专题03 圆锥曲线与方程（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）（期末复习课件）高二数学上学期湘教版

串讲03 圆锥曲线与方程 高二湘教版（24-25学年）数学选择性必修一期末考点大串讲 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　椭圆的定义与标准方程 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　 离心率的值及取值范围 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　椭圆的简单几何性质问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　直线与椭圆的位置关系 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　双曲线的定义及标准方程 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　双曲线的简单几何性质 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　求双曲线离心率的值或范围 技巧点拨 举一反三 题型九　抛物线的定义及标准方程 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型十　抛物线距离和与差的最值问题 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型十一　抛物线的几何性质 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型十二　中点弦及焦半径问题 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在致错 03易错易混 易错点2　忽略圆锥曲线几何性质致错 03易错易混 易错点3　有关椭圆方程求参数范围问题忽略分母不等致错 04押题预测 D D B C B 谢谢观看！ 【解析】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是． 故选：C 【解析】对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4， 由椭圆的定义可得, 又，故. 故选：A. 【解析】根据条件可得故 则根据椭圆定义可知 当即在椭圆上下顶点时，取到等号， 的最小值为. 求椭圆中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积s=b2×tanθ/2. 【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，椭圆方程，可得， 所以焦点， 又由椭圆的定义，可得，因为，所以， 在中，由余弦定理可得, 所以，解得， 又由，所以. 故选:C． 例3、设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________． 【解析】是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为， 可得，所以，即，所以，解得， 所以． 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【变式】已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【解析】由题可知，，设， 由点P在椭圆上，得， 所以， 可得，所以． 例4、若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆C的焦点在X轴上，则 【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长，短轴长 离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁） 【变式】若椭圆的焦距为6，则k的值为______． 【解析】因为椭圆的焦距为6，所以c＝3． 当椭圆的焦点在x轴上时，因为，，所以，解得k＝31； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为，，所以，解得k＝49． 综上所述，k的值为31或49． 例5、点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 设直线交椭圆于点，两点，则 【变式】如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点， 求实数a的取值范围. 【解析】由题知直线l：过定点， 因为直线l：与椭圆C：（）总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内， 所以，由于，所以， 所以实数a的取值范围是 例6、若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______. 【解析】双曲线标准方程为，则， 由双曲线定义知：，则. 故答案为：. 在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大于0且 ）的动点 的轨迹叫作双曲线．这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 1、当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 ； 2、当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 【变式】若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】椭圆的焦点坐标为 所以双曲线的焦点在轴上，， 因为，所以， 所以双曲线的标准方程为 故选：A 例7、双曲线的焦点到其渐近线的距离等于________． 解析∵双曲线方程为：，则 解法一：不妨取焦点坐标为，渐近线为，即 ∴焦点到其渐近线的距离 解法二：根据结论焦点到其渐近线的距离为 故答案为：1． 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 【变式】若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为                         （    ） A． B．6 C． D．8 【解析】双曲线的一条渐近线方程为， 由两直线垂直得，， ，所以双曲线的焦点坐标为 ， 虚轴一个顶点坐标为， 故选：C 例8、已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【解析】∵双曲线的渐近线方程为， ∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得. ∴双曲线的离心率为. 故选:C. 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【变式】已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G､H两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】，当时，，，不妨取，， 是等腰三角形且为锐角三角形，则，即， ，即，，解得，故. 故选：B. 例9、已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【解析】由，可得其焦点，准线方程为， 因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，则，解得， 故选：C. 抛物线的定义 1、平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系 2、根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 【变式】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______． 【解析】抛物线C：的准线方程为，设，， 由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，所以． 故答案为：13 例10、已知A（2，1），抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】 抛物线的准线，过点P作垂直于准线，由题可知，△PAF的周长为, ，易知当三点共线时，△PAF的周长最小，且最小值为. 故选：C. 结论：抛物线最值问题关键①内连准线，外连焦点 ②三点共线 Ⅰ当为抛物线内任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，（内部连准线） Ⅱ当为抛物线外任意一点，为准线上一点，当三点共线时，则的最小，即最小，（外部连焦点） 【变式】已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线为， 所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于， 所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离， 故选：C. 例11、下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件； 对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足； 对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件； 对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件. 故选：AC 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为 【变式】抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【解析】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为， 到焦点的距离等于，故. 故选：B. 例12、已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【解析】设，，由，得，则． 又，即． 故选：A． 焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【变式】过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，则弦所在直线的方程为______． 【解析】显然不垂直于轴，故，设，，则，两式相减得． ∵点是弦的中点，∴，于是，即直线的斜率， 故弦所在直线的方程为，即． 故答案为： 1．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________. 【解析】【错解】设直线的方程为l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq \f(x1＋x2＋2,(x1＋1((x2＋1()＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1) ＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1. 答案：2　1 【错因】未考虑直线斜率不存在的情况， 【正解】由eq \f(p,2)＝1，得p＝2. 当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2， 此时|AF|＝|BF|＝2，所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1； 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程， 得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1， eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq \f(x1＋x2＋2,(x1＋1((x2＋1()＝eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1. 综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1. 答案：2　1 2．已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为(　　) A.eq \f(\r(218),3) B.eq \f(76,3) C．5 D．2eq \r(5) 【解析】【错解】选B　设P(x0，y0)，则由题意得eq \f(x\o\al(2,0),4)＋yeq \o\al(2,0)＝1，故xeq \o\al(2,0)＝4(1－yeq \o\al(2,0))， 所以|PA|2＝xeq \o\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \o\al(2,0))＋yeq \o\al(2,0)－8y0＋16＝－3yeq \o\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(4,3)))2＋eq \f(76,3)， 所以当y0＝－ 时，|PA|2取得最大值eq \f(76,3)，即|PA|的最大值为eq \f(\r(218),3) . 故选C. 【错因】忽略了椭圆中 ，本题中－1≤y0≤1， 【正解】选C　设P(x0，y0)，则由题意得eq \f(x\o\al(2,0),4)＋yeq \o\al(2,0)＝1，故xeq \o\al(2,0)＝4(1－yeq \o\al(2,0))， 所以|PA|2＝xeq \o\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \o\al(2,0))＋yeq \o\al(2,0)－8y0＋16＝－3yeq \o\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(4,3)))2＋eq \f(76,3)， 又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5. 3.若方程eq \f(x2,7－k)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为(　 ) A．(5,7) B．(5,6)　C．(6,7)　D．(5,6)∪(6,7) 【解析】【错解】选A　由题意可知 ，解得5＜k＜7. 【错因】未考虑椭圆方程中分母不等的情况， 【正解】选D　由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7－k＞0，,k－5＞0，,7－k≠k－5，))解得5＜k＜7且k≠6. 1．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 5．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． $$