精品解析：山东省淄博第五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

淄博五中2024—2025学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可. 【详解】由命题否定的概念可知， 命题：的否定是：. 故选：B. 3. 已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据必要条件、充分条件的定义结合选项逐个判断即可. 【详解】由题意是的充分条件，对照选项，当满足时，必满足. 故选：C 4. 若，且则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】运用特殊值，结合作差法逐个判断即可. 【详解】由于 对于A，设则，故A错误； 对于B，设则，故B错误； 对于C，，由于，则.， 则.则.故C正确. 对于D，设，则，故D错误； 故选：C. 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 6. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到，得到时的解析式. 【详解】当时，，， 因为为奇函数，所以， 故，所以. 故选：B 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义证明是偶函数，可排除B、C；再由可排除D. 【详解】由题意知，函数的定义域为R，， 则，所以， 即函数为偶函数，故可排除B和C； 当时，，故可排除D. 故选：A 8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 【答案】AD 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域即可判断A，由一元二次不等式恒成立即可判断B，由换元法求函数值域即可判断C，由二次函数的单调性即可判断D 【详解】对于A，因为的定义域为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，当时，不等式，符合要求； 当时，关于x的不等式恒成立， 则满足，解得， 综上，实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，令，则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递减， 当时，，所以，则函数的值域为，故C错误； 对于D，由函数在区间上单调递减， 可得，解得，故D正确； 故选：AD 10. 定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法逐项求解判断即可. 【详解】令，得，因为， 所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C错误； ，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】解：因为，当且仅当时取等号， 结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误； ， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确； 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在区间上严格增函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 13. 定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质将不等式转化为，再根据单调性可解得结果. 【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数， 所以等价于， 因为当时，为减函数， 则，解得，或， 故答案为：. 14. 已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是化简函数解析式后，得到，，由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值. （1） （2） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则及对数恒等式即求； （2）利用指数幂的运算法则即求. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 16. 已知关于的不等式． （1）若的解集为，求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集． 【答案】（1），； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式解集得到1，是方程的解，利用韦达定理得到方程组，求出，； （2）因式分解得到，分，，三种情况，得到不等式的解集. 【小问1详解】 根据题意，的解集为， 则1，是方程的解，且， 由韦达定理得，故，， 解得：，； 【小问2详解】 根据题意，，则有， 又由，分3种情况讨论： 当时，，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得或， 综上，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或． 17. 最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具生产中所获利润最大？ 【答案】（1） （2）90万件 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，由题意得到函数解析式； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到答案. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故 【小问2详解】 时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当即时取到等号， ， 时，取得最大值， 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在定义域内单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【小问1详解】 定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. 【小问3详解】 依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 19. 经研究，函数为奇函数充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． （1）已知函数，且，求的值； （2）证明函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由知，，根据易求的值； （2）根据题意，要证函数图象的对称中心为 ，只需证，其中是奇函数； （3）通过待定系数法求出函数的对称中心，得到，进而利用倒序相加法求得解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴，∴； ∵函数为奇函数，∴函数的图象关于点对称， ∴，∴，∴； 【小问2详解】 ∵， 令，则 ∵，定义域关于原点对称，， ∴为奇函数. ∴函数图象的对称中心为 【小问3详解】 假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，∴， ∴，∴∴，， ∴函数有对称中心，∴， 令，， 相加得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淄博五中2024—2025学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为（ ） A. B. C. D. 4. 若，且则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 6. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若定义域为，则的定义域为 B. 关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 10. 定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 最小值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在区间上是严格增函数，则______. 13. 定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是_______. 14. 已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值. （1） （2） 16. 已知关于的不等式． （1）若的解集为，求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集． 17. 最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 18. 已知定义域为函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． （1）已知函数，且，求的值； （2）证明函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$