专题09 二次函数对称轴与对称性（4大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题09 二次函数对称轴与对称性 抛物线上对称两点求对称轴 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线过以下三个点：，，和，当抛物线上另有点的横坐标为时，它的纵坐标为 ． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·福建宁德·期末）抛物线经过点，，则 ． 利用对称轴判断式子符号 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）点是抛物线上的两点，则下列数值能够确定的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）二次函数的图象如图，下列结论正确的是（  ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；其中正确的结论有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知二次函数，当，，时，它们对应的函数值分别为，，，且，则（　　） A．， B．， C．， D．， 根据对称性比较函数值大小 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）若抛物线经过，两点，则，的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）设，，是抛物线（m为常数）上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知，，是二次函数图像上三点，则，，的大小关系为 求固定区间时的函数最值 1．（23-24九年级上·福建南平·期末）当时，则二次函数的最小值为 ． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）二次函数的最值是 ． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）二次函数的函数值y的取值范围是 ． 已知函数最值反求参数值 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知二次函数的最小值为．若当时，y值为负；若当时，y值为正；则二次函数的解析式是 ． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知函数在上有最大值9，则常数a的值是 ． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知函数，当时，函数有最大值，最小值3，则m的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是 ． 对称轴位置变化对函数最值的分类讨论 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知抛物线图像上有两点，我们把两点间的图像记为图像，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为 ． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知抛物线：将抛物线P关于x轴对称得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则的取值范围是 ． 利用二次函数对称性求最短路径 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 2．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标； 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数对称轴与对称性 抛物线上对称两点求对称轴 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线过以下三个点：，，和，当抛物线上另有点的横坐标为时，它的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的对称性可得出抛物线的对称轴为直线，进而可得出当与时值相等，此时． 【详解】∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当与时值相等，此时， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察，，得与关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：依题意，因为抛物线经过，两点，且，两点的纵坐标相等 所以与关于对称轴对称， 即， 所以， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建宁德·期末）抛物线经过点，，则 ． 【答案】2 【分析】根据点、的坐标可得点、关于对称轴对称，从而得到对称轴为直线，由此即可得到答案． 【详解】解：点，， 点、关于对称轴对称， 对称轴为直线， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据点、的坐标可得点、关于对称轴对称，是解此题的关键． 利用对称轴判断式子符号 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）点是抛物线上的两点，则下列数值能够确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据纵坐标相等，横坐标关于对称轴对称，进而得出对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵点是抛物线上的两点， ∴对称轴为直线，即 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）二次函数的图象如图，下列结论正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的开口，对称轴，与轴交点以及的函数值，逐个判断即可． 【详解】解：二次函数开口向下，则，A选项错误，不符合题意； 二次函数与轴交点在轴上方，则，B选项错误，不符合题意； 二次函数的对称轴，化简可得：，C正确，符合题意； 由函数图象可得，当时，，即，D选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象以及基本性质． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；其中正确的结论有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．根据所给函数图象可得出a、b、c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而，，，且， ∴，故③错误； 由函数图象可知，当时，函数值小于零， 则， 又∵， ∴，故④错误； 由函数图象可知，当时，函数取得最大值， ∴当时的函数值小于时的函数值， 即， ∴，故⑤正确； 综上可知，正确的结论有⑤，共1个， 故选A． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知二次函数，当，，时，它们对应的函数值分别为，，，且，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由可得抛物线对称轴，从而可得与的关系，由可得抛物线开口向上，进而求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解： ∴抛物线对称轴为直线 ∴抛物线开口向上， ∴ 故选：． 根据对称性比较函数值大小 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）若抛物线经过，两点，则，的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴；抛物线的，开口向上，有最小值，越靠近对称轴所对应的函数值越小，据此即可作答． 【详解】解：因为抛物线的， 所以开口向上，有最小值，对称轴 则越靠近对称轴所对应的函数值越小， 因为，两点，比靠近对称轴， 则 故选：A 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，据此即可得出，，的大小关系． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴横坐标为、的两个点的函数值相等，均为， ∵在对称轴右侧，随的增大而减小， 又∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大． 3．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）设，，是抛物线（m为常数）上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数解析式可知抛物线开口向上，且对称轴为．根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数线， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：． ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴点关于直线的对称点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的对称性质，熟练掌握二次函数的性质是解题题的关键． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知，，是二次函数图像上三点，则，，的大小关系为 【答案】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小． 【详解】解：二次函数的图像开口向上，对称轴为， 离对称轴越近的函数值越小， 到对称轴的距离最近，到对称轴的距离最远， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 求固定区间时的函数最值 1．（23-24九年级上·福建南平·期末）当时，则二次函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的图象与系数的关系，把y=ax2+bx+c化成顶点式，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的图象与性质即可求得答案． 【详解】解：将二次函数化成顶点式，得： ， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数开口向上， 二次函数顶点的横坐标为， 二次函数顶点的横坐标满足， 当时，二次函数的最小值为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）二次函数的最值是 ． 【答案】最小值3 【分析】本题考查了求二次函数的最值；根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵二次项系数， ∴二次函数有最小值是3； 故答案为：最小值3． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）二次函数的函数值y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了二次函数的性质，先求出二次函数的顶点，再根据自变量的取值范围，计算即可解答，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时有最大值是2； 当时，， 当时，， ∴当时，函数值y的取值范围为； 故答案为：． 已知函数最值反求参数值 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知二次函数的最小值为．若当时，y值为负；若当时，y值为正；则二次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 先确定抛物线的对称轴为直线，则根据抛物线的对称性得到当和时，函数值相等，由于当时，值为负；当时，值为正，则可判断和时，，再设交点式，配成顶点式得到，所以，然后求出，从而得到抛物线解析式． 【详解】解：根据题意得抛物线的对称轴为直线， 当和时，函数值相等， 当时，值为负；当时，值为正， 和时，， 即抛物线经过，， 设抛物线解析式为， 即， ， ， 解得， 抛物线解析式为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知函数在上有最大值9，则常数a的值是 ． 【答案】1或 【分析】分两种情况：和分别求的最大值即可． 【详解】解：， 当时， 当时，有最大值， ， 解得：； 当时， 当时，有最大值， ， ， 综上所述：a的值为1或． 故答案是：1或． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知函数，当时，函数有最大值，最小值3，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可求出对称轴，再根据函数图象开口向下可得函数性质，确定最值范围即可求解． 【详解】解：， 对称轴为直线， 当时，，当时，， 因此时，， 当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小， 时，有最大值，最小值3， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握性质及图象、运用数形结合思想是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据函数的最值确定函数的顶点坐标和开口方向，在根据函数的增减性，判断当时的函数值取值范围，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵当时，该函数取最大值12， ∴， ∴该函数对称轴为，函数开口向下； ∵， ∴当时，函数值大于0， 即，解得：， ∴a的取值范围：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数在顶点处取得最值，当函数有最大值时，开口向下，反之，开口向上． 对称轴位置变化对函数最值的分类讨论 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知抛物线图像上有两点，我们把两点间的图像记为图像，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为 ． 【答案】 【分析】根据可以找出点为最高，抛物线顶点为最低点，然后分别计算纵坐标作差即可． 【详解】解：， 故抛物线图像对称轴为：直线， ， ， ， 故当时，最大为：， 当时，最小为：， 图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线函数图像与性质，根据的取值范围找出两点间的图像的最低点与最高点是解题关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知抛物线：将抛物线P关于x轴对称得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数定取值范围，对称轴在变化，求参数取值范围，首先利用轴对称的性质得到抛物线，最后讨论对称轴所在范围，求参数a的取值范围，此题分类讨论是关键． 【详解】解：由题可知关于x轴对称得到抛物线为； ； 对称轴为：； ①当时；函数的最大值为； ∵M为抛物线上任意一点，只要满足； 即； ∵； ∴； ②，即时，把代入中，函数的最大值为； ∴； ∴； ∵； ∴这种情况无解； ③当时，即； 把代入中，函数的最大值为； ∵； ∴不满足； ∵； 综上所述：； 故答案为：． 利用二次函数对称性求最短路径 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 2．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标； 【答案】（1） ．;（2） （2，-）. 【详解】试题分析：（1）先设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-）入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PA+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x=2时，即可求得P的坐标． 试题解析：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 代入A（-1，0），B（5，0），C（0，-）三点，得 ， 解得， 所以这个二次函数的解析式是:． （2）∵ = ∴抛物线的对称轴为x=2， 设直线BC的解析式为y=kx+m， ∴ 解得， ∴直线BC的解析式为y=， 当x=2时，y=-， ∴P点的坐标为（2，-）. 考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.轴对称-最短路线问题． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由直线与坐标轴的交点得到、，再由抛物线对称性求出抛物线与轴交点，再利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据动点最值问题-将军饮马模型的解法，利用对称性、结合三角形三边关系得到的值最小为线段的长，即可确定取最小值时对称轴上的点，将代入直线的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得，即， 将代入，得，解得，即， 对称轴为直线，点关于对称轴对称， ， 设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，， 当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长， 将代入直线的函数解析式，得， 此时． 【点睛】本题考查抛物线综合，涉及直线与抛物线综合问题、待定系数法确定函数、抛物线与动点最值问题、将军饮马模型等知识，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)；， (3)． 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$