专题02 平面解析几何初步（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）（期末复习课件）高二数学上学期湘教版

串讲02 平面解析几何初步 高二湘教版（24-25学年）数学选择性必修一期末考点大串讲 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点、明确复习目标 十二大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　已知两点求斜率、已知斜率求参数 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　直线与线段相交关系求斜率范围 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　五大直线方程 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　中点坐标公式及直线所过定点 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　过两条直线交点的直线系方程 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　对称问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　三类距离公式 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　线段和与差的最值问题 技巧点拨 举一反三 题型九　圆的两种方程 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型十　点与圆的位置关系 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型十一　切线与切线长弦长问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型十二　由直线与圆的位置关系及圆的位置关系确定参数 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错 03易错易混 易错点2　有关截距相等问题忽略截距为零致错 03易错易混 易错点3　已知两直线平行求参数的值未验证致错 04押题预测 C A B A A 谢谢观看！ 【解析】由题意得，即，所以， 故选：BCD． 【解析】（1）由，即，解得或， 经检验均符合题意，故m的值是1或2； （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为. 由已知，，则直线的斜率为. 【解析】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，由图可知直线的斜率的取值范围是．故答案为：． 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式】若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________. 【解析】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围， 如图，，则，，故的取值范围是. 例3、已知直线的倾斜角，且过点，则该直线的方程为 __． 【解析】直线的倾斜角，所以直线的斜率为 又因为直线过点， 所以直线的方程为， ． （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． （3）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （4）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． (5)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式】若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有______条. 【解析】依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为， ∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为， ∴，解得，或，或， 所以直线的条数为条． 故答案为： 例4、已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】由已知，AB中点为，又， ∴所求直线斜率为，故直线方程为，． 故选：C. 中点 （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 定点：合并参数，另参数的系数为零解方程． 【变式】不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【解析】原方程可化为，由直线恒过定点可知， ，解得，所以直线恒过定点 故选：B 例5、已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为， 故选：B 过点P的直线可以写成 的形式 【变式】求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程． 【解析】设过直线x+y+1＝0 与 2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0， 即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为 2， 解得 λ， ∴所求的直线方程为 2x+y+8＝0． 例6、点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______． 【解析】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为， 则，解得， 所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为． 故答案为： （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点 关于点 的对称点为 ，则根据中点坐标公式，有 可得对称点 的坐标为 （2）点关于直线对称 点 关于直线 对称的点为 ，连接 ，交 于 点，则 垂直平分 ，所以 ，且 为 中点，又因为 在直线 上，故可得 ，解出 即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线 ，关于直线 （两直线不平行）的对称直线 第一步：联立 算出交点 第二步：在 上任找一点（非交点） ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出 方程 【变式】已知直线，点． 求点关于直线的对称点； 【解析】设点关于直线l的对称点为，则这两点的中点为， 所以，解得m，n， 所以点关于直线l的对称点为； 例7、已知的顶点为，则边上的中线长为____． 【解析】设的中点为， 因为的顶点，， 则，又， 所以 ． 故答案为：． 两点间的距离公式为． 点到直线的距离为． 直线与直线的距离为． 【变式】设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______． 【解析】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点；则过点作直线，且， 则最大距离． 故答案为：． 例8、已知 ，点 在直线 上，则 的最小值为（       ） A． B．9 C．10 D． 【解析】依题意，点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，如图， 在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段， 则有，当且仅当点与重合时取“=”， 因此，， 所以 的最小值为10． 故选：C （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； （3）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； 【变式】在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______． 【解析】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得， 所以，， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 例9、与直线切于点，且经过点的圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【解析】设圆的方程为， 根据题意可得，解得， 所以该圆的方程为．故选：D． 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【解析】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B 例10、若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，解得或a＞3， 则实数a的取值范围是， 故选：C． 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【变式】已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解析】由点在圆外知，即，解得， 又为圆，则， 解得，故． 故选：D． 例11、已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________． 【解析】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即．又到的距离，故切线长的最小值是 故答案为： 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式】若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（       ） A．0 B．4 C． D． 【解析】由圆的方程可知圆心坐标为，半径． 又直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离． 又， 所以，解得或． 故选：AB 例12、已知圆上仅有一点到直线的距离为1，则实数a的值为（       ）． A．11 B． C．1 D．4 【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离． 因为圆上仅有一点到直线的距离为1， 所以圆的半径，解得． 故选：C． ①直接联立求解． ②利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【变式】若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切． 又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误． 故选：A． 1．求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离． 【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0， 则直线3x―y+5=0与6x―2y+3=0间的距离 ． 【错因】6x―2y+10=0与6x―2y+3=0中x、y的系数不对应相等，不能直接用公式。在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x、y的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形． 【正解】 经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0， 故它们之间的距离为 ． 2．直线l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为 【错解】因为直线l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为 , 则 ,所以 ,故直线l的方程为 ,即 .【答案】 。 【错因】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况. 【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为 ； 若直线l不过原点,设直线l的方程为 ,则 ,所以 , 故直线l的方程为 ,即 . 综上，直线l的方程为 或 . 3.已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________． 【错解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3 【错因】未验证a的值会不会使两直线平行。 【正解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去； 当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行． ∴a的值为3. 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建三明·期末）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，若直线与线段AB相交，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 5．（22-23高二下·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． $$