第三章 圆 知识归纳与题型突破（十三类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 圆 知识归纳与题型突破（十三类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　 　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 　　 (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　 　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　 ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 要点： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质 　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角 　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点：　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　 　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 要点：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点在同一个圆上的方法 　　当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. 　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. 　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. 　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 　　(1)切线的判定： 　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　 　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 5．圆和圆的位置关系 　　设的半径为，圆心距. 　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 　　 　. 　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含 　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切. 　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切. 　　(5)和有两个公共点相交. 三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心、重心、垂心 　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. 　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点. 要点：　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　 (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　 (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 2．圆内接四边形和外切四边形 　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 四、圆中有关计算 1．圆中有关计算 　　圆的面积公式：，周长. 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 03 题型归纳 题型一　概念综合辨析 例题 1．下列说法正确的是（      ） A．经过三点可以作一个圆 B．直径不是弦 C．等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题主要考查确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系． 根据确定圆的条件，弦的定义，圆心角、弧、弦的关系关系逐项判断即可． 【解析】解：A．经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项说法错误，不符合题意； B．直径是弦，故B选项说法错误，不符合题意； C．等弧所对的圆心角相等，故C选项正确，符合题意； D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 巩固训练 2．已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（    ） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断 【答案】C 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【解析】解：   ∵d＝5＞2.5， 点P在⊙O外， 故选C． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 3．下列语句中：（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）等弧所对的弦相等；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，圆的对称轴，熟练掌握以上知识是解题的关键． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（2）（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）． 【解析】解：（1）、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中； （2）、等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （3）、不符合题意，等弧是能重合的弧； （4）、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线． 故答案为：B． 4．下列说法不正确的是（    ） A．垂直于弦的直径平分这条弦 B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 C．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的弧 【答案】D 【分析】根据圆周角定理及圆的有关概念判断求解即可． 【解析】解：垂直于弦的直径平分这条弦，故A正确，不符合题意； 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，故B正确，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故C正确，不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 题型二　垂径定理及推论 例题 5．如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，再求出，根据勾股定理得出，最后根据垂径定理即可得出． 【解析】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 巩固训练 6．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【解析】解：， ， 在中，， ， ． 故答案为：4． 7．简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，点P表示简车的一个盛水桶，如图2．当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．过O点作半径于E，如图，利用垂径定理得到，设半径为，根据题意得，再利用勾股定理列关于的方程，解方程即可． 【解析】解：过O点作半径于E，如图， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为， 故答案为：． 8．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【解析】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 题型三 圆心角 例题 9．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【解析】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 巩固训练 10．如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【解析】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 11．如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可． 【解析】解：A、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； B、平分，，，，故本选项正确； C、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； D、与的大小关系不确定，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 12．如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，根据弧、弦、圆心角的关系可判断A选项，证明可判断B、C选项，根据已知条件，不能证明，可判断D选项． 【解析】解：在中，， ，故A选项不符合题意； 在与中，， ， ，，故C选项不符合题意； D、E分别是半径的中点, ， 在与中， ， ， ，，故B选项不符合题意； 和不一定相等， 和不一定垂直，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型四 外接圆 例题 13．直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的特点，分当边长为8的边为直角边和斜边两种情况，根据直角三角形的斜边为其外接圆的圆心进行求解即可． 【解析】解：当边长为8的边为直角边时，则斜边长为， ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，即直角三角形的斜边为其外接圆的圆心， ∴此时该直角三角形外接圆的半径为5； 当边长为8的边为斜边时，则该直角三角形外接圆的半径为4； 故该直角三角形外接圆的半径为4或5， 故选：D． 巩固训练 14．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【解析】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12， 当5，12是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当12是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或． 故答案是：6或． 15．已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，在中，利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答． 【解析】解：在中，， ∴， ∴外接圆的半径， 故选：C． 16．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【解析】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 题型五 圆周角 例题 17．如图，是的直径，是上一点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 巩固训练 18．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，直接根据圆周角定理即可得解。 【解析】解：∵， ∴， 故选：． 19．如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数． 【解析】解：中，，， ∴， ∴． 故选：B． 20．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥PC于D点，且AC＝13，CD＝5，AB＝12，则⊙O的直径等于（　　） A． B．15 C．13 D．17 【答案】C 【分析】作直径AE，连接BE，如图，先利用勾股定理计算出AD＝12，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB，则可判断△ABE∽△ADC，然后利用相似比求出AE即可． 【解析】解：作直径AE，连接BE，如图， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝ ＝12， ∵AE为直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠ADC， 而∠AEB＝∠ACB， ∴△ABE∽△ADC， ∴＝，即＝， ∴AE＝13， 即⊙O的直径等于13． 故选C． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 题型六 圆内接四边形 例题 22．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解析】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 巩固训练 23．在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．直接根据圆周角定理及圆内接四边形性质解答即可． 【解析】解：如图，连接， 由图可得， ， 四边形是圆内接四边形， ， 故选：A 24．在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查对折的性质，直径对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质；设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【解析】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 25．如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接、、，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，，进而得到，可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【解析】解：如图，连接、、，过点作交的延长线于点，     四边形内接于，， ，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 的半径为， 故选：A． 题型七 正多边形与圆 例题 26．如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】8 【解析】试题解析：这个多边形的边数是 故答案为8. 巩固训练 27．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【解析】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 28．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【解析】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为： 29．如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 【答案】72 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【解析】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 题型八 弧长与扇形面积 例题 30．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为： 巩固训练 31．如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为 ． 【答案】45 【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=来求解． 【解析】解：连接OC，OD， ∵直径AB=30， ∴OC=OD=， ∴CD∥AB， ∴S△ACD=S△OCD， ∵长为6π， ∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=， 故答案为：45π． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键． 32．如图，在平面内将绕着直角顶点C逆时针旋转90°，得到，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】先由图形旋转的性质得出，，即可根据勾股定理求出的长，再根据，即可得出结论． 【解析】解：是由旋转而成， ，， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，旋转的性质，勾股定理，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 33．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【解析】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 34．如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【解析】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理和扇形的面积公式是解题关键．连接，根据题意可得出，再根据扇形的面积公式计算即可． 【解析】解：如图，连接， ∵，， ∴平分． 又∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 36．如图，是的直径，点C是上一点，点D在的延长线上，与交于另一点E，，则的长度为 （结果保留π）．    【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，弧长的计算，三角形外角的性质等知识；连接，则得，则得，；由三角形外角的性质求得，最后由弧长公式即可求解． 【解析】解：连接，如图， 则， ； ， ， ， ； ； ， 由弧长公式得：．    故答案为：． 题型九 直线与圆的位置关系 例题 37．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【解析】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 巩固训练 38．中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键． 根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可． 【解析】解：如图，根据题意画出，并过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离， 故选：A． 题型十 切线的判定与性质 例题 39．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【解析】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 巩固训练 40．如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，连接，由切线的性质得出，求出所对的圆心角度数，再由圆周角定理即可得出答案． 【解析】解：连接，如解图所示，则． ． ． 点在劣弧上， 所对的圆心角为． ， 故选：A． 41．如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接、，若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，切线的性质．先连接，证明，，再进一步解答即可． 【解析】解：如图，连接， 切圆于， 于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 题型十一 内切圆 例题 42．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 巩固训练 43．如图，的内切圆与相切于点D、E、F，已知，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案．本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键． 【解析】解：连接，，，，，． 根据题意可知，且，，， ∵ ∴ ∴是直角三角形 ∴ ∴， 即， 解得． 设， 则，，，得， 解得， ． 在中，， ，， 是的垂直平分线， ． ， 即， 解得， ． 故选：C． 44．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内切圆及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可知，再根据线段的和差即可求得答案． 【解析】解：的内切圆分别与相切于点， ， ， ， ， 的周长， 故选：A． 题型十二 内心 例题 45．如图，点是的内心，若，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的定义得，再根据三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：， ， 点I是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 巩固训练 46．如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【解析】解：连接． ∵点O是的内心， ∴分别是和的角平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 47．如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解． 【解析】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心， ∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 48．如图，在中，，，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解题关键是正确应用内心的性质． 由中，，，将沿翻折得到，若经过的内心I，先得，，得，又得的面积：的面积，，即， 【解析】解：由中，，，将沿翻折得到，若经过的内心I， ∴， ∴， ∴， 因为 ∴， ∴， 即， 即， ∴， 由， 作，， ∴， ∴的面积：的面积， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 题型十三 解答题 例题 49．如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定． 由得到，由圆周角定理得到，从而，根据平行线的判定即可证明． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 巩固训练 50．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质，根据等弧所对的圆心角相等得到，进而证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【解析】证明：∵D、E分别为半径、上的点，， ∴，则， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 51．如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答． （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【解析】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 52．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【解析】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 53．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接、，先得，则，因为半径相等，得出、都在的垂直平分线上，即可作答． （2）先由直角三角形的两个锐角互余，得，运用圆周角定理得，然后结合等角对等边，则．故是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答． 【解析】（1）证明：连接、，如图， 为优弧的中点， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上， 即是垂直平分线， ； （2）证明：连接，如图， ，， ，， ， ∵， ， ， ． ∴是等腰三角形， 又， ； 54．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 【答案】(1)见解析 (2) (3)上 【分析】本题考查与圆有关的综合题，熟练掌握垂直平分线的性质，点与圆的位置关系是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，标出坐标即可； （2）利用点与点D的坐标结合勾股定理即可得到的半径； （3）利用两点的距离公式求出点E和点D的距离，再与的半径比较，即可得到E点与的位置关系． 【解析】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，坐标为：，如图： （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴点到圆心的距离为：， ∵的半径长为， ∴E点在上， 故答案为：上． 55．已知，在中，，以为直径的与相交于点E，在上取一点D，使得． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【分析】此题考查切线的判定定理，三角形全等的判定及性质，勾股定理． （1）连接、，证明，证得，即可得到结论； （2）利用推出，由推出，得到，求出，再利用勾股定理求出半径． 【解析】（1）如图，连接、， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 即：的半径为． 56．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求圆的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹． （1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，则，再证，可得结论． （3）连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，，根据，可得结论． 【解析】（1）解：是直径， ， ，， ， ， 的半径为； （2）解：如图，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 57．如图1，是的直径，点C是直径上方上一点，的角平分线交于点D．      (1)若，求的长． (2)如图2，过点C作的切线交DA的延长线于点G，当时，求证：． (3)如图3，在内取一点Q，使得，，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）如图1，连接，则，，由是的直径，可得，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）由切线的性质可知，，则，，，，证明是等边三角形，，则，，进而可证； （3）由（1）可知，，则，由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解；①当时，此时重合，不符合要求，舍去；②当时，由勾股定理得，，则，即，由，可得，计算求出满足要求的解为，可得，由，可得；③当时，同理②计算求解即可． 【解析】（1）解：如图1，连接，    ∵的角平分线交于点D， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为； （2）证明：由切线的性质可知，， 由（1）可知，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知，， ∴， 由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解； ①当时， ∵，， ∴重合，不符合要求，舍去； ②当时， 由勾股定理得，， ∴，即， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴； ③当时， 同理②，可得， 解得，或（舍去）， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，角平分线，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 58．已知：如图，内两条弦、，且于，为半径，连接、． (1)求证：； (2)作于，延长交于点．求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在上，连接交于点，当，，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由直角三角形的性质可得结论； （2）由余角的性质可得，可得，由余角的性质可求，可得，即可得结论； （3）延长至，使，连接，在上取点，使，过点作于，由“”可证，可得，，由直角三角形的性质可求，的长，由相似三角形的性质可求的长，进而可求的长，由三角函数可求解． 【解析】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），， ，， ， 又 ， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，延长至，使，连接，在上取点，使，过点作于， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ； ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆 知识归纳与题型突破（十三类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　 　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 　　 (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　 　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　 ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 要点： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质 　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角 　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点：　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　 　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 要点：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点在同一个圆上的方法 　　当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. 　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. 　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. 　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 　　(1)切线的判定： 　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　 　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 5．圆和圆的位置关系 　　设的半径为，圆心距. 　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 　　 　. 　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含 　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切. 　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切. 　　(5)和有两个公共点相交. 三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心、重心、垂心 　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. 　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点. 要点：　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　 (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　 (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 2．圆内接四边形和外切四边形 　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 四、圆中有关计算 1．圆中有关计算 　　圆的面积公式：，周长. 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 03 题型归纳 题型一　概念综合辨析 例题 1．下列说法正确的是（      ） A．经过三点可以作一个圆 B．直径不是弦 C．等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 巩固训练 2．已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（    ） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断 3．下列语句中：（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）等弧所对的弦相等；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列说法不正确的是（    ） A．垂直于弦的直径平分这条弦 B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 C．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的弧 题型二　垂径定理及推论 例题 5．如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 巩固训练 6．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    7．简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，点P表示简车的一个盛水桶，如图2．当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．则圆的半径为 ． 8．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 题型三 圆心角 例题 9．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    巩固训练 10．如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 11．如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型四 外接圆 例题 13．直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 巩固训练 14．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 15．已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 16．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 题型五 圆周角 例题 17．如图，是的直径，是上一点．若，则（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 18．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 20．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥PC于D点，且AC＝13，CD＝5，AB＝12，则⊙O的直径等于（　　） A． B．15 C．13 D．17 题型六 圆内接四边形 例题 22．如图，四边形内接于，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 23．在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆弧上取点C，D，连接，则的度数为（） A． B． C． D．不确定 24．在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 25．如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 题型七 正多边形与圆 例题 26．如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 ． 巩固训练 27．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 28．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 29．如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 题型八 弧长与扇形面积 例题 30．已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 巩固训练 31．如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为 ． 32．如图，在平面内将绕着直角顶点C逆时针旋转90°，得到，若，，则阴影部分的面积为 ． 33．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 34．如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ． 35．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为 ． 36．如图，是的直径，点C是上一点，点D在的延长线上，与交于另一点E，，则的长度为 （结果保留π）．    题型九 直线与圆的位置关系 例题 37．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 巩固训练 38．中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 题型十 切线的判定与性质 例题 39．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 巩固训练 40．如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 41．如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接、，若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 题型十一 内切圆 例题 42．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 43．如图，的内切圆与相切于点D、E、F，已知，则的长是（     ） A． B． C． D． 44．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 题型十二 内心 例题 45．如图，点是的内心，若，则 ． 巩固训练 46．如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ． 47．如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 48．如图，在中，，，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为 ． 题型十三 解答题 例题 49．如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 巩固训练 50．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：． 51．如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 52．如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 53．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 54．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 55．已知，在中，，以为直径的与相交于点E，在上取一点D，使得． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的半径． 56．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求圆的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 57．如图1，是的直径，点C是直径上方上一点，的角平分线交于点D．      (1)若，求的长． (2)如图2，过点C作的切线交DA的延长线于点G，当时，求证：． (3)如图3，在内取一点Q，使得，，当为直角三角形时，求的度数． 58．已知：如图，内两条弦、，且于，为半径，连接、． (1)求证：； (2)作于，延长交于点．求证：； (3)在（2）的条件下，作交于点，点在上，连接交于点，当，，时，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$