精品解析：重庆育才中学教育集团初2024—2025学年上学期八年级 第二次自主作业 A卷

重庆育才中学教育集团初2026届八年级（上）第二次自主作业A卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置． 1. 计算结果是（　　） A. B. C. D. 2. 下列给出的三条线段的长，能组成三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 5、6、7 C 3、3、6 D. 1、3、5 3. 若，，则的计算结果是（ ） A. －1 B. 12 C. 1 D. 4. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 6. 下列各式中，从左到右因式分解正确是（ ） A. B. C. D. 7. 观察下列钢管横截面图，则当时，图中钢管的根数是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：=______． 12. 若一个多边形的每一个内角都是150°，则它是_______边形． 13. 已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点在点的右边，点到轴的距离为，则点的坐标为______． 14. 已知是三角形的三边长化简： _______． 15. 如图，平分，且于点，已知的面积为，则的面积是______． 16. 关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为______． 17. 如图，在长方形中，点E在上，并且，将沿翻折并压平得到，若AF平分，过点E作于F，则的度数为______． 18. 在和中，，，，AC分别交BD，OB于点E，F．则________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题和20题都是8分，其余每个小题10分，合计46分）请将每小题的解答过程填写在答题卡中对应位置． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 因式分解： （1）； （2）． 21. 如图，在中，已知，，是的高线． （1）用直尺和圆规作的角平分线，交于（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的度数． 解：（1）如图； （2）∵在中，，， ∴（①______）， ∵AE是的平分线， ∴②______③______， 又∵AD是BC边上的高， ∴④______， ∵在中，， ∴⑤______． 22. 先化简，再求值：．其中，． 23. 随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元． （1）求A模型和B模型的单价； （2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． B卷 24. 已知，，，则x，y，z之间的关系是（ ） A. B. C. D. 25. 若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a的和为（    ） A 8 B. 9 C. 15 D. 16 26. 若一个三位数的个位数字是其百位数字与十位数字的和，如123，437，369等等，我们把这样的三位数叫做“鸽子数”，今有“鸽子数”，若记各个数位的数字放在M的左边形成三个四位数，规定为三个四位数的和，则______（用含a、b的式子表示）；如果能被11整除，那么所有符合条件的“鸽子数”M的最大值与最小值之和为______． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且m，n满足，点C的坐标为． （1）直接写出m，n的值； （2）求三角形的面积； （3）若动点P在坐标轴上运动，是否存在点P，使得，若存在请直接写出满足条件所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． 28. 已知， （1）在内部以为斜边作，，连接，． ①如图1，过点D作交于点E，连接AE，求证； ②如图2，点F为上一点，连接，过点A作分别交于点G，交于点H，若，，求证： （2）中，是的平分线，点P、M分别为上任一点（不包含端点），若，，，直接写出的最小值． 参考知识 1．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．，p是的周长的一半，的三边长分别为a，b，c． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆育才中学教育集团初2026届八年级（上）第二次自主作业A卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置． 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．根据同底数幂乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 下列给出的三条线段的长，能组成三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 5、6、7 C. 3、3、6 D. 1、3、5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系， 根据三角形三边关系逐项判断即可． 【详解】因为，不能组成三角形，所以A不符合题意； 因为，能组成三角形，所以B符合题意； 因为，不能组成三角形，所以C不符合题意； 因为，不能组成三角形，所以D不符合题意． 故选：B． 3. 若，，则的计算结果是（ ） A. －1 B. 12 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂除法的逆用，即可求解， 本题考查了同底数幂除法的逆用，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：， 故选：D． 4. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及解一元一次方程，能够用含的式子表示出是解决此题的关键．方程组中的两个方程相加，即可求出，根据题意得出，解关于的方程即可． 【详解】解：两式相加，得， ， ， ， 解得：， 故选：D 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离的定义逐项判断即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离、命题，熟记各定义和性质是解题关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则此项是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题，符合题意； D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 6. 下列各式中，从左到右因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是注意因式分解的结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义逐项判断，即可解题． 【详解】A、，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误，不符合题意； B、，是因式分解，选项正确，符合题意； C、，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误，不符合题意； D、，左右两边不相等，选项错误，不符合题意； 故选：B． 7. 观察下列钢管横截面图，则当时，图中钢管的根数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可依次解出钢管的个数，再根据规律以此类推，可得出第n堆的钢管个数，代入即可求得答案． 【详解】第一个图中钢管数为； 第二个图中钢管数为； 第三个图中钢管数为； 第四个图中钢管数为； 依此类推，第n个图中钢管数为； 当时，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形找规律，首先要找出变化的部分再总结规律，按照规律求得要得答案，善于观察并求得对应结论是解本题的关键． 8. 我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的条件“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即可． 【详解】解：设每只雀为x斤，每只燕为y斤， 根据题意，列出方程得：， 故选：A． 9. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解及数的特征，熟练掌握因式分解的应用以及正整数的特征是解题的关键．先对因式分解，得出，再利用、、三个连续正整数中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数，即可解决． 【详解】解：， ∵、、是三个连续正整数， ∴、、中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数， ∴必是的倍数， 故选：A． 10. 在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11 计算：=______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．首先因为，所以，又因为，所以可得：原式，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： ． 12. 若一个多边形的每一个内角都是150°，则它是_______边形． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角综合．一个多边形的每一个内角都是，即每个外角是．正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的个数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 【详解】解：一个多边形的每一个内角都是，即每个外角是． ，则它是12边形． 故答案为：12． 13. 已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点在点的右边，点到轴的距离为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，点与点在同一条平行于轴的直线上，则，根据点到轴的距离为，则，再根据点在点的右边，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴直线上， ∴， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴， ∵点在点的右边， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 已知是三角形的三边长化简： _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵是三角形的三边长， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，平分，且于点，已知的面积为，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质以及三角形面积公式是解题的关键．延长交于点，可证明，由全等三角形的性质得，故可得，，从而得，即可求解． 【详解】解：延长交于点，    平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 16. 关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．根据题意可得关于、的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论． 【详解】解：关于x、y的二元一次方程组的解为， 关于、的二元一次方程组的解是， 解得， 关于m，n的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 17. 如图，在长方形中，点E在上，并且，将沿翻折并压平得到，若AF平分，过点E作于F，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，直角三角形两锐角互余．现根据折叠得出，，根据四边形是长方形可求出的度数，由已知AF平分，可求出的度数，直角三角形两锐角互余可求出的度数，根据对顶角相等可求出的度数，根据直角三角形两锐角互余可求出的度数． 【详解】解∶ ，沿翻折并压平得到， ，． 四边形是长方形， ． ． AF平分， ． 于F， ． ． ， ． 故答案为：． 18. 在和中，，，，AC分别交BD，OB于点E，F．则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用SAS易证得，推出，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】， ，即． 在和中， ， ， ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是能得出：． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题和20题都是8分，其余每个小题10分，合计46分）请将每小题的解答过程填写在答题卡中对应位置． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算，，，进行计算，即可． （1）根据多项式乘以多项式的运算，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 21. 如图，在中，已知，，是的高线． （1）用直尺和圆规作的角平分线，交于（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的度数． 解：（1）如图； （2）∵在中，，， ∴（①______）， ∵AE是的平分线， ∴②______③______， 又∵AD是BC边上的高， ∴④______， ∵在中，， ∴⑤______． 【答案】（1）作图见解析 （2）三角形内角和定理；；；； 【解析】 【分析】本题考查尺规作图（角平分线），三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的角度关系，熟练掌握利用尺规作角平分线的方法是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用三角形内角和定理，直角三角形、角平分线的定义即可解决． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴（①三角形内角和定理）， ∵是的平分线， ∴②③， 又∵是边上的高， ∴④， ∵在中，， ∴⑤． 故答案为：三角形内角和定理；；；；． 22. 先化简，再求值：．其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先根据整式的乘法和除法运算，再代入求值即可． 【详解】原式 ． 当时， 原式． 23. 随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元． （1）求A模型和B模型的单价； （2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1）1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元． （2）购买A模型13个，B模型7个，费用最少，该方案所需的费用为元． 【解析】 【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A模型m个，则购买B模型个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【小问1详解】 解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元， 依题意得：， 解得：． 答：1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元． 【小问2详解】 设购买A模型m个，则购买B模型个， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数，∴m可以为，∴共有3种购买方案， 方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）； 方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）； 方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）． ∵， ∴方案1购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元． B卷 24. 已知，，，则x，y，z之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即：， ∴； 故选A． 25. 若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a的和为（    ） A. 8 B. 9 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 表示出不等式组解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∵由不等式组至少有3个整数解， ∴，即整数，2，3，4，5，…， ∵， ∴ 解得：， ∵方程的解为非负整数， ∴，且为偶数， ∴，且为奇数 ∴得到符合条件的整数a为1，3，5，7之和为16． 故选：D． 26. 若一个三位数的个位数字是其百位数字与十位数字的和，如123，437，369等等，我们把这样的三位数叫做“鸽子数”，今有“鸽子数”，若记各个数位的数字放在M的左边形成三个四位数，规定为三个四位数的和，则______（用含a、b的式子表示）；如果能被11整除，那么所有符合条件的“鸽子数”M的最大值与最小值之和为______． 【答案】 ①. ## ②. 740 【解析】 【分析】本题属于新定义型，主要考查了数字变化的规律、整式加减的应用，正确理解新定义并熟练应用是解题的关键．由题意得，各个数位的数字放在M的左边形成的三个四位数分别为、、，都用整式表示出来再相加即可得到，结合能被11整除，利用整除的性质转化为能被11整除，再逐一列举a可能的值使得M取到最大值与最小值即可． 【详解】解：由题意得，各个数位的数字放在M的左边形成的三个四位数分别为、、， 则， ， ， ， ； ，， ， 能被11整除， 能被11整除， 要使M最大，则a应尽量大， 当时，则，此时，不符合题意， 当时，则，此时，不符合题意， 当时，则，此时，不符合题意， 当时，则，此时，符合题意，此时， 的最大值为617， 要使M最小，则a应尽量小， 当时，则，此时，符合题意，此时， 的最小值为123， 的最大值与最小值之和为； 故答案为：；740． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且m，n满足，点C的坐标为． （1）直接写出m，n的值； （2）求三角形的面积； （3）若动点P在坐标轴上运动，是否存在点P，使得，若存在请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）9 （3）存在；或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形的性质： （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求解； （2）由（1）可得，再根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）分两种情况：若点P在x轴上时，若点P在y轴上时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵点C的坐标为 ∴三角形的面积为； 【小问3详解】 解：存在， 若点P在x轴上时，设点P的坐标为，则， ∵， ∴， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 若点P在y轴上时，设点P的坐标为，则， ∵， ∴， 解得：或7， 此时点P的坐标为或； 综上所述点P的坐标为或或或． 28. 已知， （1）在内部以为斜边作，，连接，． ①如图1，过点D作交于点E，连接AE，求证； ②如图2，点F为上一点，连接，过点A作分别交于点G，交于点H，若，，求证： （2）中，是的平分线，点P、M分别为上任一点（不包含端点），若，，，直接写出的最小值． 参考知识 1．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．，p是的周长的一半，的三边长分别为a，b，c． 【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，求得，根据证明，再根据全等三角形的性质可得，因此可求出，进而即可得出结论； ②如图2，取的中点N，连接，过点D作，交于点M，则，求得，利用证明，再根据全等三角形的性质得到，求得，因此得到为等腰直角三角形，可得，进而即可得到结论； （2）过点B作，交于点，交于点P，过点P作于点M，根据垂线段最短可得的最小值为，由角平分线的性质得到，由题意可知的周长为，根据可求出的面积，再利用即可求出的值． 【小问1详解】 ①证明：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， 即； ②证明：如图2，取的中点N，连接，过点D作，交于点M，则， ， ， ，， ， ， ， ， ，，且， ， ，， ， ， ， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 又， ； 【小问2详解】 过点B作，交于点，交于点P，过点P作于点M， 是的平分线， ， 此时有最小值，最小值为， ，，， 的周长为， ， 又， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$