（典型例题篇）第七单元数学广角——植树问题【九大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 24 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 2 日 2 / 24 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第七单元数学广角——植树问题【九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第七单元数学广角——植树问题 专题内容 本专题以植树问题为主，其中包括植树问题的多种变式问题。 总体评价 讲解建议 建议本章核心内容进行讲解。 考点数量 九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】关于植树问题的类型判断 ................................................................................4 【考点二】植树问题其一：两端都种的问题“基础型” ................................................. 5 【考点三】植树问题其二：两端都种的问题“提高型” ................................................. 8 【考点四】植树问题其三：两端都种的问题“拓展型” ............................................... 12 【考点五】植树问题其四：只有一端种的问题 .............................................................. 14 【考点六】植树问题其五：两端都不种的问题 .............................................................. 16 【考点七】植树问题其六：封闭路线中的植树问题 .......................................................19 【考点八】植树问题变式其一：锯木头、爬楼梯、敲钟表 ........................................... 21 【考点九】植树问题变式其二：方阵问题 ...................................................................... 23 3 / 24 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 一、植树问题的概念。 按相等距离植树，在总距离、间隔数（段数）、株距之间，已知其中两个，求第 三个量，这类应用题叫做植树问题。 二、植树问题的基础公式。 1.总距离=株距×间隔数 2.株距=总距离÷间隔数 3.间隔数=总距离÷株距 三、植树问题的类型。 （一）不封闭路线上的植树问题。 1.两端都栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数-1 （棵数=间隔数+1） 2.一端栽另一端不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 3.两端都不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数+1 （棵树=间隔数-1） 注意：分清是一边植树问题？还是两边都植树问题？（例如：林荫道...） （二）封闭路线上的植树问题。 4 / 24 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 注意：封闭图形的植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭 合曲线等上面植树。 方形植树：棵数=距离÷棵数-4 三角形植树：棵数=距离÷棵数-3 四、植树问题的解题思路。 先弄清植树问题的类型，然后利用公式解决。 【考点一】关于植树问题的类型判断。 【方法点拨】 掌握植树问题的类型，要熟悉各类型的特点，可以借助线段简图来理解记忆。 【典型例题】。 “一根木头要把它平均分成 5段，每锯一段需要 5分钟，锯完这根木头需要多少 分钟？”这题属于植树问题中的( )。 A．两端都不栽 B．两端都栽 C．一端栽一端不栽 解析：A 【对应练习 1】 园林工人沿一条长 108米的笔直的公路一侧植树，每隔 6米植一棵，一共栽了 17棵，正确的植树方法是( )。 A．两端都不栽 B．只栽一端 C．两端都栽 解析：A 【对应练习 2】 5 / 24 在一条 10米长的小路的一旁栽树，每隔 2米栽一棵，共栽了 6棵，正确的栽法 是( )。 A．两端都不栽 B．两端都栽 C．只栽一端 解析：B 【对应练习 3】 为迎接六一儿童节，学校准备在教学楼前 60米的道路两旁摆放鲜花（靠墙一端 不放），相邻两盆花之间的距离 3米．一共需要几盆花？属于( )。 A．两端种 B．一端种 C．两端不种 解析：B 【考点二】植树问题其一：两端都种的问题“基础型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题】 1.【求棵数】在一条长 20米的小路一侧种树，如果每隔 5米种一棵，而且两头 都种，这条小路上共可以种多少棵树？ 解析： 20÷5＋1 ＝4＋1 ＝5（棵） 答：这条小路上共可以种 5棵树。 2.【求总距离】湖滨路种着一排柳树，每相邻两棵树之间的距离是 5米。小强从 第 1棵树跑到第 40棵树，他一共跑了多少米？ 解析： 6 / 24 （40－1）×5 ＝39×5 ＝195（米） 答：他一共跑了 195米。 3.【求株距】某公园需要在距离为 90米的东西入口之间等距离地布置 16个指示 牌（入口处也布置指示牌），每两个指示牌之间的距离是多少米？ 【答案】6米 【分析】本题属于“两端都栽”的植树问题。每两个指示牌之间的距离看作一段， 则 16个指示牌之间一共有 16－1＝15段。用两个入口之间的全长除以 15即可求 出每两个指示牌之间的距离是多少米。 【详解】90÷（16－1） ＝90÷15 ＝6（米） 答：每两个指示牌之间的距离是 6米。 【点睛】本题考查植树问题。间隔＝全长÷（棵数－1），本题中明确段数＝指示 牌的个数－1是解题的关键。 【对应练习 1】 “垃圾科学分类，文明你我同行”，朝阳社区在 1800米长的公路一旁设置垃圾桶 摆放点，每两个垃圾桶摆放点之间相隔 50米（两端都摆放），一共要设置多少 个垃圾桶摆放点？ 【答案】37个 【分析】此题属于植树问题中两端都栽的情况，植树棵数比间隔数多 1，根据“间 隔数＝总长÷间距”求出间隔数，再加 1即可求出要设置的垃圾桶摆放点，据此解 答。 【详解】1800÷50＝36（个） 36＋1＝37（个） 答：一共要设置 37个垃圾桶摆放点。 【点睛】本题主要考查植树问题，熟练掌握植树棵数和间隔数之间的关系是解答 题目的关键。 7 / 24 【对应练习 2】 学校开运动会，在 100米长的跑道一旁的两端已经插了两面大红旗，老师要求每 间隔 5米再插一面小彩旗，共需插小彩旗多少面？ 【答案】19面 【分析】用跑道的总长除以间距 5米，求出间隔数。跑道一旁的两端已经插了两 面大红旗，相当于两端都不栽，那么间隔数减去 1是小彩旗的面数。 【详解】100÷5－1 ＝20－1 ＝19（面） 答：共需插小彩旗 19面。 【点睛】本题主要考查植树问题，熟练掌握植树棵数和间隔数之间的关系是解答 题目的关键。 【对应练习 3】 在一条林荫道的一旁栽树（两端都栽），从一端到另一端共栽了 9棵树，相邻的 两棵树相隔 3米，这条林荫道长多少米？ 【答案】24米 【分析】两端都植，段数＝棵数－1，先求出段数，段数×间距＝总长，据此列式 解答。 【详解】（9－1）×3 ＝8×3 ＝24（米） 答：这条林荫道长 24米。 【点睛】关键是掌握植树问题解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 【对应练习 4】 施工队要在一条新修的大道的一侧从头到尾每隔 15米竖一根电线杆，共用电线 杆 86根。这条大道全长多少米？ 【答案】1275米 【分析】从头到尾每隔 15米竖一根电线杆，说明属于两端都植，段数＝棵数－1， 先确定段数，段数×间距＝大道全长，据此列式解答。 8 / 24 【详解】（86－1）×15 ＝85×15 ＝1275（米） 答：这条大道全长 1275米。 【点睛】关键是掌握植树问题的解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 【考点三】植树问题其二：两端都种的问题“提高型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题 1】问题一。 笔直的跑道一旁插著 49面小旗（两端都插），它们的间隔是 4米，现在要改为 间隔是 6米，可以插多少面小旗？ 【答案】33面 【分析】本题考查了植树问题，根据公式如果植树线路的两端都植树，那么全长 ÷间距＝间隔数，用间隔数再加上 1就是植树的棵树，由此可得：小旗的面数减 1的差乘间距，可得全长，将数据代入求出该跑道的长度，再用长度除以新的间 距，最后加 1，求出小旗的面数。 【详解】由分析可得： 4×（49－1） ＝4×48 ＝192（米） 192÷6＋1 ＝32＋1 ＝33（面） 答：可以插 33面小旗。 【点睛】本题考查了植树问题的相关知识，注意分情况讨论，不同的植树方式有 不同的间隔数和不同的棵数。 9 / 24 【对应练习 1】 一条公路的一边原计划要安装 16盏路灯（头尾都安装），每两盏灯之间间隔 8 米。现在间隔要改为 6米，应安装多少盏路灯？ 【答案】21盏 【分析】由题意可知，一条公路的一边原计划要安装 16盏路灯（头尾都安装）， 则共有 16－1＝15个间隔，再根据间隔数×间隔长度＝总长度，据此求出这条公 路的长度，最后根据路灯的盏数＝间隔数＋1（两端都安装），据此解答即可。 【详解】（16－1）×8÷6＋1 ＝15×8÷6＋1 ＝120÷6＋1 ＝20＋1 ＝21（盏） 答：应安装 21盏路灯。 【点睛】本题考查植树问题，明确植树的棵数与间隔数之间的关系是解题的关键。 【对应练习 2】 园林工人在长 60米的小路两边每隔 5米栽一棵树（首尾都栽），现在要改成每 隔 4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？ 【答案】8棵 【分析】不用移栽的树应是 4和 5的公倍数，用 60除以 4和 5的公倍数，再加 上 1，就是一边不用移栽的树；因为在路两边都栽树，计算出结果再乘 2即可。 【详解】4和 5的最小公倍数：4×5＝20 60÷20＋1 ＝3＋1 ＝4（棵） 4×2＝8（棵） 答：不用移栽的树有 8棵。 【点睛】本题的关键是让学生理解不用移栽的树是 4和 5的公倍数，注意因首尾 都栽，起始的一棵也不用移栽。还要注意路两边植树。 【对应练习 3】 10 / 24 在笔直的跑道上插着 51面小旗，它们的间隔是 4米。现在要改为只插 26面小旗 （两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 【答案】8米 【分析】根据题意可知，两端都插，旗子的数量比间隔数多 1，由此先求出原来 的间隔数，再乘上 2求出总长度，再用跑道总长度÷间隔数＝间隔长度。由此解 答即可。 【详解】51－1＝50（个） 50×4＝200（米） 26－1＝25（个） 200÷25＝8（米） 答：间隔应改为 8米。 【点睛】此题考查了植树问题。关键是知道旗子数＝间隔数＋1。 【典型例题 2】问题二。 在一条 240米的路的两边种树，每隔 5米种一棵，两头都要种，一共要种多少棵？ 【答案】98棵 【分析】两端都栽，那么植树的棵数＝间隔数＋1，先用 240除以 5，求出间隔 数，再加上 1，就是一边植树的棵数，然后再乘 2就是一共需要的棵数。 【详解】（240÷5＋1）×2 ＝（48＋1）×2 ＝49×2 ＝98（棵） 答：一共要种 98棵。 【点睛】本题属于两端都栽的植树问题：植树棵数＝间隔数＋1，注意是两边都 栽，再乘 2。 【对应练习 1】 有一条长 2千米的小路，在路的两边每隔 5米栽一棵杨树（两端都栽），从头到 尾一共需要栽杨树多少棵？ 【答案】802棵 【分析】2千米＝2000米，因为两端都要栽，所以一边的杨树棵数＝间隔数＋1， 11 / 24 间隔数＝总长度÷间隔距离，用 2000÷5＋1即可求出一边的杨树棵数，再乘 2即 可求出从头到尾一共需要栽杨树多少棵。 【详解】2千米＝2000米 2000÷5＋1 ＝400＋1 ＝401（棵） 401×2＝802（棵） 答：从头到尾一共需要栽杨树 802棵。 【点睛】本题主要考查了植树问题的灵活应用，掌握相关公式是解答本题的关键。 【对应练习 2】 园林工人沿一条笔直的公路两侧植树，每隔 5米植一棵（两端都植），公路长 250米。一共需要准备多少棵树苗？ 【答案】102棵 【分析】根据题意，公路长 250米，每隔 5米植一棵树，根据“全长÷间距＝间隔 数”，求出树的间隔数；因为两端都植，则“棵数＝间隔数＋1”，求出公路一侧植 树的棵数，再乘 2，即是公路两侧植树的棵数。 【详解】公路一侧植树： 250÷5＋1 ＝50＋1 ＝51（棵） 公路两侧植树： 51×2＝102（棵） 答：一共需要准备 102棵树苗。 【点睛】本题考查植树问题，掌握沿直线上栽树的三种情况：两端都栽时，棵数 ＝间隔数＋1；两端都不栽时，棵数＝间隔数－1；一端栽一端不栽时，棵数＝间 隔数。 【对应练习 3】 某市为了创建文明城市，在一条长 800米的步行街道两旁每隔 200米安放一个垃 圾分类箱（两端都放），环卫工人需要准备多少个垃圾分类箱？ 12 / 24 【答案】10个 【分析】已知步行街道长 800米，在步行街道两旁每隔 200米放置一个垃圾分类 箱（两端都放），属于两端都栽的植树问题，则垃圾分类箱的个数＝步行街道的 长度÷间隔长度＋1，然后再乘 2即可。 【详解】（800÷200＋1）×2 ＝（4＋1）×2 ＝5×2 ＝10（个） 答：环卫工人需要准备 10个垃圾分类箱。 【点睛】本题考查了植树问题，植树问题中两端都栽时，间隔数＋1＝植树数。 【考点四】植树问题其三：两端都种的问题“拓展型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题】 去年在一条长 630米的公路两边，从头到尾每隔 9米种一棵树，今年感觉栽的树 有些少，要在每两棵树之间补种 2棵，一共要补种多少棵树？现在一共有多少棵 树？ 【答案】280棵；422棵 【分析】此题属于两端都栽的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数＋1。先求 出公路一边的棵数，把一旁的棵数乘 2就是两边棵数。间隔数×2就是补种的棵 数。最后相加就是总棵数。 【详解】630÷9＋1 ＝70＋1 ＝71（棵） （71－1）×2×2 ＝70×2×2 13 / 24 ＝140×2 ＝280（棵） 71×2＋280 ＝142＋280 ＝422（棵） 答：一共要补种 280棵树，现在一共有 422棵树。 【点睛】此题主要考查了植树问题的公式，要熟练掌握。 【对应练习 1】 乐乐老师组织学生们植树 ，在一条长 120米的马路两边每隔 30米种一棵梧桐树 （两端都种），在每相邻的 2棵梧桐树之间又补种 1棵香樟树。 这条马路两边 一共种了多少棵树？（树的宽度忽略不计） 解析： （120÷30＋1）×2＋120÷30×2 ＝5×2＋4×2 ＝10＋8 ＝18（棵） 答：这条马路两边一共种了 18棵树。 【对应练习 2】 有一块三角形的草地，草地的三条边分别是 60米、72米、96米。在草地的周围 每隔 6米栽一棵海棠（三个顶点都栽），在相邻两棵海棠之间等距离地栽 2棵月 季花。一共栽了多少棵海棠？栽了多少棵月季？ 【答案】38棵海棠，76棵月季 【分析】根据题意，先计算出三角形草地的总长度，即用 60＋72＋96＝228（米）， 由于是在封闭图形上植树，所以植树的棵数等于间隔数，即 228米除以每棵树间 隔的 6米，得到 38个间隔，因此一共可以栽 38棵海棠。对于月季花的数量，由 于每两棵海棠之间等距离地栽 2棵月季花，所以月季花的总数是海棠树间隔数的 两倍，即用 38乘上 2求出月季数量。 【详解】60＋72＋96 ＝132＋96 ＝228（米） 14 / 24 海棠：228÷6＝38（棵） 月季：38×2＝76（棵） 答：一共栽了 38棵海棠，76棵月季。 【对应练习 3】 园林队在一段公路的一旁栽种了 37棵树，每相邻两棵树间隔 5米。现要改为每 相邻两棵树间隔 4米（两端的树不动），需要补种多少棵？有多少棵树不需要移 动？ 【答案】9棵；10棵 【分析】两端都植树，（棵树－1）×间隔距离＝植树的总距离；求出这段公路的 长度，除以 4加 1求出间隔 4米需要载的总棵树。减去原有的棵树，即是需要补 种的棵树；不需要移动的数，也就是间隔米数是 5和 4的最小公倍数（20）的树， 因为两端的树不动，求出这段公路长度一共有几个 20米，再加 1即可。 【详解】（37－1）×5÷4＋1－37 ＝180÷4＋1－37 ＝46－37 ＝9（棵）； 4，5的最小公倍数为 20， （37－1）×5÷20＋1 ＝180÷20＋1 ＝9＋1 ＝10（棵） 答：需要补种 9棵，有 10棵树不需要移动。 【点睛】此题考查了植树问题，注意两端是否栽树，找准数量关系，先求出这段 公路长度是解题关键。 【考点五】植树问题其四：只有一端种的问题。 【方法点拨】 只有一端种的问题： 1. 树木的数量=路的长度÷间隔 2. 路的长度=树木的数量×间隔 15 / 24 3. 间隔=路的长度÷树木的数量。 【典型例题】 1．【棵数】小明家门前有一条 35米长的小路，绿化队要在小路一旁栽一排树， 每隔 5米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？ 【答案】7棵 【分析】一端栽，一端不栽时，植树数量＝总长÷间隔，所以用小路的总长 35 米除以 5米，求出一共要栽多少棵树。 【详解】35÷5＝7（棵） 答：一共要栽 7棵树。 【点睛】本题考查了植树问题，解题关键是根据题意正确列式。 2．【株距】在一条 81米小路的一侧均匀地栽树（只栽一端），一共栽了 9棵树， 每相邻两棵树之间的距离是( )米。 【答案】9 【分析】如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株距＝全长 ÷株数，用 81米除以 9可以计算出每相邻两棵树之间的距离；据此解答。 【详解】根据分析：81÷9＝9（米），所以每相邻两棵树之间的距离是 9米。 3．【路长】在一条公路上每隔 20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架 设，共用了 45根电线杆。这条路全长多少米？ 【答案】900米 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，间距×段数 ＝全长，据此列式解答。 【详解】45×20＝900（米） 答：这条路全长 900米。 【对应练习 1】 一条路长 1000米，在路的一旁安装路灯，每隔 20米安装一盏（一端安另一端不 安），一共需要准备多少盏路灯？ 【答案】50盏 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，路的长度÷ 间距＝路灯数量，据此列式解答。 16 / 24 【详解】1000÷20＝50（盏） 答：一共需要准备 50盏路灯。 【对应练习 2】 为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前 60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学楼 墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是 3米，一共需要多少盆花？ 【答案】40盆 【分析】在不封闭路线上一端栽树，另一端不栽树的问题的规律：总距离÷株距 ＝间隔数，棵数＝间隔数。由题意可知：靠教学楼墙的一端不放花，另一端放花。 总距离是 60米，株距是 3米，用 60÷3求出间隔数是 20个，也就是一侧的盆数 是 20盆；再用 20×2求出两侧的盆数，即一共需要的盆数。 【详解】60÷3×2 ＝20×2 ＝40（盆） 答：一共需要 40盆花。 【点睛】解决植树问题的关键是理清棵数与间隔数之间的关系、弄清是否两旁都 要植树。 【对应练习 3】 一条公路长为 1000米，园林工人计划在公路的两侧植树，每 20米栽一棵。如果 公路的一端栽，另一端不栽，那么一共需要栽多少棵树？ 【答案】102棵 【分析】一端栽，另一端不栽，则植树棵数＝间隔数；用公路长除以间隔长度求 出间隔数，也就是一侧的棵数，由于在公路两侧栽树，再乘 2，即可求出一共需 要栽多少棵树。 【详解】1000÷20＝50（棵） 50×2＝100（棵） 答：一共需要栽 100棵树。 【考点六】植树问题其五：两端都不种的问题。 【方法点拨】 两端都不种的植树问题： 17 / 24 1. 棵数=段数-1=全长÷株距－1 2. 株距=全长÷（棵数+1） 3. 全长=株距×（棵数+1）。 【典型例题】 1．【棵数】阳光村要在 570米长的河岸一侧栽树，每两棵树之间的距离都是 6 米。如果河岸的两头都不栽树，那么一共需要多少棵树苗？ 【答案】94棵 【分析】用河岸的总长除以两棵树间的间隔长度求出一共有多少个间隔，两头都 不栽树，那么树的棵数＝间隔数－1，据此即可求出一侧栽树需要的棵数。 【详解】570÷6－1 ＝95－1 ＝94（棵） 答：一共需要 94棵树。 2．【株距】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距 100米的两栋教学 楼间拉一条彩条，挂 19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的 距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】根据题意，相距 100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂 19个红灯笼（两 端不挂），属于植树问题中两端都不栽的情况，则间隔数＝棵数＋1，即 19个红 灯笼有（19＋1）个间隔；再用两栋教学楼的距离除以间隔数，求出相邻两个红 灯笼之间的距离。 【详解】100÷（19＋1） ＝100÷20 ＝5（米） 答：相邻两个红灯笼之间的距离是 5米。 3．【路长】在一条公路上每隔 20米架设一根电线杆，不算路的两端共用电线杆 54根，这条公路全长多少米？ 【答案】1100米 【分析】不算路的两端共用电线杆 54根，即电线杆之间的间隔数为：54＋1＝55 18 / 24 个，由于每两根电线杆之间的距离是 20米，所以根据乘法的意义，即用间隔数 乘间隔长度就可以求出这条路的长度，据此解答。 【详解】（54＋1）×20 ＝55×20 ＝1100（米） 答：这条公路全长 1100米。 【对应练习 1】 一条长 1000米的街道，现在街道的两侧每隔 20米放一盆花（两端都不放），需 要多少盆花？ 【答案】98盆 【分析】根据植树问题的两端都不栽：“棵数＝间隔数－1”，用这条街道的长除 以间距（20米）求出间隔数，再用间隔数减去 1就是街道一侧放的盆数，再乘 2 即可求出需要多少盆花。 【详解】1000÷20－1 ＝50－1 ＝49（盆） 49×2＝98（盆） 答：需要 98盆花。 【对应练习 2】 晓晓家离学校 1500米，她去学校的马路两边都栽了树（两端都不栽），两棵树 之间的距离是 25米，一共栽了多少棵树？ 【答案】118棵 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都不栽，棵数＝段数－1，晓晓家离学 校的距离÷间距－1＝一边栽的棵数，一边栽的棵数×2＝两边栽的棵数，据此列 式解答。 【详解】1500÷25－1 ＝60－1 ＝59（棵） 59×2＝118（棵） 19 / 24 答：一共栽了 118棵树。 【对应练习 3】 一条林阴路长 135米，在路的一旁每隔 9米种一棵香樟树，两端不种，在相邻两 棵香樟中间放一个石椅，一共要放多少个石椅？ 【答案】13个 【分析】两端都不植，棵数＝段数－1，路的长度÷香樟树间距－1＝香樟树棵数， 石椅放在香樟树的间隔处，香樟树棵数－1＝间隔数，据此求出石椅个数。 【详解】135÷9－1－1 ＝15－1－1 ＝13（个） 答：一共要放 13个石椅。 【考点七】植树问题其六：封闭路线中的植树问题。 【方法点拨】 封闭路线中的植树问题： 1.在圆、正方形、长方形等闭合曲线上植树，因为头尾两端重合在一起，所以种 树的棵数等于分成的段数。 2.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距。 【典型例题】 1．【长方形】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上 气球。教室长 8米，宽 6米，每隔 2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气 球？ 【答案】14个 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，先求出教室一周长度，再根据植树问 题的解题方法，封闭图形植树，棵数＝段数，教室一周长度÷气球间距＝气球个 数，列式解答即可。 【详解】（8＋6）×2÷2 ＝14×2÷2 ＝14（个） 答：共需 14个气球。 20 / 24 2．【圆】一个圆形水池的周长为 372米，如果每隔 4米栽一棵树，那么一共要 栽多少棵树？ 【答案】93棵 【分析】因为在圆形水池的一周栽树，起点处也是终点处，在起点处栽 1棵，终 点处就不会再栽 1棵，每隔 4米栽一棵树，相当于有多少个间隔就要栽多少棵树； 所以用圆形水池的周长 372米除以两棵树的间隔长 4米，求到间隔数，即是栽树 的棵数；再根据三位数除以一位数的法则进行计算：从被除数的最高位除起，用 除数分别去除被除数的每一位，最高位不够除再看前两位；除到被除数的哪一位 就把商写在那一位上面，除到被除数的中间或末尾不够商 1就商 0，每一步除得 的余数都要比除数小。据此解答。 【详解】372÷4＝93（棵） 答：一共要栽 93棵树。 3．【正方形】在一个正方形的水塘四周种上树，每边 10棵树（四个角上都种）。 水塘四周一共种树多少棵？ 【答案】36棵 【分析】每边 10棵树，4个边所以就是种了 4个 10棵树，但是每个角上的那一 棵树都多算了一遍，所以 4个角的 4棵树都多算了一遍，再减去 4即可。 【详解】10×4－4 ＝40－4 ＝36（棵） 答：水塘四周一共种树 36棵。 【对应练习 1】 一个长方形花圃长 20米，宽 12米，沿这个长方形四周每隔 4米栽一棵树，四个 顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【答案】16棵 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出花圃周长，再根据封闭图形植树， 棵数＝段数，花圃周长÷间距＝栽的棵数，列式解答即可。 【详解】（20＋12）×2÷4 ＝32×2÷4 21 / 24 ＝64÷4 ＝16（棵） 答：这个长方形花圃的四周一共栽了 16棵树。 【对应练习 2】 ＊把一个直径是 8米的圆形花坛的半径向外延伸 2米变成一个新的圆形花坛。在 新的圆形花坛周围每隔 1.57米摆一盆月季，能摆多少盆月季？ 【答案】24盆 【分析】由于在新的圆形花坛周围摆月季，那么此时新的圆的直径是 8＋2＋2＝ 12米，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出新的圆形花坛的周长； 花坛周围摆放月季，花坛是封闭图形，相当于一端植树一端不植树，用周长除以 花盆的间隔距离即可求出花盆的数量。 【详解】3.14×（8＋2＋2）÷1.57 ＝3.14×12÷1.57 ＝37.68÷1.57 ＝24（盆） 答：能摆 24盆月季。 【对应练习 3】 在一个圆形的湖边，每隔 13米立一根路灯电线杆，一共立了 23根，这个圆形湖 周长是多少米？ 【答案】299米 【分析】封闭路栽树，数量关系：颗数＝间隔数＝全长÷间距；全长＝间距×棵 数；间距＝全长÷棵数。围成圆圈植树时，植树棵数＝间隔数，由此可得这个圆 形的湖一周的周长有23个间隔，一个间隔的长度是13米，根据乘法的意义，23×13 ＝299米就是这个圆形的湖的周长。 【详解】23×13＝299（米） 答：这个圆形湖周长是 299米。 【考点八】植树问题变式其一：锯木头、爬楼梯、敲钟表。 【方法点拨】 锯木头问题可以理解成一条线段的两端都不植树的问题，在锯木头问题中，锯的 22 / 24 段数相当于间隔数，锯的次数相当于棵数，锯的次数=锯的段数－1。 【典型例题 1】锯木头。 把一根木头锯成 5段，每锯一次需要 3分钟。一共要多少分钟？ 解析： 锯成 5段是锯了 4次，一共锯的分钟数：3×4＝12（分钟） 答：一共要锯 12分钟。 【典型例题 2】爬楼梯。 爷爷从 1楼爬到 2楼用时 3分，那么用同样的速度，他从 1楼爬到 5楼需要多少 分？ 解析： 3×（5－1） ＝3×4 ＝12（分） 答：从 1楼到 5楼需要 12分。 【典型例题 3】敲钟表。 时钟 3点敲 3下用 6秒，敲 8下需要几秒？ 解析： 6÷（3－1）×（8－1） ＝6÷2×7 ＝21（秒） 答：敲 8下需要 21秒。 【对应练习 1】 一根木头长 12米，要把它锯成长度相等的 6段，每锯一次需要 7分钟，锯完一 共需要多少分钟？ 解析：  6 1 7  5 7  35 （分钟） 答：锯完一共需要 35分钟。 23 / 24 【对应练习 2】 球球家住在四楼，每层楼有 8级台阶 ，球球从一楼到家要走多少级台阶？ 解析： 8×（4－1） ＝8×3 ＝24（级） 答：球球从一楼到家要走 24级台阶。 【对应练习 3】 爬了很多阶楼梯回家后，丁丁发现妈妈为新装修的房子添置新时钟，时钟 6点敲 6下 ，10秒敲完，那么 10点敲 10下，多少秒可以敲完？ 解析： 10÷（6－1） ＝10÷5 ＝2（秒） 2×（10－1） ＝2×9 ＝18（秒） 答：10点敲 10下，18秒可以敲完。 【考点九】植树问题变式其二：方阵问题。 【方法点拨】 方阵问题： 1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别； 2.每边的个数=总数÷4＋1； 3.每向里一层，每边棋子数减少 2； 4.掌握计算层数、每层个数、总个数的方法及每层个数的变化规律。 【典型例题】 浩浩用棋子摆了一个三层空心方阵，如果最外层每边有 18个棋子，那么摆这个 方阵最里层一周一共用了多少个棋子？摆这个三层空心方阵一共用了多少个棋 子？ 24 / 24 解析： 方法一： （18-2-2-1）×4=52（个） 方法二： （18-1）×4=68（个） 68-8-8=52（个） 答∶摆这个方阵最里层一周一共用了 52个棋子。 【对应练习 1】 三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为 32人，所以这 个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 解析： 每边有 32÷4＋1=9（人）或（32＋4）÷4=9（人），共 9×9=81（人）。 【对应练习 2】 对一块空地进行种树绿化，要把树种成实心方阵的样子，最外面一周有 60棵树， 问这个方阵外层每边有多少棵树？ 解析：方阵最外层每边树的数目：60÷4＋1=16（棵） 【对应练习 3】 三年级一班学生摆成一个实心方阵，最外一层每边 9人，那么整个方阵一共多少 人？ 解析：整个方阵共有：9×9=81（人）。 1 / 16 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 2 日 2 / 16 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第七单元数学广角——植树问题【九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第七单元数学广角——植树问题 专题内容 本专题以植树问题为主，其中包括植树问题的多种变式问题。 总体评价 讲解建议 建议本章核心内容进行讲解。 考点数量 九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】关于植树问题的类型判断 ................................................................................4 【考点二】植树问题其一：两端都种的问题“基础型” ................................................. 5 【考点三】植树问题其二：两端都种的问题“提高型” ................................................. 7 【考点四】植树问题其三：两端都种的问题“拓展型” ................................................. 9 【考点五】植树问题其四：只有一端种的问题 .............................................................. 10 【考点六】植树问题其五：两端都不种的问题 .............................................................. 11 【考点七】植树问题其六：封闭路线中的植树问题 .......................................................12 【考点八】植树问题变式其一：锯木头、爬楼梯、敲钟表 ........................................... 14 【考点九】植树问题变式其二：方阵问题 ...................................................................... 15 3 / 16 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 一、植树问题的概念。 按相等距离植树，在总距离、间隔数（段数）、株距之间，已知其中两个，求第 三个量，这类应用题叫做植树问题。 二、植树问题的基础公式。 1.总距离=株距×间隔数 2.株距=总距离÷间隔数 3.间隔数=总距离÷株距 三、植树问题的类型。 （一）不封闭路线上的植树问题。 1.两端都栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数-1 （棵数=间隔数+1） 2.一端栽另一端不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 3.两端都不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数+1 （棵树=间隔数-1） 注意：分清是一边植树问题？还是两边都植树问题？（例如：林荫道...） （二）封闭路线上的植树问题。 4 / 16 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 注意：封闭图形的植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭 合曲线等上面植树。 方形植树：棵数=距离÷棵数-4 三角形植树：棵数=距离÷棵数-3 四、植树问题的解题思路。 先弄清植树问题的类型，然后利用公式解决。 【考点一】关于植树问题的类型判断。 【方法点拨】 掌握植树问题的类型，要熟悉各类型的特点，可以借助线段简图来理解记忆。 【典型例题】。 “一根木头要把它平均分成 5段，每锯一段需要 5分钟，锯完这根木头需要多少 分钟？”这题属于植树问题中的( )。 A．两端都不栽 B．两端都栽 C．一端栽一端不栽 【对应练习 1】 园林工人沿一条长 108米的笔直的公路一侧植树，每隔 6米植一棵，一共栽了 17棵，正确的植树方法是( )。 A．两端都不栽 B．只栽一端 C．两端都栽 【对应练习 2】 在一条 10米长的小路的一旁栽树，每隔 2米栽一棵，共栽了 6棵，正确的栽法 是( )。 5 / 16 A．两端都不栽 B．两端都栽 C．只栽一端 【对应练习 3】 为迎接六一儿童节，学校准备在教学楼前 60米的道路两旁摆放鲜花（靠墙一端 不放），相邻两盆花之间的距离 3米．一共需要几盆花？属于( )。 A．两端种 B．一端种 C．两端不种 【考点二】植树问题其一：两端都种的问题“基础型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题】 1.【求棵数】在一条长 20米的小路一侧种树，如果每隔 5米种一棵，而且两头 都种，这条小路上共可以种多少棵树？ 2.【求总距离】湖滨路种着一排柳树，每相邻两棵树之间的距离是 5米。小强从 第 1棵树跑到第 40棵树，他一共跑了多少米？ 3.【求株距】某公园需要在距离为 90米的东西入口之间等距离地布置 16个指示 牌（入口处也布置指示牌），每两个指示牌之间的距离是多少米？ 6 / 16 【对应练习 1】 “垃圾科学分类，文明你我同行”，朝阳社区在 1800米长的公路一旁设置垃圾桶 摆放点，每两个垃圾桶摆放点之间相隔 50米（两端都摆放），一共要设置多少 个垃圾桶摆放点？ 【对应练习 2】 学校开运动会，在 100米长的跑道一旁的两端已经插了两面大红旗，老师要求每 间隔 5米再插一面小彩旗，共需插小彩旗多少面？ 【对应练习 3】 在一条林荫道的一旁栽树（两端都栽），从一端到另一端共栽了 9棵树，相邻的 两棵树相隔 3米，这条林荫道长多少米？ 【对应练习 4】 施工队要在一条新修的大道的一侧从头到尾每隔 15米竖一根电线杆，共用电线 杆 86根。这条大道全长多少米？ 7 / 16 【考点三】植树问题其二：两端都种的问题“提高型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题 1】问题一。 笔直的跑道一旁插著 49面小旗（两端都插），它们的间隔是 4米，现在要改为 间隔是 6米，可以插多少面小旗？ 【对应练习 1】 一条公路的一边原计划要安装 16盏路灯（头尾都安装），每两盏灯之间间隔 8 米。现在间隔要改为 6米，应安装多少盏路灯？ 【对应练习 2】 园林工人在长 60米的小路两边每隔 5米栽一棵树（首尾都栽），现在要改成每 隔 4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？ 【对应练习 3】 在笔直的跑道上插着 51面小旗，它们的间隔是 4米。现在要改为只插 26面小旗 （两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 8 / 16 【典型例题 2】问题二。 在一条 240米的路的两边种树，每隔 5米种一棵，两头都要种，一共要种多少棵？ 【对应练习 1】 有一条长 2千米的小路，在路的两边每隔 5米栽一棵杨树（两端都栽），从头到 尾一共需要栽杨树多少棵？ 【对应练习 2】 园林工人沿一条笔直的公路两侧植树，每隔 5米植一棵（两端都植），公路长 250米。一共需要准备多少棵树苗？ 【对应练习 3】 某市为了创建文明城市，在一条长 800米的步行街道两旁每隔 200米安放一个垃 圾分类箱（两端都放），环卫工人需要准备多少个垃圾分类箱？ 9 / 16 【考点四】植树问题其三：两端都种的问题“拓展型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题】 去年在一条长 630米的公路两边，从头到尾每隔 9米种一棵树，今年感觉栽的树 有些少，要在每两棵树之间补种 2棵，一共要补种多少棵树？现在一共有多少棵 树？ 【对应练习 1】 乐乐老师组织学生们植树 ，在一条长 120米的马路两边每隔 30米种一棵梧桐树 （两端都种），在每相邻的 2棵梧桐树之间又补种 1棵香樟树。 这条马路两边 一共种了多少棵树？（树的宽度忽略不计） 【对应练习 2】 有一块三角形的草地，草地的三条边分别是 60米、72米、96米。在草地的周围 每隔 6米栽一棵海棠（三个顶点都栽），在相邻两棵海棠之间等距离地栽 2棵月 季花。一共栽了多少棵海棠？栽了多少棵月季？ 10 / 16 【对应练习 3】 园林队在一段公路的一旁栽种了 37棵树，每相邻两棵树间隔 5米。现要改为每 相邻两棵树间隔 4米（两端的树不动），需要补种多少棵？有多少棵树不需要移 动？ 【考点五】植树问题其四：只有一端种的问题。 【方法点拨】 只有一端种的问题： 1. 树木的数量=路的长度÷间隔 2. 路的长度=树木的数量×间隔 3. 间隔=路的长度÷树木的数量。 【典型例题】 1．【棵数】小明家门前有一条 35米长的小路，绿化队要在小路一旁栽一排树， 每隔 5米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？ 2．【株距】在一条 81米小路的一侧均匀地栽树（只栽一端），一共栽了 9棵树， 每相邻两棵树之间的距离是( )米。 3．【路长】在一条公路上每隔 20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架 设，共用了 45根电线杆。这条路全长多少米？ 【对应练习 1】 一条路长 1000米，在路的一旁安装路灯，每隔 20米安装一盏（一端安另一端不 安），一共需要准备多少盏路灯？ 11 / 16 【对应练习 2】 为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前 60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学楼 墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是 3米，一共需要多少盆花？ 【对应练习 3】 一条公路长为 1000米，园林工人计划在公路的两侧植树，每 20米栽一棵。如果 公路的一端栽，另一端不栽，那么一共需要栽多少棵树？ 【考点六】植树问题其五：两端都不种的问题。 【方法点拨】 两端都不种的植树问题： 1. 棵数=段数-1=全长÷株距－1 2. 株距=全长÷（棵数+1） 3. 全长=株距×（棵数+1）。 【典型例题】 1．【棵数】阳光村要在 570米长的河岸一侧栽树，每两棵树之间的距离都是 6 米。如果河岸的两头都不栽树，那么一共需要多少棵树苗？ 2．【株距】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距 100米的两栋教学 楼间拉一条彩条，挂 19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的 距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 12 / 16 3．【路长】在一条公路上每隔 20米架设一根电线杆，不算路的两端共用电线杆 54根，这条公路全长多少米？ 【对应练习 1】 一条长 1000米的街道，现在街道的两侧每隔 20米放一盆花（两端都不放），需 要多少盆花？ 【对应练习 2】 晓晓家离学校 1500米，她去学校的马路两边都栽了树（两端都不栽），两棵树 之间的距离是 25米，一共栽了多少棵树？ 【对应练习 3】 一条林阴路长 135米，在路的一旁每隔 9米种一棵香樟树，两端不种，在相邻两 棵香樟中间放一个石椅，一共要放多少个石椅？ 【考点七】植树问题其六：封闭路线中的植树问题。 【方法点拨】 封闭路线中的植树问题： 1.在圆、正方形、长方形等闭合曲线上植树，因为头尾两端重合在一起，所以种 树的棵数等于分成的段数。 2.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距。 13 / 16 【典型例题】 1．【长方形】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上 气球。教室长 8米，宽 6米，每隔 2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气 球？ 2．【圆】一个圆形水池的周长为 372米，如果每隔 4米栽一棵树，那么一共要 栽多少棵树？ 3．【正方形】在一个正方形的水塘四周种上树，每边 10棵树（四个角上都种）。 水塘四周一共种树多少棵？ 【对应练习 1】 一个长方形花圃长 20米，宽 12米，沿这个长方形四周每隔 4米栽一棵树，四个 顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【对应练习 2】 ＊把一个直径是 8米的圆形花坛的半径向外延伸 2米变成一个新的圆形花坛。在 新的圆形花坛周围每隔 1.57米摆一盆月季，能摆多少盆月季？ 14 / 16 【对应练习 3】 在一个圆形的湖边，每隔 13米立一根路灯电线杆，一共立了 23根，这个圆形湖 周长是多少米？ 【考点八】植树问题变式其一：锯木头、爬楼梯、敲钟表。 【方法点拨】 锯木头问题可以理解成一条线段的两端都不植树的问题，在锯木头问题中，锯的 段数相当于间隔数，锯的次数相当于棵数，锯的次数=锯的段数－1。 【典型例题 1】锯木头。 把一根木头锯成 5段，每锯一次需要 3分钟。一共要多少分钟？ 【典型例题 2】爬楼梯。 爷爷从 1楼爬到 2楼用时 3分，那么用同样的速度，他从 1楼爬到 5楼需要多少 分？ 【典型例题 3】敲钟表。 时钟 3点敲 3下用 6秒，敲 8下需要几秒？ 15 / 16 【对应练习 1】 一根木头长 12米，要把它锯成长度相等的 6段，每锯一次需要 7分钟，锯完一 共需要多少分钟？ 【对应练习 2】 球球家住在四楼，每层楼有 8级台阶 ，球球从一楼到家要走多少级台阶？ 【对应练习 3】 爬了很多阶楼梯回家后，丁丁发现妈妈为新装修的房子添置新时钟，时钟 6点敲 6下 ，10秒敲完，那么 10点敲 10下，多少秒可以敲完？ 【考点九】植树问题变式其二：方阵问题。 【方法点拨】 方阵问题： 1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别； 2.每边的个数=总数÷4＋1； 3.每向里一层，每边棋子数减少 2； 4.掌握计算层数、每层个数、总个数的方法及每层个数的变化规律。 【典型例题】 浩浩用棋子摆了一个三层空心方阵，如果最外层每边有 18个棋子，那么摆这个 方阵最里层一周一共用了多少个棋子？摆这个三层空心方阵一共用了多少个棋 子？ 16 / 16 【对应练习 1】 三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为 32人，所以这 个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 【对应练习 2】 对一块空地进行种树绿化，要把树种成实心方阵的样子，最外面一周有 60棵树， 问这个方阵外层每边有多少棵树？ 【对应练习 3】 三年级一班学生摆成一个实心方阵，最外一层每边 9人，那么整个方阵一共多少 人？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月2日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第七单元数学广角——植树问题【九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第七单元数学广角——植树问题 专题内容 本专题以植树问题为主，其中包括植树问题的多种变式问题。 总体评价 讲解建议 建议本章核心内容进行讲解。 考点数量 九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】关于植树问题的类型判断 4 【考点二】植树问题其一：两端都种的问题“基础型” 5 【考点三】植树问题其二：两端都种的问题“提高型” 7 【考点四】植树问题其三：两端都种的问题“拓展型” 9 【考点五】植树问题其四：只有一端种的问题 10 【考点六】植树问题其五：两端都不种的问题 11 【考点七】植树问题其六：封闭路线中的植树问题 12 【考点八】植树问题变式其一：锯木头、爬楼梯、敲钟表 14 【考点九】植树问题变式其二：方阵问题 15 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 一、植树问题的概念。 按相等距离植树，在总距离、间隔数（段数）、株距之间，已知其中两个，求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 二、植树问题的基础公式。 1.总距离=株距×间隔数 2.株距=总距离÷间隔数 3.间隔数=总距离÷株距 三、植树问题的类型。 （一）不封闭路线上的植树问题。 1.两端都栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数-1 （棵数=间隔数+1） 2.一端栽另一端不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 3.两端都不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数+1 （棵树=间隔数-1） 注意：分清是一边植树问题？还是两边都植树问题？（例如：林荫道...） （二）封闭路线上的植树问题。 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 注意：封闭图形的植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭合曲线等上面植树。 方形植树：棵数=距离÷棵数-4 三角形植树：棵数=距离÷棵数-3 四、植树问题的解题思路。 先弄清植树问题的类型，然后利用公式解决。 【考点一】关于植树问题的类型判断。 【方法点拨】 掌握植树问题的类型，要熟悉各类型的特点，可以借助线段简图来理解记忆。 【典型例题】。 “一根木头要把它平均分成5段，每锯一段需要5分钟，锯完这根木头需要多少分钟？”这题属于植树问题中的( )。 A．两端都不栽 B．两端都栽 C．一端栽一端不栽 【对应练习1】 园林工人沿一条长108米的笔直的公路一侧植树，每隔6米植一棵，一共栽了17棵，正确的植树方法是( )。 A．两端都不栽 B．只栽一端 C．两端都栽 【对应练习2】 在一条10米长的小路的一旁栽树，每隔2米栽一棵，共栽了6棵，正确的栽法是( )。 A．两端都不栽 B．两端都栽 C．只栽一端 【对应练习3】 为迎接六一儿童节，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠墙一端不放），相邻两盆花之间的距离3米．一共需要几盆花？属于( )。 A．两端种 B．一端种 C．两端不种 【考点二】植树问题其一：两端都种的问题“基础型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题】 1.【求棵数】在一条长20米的小路一侧种树，如果每隔5米种一棵，而且两头都种，这条小路上共可以种多少棵树？ 2.【求总距离】湖滨路种着一排柳树，每相邻两棵树之间的距离是5米。小强从第1棵树跑到第40棵树，他一共跑了多少米？ 3.【求株距】某公园需要在距离为90米的东西入口之间等距离地布置16个指示牌（入口处也布置指示牌），每两个指示牌之间的距离是多少米？ 【对应练习1】 “垃圾科学分类，文明你我同行”，朝阳社区在1800米长的公路一旁设置垃圾桶摆放点，每两个垃圾桶摆放点之间相隔50米（两端都摆放），一共要设置多少个垃圾桶摆放点？ 【对应练习2】 学校开运动会，在100米长的跑道一旁的两端已经插了两面大红旗，老师要求每间隔5米再插一面小彩旗，共需插小彩旗多少面？ 【对应练习3】 在一条林荫道的一旁栽树（两端都栽），从一端到另一端共栽了9棵树，相邻的两棵树相隔3米，这条林荫道长多少米？ 【对应练习4】 施工队要在一条新修的大道的一侧从头到尾每隔15米竖一根电线杆，共用电线杆86根。这条大道全长多少米？ 【考点三】植树问题其二：两端都种的问题“提高型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题1】问题一。 笔直的跑道一旁插著49面小旗（两端都插），它们的间隔是4米，现在要改为间隔是6米，可以插多少面小旗？ 【对应练习1】 一条公路的一边原计划要安装16盏路灯（头尾都安装），每两盏灯之间间隔8米。现在间隔要改为6米，应安装多少盏路灯？ 【对应练习2】 园林工人在长60米的小路两边每隔5米栽一棵树（首尾都栽），现在要改成每隔4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？ 【对应练习3】 在笔直的跑道上插着51面小旗，它们的间隔是4米。现在要改为只插26面小旗（两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 【典型例题2】问题二。 在一条240米的路的两边种树，每隔5米种一棵，两头都要种，一共要种多少棵？ 【对应练习1】 有一条长2千米的小路，在路的两边每隔5米栽一棵杨树（两端都栽），从头到尾一共需要栽杨树多少棵？ 【对应练习2】 园林工人沿一条笔直的公路两侧植树，每隔5米植一棵（两端都植），公路长250米。一共需要准备多少棵树苗？ 【对应练习3】 某市为了创建文明城市，在一条长800米的步行街道两旁每隔200米安放一个垃圾分类箱（两端都放），环卫工人需要准备多少个垃圾分类箱？ 【考点四】植树问题其三：两端都种的问题“拓展型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题】 去年在一条长630米的公路两边，从头到尾每隔9米种一棵树，今年感觉栽的树有些少，要在每两棵树之间补种2棵，一共要补种多少棵树？现在一共有多少棵树？ 【对应练习1】 乐乐老师组织学生们植树 ，在一条长120米的马路两边每隔30米种一棵梧桐树（两端都种），在每相邻的2棵梧桐树之间又补种1棵香樟树。 这条马路两边一共种了多少棵树？（树的宽度忽略不计） 【对应练习2】 有一块三角形的草地，草地的三条边分别是60米、72米、96米。在草地的周围每隔6米栽一棵海棠（三个顶点都栽），在相邻两棵海棠之间等距离地栽2棵月季花。一共栽了多少棵海棠？栽了多少棵月季？ 【对应练习3】 园林队在一段公路的一旁栽种了37棵树，每相邻两棵树间隔5米。现要改为每相邻两棵树间隔4米（两端的树不动），需要补种多少棵？有多少棵树不需要移动？ 【考点五】植树问题其四：只有一端种的问题。 【方法点拨】 只有一端种的问题： 1. 树木的数量=路的长度÷间隔 2. 路的长度=树木的数量×间隔 3. 间隔=路的长度÷树木的数量。 【典型例题】 1．【棵数】小明家门前有一条35米长的小路，绿化队要在小路一旁栽一排树，每隔5米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？ 2．【株距】在一条81米小路的一侧均匀地栽树（只栽一端），一共栽了9棵树，每相邻两棵树之间的距离是( )米。 3．【路长】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 【对应练习1】 一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 【对应练习2】 为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学楼墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是3米，一共需要多少盆花？ 【对应练习3】 一条公路长为1000米，园林工人计划在公路的两侧植树，每20米栽一棵。如果公路的一端栽，另一端不栽，那么一共需要栽多少棵树？ 【考点六】植树问题其五：两端都不种的问题。 【方法点拨】 两端都不种的植树问题： 1. 棵数=段数-1=全长÷株距－1 2. 株距=全长÷（棵数+1） 3. 全长=株距×（棵数+1）。 【典型例题】 1．【棵数】阳光村要在570米长的河岸一侧栽树，每两棵树之间的距离都是6米。如果河岸的两头都不栽树，那么一共需要多少棵树苗？ 2．【株距】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 3．【路长】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，不算路的两端共用电线杆54根，这条公路全长多少米？ 【对应练习1】 一条长1000米的街道，现在街道的两侧每隔20米放一盆花（两端都不放），需要多少盆花？ 【对应练习2】 晓晓家离学校1500米，她去学校的马路两边都栽了树（两端都不栽），两棵树之间的距离是25米，一共栽了多少棵树？ 【对应练习3】 一条林阴路长135米，在路的一旁每隔9米种一棵香樟树，两端不种，在相邻两棵香樟中间放一个石椅，一共要放多少个石椅？ 【考点七】植树问题其六：封闭路线中的植树问题。 【方法点拨】 封闭路线中的植树问题： 1.在圆、正方形、长方形等闭合曲线上植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。 2.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距。 【典型例题】 1．【长方形】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上气球。教室长8米，宽6米，每隔2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气球？ 2．【圆】一个圆形水池的周长为372米，如果每隔4米栽一棵树，那么一共要栽多少棵树？ 3．【正方形】在一个正方形的水塘四周种上树，每边10棵树（四个角上都种）。水塘四周一共种树多少棵？ 【对应练习1】 一个长方形花圃长20米，宽12米，沿这个长方形四周每隔4米栽一棵树，四个顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【对应练习2】 ＊把一个直径是8米的圆形花坛的半径向外延伸2米变成一个新的圆形花坛。在新的圆形花坛周围每隔1.57米摆一盆月季，能摆多少盆月季？ 【对应练习3】 在一个圆形的湖边，每隔13米立一根路灯电线杆，一共立了23根，这个圆形湖周长是多少米？ 【考点八】植树问题变式其一：锯木头、爬楼梯、敲钟表。 【方法点拨】 锯木头问题可以理解成一条线段的两端都不植树的问题，在锯木头问题中，锯的段数相当于间隔数，锯的次数相当于棵数，锯的次数=锯的段数－1。 【典型例题1】锯木头。 把一根木头锯成5段，每锯一次需要3分钟。一共要多少分钟？ 【典型例题2】爬楼梯。 爷爷从1楼爬到2楼用时3分，那么用同样的速度，他从1楼爬到5楼需要多少分？ 【典型例题3】敲钟表。 时钟3点敲3下用6秒，敲8下需要几秒？ 【对应练习1】 一根木头长12米，要把它锯成长度相等的6段，每锯一次需要7分钟，锯完一共需要多少分钟？ 【对应练习2】 球球家住在四楼，每层楼有8级台阶 ，球球从一楼到家要走多少级台阶？ 【对应练习3】 爬了很多阶楼梯回家后，丁丁发现妈妈为新装修的房子添置新时钟，时钟6点敲6下 ，10秒敲完，那么10点敲10下，多少秒可以敲完？ 【考点九】植树问题变式其二：方阵问题。 【方法点拨】 方阵问题： 1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别； 2.每边的个数=总数÷4＋1； 3.每向里一层，每边棋子数减少2； 4.掌握计算层数、每层个数、总个数的方法及每层个数的变化规律。 【典型例题】 浩浩用棋子摆了一个三层空心方阵，如果最外层每边有18个棋子，那么摆这个方阵最里层一周一共用了多少个棋子？摆这个三层空心方阵一共用了多少个棋子？ 【对应练习1】 三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，所以这个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 【对应练习2】 对一块空地进行种树绿化，要把树种成实心方阵的样子，最外面一周有60棵树，问这个方阵外层每边有多少棵树？ 【对应练习3】 三年级一班学生摆成一个实心方阵，最外一层每边9人，那么整个方阵一共多少人？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月2日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第七单元数学广角——植树问题【九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第七单元数学广角——植树问题 专题内容 本专题以植树问题为主，其中包括植树问题的多种变式问题。 总体评价 讲解建议 建议本章核心内容进行讲解。 考点数量 九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】关于植树问题的类型判断 4 【考点二】植树问题其一：两端都种的问题“基础型” 5 【考点三】植树问题其二：两端都种的问题“提高型” 8 【考点四】植树问题其三：两端都种的问题“拓展型” 12 【考点五】植树问题其四：只有一端种的问题 14 【考点六】植树问题其五：两端都不种的问题 16 【考点七】植树问题其六：封闭路线中的植树问题 19 【考点八】植树问题变式其一：锯木头、爬楼梯、敲钟表 21 【考点九】植树问题变式其二：方阵问题 23 【第三篇】典型例题篇 【知识总览】 一、植树问题的概念。 按相等距离植树，在总距离、间隔数（段数）、株距之间，已知其中两个，求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 二、植树问题的基础公式。 1.总距离=株距×间隔数 2.株距=总距离÷间隔数 3.间隔数=总距离÷株距 三、植树问题的类型。 （一）不封闭路线上的植树问题。 1.两端都栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数-1 （棵数=间隔数+1） 2.一端栽另一端不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 3.两端都不栽： 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数+1 （棵树=间隔数-1） 注意：分清是一边植树问题？还是两边都植树问题？（例如：林荫道...） （二）封闭路线上的植树问题。 总距离=株距×间隔数 间隔数=棵数 注意：封闭图形的植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭合曲线等上面植树。 方形植树：棵数=距离÷棵数-4 三角形植树：棵数=距离÷棵数-3 四、植树问题的解题思路。 先弄清植树问题的类型，然后利用公式解决。 【考点一】关于植树问题的类型判断。 【方法点拨】 掌握植树问题的类型，要熟悉各类型的特点，可以借助线段简图来理解记忆。 【典型例题】。 “一根木头要把它平均分成5段，每锯一段需要5分钟，锯完这根木头需要多少分钟？”这题属于植树问题中的( )。 A．两端都不栽 B．两端都栽 C．一端栽一端不栽 解析：A 【对应练习1】 园林工人沿一条长108米的笔直的公路一侧植树，每隔6米植一棵，一共栽了17棵，正确的植树方法是( )。 A．两端都不栽 B．只栽一端 C．两端都栽 解析：A 【对应练习2】 在一条10米长的小路的一旁栽树，每隔2米栽一棵，共栽了6棵，正确的栽法是( )。 A．两端都不栽 B．两端都栽 C．只栽一端 解析：B 【对应练习3】 为迎接六一儿童节，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠墙一端不放），相邻两盆花之间的距离3米．一共需要几盆花？属于( )。 A．两端种 B．一端种 C．两端不种 解析：B 【考点二】植树问题其一：两端都种的问题“基础型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题】 1.【求棵数】在一条长20米的小路一侧种树，如果每隔5米种一棵，而且两头都种，这条小路上共可以种多少棵树？ 解析： 20÷5＋1 ＝4＋1 ＝5（棵） 答：这条小路上共可以种5棵树。 2.【求总距离】湖滨路种着一排柳树，每相邻两棵树之间的距离是5米。小强从第1棵树跑到第40棵树，他一共跑了多少米？ 解析： （40－1）×5 ＝39×5 ＝195（米） 答：他一共跑了195米。 3.【求株距】某公园需要在距离为90米的东西入口之间等距离地布置16个指示牌（入口处也布置指示牌），每两个指示牌之间的距离是多少米？ 【答案】6米 【分析】本题属于“两端都栽”的植树问题。每两个指示牌之间的距离看作一段，则16个指示牌之间一共有16－1＝15段。用两个入口之间的全长除以15即可求出每两个指示牌之间的距离是多少米。 【详解】90÷（16－1） ＝90÷15 ＝6（米） 答：每两个指示牌之间的距离是6米。 【点睛】本题考查植树问题。间隔＝全长÷（棵数－1），本题中明确段数＝指示牌的个数－1是解题的关键。 【对应练习1】 “垃圾科学分类，文明你我同行”，朝阳社区在1800米长的公路一旁设置垃圾桶摆放点，每两个垃圾桶摆放点之间相隔50米（两端都摆放），一共要设置多少个垃圾桶摆放点？ 【答案】37个 【分析】此题属于植树问题中两端都栽的情况，植树棵数比间隔数多1，根据“间隔数＝总长÷间距”求出间隔数，再加1即可求出要设置的垃圾桶摆放点，据此解答。 【详解】1800÷50＝36（个） 36＋1＝37（个） 答：一共要设置37个垃圾桶摆放点。 【点睛】本题主要考查植树问题，熟练掌握植树棵数和间隔数之间的关系是解答题目的关键。 【对应练习2】 学校开运动会，在100米长的跑道一旁的两端已经插了两面大红旗，老师要求每间隔5米再插一面小彩旗，共需插小彩旗多少面？ 【答案】19面 【分析】用跑道的总长除以间距5米，求出间隔数。跑道一旁的两端已经插了两面大红旗，相当于两端都不栽，那么间隔数减去1是小彩旗的面数。 【详解】100÷5－1 ＝20－1 ＝19（面） 答：共需插小彩旗19面。 【点睛】本题主要考查植树问题，熟练掌握植树棵数和间隔数之间的关系是解答题目的关键。 【对应练习3】 在一条林荫道的一旁栽树（两端都栽），从一端到另一端共栽了9棵树，相邻的两棵树相隔3米，这条林荫道长多少米？ 【答案】24米 【分析】两端都植，段数＝棵数－1，先求出段数，段数×间距＝总长，据此列式解答。 【详解】（9－1）×3 ＝8×3 ＝24（米） 答：这条林荫道长24米。 【点睛】关键是掌握植树问题解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 【对应练习4】 施工队要在一条新修的大道的一侧从头到尾每隔15米竖一根电线杆，共用电线杆86根。这条大道全长多少米？ 【答案】1275米 【分析】从头到尾每隔15米竖一根电线杆，说明属于两端都植，段数＝棵数－1，先确定段数，段数×间距＝大道全长，据此列式解答。 【详解】（86－1）×15 ＝85×15 ＝1275（米） 答：这条大道全长1275米。 【点睛】关键是掌握植树问题的解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 【考点三】植树问题其二：两端都种的问题“提高型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题1】问题一。 笔直的跑道一旁插著49面小旗（两端都插），它们的间隔是4米，现在要改为间隔是6米，可以插多少面小旗？ 【答案】33面 【分析】本题考查了植树问题，根据公式如果植树线路的两端都植树，那么全长÷间距＝间隔数，用间隔数再加上1就是植树的棵树，由此可得：小旗的面数减1的差乘间距，可得全长，将数据代入求出该跑道的长度，再用长度除以新的间距，最后加1，求出小旗的面数。 【详解】由分析可得： 4×（49－1） ＝4×48 ＝192（米） 192÷6＋1 ＝32＋1 ＝33（面） 答：可以插33面小旗。 【点睛】本题考查了植树问题的相关知识，注意分情况讨论，不同的植树方式有不同的间隔数和不同的棵数。 【对应练习1】 一条公路的一边原计划要安装16盏路灯（头尾都安装），每两盏灯之间间隔8米。现在间隔要改为6米，应安装多少盏路灯？ 【答案】21盏 【分析】由题意可知，一条公路的一边原计划要安装16盏路灯（头尾都安装），则共有16－1＝15个间隔，再根据间隔数×间隔长度＝总长度，据此求出这条公路的长度，最后根据路灯的盏数＝间隔数＋1（两端都安装），据此解答即可。 【详解】（16－1）×8÷6＋1 ＝15×8÷6＋1 ＝120÷6＋1 ＝20＋1 ＝21（盏） 答：应安装21盏路灯。 【点睛】本题考查植树问题，明确植树的棵数与间隔数之间的关系是解题的关键。 【对应练习2】 园林工人在长60米的小路两边每隔5米栽一棵树（首尾都栽），现在要改成每隔4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？ 【答案】8棵 【分析】不用移栽的树应是4和5的公倍数，用60除以4和5的公倍数，再加上1，就是一边不用移栽的树；因为在路两边都栽树，计算出结果再乘2即可。 【详解】4和5的最小公倍数：4×5＝20 60÷20＋1 ＝3＋1 ＝4（棵） 4×2＝8（棵） 答：不用移栽的树有8棵。 【点睛】本题的关键是让学生理解不用移栽的树是4和5的公倍数，注意因首尾都栽，起始的一棵也不用移栽。还要注意路两边植树。 【对应练习3】 在笔直的跑道上插着51面小旗，它们的间隔是4米。现在要改为只插26面小旗（两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 【答案】8米 【分析】根据题意可知，两端都插，旗子的数量比间隔数多1，由此先求出原来的间隔数，再乘上2求出总长度，再用跑道总长度÷间隔数＝间隔长度。由此解答即可。 【详解】51－1＝50（个） 50×4＝200（米） 26－1＝25（个） 200÷25＝8（米） 答：间隔应改为8米。 【点睛】此题考查了植树问题。关键是知道旗子数＝间隔数＋1。 【典型例题2】问题二。 在一条240米的路的两边种树，每隔5米种一棵，两头都要种，一共要种多少棵？ 【答案】98棵 【分析】两端都栽，那么植树的棵数＝间隔数＋1，先用240除以5，求出间隔数，再加上1，就是一边植树的棵数，然后再乘2就是一共需要的棵数。 【详解】（240÷5＋1）×2 ＝（48＋1）×2 ＝49×2 ＝98（棵） 答：一共要种98棵。 【点睛】本题属于两端都栽的植树问题：植树棵数＝间隔数＋1，注意是两边都栽，再乘2。 【对应练习1】 有一条长2千米的小路，在路的两边每隔5米栽一棵杨树（两端都栽），从头到尾一共需要栽杨树多少棵？ 【答案】802棵 【分析】2千米＝2000米，因为两端都要栽，所以一边的杨树棵数＝间隔数＋1，间隔数＝总长度÷间隔距离，用2000÷5＋1即可求出一边的杨树棵数，再乘2即可求出从头到尾一共需要栽杨树多少棵。 【详解】2千米＝2000米 2000÷5＋1 ＝400＋1 ＝401（棵） 401×2＝802（棵） 答：从头到尾一共需要栽杨树802棵。 【点睛】本题主要考查了植树问题的灵活应用，掌握相关公式是解答本题的关键。 【对应练习2】 园林工人沿一条笔直的公路两侧植树，每隔5米植一棵（两端都植），公路长250米。一共需要准备多少棵树苗？ 【答案】102棵 【分析】根据题意，公路长250米，每隔5米植一棵树，根据“全长÷间距＝间隔数”，求出树的间隔数；因为两端都植，则“棵数＝间隔数＋1”，求出公路一侧植树的棵数，再乘2，即是公路两侧植树的棵数。 【详解】公路一侧植树： 250÷5＋1 ＝50＋1 ＝51（棵） 公路两侧植树： 51×2＝102（棵） 答：一共需要准备102棵树苗。 【点睛】本题考查植树问题，掌握沿直线上栽树的三种情况：两端都栽时，棵数＝间隔数＋1；两端都不栽时，棵数＝间隔数－1；一端栽一端不栽时，棵数＝间隔数。 【对应练习3】 某市为了创建文明城市，在一条长800米的步行街道两旁每隔200米安放一个垃圾分类箱（两端都放），环卫工人需要准备多少个垃圾分类箱？ 【答案】10个 【分析】已知步行街道长800米，在步行街道两旁每隔200米放置一个垃圾分类箱（两端都放），属于两端都栽的植树问题，则垃圾分类箱的个数＝步行街道的长度÷间隔长度＋1，然后再乘2即可。 【详解】（800÷200＋1）×2 ＝（4＋1）×2 ＝5×2 ＝10（个） 答：环卫工人需要准备10个垃圾分类箱。 【点睛】本题考查了植树问题，植树问题中两端都栽时，间隔数＋1＝植树数。 【考点四】植树问题其三：两端都种的问题“拓展型”。 【方法点拨】 两端都种的问题： 1.树木的数量=路的长度÷间隔+1 2.路的长度=（树木的数量－1）×间隔 3.间隔=路的长度÷（树木的数量－1）。 【典型例题】 去年在一条长630米的公路两边，从头到尾每隔9米种一棵树，今年感觉栽的树有些少，要在每两棵树之间补种2棵，一共要补种多少棵树？现在一共有多少棵树？ 【答案】280棵；422棵 【分析】此题属于两端都栽的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数＋1。先求出公路一边的棵数，把一旁的棵数乘2就是两边棵数。间隔数×2就是补种的棵数。最后相加就是总棵数。 【详解】630÷9＋1 ＝70＋1 ＝71（棵） （71－1）×2×2 ＝70×2×2 ＝140×2 ＝280（棵） 71×2＋280 ＝142＋280 ＝422（棵） 答：一共要补种280棵树，现在一共有422棵树。 【点睛】此题主要考查了植树问题的公式，要熟练掌握。 【对应练习1】 乐乐老师组织学生们植树 ，在一条长120米的马路两边每隔30米种一棵梧桐树（两端都种），在每相邻的2棵梧桐树之间又补种1棵香樟树。 这条马路两边一共种了多少棵树？（树的宽度忽略不计） 解析： （120÷30＋1）×2＋120÷30×2 ＝5×2＋4×2 ＝10＋8 ＝18（棵） 答：这条马路两边一共种了18棵树。 【对应练习2】 有一块三角形的草地，草地的三条边分别是60米、72米、96米。在草地的周围每隔6米栽一棵海棠（三个顶点都栽），在相邻两棵海棠之间等距离地栽2棵月季花。一共栽了多少棵海棠？栽了多少棵月季？ 【答案】38棵海棠，76棵月季 【分析】根据题意，先计算出三角形草地的总长度，即用60＋72＋96＝228（米），由于是在封闭图形上植树，‌所以植树的棵数等于间隔数，‌即228米除以每棵树间隔的6米，‌得到38个间隔，‌因此一共可以栽38棵海棠。‌对于月季花的数量，‌由于每两棵海棠之间等距离地栽2棵月季花，‌所以月季花的总数是海棠树间隔数的两倍，‌即用38乘上2求出月季数量。‌ 【详解】60＋72＋96 ＝132＋96 ＝228（米） 海棠：228÷6＝38（棵） 月季：38×2＝76（棵） 答：一共栽了38棵海棠，76棵月季。 【对应练习3】 园林队在一段公路的一旁栽种了37棵树，每相邻两棵树间隔5米。现要改为每相邻两棵树间隔4米（两端的树不动），需要补种多少棵？有多少棵树不需要移动？ 【答案】9棵；10棵 【分析】两端都植树，（棵树－1）×间隔距离＝植树的总距离；求出这段公路的长度，除以4加1求出间隔4米需要载的总棵树。减去原有的棵树，即是需要补种的棵树；不需要移动的数，也就是间隔米数是5和4的最小公倍数（20）的树，因为两端的树不动，求出这段公路长度一共有几个20米，再加1即可。 【详解】（37－1）×5÷4＋1－37 ＝180÷4＋1－37 ＝46－37 ＝9（棵）； 4，5的最小公倍数为20， （37－1）×5÷20＋1 ＝180÷20＋1 ＝9＋1 ＝10（棵） 答：需要补种9棵，有10棵树不需要移动。 【点睛】此题考查了植树问题，注意两端是否栽树，找准数量关系，先求出这段公路长度是解题关键。 【考点五】植树问题其四：只有一端种的问题。 【方法点拨】 只有一端种的问题： 1. 树木的数量=路的长度÷间隔 2. 路的长度=树木的数量×间隔 3. 间隔=路的长度÷树木的数量。 【典型例题】 1．【棵数】小明家门前有一条35米长的小路，绿化队要在小路一旁栽一排树，每隔5米栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？ 【答案】7棵 【分析】一端栽，一端不栽时，植树数量＝总长÷间隔，所以用小路的总长35米除以5米，求出一共要栽多少棵树。 【详解】35÷5＝7（棵） 答：一共要栽7棵树。 【点睛】本题考查了植树问题，解题关键是根据题意正确列式。 2．【株距】在一条81米小路的一侧均匀地栽树（只栽一端），一共栽了9棵树，每相邻两棵树之间的距离是( )米。 【答案】9 【分析】如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株距＝全长÷株数，用81米除以9可以计算出每相邻两棵树之间的距离；据此解答。 【详解】根据分析：81÷9＝9（米），所以每相邻两棵树之间的距离是9米。 3．【路长】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 【答案】900米 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，间距×段数＝全长，据此列式解答。 【详解】45×20＝900（米） 答：这条路全长900米。 【对应练习1】 一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？ 【答案】50盏 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，路的长度÷间距＝路灯数量，据此列式解答。 【详解】1000÷20＝50（盏） 答：一共需要准备50盏路灯。 【对应练习2】 为了迎接“元旦节”，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠教学楼墙的一端不放），一侧相邻两盆花之间的距离是3米，一共需要多少盆花？ 【答案】40盆 【分析】在不封闭路线上一端栽树，另一端不栽树的问题的规律：总距离÷株距＝间隔数，棵数＝间隔数。由题意可知：靠教学楼墙的一端不放花，另一端放花。总距离是60米，株距是3米，用60÷3求出间隔数是20个，也就是一侧的盆数是20盆；再用20×2求出两侧的盆数，即一共需要的盆数。 【详解】60÷3×2 ＝20×2 ＝40（盆） 答：一共需要40盆花。 【点睛】解决植树问题的关键是理清棵数与间隔数之间的关系、弄清是否两旁都要植树。 【对应练习3】 一条公路长为1000米，园林工人计划在公路的两侧植树，每20米栽一棵。如果公路的一端栽，另一端不栽，那么一共需要栽多少棵树？ 【答案】102棵 【分析】一端栽，另一端不栽，则植树棵数＝间隔数；用公路长除以间隔长度求出间隔数，也就是一侧的棵数，由于在公路两侧栽树，再乘2，即可求出一共需要栽多少棵树。 【详解】1000÷20＝50（棵） 50×2＝100（棵） 答：一共需要栽100棵树。 【考点六】植树问题其五：两端都不种的问题。 【方法点拨】 两端都不种的植树问题： 1. 棵数=段数-1=全长÷株距－1 2. 株距=全长÷（棵数+1） 3. 全长=株距×（棵数+1）。 【典型例题】 1．【棵数】阳光村要在570米长的河岸一侧栽树，每两棵树之间的距离都是6米。如果河岸的两头都不栽树，那么一共需要多少棵树苗？ 【答案】94棵 【分析】用河岸的总长除以两棵树间的间隔长度求出一共有多少个间隔，两头都不栽树，那么树的棵数＝间隔数－1，据此即可求出一侧栽树需要的棵数。 【详解】570÷6－1 ＝95－1 ＝94（棵） 答：一共需要94棵树。 2．【株距】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】根据题意，相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），属于植树问题中两端都不栽的情况，则间隔数＝棵数＋1，即19个红灯笼有（19＋1）个间隔；再用两栋教学楼的距离除以间隔数，求出相邻两个红灯笼之间的距离。 【详解】100÷（19＋1） ＝100÷20 ＝5（米） 答：相邻两个红灯笼之间的距离是5米。 3．【路长】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，不算路的两端共用电线杆54根，这条公路全长多少米？ 【答案】1100米 【分析】不算路的两端共用电线杆54根，即电线杆之间的间隔数为：54＋1＝55个，由于每两根电线杆之间的距离是20米，所以根据乘法的意义，即用间隔数乘间隔长度就可以求出这条路的长度，据此解答。 【详解】（54＋1）×20 ＝55×20 ＝1100（米） 答：这条公路全长1100米。 【对应练习1】 一条长1000米的街道，现在街道的两侧每隔20米放一盆花（两端都不放），需要多少盆花？ 【答案】98盆 【分析】根据植树问题的两端都不栽：“棵数＝间隔数－1”，用这条街道的长除以间距（20米）求出间隔数，再用间隔数减去1就是街道一侧放的盆数，再乘2即可求出需要多少盆花。 【详解】1000÷20－1 ＝50－1 ＝49（盆） 49×2＝98（盆） 答：需要98盆花。 【对应练习2】 晓晓家离学校1500米，她去学校的马路两边都栽了树（两端都不栽），两棵树之间的距离是25米，一共栽了多少棵树？ 【答案】118棵 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都不栽，棵数＝段数－1，晓晓家离学校的距离÷间距－1＝一边栽的棵数，一边栽的棵数×2＝两边栽的棵数，据此列式解答。 【详解】1500÷25－1 ＝60－1 ＝59（棵） 59×2＝118（棵） 答：一共栽了118棵树。 【对应练习3】 一条林阴路长135米，在路的一旁每隔9米种一棵香樟树，两端不种，在相邻两棵香樟中间放一个石椅，一共要放多少个石椅？ 【答案】13个 【分析】两端都不植，棵数＝段数－1，路的长度÷香樟树间距－1＝香樟树棵数，石椅放在香樟树的间隔处，香樟树棵数－1＝间隔数，据此求出石椅个数。 【详解】135÷9－1－1 ＝15－1－1 ＝13（个） 答：一共要放13个石椅。 【考点七】植树问题其六：封闭路线中的植树问题。 【方法点拨】 封闭路线中的植树问题： 1.在圆、正方形、长方形等闭合曲线上植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。 2.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距。 【典型例题】 1．【长方形】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上气球。教室长8米，宽6米，每隔2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气球？ 【答案】14个 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，先求出教室一周长度，再根据植树问题的解题方法，封闭图形植树，棵数＝段数，教室一周长度÷气球间距＝气球个数，列式解答即可。 【详解】（8＋6）×2÷2 ＝14×2÷2 ＝14（个） 答：共需14个气球。 2．【圆】一个圆形水池的周长为372米，如果每隔4米栽一棵树，那么一共要栽多少棵树？ 【答案】93棵 【分析】因为在圆形水池的一周栽树，起点处也是终点处，在起点处栽1棵，终点处就不会再栽1棵，每隔4米栽一棵树，相当于有多少个间隔就要栽多少棵树；所以用圆形水池的周长372米除以两棵树的间隔长4米，求到间隔数，即是栽树的棵数；再根据三位数除以一位数的法则进行计算：从被除数的最高位除起，用除数分别去除被除数的每一位，最高位不够除再看前两位；除到被除数的哪一位就把商写在那一位上面，除到被除数的中间或末尾不够商1就商0，每一步除得的余数都要比除数小。据此解答。 【详解】372÷4＝93（棵） 答：一共要栽93棵树。 3．【正方形】在一个正方形的水塘四周种上树，每边10棵树（四个角上都种）。水塘四周一共种树多少棵？ 【答案】36棵 【分析】每边10棵树，4个边所以就是种了4个10棵树，但是每个角上的那一棵树都多算了一遍，所以4个角的4棵树都多算了一遍，再减去4即可。 【详解】10×4－4 ＝40－4 ＝36（棵） 答：水塘四周一共种树36棵。 【对应练习1】 一个长方形花圃长20米，宽12米，沿这个长方形四周每隔4米栽一棵树，四个顶点上都要栽。这个长方形花圃的四周一共栽了多少棵树？ 【答案】16棵 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出花圃周长，再根据封闭图形植树，棵数＝段数，花圃周长÷间距＝栽的棵数，列式解答即可。 【详解】（20＋12）×2÷4 ＝32×2÷4 ＝64÷4 ＝16（棵） 答：这个长方形花圃的四周一共栽了16棵树。 【对应练习2】 ＊把一个直径是8米的圆形花坛的半径向外延伸2米变成一个新的圆形花坛。在新的圆形花坛周围每隔1.57米摆一盆月季，能摆多少盆月季？ 【答案】24盆 【分析】由于在新的圆形花坛周围摆月季，那么此时新的圆的直径是8＋2＋2＝12米，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出新的圆形花坛的周长；花坛周围摆放月季，花坛是封闭图形，相当于一端植树一端不植树，用周长除以花盆的间隔距离即可求出花盆的数量。 【详解】3.14×（8＋2＋2）÷1.57 ＝3.14×12÷1.57 ＝37.68÷1.57 ＝24（盆） 答：能摆24盆月季。 【对应练习3】 在一个圆形的湖边，每隔13米立一根路灯电线杆，一共立了23根，这个圆形湖周长是多少米？ 【答案】299米 【分析】封闭路栽树，数量关系：颗数＝间隔数＝全长÷间距；全长＝间距×棵数；间距＝全长÷棵数。围成圆圈植树时，植树棵数＝间隔数，由此可得这个圆形的湖一周的周长有23个间隔，一个间隔的长度是13米，根据乘法的意义，23×13＝299米就是这个圆形的湖的周长。 【详解】23×13＝299（米） 答：这个圆形湖周长是299米。 【考点八】植树问题变式其一：锯木头、爬楼梯、敲钟表。 【方法点拨】 锯木头问题可以理解成一条线段的两端都不植树的问题，在锯木头问题中，锯的段数相当于间隔数，锯的次数相当于棵数，锯的次数=锯的段数－1。 【典型例题1】锯木头。 把一根木头锯成5段，每锯一次需要3分钟。一共要多少分钟？ 解析： 锯成5段是锯了4次，一共锯的分钟数：3×4＝12（分钟） 答：一共要锯12分钟。 【典型例题2】爬楼梯。 爷爷从1楼爬到2楼用时3分，那么用同样的速度，他从1楼爬到5楼需要多少分？ 解析： 3×（5－1） ＝3×4 ＝12（分） 答：从1楼到5楼需要12分。 【典型例题3】敲钟表。 时钟3点敲3下用6秒，敲8下需要几秒？ 解析： 6÷（3－1）×（8－1） ＝6÷2×7 ＝21（秒） 答：敲8下需要21秒。 【对应练习1】 一根木头长12米，要把它锯成长度相等的6段，每锯一次需要7分钟，锯完一共需要多少分钟？ 解析： （分钟） 答：锯完一共需要35分钟。 【对应练习2】 球球家住在四楼，每层楼有8级台阶 ，球球从一楼到家要走多少级台阶？ 解析： 8×（4－1） ＝8×3 ＝24（级） 答：球球从一楼到家要走24级台阶。 【对应练习3】 爬了很多阶楼梯回家后，丁丁发现妈妈为新装修的房子添置新时钟，时钟6点敲6下 ，10秒敲完，那么10点敲10下，多少秒可以敲完？ 解析： 10÷（6－1） ＝10÷5 ＝2（秒） 2×（10－1） ＝2×9 ＝18（秒） 答：10点敲10下，18秒可以敲完。 【考点九】植树问题变式其二：方阵问题。 【方法点拨】 方阵问题： 1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别； 2.每边的个数=总数÷4＋1； 3.每向里一层，每边棋子数减少2； 4.掌握计算层数、每层个数、总个数的方法及每层个数的变化规律。 【典型例题】 浩浩用棋子摆了一个三层空心方阵，如果最外层每边有18个棋子，那么摆这个方阵最里层一周一共用了多少个棋子？摆这个三层空心方阵一共用了多少个棋子？ 解析： 方法一： （18-2-2-1）×4=52（个） 方法二： （18-1）×4=68（个） 68-8-8=52（个） 答∶摆这个方阵最里层一周一共用了52个棋子。 【对应练习1】 三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，所以这个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 解析： 每边有32÷4＋1=9（人）或（32＋4）÷4=9（人），共9×9=81（人）。 【对应练习2】 对一块空地进行种树绿化，要把树种成实心方阵的样子，最外面一周有60棵树，问这个方阵外层每边有多少棵树？ 解析：方阵最外层每边树的数目：60÷4＋1=16（棵） 【对应练习3】 三年级一班学生摆成一个实心方阵，最外一层每边9人，那么整个方阵一共多少人？ 解析：整个方阵共有：9×9=81（人）。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$