专题03 圆锥曲线与方程（易错必刷60题12种题型专项训练）（期末复习专项训练）高二数学上学期湘教版

专题03 圆锥曲线与方程（易错必刷60题12种题型专项训练） 题型一　椭圆的定义与标准方程 题型二　椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型三　椭圆离心率的值及取值范围 题型四　椭圆的简单几何性质问题 题型五 中点弦及焦半径问题　 题型六　双曲线的定义及标准方程 题型七　双曲线的简单几何性质 题型八　求双曲线离心率的值或范围 题型九　抛物线的定义及标准方程 题型十　抛物线距离和与差的最值问题 题型十一 抛物线的几何性质 题型十二 直线与椭圆的位置关系 题型一　椭圆的定义与标准方程 1．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二　椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 6．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 8．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分别是两个焦点，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 10．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 题型三　椭圆离心率的值及取值范围 11．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 13．（23-24高二下·广西南宁·期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（    ） A． B． C．3或 D．3或 14．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 题型四　椭圆的简单几何性质问题 16．（23-24高二上·宁夏银川·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）椭圆的焦距为（    ） A． B．4 C． D．2 18．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长 20．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（    ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 题型五 中点弦及焦半径问题　 21．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 22．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型六　双曲线的定义及标准方程 26．（23-24高二下·广西桂林·期末）双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 27．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 30．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 题型七　双曲线的简单几何性质 31．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 32．（23-24高二上·甘肃·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点，使得，则双曲线渐近线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高二上·天津河北·期末）已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·江苏常州·期末）经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型八　求双曲线离心率的值或范围 36．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·河北唐山·期末）直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 39．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·福建南平·期末）已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线左支上一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 题型九　抛物线的定义及标准方程 41．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 42．（22-23高二上·吉林·阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 44．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 45．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十　抛物线距离和与差的最值问题 46．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 47．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 48．（21-22高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知抛物线，是抛物线上一点，则点到点距离的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 49．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十一 抛物线的几何性质 51．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．若，则的面积为 52．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率之积为定值 B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为 C．若，则抛物线的准线方程为 D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴 53．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则的周长最小值为 54．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l与抛物线交于、两点，且与轴交于点，为坐标原点，直线、斜率之积为，则（　　） A．当时， B．当时，线段中点的轨迹方程为 C．当时，以为直径的圆与轴相切 D．当时，的最小值为 55．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 题型十二 直线与椭圆的位置关系 56．（24-25高二上·云南文山·期末）已知椭圆的离心率为，其中一个焦点的坐标为. (1)求的方程； (2)过左焦点的直线交于、两点，点在上. （i）若的重心为坐标原点，求直线的方程； （ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围. 57．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 58．（22-23高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. (1)求椭圆的方程； (2)记直线，的斜率分别为、，求的值； (3)证明：直线过定点，并求该定点坐标. 59．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）抛物线C：，椭圆M：，． (1)若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围； (2)过抛物线上点作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当时，求面积的最小值． 60．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆锥曲线与方程（易错必刷60题12种题型专项训练） 题型一　椭圆的定义与标准方程 题型二　椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型三　椭圆离心率的值及取值范围 题型四　椭圆的简单几何性质问题 题型五 中点弦及焦半径问题　 题型六　双曲线的定义及标准方程 题型七　双曲线的简单几何性质 题型八　求双曲线离心率的值或范围 题型九　抛物线的定义及标准方程 题型十　抛物线距离和与差的最值问题 题型十一 抛物线的几何性质 题型十二 直线与椭圆的位置关系 题型一　椭圆的定义与标准方程 1．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，解得或 故选：D 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】∵椭圆C：（）经过和两点， ∴，，∴，椭圆方程为：. ∴C上的点到右焦点距离的最小值为：. 故选：B. 4．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若方程表示椭圆，则 ，解得：，且， 所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 5．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得， 且，，则焦距为常数，故①正确； 对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确. 对于③，若，则曲线为，则， 若曲线上存在点，使， 则点在以为直径的圆上，即， 由，解得或， 所以有4个符合条件的点，故③正确, 所以正确的命题有3个. 故选：D 题型二　椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 6．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 7．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【分析】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 8．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点， 则由已知得， 则， ， ， 则， 所以. 故选：A. 9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分别是两个焦点，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】A 【详解】由题意可得，解得， 所以，. 故选：A. 10．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆 故. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点 有： ……①，……② 由题知……③ 在中使用余弦定理有： ……④ 将①②③代入④式得到：……⑤ 现在我们可以计算三角形的面积： 因此， 的面积是 . 故选：B. 题型三　椭圆离心率的值及取值范围 11．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取线段的中点为，点分别为边,上的切点，如图所示： 则，∵， ∴， ∴,,三点共线，，，则点为边上的切点， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴，又，则， ∴，则. 故选：D. 12．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则， 阳光照射方向与地面的夹角为60°，即， 则， ， 在中，，即， 即，解得，而，故, . 故选：B. 13．（23-24高二下·广西南宁·期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（    ） A． B． C．3或 D．3或 【答案】D 【详解】若椭圆的焦点在x轴上，则离心率，得，此时半焦距； 若椭圆的焦点在y轴上，则离心率，得，此时半焦距， 所以该椭圆的半焦距为3或． 故选：D． 14．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 15．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 从而，解得， 所以，则椭圆的长轴长为. 故选：C. 题型四　椭圆的简单几何性质问题 16．（23-24高二上·宁夏银川·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆，可化为， 可得，则， 又由椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：C. 17．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）椭圆的焦距为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以． 故选：B 18．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆 的左焦点为， 所以双曲线 的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线 的渐近线为. 故选：D 19．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长 【答案】C 【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距， 显然顶点坐标随的变化而变化，离心率随的变化而变化， 长轴长随的变化而变化，ABD不是； 焦距不随的变化而变化，C是. 故选：C 20．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（    ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 【答案】D 【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即， 则. 所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为. 故选：D 题型五 中点弦及焦半径问题　 21．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【详解】 如图，依题知，设过点的直线方程为，代入椭圆方程，整理得：， 设线段的中点为，由韦达定理， 则，即， ，则圆的半径为， 此时，圆心到直线的距离为：， 由可知直线与圆相离. 当直线斜率为0时，圆的圆心在原点，半径为，显然该圆与直线相离. 故选：C. 22．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，设，代入椭圆方程， 可得两式相减可， 变形可得， 又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为， 所以， 代入上式可得，，又， 解得，所以椭圆的方程为. 故选：C 23．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：C 24．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 设直线，且 则，作差得： 由，所以，① 因为为直线与圆的切点，所以，② 由①②消去可得， 所以. 故选：A. 25．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 故选：D 题型六　双曲线的定义及标准方程 26．（23-24高二下·广西桂林·期末）双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线知，， 所以， 所以. 故选：B 27．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 当时，方程表示双曲线， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 28．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：，且焦点在x轴上，可得， 所以的渐近线的方程为，即. 故选：B. 29．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 30．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由双曲线，得，， 由题意，点在以为直径的圆上，则， 取的中点,由线段的垂直平分线过，则， 则，故是的中点， 且，所以，解得， 故. 故选：C.    题型七　双曲线的简单几何性质 31．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】由题可得.如图，设双曲线右焦点为，因与都关于原点中心对称，则， 后由双曲线的定义知. 故选：D    32．（23-24高二上·甘肃·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点，使得，则双曲线渐近线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与轴交于Q点，连接，根据双曲线的对称性，则， 所以，因为， 故点M在双曲线右支上，且， 故，又， 所以， 在直角中，，所以， 即，所以，即， 由，且三角形内角和为， 所以，所以， 即，所以，即，所以， 故，或， 故选：D 33．（22-23高二上·天津河北·期末）已知双曲线H：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线H：的渐近线方程为：，令直线的倾斜角为，则， 由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为O，则， 于是得，而双曲线的虚半轴长为3， 即，显然四边形为矩形，其面积，解得 所以双曲线的方程为. 故选：B 34．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 35．（23-24高二上·江苏常州·期末）经过双曲线的右焦点作该双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示：    设，则， 则， 双曲线的渐近线方程为，则到直线的距离为， 因为，则，故， 由勾股定理可得， 因为，整理可得， 又因为，解得. 故选：D. 题型八　求双曲线离心率的值或范围 36．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离； 又，于是，可得,故离心率， 因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得， 又，则，所以直线的方程为， 联立双曲线方程整理可得； 易知是该方程的一个实数根，另一根即为； 所以，可得， 于是轴，又因为 所以． 故选：B 37．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以. 故选:：D 38．（23-24高二下·河北唐山·期末）直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意得直线为，双曲线的渐近线方程为， 由，得，即， 由，得，即， 因为，所以， 所以，化简得， 所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 39．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设双曲线的半焦距为c，， ，根据题意得到， 又， 故，设的中点为C， 在中，，， 故， 则，， 根据， 可知， 故，可得. 故选：C. 40．（23-24高二上·福建南平·期末）已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线左支上一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设，，若直线垂直平分线段， 则与关于直线对称， 则有，且 ∴， 可得，即 把的坐标代入双曲线方程中得： ， ∴，∴，∴. 故选：B. 题型九　抛物线的定义及标准方程 41．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，此时焦点在纵轴上，为. 故选：D 42．（22-23高二上·吉林·阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为：. 故选：D 43．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 44．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 45．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 题型十　抛物线距离和与差的最值问题 46．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：， 设点到准线的距离为，则， 如图所示：    当三点共线时，取得最小值， 故选：C 47．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】在抛物线 中， , ∴, 又 , 故 在抛物线 的外部, ∴, ∵抛物线 的焦点为 , 准线方程为 , ∴， ， ∵, 当三点共线（ 在之间）时， 取到最小值 , ∴ 的最小值为 , 故选: C 48．（21-22高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知抛物线，是抛物线上一点，则点到点距离的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设点坐标为， 则， 由，此时， 即. 故选：C. 49．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为， 直线的方程为， 联立，消得， 设，则， 所以， 圆的圆心坐标为，半径为1， 由已知可得， 所以    故选：A. 50．（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是抛物线：的焦点，所以， 又，由抛物线的定义可知，解得，所以. 故选：A 题型十一 抛物线的几何性质 51．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有； 当直线斜率存在时，可设直线方程为， 当直线与抛物线有且仅有一个公共点， 联立整理可得，所以； 解得，所以切线方程为， 综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确； 对于B，如下图所示： 设点在上的射影为，取的中点为，的中点为， 由抛物线定义可知， 在梯形中，有， 所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误； 对于C，易知，由抛物线定义可知，所以， 当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确； 对于D，设的方程为， 联立整理可得，可得，因此； 可得，因此， 又可得，解得； 易知到直线的距离为， 所以的面积为，即D正确. 故选：ACD 52．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率之积为定值 B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为 C．若，则抛物线的准线方程为 D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴 【答案】ACD 【详解】对于选项A:结合题意：连接， 易知直线的斜率不为，故可设直线：， 且设两点的坐标分别为 联立可得， 所以， 所以， 所以.故选项A正确；    对于选项B:过点作垂直准线于,设准线与轴的交点为， 易得,因为，所以, 由，由抛物线的定义可知：, 所以， 直线l的斜率为, 同理结合抛物线的对称性可知：直线l斜率，故选项B错误；    对于选项C:过点作垂直轴于点，过点作垂直准线于点, 因为，所以, 所以点， 结合抛物线的定义可知解得， 故抛物线的准线方程为，故选项C正确；    对于选项D: 设两点的坐标分别为 因为点在抛物线上，所以，所以点， 所以，故直线的方程为， 联立，解得，所以点， 所以点的纵坐标为， 结合选项A可知，所以，所以点的纵坐标为， 因为点的纵坐标与点的纵坐标相等，所以直线轴.故选项D正确.    故选：ACD. 53．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则的周长最小值为 【答案】BCD 【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即， 所以，，即抛物线方程为，焦点为， 对选项A，设直线方程为，由得， 设，则，， ， 直线的斜率为时，，所以，A错误； 对选项B，由抛物线定义得 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为，B正确； 对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为， 则，是梯形的中位线， 由抛物线定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切， 因此为切点，所以点纵坐标为1， 又是中点，所以点纵坐标为2， 而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；    对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确． 故选：BCD． 54．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l与抛物线交于、两点，且与轴交于点，为坐标原点，直线、斜率之积为，则（　　） A．当时， B．当时，线段中点的轨迹方程为 C．当时，以为直径的圆与轴相切 D．当时，的最小值为 【答案】AC 【详解】设点、、，由题意可得，， 若直线与轴垂直，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， ，所以，， 对于AB选项，当时，则，即点，满足，， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立，A对， 设点，则，， 化简可得，B错； 对于CD选项，当时，则，则为抛物线的焦点，， 则线段的中点为，， 故以线段为直径的圆与轴相切，C对， ， 当且仅当时，即当或，D错. 故选：AC. 55．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 题型十二 直线与椭圆的位置关系 56．（24-25高二上·云南文山·期末）已知椭圆的离心率为，其中一个焦点的坐标为. (1)求的方程； (2)过左焦点的直线交于、两点，点在上. （i）若的重心为坐标原点，求直线的方程； （ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2)直线的方程为；. 【详解】（1）由题意知，即，又， 解得，，， 所以的方程； （2）（i）因为左焦点为，设直线的方程为， 联立，得， 设，，，则，， 因为的重心为原点，所以， 所以，又， 代入，可得， 解得，所以直线的方程是. （ii）设，由（i）可知，， 代入，可得， 解得，所以. 所以，且，所以 57．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，或． 【详解】（1）由离心率， 得，所以椭圆的方程可设为：， 将点代入椭圆的方程得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由直线，，的斜率依次成等比数列．可知直线的斜率存在且不为0， 由四边形为平行四边形，可知直线不过原点. 设直线的方程为：，设，. 联立，整理可得：，，即， 且，，， 因为四边形为平行四边形，则三点不共线，且， 所以， 因为在椭圆上，则，整理可得：，① 又因为直线，，的斜率依次成等比数列， 即，所以 ，且. 因为 ， 所以 可得，② 由①②可得：，，满足， 故可得，， 所以直线的方程为：或. 58．（22-23高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. (1)求椭圆的方程； (2)记直线，的斜率分别为、，求的值； (3)证明：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析， 【详解】（1）由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为； （2）法一：设，则圆的方程为：， 圆过，代入圆的方程得， 故； 法二：设，圆半径为r，则圆方程为：， 圆过，，由题意可设， 则； （3）由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在， 设直线，， 则，需满足， 则，， 则， 结合第一问知，即， 即得， 化简得， 解得或， 当时，直线PQ方程为，直线PQ过点，不合题意， 当时，直线PQ方程为， 故直线PQ过定点； 当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在， 圆G方程为， 令，则，此时不妨设， 则的方程为，即， 联立，得，解得或， 即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点， 故直线PQ过定点. 59．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）抛物线C：，椭圆M：，． (1)若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围； (2)过抛物线上点作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当时，求面积的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）联立得， ，由题意上述方程无实根， 所以，得，又， 所以． （2）设l：，与椭圆联立得 由直线与椭圆相切得，即     设直线AP和直线AQ得斜率为，，则，     联立，得，解得或， 于是，所以，同理可得， 令，，则 ， 所以 ， 令，，， 设，，则， 时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减．     易知在即时，趋向于正无穷大，又，， 故， 所以． 60．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由短轴长为，可得，即， 将代入可得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，， 联立，整理得：，得，，且， 因为，所以，所以， 即，即， 所以，整理可得：，解得， 所以直线的方程为：，即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$