精品解析：新疆和田地区墨玉县第一中学2025届高三上学期11月月考数学试卷

2024年高三年级11月份月考试卷数学 （注：本卷总分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（单选题每个题目仅有一个选项正确，每题5分） 1. 已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（ ） A. B. C. D. 2. 设是实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点，则 A. 0 B. C. D. 4. 数列中，，，则（ ） A. 230 B. 210 C. 190 D. 170 5. 如图，在中，，，是的中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ） A. MN与CC1垂直 B. MN与AC垂直 C. MN与BD平行 D. MN与A1B1平行 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 二、多选题（多选题每个题目有多个选项正确，选对部分得部分分，选错不得分，全部选对得6分） 9. i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 10. 已知函数的部分图像如图，则（ ） A. B. C. 将曲线向右平移个单位长度得到曲线 D. 点为曲线的一个对称中心 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（每题5分） 12. 已知向量，，且，则 __________. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为______. 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若关于的方程在区间（0，2）有两个不等实根，求实数的取值范围． 17. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知数列满足,,,. （1）证明:数列是等比数列; （2）求数列的通项公式; （3）证明:. 19. 已知函数． （1）当时，求的零点； （2）讨论在上的最大值； （3）是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高三年级11月份月考试卷数学 （注：本卷总分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（单选题每个题目仅有一个选项正确，每题5分） 1. 已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据之间的关系进行判断即可. 【详解】由，解得或，则， 又因为，所以集合与集合有公共元素0，且没有包含关系， 故选项A中的韦恩图是正确的. 故选：A. 2. 设是实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设，，由于 图象如下图． ∴根据函数的单调性可判断：若“a＞b＞1”则“”成立， 反之若“”则“a＞b＞1”不一定成立． 根据充分必要条件的定义可判断：“a＞b＞1”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点，则 A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求出，进而求出，化简代入计算即可. 【详解】角终边上一点，根据三角函数的定义，得， ∴＝＝，进而得， ∴，， 化简 . 故选A． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，正余弦二倍角的化简求值，考查计算能力，属于基础题． 4. 数列中，，，则（ ） A. 230 B. 210 C. 190 D. 170 【答案】D 【解析】 【分析】借助等差数列的定义及相关公式计算即可. 【详解】由题知数列是公差为的等差数列，. 故选:D. 5. 如图，在中，，，是的中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选定基底，根据向量的加减运算表示出，利用向量的数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】由题意可得：，， 故 ， 故选：C 6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ） A. MN与CC1垂直 B. MN与AC垂直 C. MN与BD平行 D. MN与A1B1平行 【答案】D 【解析】 【分析】通过空间向量建系法，结合向量平行与垂直的性质一一验证即可 【详解】设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，M，N， ∴==(0，0，1)，=(-1，1，0)，=(-1，-1，0)，=(0，1，0)，∴·=0，∴MN⊥CC1，A说法正确；·=-=0，∴MN⊥AC，B说法正确；易知=2，且M，N∉BD，∴MN∥BD，C说法正确；设=λ，得无解，所以MN与A1B1不平行，D说法错误. 故选：D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导函数在上恒成立可得． 【详解】，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，因为对称轴为，当时，，，所以当时，不恒成立，不符题意；当时，，当时，恒成立，则，解得． 故选：D． 8. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得的图象关于点中心对称且关于直线轴对称，进而得的周期为4，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则. 因为为偶函数，所以， 所以的图象关于直线轴对称. 由，得， 所以，则， 则的周期为4， ，则. 故选：D 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 二、多选题（多选题每个题目有多个选项正确，选对部分得部分分，选错不得分，全部选对得6分） 9. i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的乘法运算及共轭复数的定义即可判断B；设，再根据，求出的关系，再结合复数的模的公式即可判断C；根据方程的复数根互为共轭复数即可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若， 则，故B正确； 对于C，设， 由，得，即，所以， 则， 所以的最小值为1，故C正确； 对于D，若是关于的方程的根， 则也是关于的方程的根， 所以，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的部分图像如图，则（ ） A. B. C. 将曲线向右平移个单位长度得到曲线 D. 点为曲线的一个对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】由题图可知，解得 将点的坐标代入，得，所以． 由图像可知，点在图像的下降部分上，且，所以． 将点的坐标代入，得，解得， 则，A正确． 由A，得． 所以，B错误． 将曲线向右平移个单位长度得到曲线，C错误． 令，，解得，． 取，则， 所以点为曲线的一个对称中心，D正确． 故选：AD． 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确. 故选：AD. 三、填空题（每题5分） 12. 已知向量，，且，则 __________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据得到，根据平面向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，，所以，因为，所以，解得； 故答案为： 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“镜像距离”的定义将问题转化为求函数上的点到曲线上的点的距离的最小值，再利用对称性求得与上的点的最小值，即可得出答案. 【详解】设，， 易知函数的反函数为， 由点在曲线上可知点在函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 又与的图象关于对称，所以的“镜像距离”的最小值为点到的距离的最小值的2倍. 由，得，令，解得， 又点到直线的距离， 所以的“镜像距离”的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“镜像距离”的定义转化为一对反函数上的两点最小距离的问题，再利用反函数对称性求得与对称轴平行的切线方程，即可得出“镜像距离”的最小值. 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【小问1详解】 由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若关于的方程在区间（0，2）有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数在处取得极值,则有,从而求解; （2）由得增区间;由得减区间; （3）将方程转化为,利用根的分布求解. 【小问1详解】 由已知得 ， 即， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，函数有极大值，符合题意，即； 【小问2详解】 由（1）得 由得，由得 的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 令 则令得 或（舍）， 当时， 当时， 即在上递增，在上递减 方程在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数在（0，2）上有两个不同的零点． 即实数b的取值范围为. 【点睛】关键点睛：构造新函数，利用转化法、导数的性质、零点存在原理是解题的关键. 17. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证. （2）由（1）得直线的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解. （3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量，由（1）可得，， 则，故，即， 令，得， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知数列满足,,,. （1）证明:数列是等比数列; （2）求数列的通项公式; （3）证明:. 【答案】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以数列是等比数列； （2）; （3）①当时，； ②若n是偶数， 则， 所以当n是偶数时， ； ③当n是奇数，且时， ； 综上所述，当时，. 【解析】 【分析】（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 又因为，所以，所以是以为首项， 为公比的等比数列，所以， 所以； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题. 19. 已知函数． （1）当时，求的零点； （2）讨论在上的最大值； （3）是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，的取值范围是 【解析】 【分析】（1）利用导函数判断的单调性，进而判断零点的情况即可； （2）利用导函数判断在区间的单调性，进而求最值即可； （3）由题意只需即可，利用（2）中结论即，利用导数求的范围即可. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，，， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为当时，，， 所以仅有一个零点，. 【小问2详解】 ，令，解得， 在区间内， 单调递增 极大值 单调递减 当（即）时，在上单调递减，， 当（即）时，在上单调递增，， 当（即）时，在上单调递增，在上单调递减，． 综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为. 【小问3详解】 由（2）知在上，， 构造函数，由题意应使， ，令，解得． 1 单调递减 极小值 单调递增 所以， 所以使的实数只有，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $