清单01 数列（考点清单，知识导图+13个考点清单+题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期湘教版

清单01 数列 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． （1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的． 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 【清单02】数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 【清单03】判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则 ⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列． 【清单04】求数列最大（小）项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项． 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【清单05】等差数列的通项公式及性质 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 【清单06】等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则： （，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值 ②当时，有最大值 【清单07】等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【清单08】等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 【清单09】等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【清单10】等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【清单11】等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【清单12】数列求通项 类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 【清单13】数列求和 公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【考点题型一】周期数列 技巧：常采用列举法探索多项之间的关系 【例1】已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 【答案】B 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 【变式1-1】意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 【变式1-2】已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】数列中，由，得， 因此数列是周期数列，周期为4，. 故选：C 【变式1-3】数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，当时，；当时，；当时，无周期性，故A错误； 对于B，当时，；当时，；当时，所以数列是以2为周期的周期数列，故B正确； 对于C，当时，；当时，；当时，无周期性，故C错误； 对于D，当时，；当时，；当时，无周期性，故D错误； 故选：B. 【变式1-4】在数列中，若，则下列数是中的项的是（   ） A．4 B．4 C． D．3 【答案】B 【详解】由，， ，可知以3为周期，依次为，显然B正确. 故选：B 【考点题型二】等差数列的通项公式及其应用 技巧：等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【例2】满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 【变式2-1】已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 【变式2-2】等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 所以. 故选：C 【变式2-3】已知是等差数列，且，则（   ） A．55 B．58 C．61 D．64 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为d， 已知 ， 作差得，即， 所以. 故选：C 【变式2-4】在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以. 故选：D 【考点题型三】等差数列性质的应用 技巧：根据集合之间关系，求参数的值或范围： 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【例3】已知等差数列中，，则=（     ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 故选：C. 【变式3-1】在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【详解】由题设， 所以. 故选：D 【变式3-2】公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式3-3】公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 【变式3-4】已知为等差数列，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列，所以， 解得， ， ， 故选：. 【考点题型四】等差数列前项和的比值问题 技巧：设，的前项和为，，则． 【例4】等差数列与的前项和分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列与均为等差数列， 则， 所以. 故选：C. 【变式4-1】已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，即， 所以． 故选：A. 【变式4-2】等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 【变式4-3】已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据等差数列前项和公式，当时，. 由等差数列性质，所以. 同理，对于数列，当时，. 又因为，所以. 已知，当时，. 而，所以. 故选：C. 【变式4-4】已知为等差数列的前n项和，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】，所以． 故选：B. 【考点题型五】求数列的前项和 技巧：已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． 【例5】-等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 【变式5-1】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 【详解】（1）解：由题意知在等差数列中，，设公差为， 则，解得，则， 故， ∴通项公式为； （2）解：由（1）可得前项和， ∴当时，取最大值； （3）解：∵， ∴当时，得， 即时有，时有， 当时，， 当时， ， 综上所述. 【变式5-2】已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，，可得, 令，即，解得， 所以，当时，；当时，， 因为，且数列的前项和， 当时，； 当时， ， 综上可得，数列的前项和. 【变式5-3】已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 若选择①②，由①，②， 则等差数列首项，公差， ； 若选择①③，由①，③，则，公差， 所以等差数列首项，公差， ； 若选择②③，由②，③，得， 所以等差数列首项，公差， ； （2）令，得，则前2项为负数，从第3项起为正数， . 【变式5-4】等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 【考点题型六】等差数列片段和的性质 技巧：连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【例6】已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A．44 B．52 C．68 D．84 【答案】D 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 【变式6-1】已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【详解】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列， 所以，，则， 故选：B. 【变式6-2】已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 【变式6-3】若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 【答案】C 【详解】∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴， ∴，∴． 故选:C. 【变式6-4】设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列， 且，，可知首项为4，公差为2， 所以. 故选：B. 【考点题型七】等差数列的奇数项与偶数项和 技巧：（1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【例7】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 【变式7-1】一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 【变式7-2】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 【变式7-3】已知等差数列的公差，，那么（    ） A．80 B．120 C．135 D．160 【答案】C 【详解】解：在等差数列中，公差，， 所以, 所以， 故选：C 【变式7-4】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 【考点题型八】等比数列的通项公式及其应用 技巧：等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【例8】等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A．588 B．448 C．896 D．224 【答案】B 【详解】因为等比数列的各项均为正数且，所以，可得或（舍） . 故选：B． 【变式8-1】已知公差不为0的等差数列的第3，6，10项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列为，公差为，由题意可知成等比数列，设公比为， 则，可得，两式作比可得，解得. 故选：C. 【变式8-2】已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由为等差数列，则，，， ，解得或（舍去）. 故选：C. 【变式8-3】若等差数列和等比数列满足，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，所以, 又因为是等比数列，设公比为,所以，所以， 则. 故选：A. 【变式8-4】在等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，可得， 因此，. 故选：C. 【考点题型九】等比数列性质的应用 技巧：利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 【例9】已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故， 且， 故. 故选：C 【变式9-1】等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【详解】由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：， 故选：D 【变式9-2】在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A．9 B． C．16 D．4 【答案】A 【详解】由条件及等差数列通项公式的性质知， 则，于是由等比数列通项公式的性质可知. 故选：A 【变式9-3】设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 【变式9-4】等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等比数列中，，，则. 故选：C. 【考点题型十】利用错位相减法求数列的前项和 技巧：（1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和． （2）注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况． 【例10】已知公比大于1的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记 的前项和为，证明 【详解】（1）因为数列是等比数列，设公比为， 所以由题意可得，解得， 所以，即的通项公式为. （2）由（1）得，则， 所以， 所以. 【变式10-1】已知数列的前项和为，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得： 时，，两式相减可得：，所以， 时，，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，的通项公式为 （2），. ， ， 两式相减得：， 所以， 因为恒成立，可得， 记， 法一：令，则，解得， 则，即当时，取到最大值2， 可得，所以实数的取值范围. 法二：，时，，即， 时，，即， 则，即当时，取到最大值2， 可得，所以实数的取值范围 【变式10-2】已知数列为等比数列，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，记数列的前项和为，求. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以， 因为为等比数列，所以， 即，化简得. 因为，得. 因此，易知为等比数列； 所以， （2）由（1）知，. ， 【变式10-3】已知数列满足，（），数列的前n项和为，满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【详解】（1）因为，所以， 所以，又， 故数列是首项为3，公比为3的等比数列． 所以，即， 由可得当时，， 故，所以 当时，也符合要求， 故． （2）由题可得， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 【变式10-4】已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）方法一：由（1）可得. 则，① 则，② ①-②，得 ， 从而. 方法二：由（1）可得，令，则 令，且， 则， 整理得，则解得故. . 【考点题型十一】等比数列片段和的性质 技巧：若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【例11】已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 又为的前项和，则成等比数列，公比为， 于是， 所以. 故选：B 【变式11-1】记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【详解】设正项等比数列的公比为， 由题意知，， 所以，，成等比数列， 所以，即， 解得（舍负）. 故选：B. 【变式11-2】记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列， 由，得，则，所以，所以， 所以. 故选：B 【变式11-3】记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 因此，所以. 故选：A 【变式11-4】已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 【考点题型十二】等比数列的奇数项与偶数项和 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【例12】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 【变式12-1】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 【变式12-2】已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 【变式12-3】已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得， 所以， 当为奇数时，，易得单调递减，且，所以； 当为偶数时，，易得单调递增，且，所以． 所以的最大值与最小值分别为2，． 函数在上单调递增，所以． ．所以的最小值． 故选：B． 【变式12-4】在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由题意得，，，即， 所以当为奇数时，；当为偶数时，； 设的前n项和为，则，. 若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意； 当为偶数，则 ，即，所以. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 清单01 数列 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． （1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的． 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 【清单02】数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 【清单03】判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则 ⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列． 【清单04】求数列最大（小）项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项． 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【清单05】等差数列的通项公式及性质 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 【清单06】等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则： （，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值 ②当时，有最大值 【清单07】等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【清单08】等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 【清单09】等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【清单10】等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【清单11】等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【清单12】数列求通项 类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 【清单13】数列求和 公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【考点题型一】周期数列 技巧：常采用列举法探索多项之间的关系 【例1】已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 【变式1-1】意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-3】数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-4】在数列中，若，则下列数是中的项的是（   ） A．4 B．4 C． D．3 【考点题型二】等差数列的通项公式及其应用 技巧：等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【例2】满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2-3】已知是等差数列，且，则（   ） A．55 B．58 C．61 D．64 【变式2-4】在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【考点题型三】等差数列性质的应用 技巧：根据集合之间关系，求参数的值或范围： 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【例3】已知等差数列中，，则=（     ） A．6 B． C．5 D． 【变式3-1】在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式3-2】公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【变式3-4】已知为等差数列，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】等差数列前项和的比值问题 技巧：设，的前项和为，，则． 【例4】等差数列与的前项和分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知为等差数列的前n项和，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【考点题型五】求数列的前项和 技巧：已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． 【例5】-等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【变式5-1】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 【变式5-2】已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式5-3】已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 【变式5-4】等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【考点题型六】等差数列片段和的性质 技巧：连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【例6】已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A．44 B．52 C．68 D．84 【变式6-1】已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【变式6-2】已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【变式6-3】若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 【变式6-4】设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【考点题型七】等差数列的奇数项与偶数项和 技巧：（1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【例7】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【变式7-1】一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【变式7-2】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知等差数列的公差，，那么（    ） A．80 B．120 C．135 D．160 【变式7-4】设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】等比数列的通项公式及其应用 技巧：等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【例8】等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A．588 B．448 C．896 D．224 【变式8-1】已知公差不为0的等差数列的第3，6，10项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式8-3】若等差数列和等比数列满足，则为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】在等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】等比数列性质的应用 技巧：利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 【例9】已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【变式9-1】等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式9-2】在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A．9 B． C．16 D．4 【变式9-3】设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【变式9-4】等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【考点题型十】利用错位相减法求数列的前项和 技巧：（1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和． （2）注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况． 【例10】已知公比大于1的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记 的前项和为，证明 【变式10-1】已知数列的前项和为，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围. 【变式10-2】已知数列为等比数列，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，记数列的前项和为，求. 【变式10-3】已知数列满足，（），数列的前n项和为，满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式10-4】已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【考点题型十一】等比数列片段和的性质 技巧：若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【例11】已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式11-2】记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 【变式11-4】已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【考点题型十二】等比数列的奇数项与偶数项和 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【例12】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【变式12-1】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【变式12-2】已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【变式12-3】已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式12-4】在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$