清单02 平面解析几何初步（考点清单，知识导图+14个考点清单+题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期湘教版

清单02 平面解析几何初步 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【清单02】斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 【清单03】两直线平行的条件两直线垂直的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 设两条直线的斜率分别为．若，则． 【清单04】五大直线方程 直线的点斜式方程 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 直线的斜截式方程 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 直线的两点式方程 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 直线的截距式方程 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 直线方程的一般式 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 【清单05】直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 【清单06】过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【清单07】三类距离公式 两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 两平行线间的距离 ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 【清单08】圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 【清单09】点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【清单10】圆的一般方程 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 【清单11】直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 【清单12】圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 【清单13】求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【清单14】两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【考点题型一】已知两点求斜率、已知斜率求参数 技巧：由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【例1】过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 【变式1-1】经过点和的直线的倾斜角为，则（    ） A．3.5 B．8 C．-2 D．2 【答案】D 【详解】依题意，直线的斜率为，解得. 故选：D. 【变式1-2】过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【答案】A 【详解】依题意，，所以. 故选：A 【变式1-3】已知点，，则直线的斜率为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】根据题意可得直线的斜率. 故选：C． 【变式1-4】过点和点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知直线的斜率， 设直线倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 【考点题型二】直线与线段相交关系求斜率范围 技巧：直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【例2】设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】，， 数形结合知，直线的斜率需满足， 即. 故选：D 【变式2-1】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有公共点， 结合图可知，. 故选：C 【变式2-2】已知点，，若过点的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，如下图示， 所以. 故选：C 【变式2-3】已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 【答案】D 【详解】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率， 因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4]. 故选：D． 【变式2-4】已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点， 直线的斜率，直线的斜率， 直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或， 即或，所以直线l的斜率的取值范围为. 故选：D. 【考点题型三】五大直线方程 技巧：方程由直线上一定点及其斜率决定 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定， 经过两点（其中）的直线方程为 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为， 【例3】已知直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记直线的倾斜角为，由题知，又，所以，即. 故选：D. 【变式3-1】直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即该直线斜率为. 则其倾斜角为. 故选：D. 【变式3-2】已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为直线的方向向量为， 所以直线的斜率为，即， 又倾斜角，所以. 故选：D 【变式3-3】直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：B 【变式3-4】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上， 所以，解得，所以直线方程为， 故所求直线方程为或. 故选：D. 【考点题型四】中点坐标公式及直线所过定点 技巧：（1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 合并参数，另参数的系数为零解方程． 【例4】已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点， 故选：. 【变式4-1】已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，即， 则直线过定点， ，，， ，， 直线与线段（含端点）有公共点， 或，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D． 【变式4-2】当点到直线的距离最大时，直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可化为， 令，解得，即直线过定点， 则当时，点到直线的距离最大， 即有，解得， 此时直线为， 化简得. 故选：A. 【变式4-3】对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 【变式4-4】已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 即直线过定点，设为P， 结合，则，    直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或，即或， 故m的范围为， 故选：D 【考点题型五】过两条直线交点的直线系方程 技巧：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【例5】直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 【变式5-1】过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式5-2】过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D 【变式5-3】过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 【变式5-4】若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【考点题型六】对称问题 技巧：（1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 【例6】已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又的中点在直线l上， 所以直线l的方程为，即， 故选：A 【变式6-1】已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设对称点坐标，由题意知直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为-1， 所以，化简得，① 再由的中点在直线上，，化简得，② 联立①②，可得，所以对称点的坐标为. 故选：A. 【变式6-2】已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得， 即，相互平行，的斜率为， 故. 故选：C. 【变式6-3】点与点关于直线l对称，则l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点与点直线的斜率为，则直线l的斜率为， 点与点的中点为， 所以直线l的方程为，即. 故选：B 【变式6-4】已知原点与点关于直线对称，则在轴上的截距为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可知，直线为线段的垂直平分线， 所以，，则，中点为，则的方程为， 当时，，则在轴上的截距为. 故选：B. 【考点题型七】三类距离公式 技巧：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 两平行线间的距离 ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 【例7】已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为；点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 【变式7-1】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式7-2】平行直线与之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】由，得， 又，所以由两平行线间的距离. 故选：C. 【变式7-3】已知函数，给出下列四个判断：①的图像是轴对称图形；②方程有实数解．以下判断正确的是（    ） A．①正确②不正确 B．①不正确②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【详解】因为函数， 所以的几何意义为：在x轴上运动的点到定点和的距离差的绝对值，即    如图，由图可知当在处时，取得最小值为0， 当往两边运动时，无线接近，但是， 对于①，由上可知的图像是轴对称图形，对称轴为直线，故①正确； 对于②，由上可知，且在上单调递减， 所以在区间上的值域为， 所以， 因为，所以， 所以无实数解，故②错误. 故选：A. 【变式7-4】已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 【考点题型八】线段和与差的最值问题 技巧：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； （3）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； 【例8】已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点关于直线对称， 从而，等号成立当且仅当三点共线， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式8-1】已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线,直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为, 故选：D. 【变式8-2】过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【详解】由题意可知，直线经过定点， 直线即，经过定点， ∵过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直， P又是两条直线的交点，则有，∴. 因， 故的周长为，（当且仅当时等号成立） 即周长的最大值为. 故选：B. 【变式8-3】点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 【变式8-4】在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，因为，关于直线对称， 所以，可得：. 所以，，所以. 当时，； 当时，，此时，所以. 当时，，此时， 所以，故. 综上所述：，故的最大值为. 故选：D. 【考点题型九】圆的两种方程 技巧：圆的标准方程，其中为圆心，为半径． 圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 【例9】已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 【变式9-1】以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 【变式9-2】若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在圆外，则，解得. 故选：B. 【变式9-3】已知点，点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，圆心为线段的中点， 圆的半径为， 因此，所求圆的方程为. 故选：B. 【变式9-4】已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由于为线段的中点，， 故， 将代入中，得 ， 化简得. 故选：A 【考点题型十】点与圆的位置关系 技巧：如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【例10】已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 【变式10-1】若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的圆心为，半径为1， 与的距离为， 要想圆上总存在两个点到点的距离为2， 则，即，解得. 故选：B 【变式10-2】点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 【变式10-3】已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外. 故选：C. 【变式10-4】已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断 【答案】A 【详解】由题意，圆心，点，圆的半径为， 因为， 因此，点在圆内. 故选：A. 【考点题型十一】切线与切线长弦长问题 技巧：1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【例11】若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，可画如下示意图，其中，且， 要使最小，即最小，而， 若，则，此时，故. 故选：C 【变式11-1】已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】C 【详解】对于A选项，直线的方程可化为， 由可得，所以，直线恒过定点，A错； 对于B选项，因为，则点在圆内， 所以，直线与圆有两个交点，B错； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得， 圆心为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线、都与圆相交， 所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对； 对于D选项，因为直线与直线平行， 则，解得， 即点在直线上，连接，则， 由勾股定理可得， 当直线与直线垂直时，取最小值， 且，则，D错. 故选：C. 【变式11-2】若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径 四边形中，， 则，整理得， 又， 最小值即为圆心到直线的距离， 则 故选：D 【变式11-3】过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 【变式11-4】已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【考点题型十二】由直线与圆的位置关系及圆的位置关系确定参数 ①直接联立求解． ②利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【例12】已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． (1)当四边形PAMB的面积为时，求点P的坐标； (2)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或(2)存在，， 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 四边形面积= ，于是， 所以，解得或， 所以点P的坐标为或． （2）设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为， 即，   由，解得或， 所以圆过定点，． 【变式12-1】已知直线过点，且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)若圆心为的圆与直线相交于A、B两点，且为正三角形，求的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）直线的斜率为， 由于直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）由圆，即，， 则圆心，半径为， 由题意为正三角形， 则圆心到直线的距离为， 则，解得.    【变式12-2】若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. （2）由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为.    【变式12-3】设为实数，直线与圆相交于两点. (1)若弦的中点坐标为，求的取值范围及直线的方程； (2)若直线，，求圆的半径. 【答案】(1)的取值范围为,直线的方程为(2) 【详解】（1）将化为， 即该圆的圆心为，半径为， 因为弦的中点为，所以在圆的内部， 即，解得，又，所以； 因为，且，所以， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得圆的圆心为，半径为， 由，可得圆心到直线的距离， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以圆的半径为.. 【变式12-4】已知圆的圆心在直线上. (1)求圆心的坐标，并写出圆标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，且，求的值. 【答案】(1)，圆的标准方程为(2)或 【详解】（1）由圆的一般方程可知，圆心为， 由题意可知，圆心在直线上，则，解得， 所以，圆的一般方程为， 化为标准方程为，圆心为. （2）由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 平面解析几何初步 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【清单02】斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 【清单03】两直线平行的条件两直线垂直的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 设两条直线的斜率分别为．若，则． 【清单04】五大直线方程 直线的点斜式方程 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 直线的斜截式方程 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 直线的两点式方程 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 直线的截距式方程 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 直线方程的一般式 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 【清单05】直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 【清单06】过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【清单07】三类距离公式 两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 两平行线间的距离 ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 【清单08】圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 【清单09】点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【清单10】圆的一般方程 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 【清单11】直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 【清单12】圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 【清单13】求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【清单14】两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【考点题型一】已知两点求斜率、已知斜率求参数 技巧：由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【例1】过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【变式1-1】经过点和的直线的倾斜角为，则（    ） A．3.5 B．8 C．-2 D．2 【变式1-2】过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【变式1-3】已知点，，则直线的斜率为（   ） A． B． C．3 D．2 【变式1-4】过点和点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】直线与线段相交关系求斜率范围 技巧：直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【例2】设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-1】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知点，，若过点的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 【变式2-4】已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】五大直线方程 技巧：方程由直线上一定点及其斜率决定 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定， 经过两点（其中）的直线方程为 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为， 【例3】已知直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【考点题型四】中点坐标公式及直线所过定点 技巧：（1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 合并参数，另参数的系数为零解方程． 【例4】已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】当点到直线的距离最大时，直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】过两条直线交点的直线系方程 技巧：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【例5】直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【变式5-1】过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式5-2】过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【变式5-4】若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】对称问题 技巧：（1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 【例6】已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 【变式6-3】点与点关于直线l对称，则l的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】已知原点与点关于直线对称，则在轴上的截距为（    ） A．5 B． C． D． 【考点题型七】三类距离公式 技巧：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 两平行线间的距离 ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 【例7】已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式7-1】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】平行直线与之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【变式7-3】已知函数，给出下列四个判断：①的图像是轴对称图形；②方程有实数解．以下判断正确的是（    ） A．①正确②不正确 B．①不正确②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【变式7-4】已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】线段和与差的最值问题 技巧：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； （3）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； 【例8】已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【变式8-1】已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【变式8-2】过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．8 【变式8-3】点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式8-4】在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 【考点题型九】圆的两种方程 技巧：圆的标准方程，其中为圆心，为半径． 圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 【例9】已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知点，点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】点与圆的位置关系 技巧：如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【例10】已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【变式10-1】若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【变式10-3】已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【变式10-4】已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断 【考点题型十一】切线与切线长弦长问题 技巧：1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【例11】若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【变式11-2】若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-4】已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】由直线与圆的位置关系及圆的位置关系确定参数 ①直接联立求解． ②利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【例12】已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． (1)当四边形PAMB的面积为时，求点P的坐标； (2)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式12-1】已知直线过点，且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)若圆心为的圆与直线相交于A、B两点，且为正三角形，求的值. 【变式12-2】若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【变式12-3】设为实数，直线与圆相交于两点. (1)若弦的中点坐标为，求的取值范围及直线的方程； (2)若直线，，求圆的半径. 【变式12-4】已知圆的圆心在直线上. (1)求圆心的坐标，并写出圆标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，且，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$