精品解析：浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

金华市曙光学校2024－2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试题卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分共40分.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解. 【详解】因为的斜率， 所以其倾斜角为30°. 故选：A. 2. 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 【答案】D 【解析】 【分析】运用空间向量共线列式计算即可. 【详解】∵，，且， ∴， 解得，， ∴． 故选：D． 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足,解得. 故选:C. 4. 已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 5. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 6. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线即，恒过定点， 曲线即表示以点为圆心，半径为1， 且位于直线上方的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是. 故选：B. 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 关于椭圆 ，下列结论正确的是（     ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为1 C. 焦距为 D. 离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合椭圆的几何性质依次判断即可. 【详解】因为椭圆，所以，，. 长轴长为4 ，故 A正确； 短轴长为，故B 错误； 焦距为，故C正确； ，故 D正确. 故选：ACD. 10. 已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是0 B. 的最大值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由可看成与原点间的连线的斜率，设，结合直线与圆有交点，求得 的值，可判定A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，结合圆的性质，可判定C错误；设，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 当时，可看成与原点间的连线的斜率， 设，即，所以直线与圆M有交点， 由，解得， 所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B不正确； 由表示点到原点的距离， 又由，所以的最大值为， 即的最大值为，所以C错误； 设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( ) A. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 B. 存在Q点，使得平面 C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么Q点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：取、中点，连接、、PF，证明平面∥平面，则点的轨迹为线段； B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出x、z即可判断； C：的面积为定值，当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大； D：可求为定值，即可判断Q的轨迹，从而求其长度. 【详解】取、中点，连接、、PF， 由PF∥∥且PF＝知是平行四边形， ∴∥，∵平面，平面，∥平面， 同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F， ∴平面∥平面，则点的轨迹为线段，A选项正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则即得取，则. 若平面，则∥，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误； 的面积为定值，当且仅当到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大. ， ，，则当时，d有最大值1； ②，，则当时，d有最大值； 综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确； 平面，， ，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】本题综合考察空间里面的位置关系的判断与应用，需熟练运用线面平行、面面平行的判定定理和性质，需掌握运用空间直角坐标系和空间向量来解决垂直问题，掌握利用空间向量求点到平面的距离，利用几何关系判断空间里面的动点的轨迹，考察知识点较多，计算量较大，属于难题. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故答案为： 13. 已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到圆与圆外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以， 故答案为：. 14. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因，所以，解得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【小问1详解】 因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. 【小问2详解】 B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直. （2）求出平面的法向量和的坐标后可求点面距. 【小问1详解】 建立直角坐标系，其中为坐标原点. 依题意得， 因为，所以. 【小问2详解】 设是平面的法向量， 由得 所以，令，则， 因为，所以到平面的距离为. 17. 已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，点在E上，且． （1）求E的标准方程； （2）若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义及椭圆上的点建立方程即可求解； （2）由点差点求得直线的斜率，再根据点点斜式写出直线方程即可. 【小问1详解】 由，可得，解得， 所以椭圆方程为：，又点在E上，则有，解得， 所以椭圆E的标准方程为：. 【小问2详解】 设，代入椭圆方程中有， 变形有， 因为AB中点为，所以，， 所以， 所以直线l方程为：，即为. 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. （1）求点的轨迹方程； （2）过作（1）的切线，求切线方程； （3）若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，结合列出方程即可求解； （2）分切线斜率不存在和切线斜率存在两种情况讨论求解即可； （3）先求出到圆心距离，进而结合圆上一点到定点的距离最值问题求解即可. 【小问1详解】 设，由， 得， 整理得，，即， 则点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 【小问3详解】 点到圆心的距离为， 所以，即， 即的取值范围为. 19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则. （1）①点，，求的值； ②写出到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程， （2）已知点，直线：，求点到直线的“曼哈顿距离”最小值； （3）我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”. （i）求“曼哈顿椭圆”的方程； （ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由. 【答案】（1）①；②； （2）2； （3）（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【解析】 【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可； （2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论的最小值即可； （3）（i）根据“曼哈顿椭圆”的定义，求得其方程即可; （ii）画出（i）的“曼哈顿椭圆”的图象，结合图象即可判断. 【小问1详解】 ①根据“曼哈顿距离”的定义得； ②到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程为. 【小问2详解】 设直线上任意一点坐标为， 则， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时， 综上所述，的最小值为2. 【小问3详解】 （ⅰ）设“曼哈顿椭圆”上任意一点，则， 即， 即， 所以“曼哈顿椭圆”的方程为； （ⅱ）由方程，得， 因为， 所以，即， 所以或或， 解得， 由方程，得， 即， 所以，所以， 所以“曼哈顿椭圆”的范围为，， 将点代入得，， 即，方程不变， 所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称， 将点代入得，， 即，方程不变， 所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称， 将点代入得，， 即，方程不变， 所以“曼哈顿椭圆”关于原点对称， 所以“曼哈顿椭圆”关于轴，轴，原点对称. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”,明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论 ； （2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况； （3）类“新定义”中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华市曙光学校2024－2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试题卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分共40分.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C D. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 关于椭圆 ，下列结论正确的是（     ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为1 C. 焦距 D. 离心率为 10. 已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是0 B. 的最大值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( ) A. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 B. 存在Q点，使得平面 C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么Q点的轨迹长度为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间向量，则______. 13. 已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是_____. 14. 设椭圆焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 17. 已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，点在E上，且． （1）求E的标准方程； （2）若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程． 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. （1）求点的轨迹方程； （2）过作（1）的切线，求切线方程； （3）若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 19. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则. （1）①点，，求的值； ②写出到定点的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程， （2）已知点，直线：，求点到直线的“曼哈顿距离”最小值； （3）我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”. （i）求“曼哈顿椭圆”的方程； （ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $