 【变式2-1】已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式2-3】已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（     ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．外接圆的面积为 【考点题型三】离心率的值及取值范围 技巧：求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【例3】若椭圆上存在四个点到的距离相等，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，过其左焦点的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】椭圆的简单几何性质问题 技巧：椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 【例4】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 【变式4-3】已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-4】已知点为椭圆上一点，过原点的直线交椭圆于两点，为椭圆上另一动点，若，则（    ） A．2 B． C．0 D．1 【考点题型五】直线与椭圆的位置关系 技巧：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【例5】曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知直线，椭圆，直线与椭圆交于点、，点在第三象限，与交于点，设是坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知两定点，，直线：，在上满足的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5-3】直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式5-4】已知点和点，若直线上存在点，可使，则称该直线为“D型直线”．下列四条直线中： ①；②；③；④． “D型直线”的条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型六】双曲线的定义及标准方程 技巧：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 【例6】设为实数，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点题型七】双曲线的简单几何性质 技巧：对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 【例7】过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，则（   ） A．双曲线的实轴长为2 B．当轴时， C．当时，这样的直线有3条 D．当时，这样的直线有4条 【变式7-1】已知双曲线E：的左、右焦点别为，，过点的直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，则（    ） A．若E的离心率为，则E的实轴长为1 B．若E的两条渐近线相互垂直，则 C．若，则 D．当a变化时，周长的最小值为16 【变式7-2】已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【变式7-3】已知双曲线，则（    ） A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则 【变式7-4】已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 【考点题型八】求双曲线离心率的值或范围 技巧：求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【例8】已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知直线l： 与双曲线C：的右支交于点M，OM（O是坐标原点）的垂直平分线经过C的右焦点，则C的离心率为（　　） A． B．＋1 C． D． 【变式8-3】点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-4】已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】抛物线的定义及标准方程 技巧：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 【例9】抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为5，则切线长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【变式9-2】已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-4】若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】抛物线距离和与差的最值问题 技巧：结论：抛物线最值问题关键①内连准线，外连焦点 ②三点共线 Ⅰ当为抛物线内任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，（内部连准线） Ⅱ当为抛物线外任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，即最小，（外部连焦点） 【例10】已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式10-1】已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【变式10-2】已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-3】已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式10-4】若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【考点题型十一】抛物线的几何性质 技巧：1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 4、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 5、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 6、参数方程 的参数方程为（参数） 7、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 8、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 9、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【例11】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线于点，交轴于点，下列说法正确的有（   ） A． B．直线QB与也相切 C． D．若，则 【变式11-1】已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点（点在第一象限内），则（    ） A． B．的最小值为1 C．（为原点）的最大值为 D．的最小值不可能为6 【变式11-2】已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 【变式11-3】已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离是4 B．若的方程是，则的面积为3 C．若的中点到直线的距离为3，则 D．若点在直线上，则 【变式11-4】过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（   ）． A． B． C．以为直径的圆与轴相切 D． 【考点题型十二】中点弦及焦半径问题 1、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 2、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 【例12】已知抛物线为其焦点，点在上，且三角形的面积，（为坐标原点））. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线与相交于两点，若线段的垂直平分线与相交于两点.求证：四点在同一圆上. 【变式12-1】已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，． (1)求E的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程． 【变式12-2】已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【变式12-3】已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上. (1)求抛物线和直线的方程； (2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程. 【变式12-4】已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为. (1)证明：； (2)已知点，求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 圆锥曲线与方程 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 【清单02】椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 【清单03】点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 【清单04】直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【清单05】直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【清单06】双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 【清单07】求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 【清单08】双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 【清单09】双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 【清单10】直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 【清单11】抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【清单12】焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【清单13】直线与抛物线的位置关系 以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【清单14】直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 结论如下： 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【考点题型一】椭圆的定义与标准方程 技巧：（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【例1】椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可知椭圆的焦点在轴上，且， 则，故椭圆焦点的坐标为. 故选：D. 【变式1-1】求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由题意可知，， 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 【变式1-2】若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆右焦点坐标为，所以，且椭圆焦点在轴上，故. 故选：B. 【变式1-3】已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为，由题意， 两式相加可得， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以，所以椭圆方程为． 故选：A. 【变式1-4】已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 【考点题型二】椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 技巧：求椭圆中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积s=b2×tanθ/2. 【例2】已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故选：C 【变式2-1】已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，由椭圆定义可知，且，又， 利用余弦定理可知： ，化简可得， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理可得，可得， 易知的周长为， 利用等面积法可知， 解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以， 即可得，所以，离心率. 故选： 【变式2-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【详解】椭圆中，，所以焦点， 当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示： 代入于椭圆方程，则，所以，所以； 当时，如下图所示： 设，由条件可知，解得， 所以； 综上，的面积为或， 故选：D. 【变式2-3】已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为， 所以. 故选：A 【变式2-4】已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（     ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．外接圆的面积为 【答案】D 【详解】椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，则，， 对A，根据椭圆定义可得， 则①， 在中，由余弦定理得 ②， 由①②可得， 所以的面积为，故A错误； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，故B错误； 对C，由A知的面积为， 则，解得，故C错误； 对D，设外接圆的半径为r， 由正弦定理，得，所以， 所以外接圆的面积，故D正确. 故选：D. 【考点题型三】离心率的值及取值范围 技巧：求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【例3】若椭圆上存在四个点到的距离相等，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆上的点，则由椭圆的方程有：， 椭圆上的点到的距离为：， 所以 ， 椭圆上存在四个点到的距离相等， 所以方程有两个解， 则， 解得，所以， 所以，故离心率的取值范围为.故选：D. 【变式3-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 【变式3-2】已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，令，则 ∵，∴， 即，∴，, 在△中，， 在△中，， ∴， ∴. 故选：A. 【变式3-3】椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点Q的坐标为，因为F关于直线的对称点Q， 所以，即，解得， 所以点Q的坐标是， 因为点Q在椭圆上，所以，得， 又，即，所以 所以该椭圆的离心率是. 故选：C 【变式3-4】已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，过其左焦点的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的周长为16，故，故， 而离心率为，故，故，故椭圆方程为：， 故选：C. 【考点题型四】椭圆的简单几何性质问题 技巧：椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 【例4】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 【变式4-1】已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆方程可得其焦点坐标为，即； 又双曲线离心率为，可得，可知； 则， 所以双曲线C的方程. 故选：D 【变式4-2】已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 【答案】C 【详解】由题意解得，所以． 故选：C． 【变式4-3】已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】设，，则， 将A，B的坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形为， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 【变式4-4】已知点为椭圆上一点，过原点的直线交椭圆于两点，为椭圆上另一动点，若，则（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】设点，则， 即，又， 则， 因为，所以． 故选：C.    【考点题型五】直线与椭圆的位置关系 技巧：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【例5】曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线. 当曲线为圆时，即， 此时与曲线有三个交点，不符合题意； 当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内， 即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：， 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式5-1】已知直线，椭圆，直线与椭圆交于点、，点在第三象限，与交于点，设是坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立与，将代入可得： ，则， 所以点坐标为. 求直线与椭圆的交点、的坐标（设） 联立与椭圆，将代入可得： 因为在第一象限，所以，，即. 由椭圆对称性和可得. 即，转化成坐标即.即，解得. 故选：B. 【变式5-2】已知两定点，，直线：，在上满足的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】若设，因为定点，，且， 所以点在焦距为2，长轴长为4的椭圆上，即在椭圆：上． 因为直线：过点，且点为椭圆内一点． 所以直线与椭圆有两个交点． 即在上满足的点有2个． 故选：C    【变式5-3】直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【详解】直线和均过， 结合图象可知直线与椭圆的公共点个数为2个. 故选：C. 【变式5-4】已知点和点，若直线上存在点，可使，则称该直线为“D型直线”．下列四条直线中： ①；②；③；④． “D型直线”的条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】点和点，点满足， 根据椭圆定义知点的轨迹是以和为焦点，的椭圆， 点的轨迹方程为， ，， 由题意知“D型直线”与点的轨迹有交点， 对于①，点在直线上，而点在椭圆的内部， 所以直线与椭圆有交点，故①正确； 对于②，直线过原点，而原点在椭圆的内部， 所以直线与椭圆有交点，故②正确； 对于③，因为，所以与没有交点，故③错误； 对于④，因为，所以与没有交点，故④错误. 所以①②正确. 故选：B. 【考点题型六】双曲线的定义及标准方程 技巧：求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 【例6】设为实数，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，解得， 又， 故，所以焦距为. 故选：B. 【变式6-1】椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 可得其焦点坐标为：，顶点坐标 所以椭圆长轴端点坐标：，焦点坐标为， 所以椭圆方程为：， 故选：C 【变式6-2】若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，椭圆的半焦距为， 所以，解得. 故选：D 【变式6-3】已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，且焦点在轴上， 即，可得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 【变式6-4】“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 【考点题型七】双曲线的简单几何性质 技巧：对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 【例7】过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，则（   ） A．双曲线的实轴长为2 B．当轴时， C．当时，这样的直线有3条 D．当时，这样的直线有4条 【答案】ABD 【详解】双曲线的，则， 所以双曲线的实轴长为2，故A正确； 当轴时，与双曲线的右支的交点为,，所以，故B正确； 由于当轴时，，又因为双曲线的实轴长为2， 故当时，则直线与双曲线左右各有一个交点且斜率存在，这样的直线有且仅有两条，故C不正确； 则当时，则直线与双曲线左右各有一个交点且斜率存在，这样的直线有两条； 过右焦点与双曲线右支有两个交点时，也满足，且有两条， 综上，当时，这样的直线有4条，故D正确. 故选：ABD. 【变式7-1】已知双曲线E：的左、右焦点别为，，过点的直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，则（    ） A．若E的离心率为，则E的实轴长为1 B．若E的两条渐近线相互垂直，则 C．若，则 D．当a变化时，周长的最小值为16 【答案】BCD 【详解】对于A，由题可得，，， ，解得，所以实轴长为2，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线为，两渐近线垂直，则， 解得，故B正确； 对于C，因为，所以， 又，则， 两式相减可得，，故C正确； 对于D，由，， 两式相加得，又， 所以的周长为， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD.    【变式7-2】已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【答案】AB 【详解】由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A正确； 离心率为，故B正确； 令，即其渐近线方程为，故C错误； 不妨设，则其到渐近线的距离为，故D错误. 故选：AB 【变式7-3】已知双曲线，则（    ） A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则 【答案】ABC 【详解】由双曲线可得， 所以实轴长为，故A对； 离心率为，故B对； 令，可得渐近线方程为和，斜率分别为1和-1， 所以斜率之积为-1，所以两直线垂直，其夹角为，故两渐近线夹角的正切值不存在，故C对； 把直线代入双曲线中，消y，得, 当时，即时，直线与双曲线相交有一个交点， 当，时，即，解得，直线与双曲线相切，有一个交点， 所以直线与曲线有且仅有一个公共点，则或，故D错； 故选：ABC 【变式7-4】已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则 ，可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 【考点题型八】求双曲线离心率的值或范围 技巧：求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【例8】已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 则点到直线的距离， 可得， 又因为分别为的中点，则， 即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式8-1】已知双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，,则 的离心率 . 故选：A. 【变式8-2】已知直线l： 与双曲线C：的右支交于点M，OM（O是坐标原点）的垂直平分线经过C的右焦点，则C的离心率为（　　） A． B．＋1 C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，直线，OM的垂直平分线经过C的右焦点， 则， 如图，    则， 所以，所以， 结合，可得， 所以， 则. 故选：C. 【变式8-3】点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】设，， 则，① 又因为，所以，② 得，所以， 又因为的面积是9， 所以，所以． 又因为双曲线的离心率， 所以，，所以，所以． 故选：D. 【变式8-4】已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：B 【考点题型九】抛物线的定义及标准方程 技巧：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 【例9】抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，故，则， 故焦点坐标为， 故选：C 【变式9-1】已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为5，则切线长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】 抛物线的准线方程为， 不妨设点在第一象限，设， 点到的准线的距离为5，，即，， ，， ，. 故选：D. 【变式9-2】已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为抛物线，即为，其焦点坐标为， 即椭圆的一个焦点为，可知，且焦点在y轴上， 又因为，即，可得， 所以椭圆方程为. 故选：D. 【变式9-3】若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于抛物线，，可得，，故该抛物线的焦点为， 由题意可知，椭圆的右焦点为，则，解得， 故选：B. 【变式9-4】若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，故抛物线的标准方程为：， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：. 【考点题型十】抛物线距离和与差的最值问题 技巧：结论：抛物线最值问题关键①内连准线，外连焦点 ②三点共线 Ⅰ当为抛物线内任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，（内部连准线） Ⅱ当为抛物线外任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，即最小，（外部连焦点） 【例10】已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】    由题意知圆心与抛物线的焦点重合为，抛物线的准线为， 过作抛物线准线的垂线，垂足为，则， 由，则为中点，故，， 又圆的半径为，则可得，    又， 当三点共线时，取得最小值为， 则可得， 故选：D． 【变式10-1】已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 【变式10-2】已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；    点到直线的距离为，到准线的距离为， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线和准线的距离之和为， 且点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D 【变式10-3】已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为， 又由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 设定点，满足成立，且 即恒成立， 其中，代入两边平方可得： ，解得， 所以定点满足恒成立， 可得， 如图所示，当且仅当在一条直线上时， 此时取得最小值， 即， 设，满足， 所以， ， 当时，等号成立， 故选：C. 【变式10-4】若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，准线， ，则，不妨设， 关于直线的对称点为， 由于，所以当三点共线时最小， 所以的最小值为. 故选：A      【考点题型十一】抛物线的几何性质 技巧：1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 4、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 5、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 6、参数方程 的参数方程为（参数） 7、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 8、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 9、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【例11】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线于点，交轴于点，下列说法正确的有（   ） A． B．直线QB与也相切 C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 不妨设点在第一象限，且，如图， 因为，所以， 则有点处的切线方程为：，即， 令，于是，则，选项A正确； 同理有点B处的切线方程为：，交轴于， 当时直线才是抛物线的切线，否则直线不是抛物线C的切线，故B错误； 设直线的方程为：，由可得， 所以，，所以，故C正确； 由A可知，为等腰三角形，且，于是， 则，又，解得，则，选项D正确， 故选：ACD 【变式11-1】已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点（点在第一象限内），则（    ） A． B．的最小值为1 C．（为原点）的最大值为 D．的最小值不可能为6 【答案】AC 【详解】对于选项A，因为点在上，所以，得到，所以，故选项A正确， 对于选项B，易知直线斜率不为，设， 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由，消得到， 由韦达定理得， 又， 当直线的斜率不存在时，， 所以，故选项B错误， 对于选项C，当直线的斜率不存在时，， 此时， 当直线的斜率存在时，设， 则， 又 ， 由选项B知，， 所以， 易知，时，，时，， 又的两根为或， 可得， 所以，所以选项C正确， 对于选项D，， 由选项B知，当直线的斜率存在时，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时斜率存在，所以选项D错误， 故选：AC. 【变式11-2】已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 【答案】AC 【详解】由题意，不妨设点A在B点上方，直线与x轴交点， 又经过的焦点，可得，即抛物线方程为，A正确． 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以或4，B错误． 由上，若，可知， 可得，则，即，C正确． 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误. 故选：AC 【变式11-3】已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离是4 B．若的方程是，则的面积为3 C．若的中点到直线的距离为3，则 D．若点在直线上，则 【答案】BD 【详解】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2，故A错误； 对于选项B，由得，解得或， 所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确； 对于选项C，因为的中点到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误； 对于选项D，设：，，， 由得，，，， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 【变式11-4】过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（   ）． A． B． C．以为直径的圆与轴相切 D． 【答案】ACD 【详解】由题意可设过点的直线l的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 即，所以，， ， 所以，所以，故B错误； 设，设直线的方程为，令，所以， , 所以直线的斜率为，所以，故A正确. 因为，所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆心到轴的距离为，所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 由抛物线的定义知：， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 【考点题型十二】中点弦及焦半径问题 1、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 2、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 【例12】已知抛物线为其焦点，点在上，且三角形的面积，（为坐标原点））. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线与相交于两点，若线段的垂直平分线与相交于两点.求证：四点在同一圆上. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）因为点在上，则，而， 所以， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2） 设，又直线的方程为， 联立，消去化简并整理得， 则，故的中点为， ， 因为直线的斜率为1， 所以直线的斜率为，则直线的方程为，即， 将上式代入，消去化简并整理得， 设，则， 故的中点为， ， 连接，因为， ， ， 所以. 故四点在同一圆上. 【变式12-1】已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，． (1)求E的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）由题意可知：，直线的斜率存在且不为0， 此时直线AB、CD均与抛物线相交，    设，则， 联立方程，消去可得， 则， 可得， 若，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为，即， 可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知：，，， 且， 则，即， 同理可得：， 由题意可知：， 则， 因为，解得， 则，，即，. 【变式12-2】已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 【变式12-3】已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上. (1)求抛物线和直线的方程； (2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得： 所以抛物线为：， 又直线的斜率为1，所以直线方程为：，即. （2）由（1）设直线的方程为， 由消去x得：，有，解得， 设，则，于是线段的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得，符合题意， 所以直线的方程为. 【变式12-4】已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为. (1)证明：； (2)已知点，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）设，，所以 所以， 又，，所以. （2）设直线的方程为，即， 联立，整理得， 所以，解得， ，， 则 . 又点A到直线的距离为， 所以， 记，因为，所以， 所以，． 令，，则，令，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$