27.2.1（第1课时）平行线分线段成比例（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第27章 相似 九年级数学下册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.3.1 （第1课时） 平行线分线段成比例 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 甲乙两人在斑马线同一侧沿如图路径过马路，绿灯亮时，两人同时走起，在5秒后，甲发现甲乙两人正好同一斑马线上.甲说：“我已经过完1/3的马路.”乙说：“我也刚好过完1/3的马路.” 思考：乙的说法对吗？ 甲 乙 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3. A2 A3 A1 B1 B2 B3 b m n a c 求(1)A1A2= ；A2A3 = ； B1 B2 = ；B1 B2 = BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 A2 A3 A1 B1 B2 B3 b m n a c (2)计算 ，与 、 你有什么发现？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例. 符号语言： ∵a∥b∥c ∴ 对应线段如何理解？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 或 或 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 直线AB//CD//EF，若AC=3，CE=4，则 ， . A C E B D F 解：∵AB//CD//EF, ∴==, ∵CE=4， ∴==. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 直线 AB//CD//EF ，若AC=4，CE=6，BD=3 ，BF= . A C E B D F 解：∵AB//CD//EF, ∴==, 即=, ∴DF=， ∴= BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 思考：把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例呢？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 在新的图形中，上面的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) “A”字型基本图形 思考：直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，图中有哪些成比例线段？ 成立，平移时对应线段的长度不会改变 B1 B2 B3 n BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 思考：直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，图中有哪些成比例线段？ 在新的图形中，上面的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) “X”字型基本图形 成立，平移时对应线段的长度不会改变 B1 B2 B3 n BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 平行线分线段成比例的推论： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或其延长线）相交， 截得的对应线段成比例. 几何语言 ＝ ， ＝ ， ＝ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E. 思考1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？ 思考2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边 长是否对应成比例？ B C A D E 思考3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？ 通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 B C A D E 思考:我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？ 由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？ B C A D E 思考:由前面的结论可得 ，需要证明的是 , 可以将 DE 平移到BC 边上去 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明： 在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A. ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F. C A B D E F 用相似的定义证明△ADE∽△ABC. ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ ∵ 四边形DEFB为平行四边形， ∴ DE=BF. ∴△ADE∽△ABC. ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 由此我们得到判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似. “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ A B C E F 28 5 解:(1) ∵ EF∥BC， AE AF EB FC ∴ —— ——， ＝ 7 AF 5 4 —— ——， ＝ 即 ＝ ——. ∴ AF BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 A B C E F 解:(2) AE AF AB AC ∴ —— ——， ＝ 6 5 10 AC ＝ —— ——. 即 ＝ 25 3 ——， ∴ AC ＝ 10 3 —. ∴ FC 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，在△ABC中，若BD∶DC＝CE∶EA＝2∶1，AD和BE交于F， 则AF∶FD＝________． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图，AC//BD,AD、BC相交于E，EF//BD，求证： . F E D C B A 证明：∵AC//EF//BD ∴ ∴ ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 推论 基本图形 “A”字型基本图形 “X”字型基本图形 两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例. 平行线分线段成比例 平行于三角形一边的直线与其他两边 相交，截得的对应线段成比例. 基本事实 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（ ） AC BD CE DF A. —— —— ＝ CE DF AE BF C. —— —— ＝ AC BD AE BF B. —— —— ＝ AE BD BF AC D. —— —— ＝ D A B C D E F l1 l2 l3 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 2.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式成立的是（ ） AD CE DF BC A. —— —— ＝ AF BE DF CE C. —— —— ＝ AD BC BE AF B. —— —— ＝ CE AD DF BC D. —— —— ＝ C A B C D E F l1 l2 l3 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.如图，H为平行四边形ABCD中AD边上的一点，且2HK=BK， AC与BH交于K，则AK:KC等于（ ） A .1:2 B.1:1 C.1:3 D. 2:3 A K H D C B A A B C D E F l1 l2 l3 4.如图，l1∥l2∥l3，其中AC＝2，BD＝3，CE＝4，则DF＝________. 6 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.填空： 1)平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也______． 相等 2)平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段________． 成比例 3)推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________成比例． 对应线段 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.如图，BC∥DE，AB=15，AC=9，BD = 10，则 AE=______. 15 A D E B C 7.如图，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2，则 EC=______. 12 A B C E D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且 DE∥BC，EF∥AB，AD∶DB＝2∶3，BC＝20 cm，求BF的长 解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE， ∵AD∶DB＝2∶3， ∴AD∶AB＝2∶5. ∵DE∥BC， ∴DE∶BC＝AD∶AB＝2∶5， 即DE∶20＝2∶5， ∴DE＝8，∴BF＝8. 故BF的长为8 cm. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.如图，在△ABC中，D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交边AD于点F，AD＝2 cm，AB＝8 cm，求 及 的值． 解：∵DE∥BC ∴ 又∵EF∥DC ∴ ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.如图，BD:DC=5:3，E为AD的中点，求BE:EF的值. A G F E D C B 解：过D作DG//CA交BF于G，则 ∵E为AD的中点，DG//AF ∴△DGE≌△AFE 则EG=EF ∴ ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BE＝AB，EM∥BD，AE与BD相交于点F.求证：＝. 证明：∵EM∥BD， ∴＝，＝， 而BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD，∴＝. 又∵BE＝AB，∴＝. 解：过点D作DH∥BE交AC于H ∴＝＝2∴EH＝CE ∵BD∶DC＝CE∶EA＝2∶1 ∴AE＝CE＝EH ∴＝＝ $$