精品解析：重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试卷

西南大学附中初2025届初三上11月定时检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列四个数中，最大数是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 若正多边形的一个外角是，则该多边形的边数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4. 为创建义务教育优质均衡发展示范学校，我校9月份购买图书30000本，11月份又购买图书43200本，设每月购买图书数量的平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 B. 对角线互相垂直且平分四边形是菱形 C. 同弧所对的圆周角相等 D. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 如图所示的图案是由正方形和三角形组成的．第一个图案有1个正方形和4个三角形；第二个图案有4个正方形和8个三角形；第三个图案有9个正方形和12个三角形，……按照这一规律，则第8个图案中正方形和三角形的数量之和为（ ） A. 94 B. 96 C. 98 D. 100 8. 如图，在中，，，，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点，交于点、，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 将多项式中的个“”改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对变换”．下列关于对多项式的“绝对变换”的结果说法： ①若，，，，为5个连续的正整数，则结果可能为； ②若且结果等于，则原多项式中必有两项之和为0； ③若且新多项式各项之积大于0，则将绝对值符号化简打开后，共有8种不同的运算结果． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 如图，与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为，则______． 13. 为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是______． 14. 若是一元二次方程的解，则的值为______． 15. 如图，在中，，平分，以为斜边作，，线段交于点，连接，若，，线段，则线段的长为______． 16. 若关于的不等式组有且只有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为______． 17. 如图，是内接三角形，半径是，，，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作的切线交的延长线于点，则线段的长度为______，线段的长度为______． 18. 若一个四位自然数的千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数为“奋斗数”；若千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大5，则称这个四位数为“前进数”．例如：是“奋斗数”；是“前进数”．则最小的“奋斗数”是______；若、分别是“奋斗数”、“前进数”，且它们的个位数字均为1，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被整除，则的最大值为______． 三、解答题：本大题共8个小题，共计78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， （1）用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 21. 每年12月是法制宣传月．为强化学生法制意识，我校对八、九年级学生进行了普法知识问答测试，现从八、九年级各随机抽取了20人的成绩进行整理、描述和分析，成绩用表示，共分为四个等级： A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 抽取的八年级20人的成绩为： 69，70，73，75，79，80，81，82，85，86， 86，86，88，88，91，91，93，94，96，97； 抽取的九年级B等级包含的所有数据为：84，81，88，83，89，87，85，82． 抽取的八、九年级学生成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 八年级 84.5 86 b 九年级 84.5 a 79 抽取九年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为我校八、九年级中哪个年级的普法知识问答测试成绩更好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若我校八、九年级共有1600人参加普法知识测试，请估计两个年级成绩优秀，大于或等于90分）的人数一共有多少人? 22. 我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． （1）该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ （2）甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 23. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 24. 重庆南川金佛山因其优美的自然风光、独特的地形地貌吸引了众多游客．甲乙两名游客选择两种不同的方式游览景区，如图，甲从山脚处乘坐缆车到达景点处，同时乙开车从山脚处前行到达处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场处，停车后，再跑步到达景点处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在处观测景点的仰角为，乙在处观测景点的仰角为． （1）求景点的高度；（结果精确到） （2）甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点？ （参考数据：，，，，） 25. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，且满足，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是线段下方抛物线上的一动点，过点作于点，点为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值； （3）如图，将该拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在中，，，点是线段的中点，点是线段上一点，连接． （1）如图，若，求线段的长度； （2）如图，点是线段上一点，点是线段上一点，连接、，分别交线段于点和点，若，，请证明：； （3）在（2）的条件下，作点关于线段的对称点，连接，点为射线上一点，连接，当线段最短时，连接，当线段长度取最小值时，请直接写出点到线段的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西南大学附中初2025届初三上11月定时检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知有理数的性质．根据有理数大小比较方法得出有理数的大小即可判断． 【详解】解：∵， ∴最大的数为2． 故选：C． 2. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 若正多边形的一个外角是，则该多边形的边数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为，由此即可求出答案． 【详解】解：， ∴该多边形的边数为9． 故选：B 4. 为创建义务教育优质均衡发展示范学校，我校9月份购买图书30000本，11月份又购买图书43200本，设每月购买图书数量的平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得， ． 故选：． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 同弧所对的圆周角相等 D. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的有关性质，菱形的判定及命题，正确地辨析圆的有关概念是解题关键．根据圆的有关性质可以得到解答． 【详解】解：A平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以A选项是真命题； B对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项是真命题； C同弧所对的圆周角相等，所以C选项是真命题； D平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以D为假命题． 故选D． 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．先根据二次根式的混合运算法则求出原式的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图所示的图案是由正方形和三角形组成的．第一个图案有1个正方形和4个三角形；第二个图案有4个正方形和8个三角形；第三个图案有9个正方形和12个三角形，……按照这一规律，则第8个图案中正方形和三角形的数量之和为（ ） A. 94 B. 96 C. 98 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律，正确理解图形的变化规律得到计算规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 根据已知图案中正方形和三角形的数量得到计算规律：第n个图案有个正方形和个三角形，进而可得第8个图案中正方形和三角形的数量，即可解答． 【详解】解：第一个图案有1个正方形和4个三角形，而，； 第二个图案有4个正方形和8个三角形，而，； 第三个图案有9个正方形和12个三角形，而，； …… 第n个图案有个正方形和个三角形， ∴第8个图案有个正方形和个三角形， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，，，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点，交于点、，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点D作于点G，利用分割法，计算面积即可． 本题考查了直角三角形的性质，三角函数的应用，扇形的面积公式，分割法计算面积，熟练掌握直角三角形的性质，扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵，，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，先证明，得到，进而推出为直角三角形，利用，得到，设，进而得到，求出，证明，求出的长，再证明，得到，即可． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等和相似三角形． 10. 将多项式中的个“”改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对变换”．下列关于对多项式的“绝对变换”的结果说法： ①若，，，，为5个连续的正整数，则结果可能为； ②若且结果等于，则原多项式中必有两项之和为0； ③若且新多项式各项之积大于0，则将绝对值符号化简打开后，共有8种不同的运算结果． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查绝对值的应用，对题干的解读理解能力． 本题涉及绝对值的运算，题干的理解，需根据题干的定义及解释，将题中三种情况逐一展开讨论． 【详解】解：①依据题意，分析如下∶ 为5个连续的正整数， 连续的两个正整数间相差为1， ， 当， ，故①说法正确， ②依据题意，分析如下∶ ， 可设b、d变号， 多项式为， 或， 或， 或， 故②说法错误； ③依据题意，分析如下∶ 且新多项式各项之积大于零，且m必须为偶数， 或4，当时，有、、、、、或七种不同的运算结果； 当时，有共一种运算结果， 共有8种不同的运算结果， 故③说法正确 故选∶C 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，先进行负整数指数幂和特殊角的三角函数值的运算，再进行减法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12. 如图，与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解． 【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为4：1， ∴，， ∴与的面积之比为， ∴ 故答案为：． 13. 为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率即可． 【详解】解：分别记“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团为A，B，C，D， 列表如下： 甲乙 A A 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择相同社团的结果数有4种， ∴他们选择相同社团的概率为， 故答案为：． 14. 若是一元二次方程的解，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：把代入方程中得：， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 15. 如图，在中，，平分，以为斜边作，，线段交于点，连接，若，，线段，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，得到，设，则，证明，，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理是解题的关键． 16. 若关于的不等式组有且只有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，根据不等式组的解集以及整数解的个数，确定a的取值范围，再根据分式方程的根和增根进一步确定a的取值范围，再求出符合条件的整式的和即可． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组有且只有四个整数解， ， 解得， 解分式方程，得， ∵， ∴， ∵关于y的方程的解为整数， ∴为偶数， ∴满足条件的a的值为，， ∴满足条件整数a的值之和是． 故答案为：． 17. 如图，是内接三角形，的半径是，，，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作的切线交的延长线于点，则线段的长度为______，线段的长度为______． 【答案】 ① ②. ## 【解析】 【分析】如图，作直径，连接，，过点作于点，证明是等边三角形，得，由是的直径，得，，进而得，由勾股定理得，由是的切线，得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，作直径，连接，，过点作于点， ∵，的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，度直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 18. 若一个四位自然数的千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数为“奋斗数”；若千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大5，则称这个四位数为“前进数”．例如：是“奋斗数”；是“前进数”．则最小的“奋斗数”是______；若、分别是“奋斗数”、“前进数”，且它们的个位数字均为1，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被整除，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数运算．理解“奋斗数”，“前进数”的定义，正确的表示数和式子是解题的关键． 由题意知，最小的“奋斗数”千位数字要最小，百位和个位最小为0，然后求解即可；设、百位数字分别为，则、，，，进而可得，，，，由能被整除，可知是整数，即是整数，则或或，当时，，且的取值为小于的自然数，由，可知当时，的值最大，为；同理，计算其他情况下的最大值，最后比较大小确定较大值即可． 【详解】解：由题意知，最小的“奋斗数”千位数字要最小， ∵“奋斗数”的千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大2，百位和个位最小为0， ∴千位最小为3，十位最小为2， ∴最小的“奋斗数”为； 设、百位数字分别为，则、，，， ∴， ∴， ∴，， ∵能被整除， ∴是整数，即是整数， ∴，或， 当时，，且的取值为小于的自然数， ∴， 当时，的值最大，为； 同理，当时，的最大值为； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为； ∵， ∴最大值为， 故答案为：，． 三、解答题：本大题共8个小题，共计78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式乘法及分式的混合运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． （1）先用完全平方公式计算再算乘法，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，把除法转化成乘法再化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， （1）用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 【答案】（1）见解析； （2），，，边长等腰腰长的等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质是解题的关键． （1）根据题干所给作图方法作图即可得解； （2）先证明，结合，得是等边三角形．进而证明（），得．即可得证． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ∴． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与边长等腰腰长的等边三角形的面积相等． 故答案为：，，，边长等腰腰长的等边三角形． 21. 每年12月是法制宣传月．为强化学生法制意识，我校对八、九年级学生进行了普法知识问答测试，现从八、九年级各随机抽取了20人的成绩进行整理、描述和分析，成绩用表示，共分为四个等级： A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 抽取的八年级20人的成绩为： 69，70，73，75，79，80，81，82，85，86， 86，86，88，88，91，91，93，94，96，97； 抽取的九年级B等级包含的所有数据为：84，81，88，83，89，87，85，82． 抽取的八、九年级学生成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 八年级 84.5 86 b 九年级 84.5 a 79 抽取的九年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为我校八、九年级中哪个年级的普法知识问答测试成绩更好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若我校八、九年级共有1600人参加普法知识测试，请估计两个年级成绩优秀，大于或等于90分）的人数一共有多少人? 【答案】（1），86，20 （2）八年级的学生普法知识测试成绩更好，理由见解析 （3）两个年级成绩合格（大于或等于90分）的有400人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）先求八年级成绩众数，再分别求出九年级各个等级的人数，即可求出结论； （2）根据中位数可判断八年级的学生普法知识测试成绩更好； （3）利用样本估计总体，计算普法知识测试成绩合格的八、九年级学生所占百分比即可求出结论． 【小问1详解】 解：在抽取的20名八年级学生的成绩中86是出现次数最多的，故众数是； 九年级D等级人数为：人， C等级人数为：人， B等级人数为：8人， A等级人数为：人， ， ， 九年级抽取了20人的成绩，将成绩从大到小排列后，排在第10、11两数的平均数是抽取的八年级成绩中位数， 把抽取的八年级B等级包含的所有数据按大小顺序排列： A等级人数为4人，89，88，87，85，84，83，82，81， 八年级成绩中位数， 故答案为：，86，20； 【小问2详解】 解：八年级的学生普法知识测试成绩更好，理由如下： 八九年级学生测试成绩的平均数相同，从中位数来看，八年级成绩中位数是86分高于九年级成绩中位数分， 所以八年级的学生普法知识测试成绩更好； 【小问3详解】 解：∵八年级知识测试成绩在90分及以上的学生有6人， ∵九年级知识测试成绩在90及以上的学生有4人， ∴两个年级成绩优秀（大于或等于90分）的有（人）． 22. 我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． （1）该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ （2）甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 【答案】（1）该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天 （2）改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键 （1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x天，根据“甲、乙的工作量之和为”列方程求解 （2）设改进工艺后甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺文化袋，根据“改进后甲、乙两车间每天生产的布艺文化袋数量之比为、两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天”列方程求解． 【小问1详解】 解∶设该厂家完成这批布艺文化袋一共需要x天，则 ． 解得∶． 答∶ 该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天． 【小问2详解】 解∶设改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋，乙车间每天生产个布艺文化袋． 甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩∶(个)，每个车间完成 (个) 由题意得∶， 解得∶， 经检验∶是原分式方程的解，且符合题意． 甲车间每天生产 (个)． 答∶ 改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 23. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）若函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，分当在上，当在上，两种情况求解即可； （2）根据函数解析式画函数图象即可，然后根据随的变化情况作答即可； （3）如图2，将代入，可求；将代入，可求；然后结合图象作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 当在上，时，， ∴； 当在上，时，，， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：画函数图象如图1： 由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； 【小问3详解】 解：如图2， 将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； 由图象可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质等知识．数形结合是解题的关键． 24. 重庆南川金佛山因其优美的自然风光、独特的地形地貌吸引了众多游客．甲乙两名游客选择两种不同的方式游览景区，如图，甲从山脚处乘坐缆车到达景点处，同时乙开车从山脚处前行到达处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场处，停车后，再跑步到达景点处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在处观测景点的仰角为，乙在处观测景点的仰角为． （1）求景点的高度；（结果精确到） （2）甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点？ （参考数据：，，，，） 【答案】（1）； （2）乙先到达景点． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得， ，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可； （2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，于，，延长交于点， ∵在中，由， ∴，， ∴，， ∵为的边上的高， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，设， ∴， 在中，，即， 解得，经检验是原方程的解， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴乙先到达景点． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，且满足，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是线段下方抛物线上的一动点，过点作于点，点为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值； （3）如图，将该拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）当时，得，，由，得，，进而利用待定系数法即可得解； （2）如图，过点作于，交于，过点作于，过点作于点，先求出直线为：，设，则，得，进而得，当时，的值最大，求出，再利用垂线段最短得取最小值时，的值最小，当、，，三点共线，时，的值最小，从而即可得解． （3）过作于，在轴的下方直线上，作，过作于点，在直线的右侧作，作直线交平移后的抛物线于点，则，由得，由得，进而，此时为所求，由将拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，相当于将拋物线向右平移个单位，再向下平移单位，得到新抛物线，从而，求出直线为，联立与，即可得解，作关于直线的对称点，连接交于，直线交平移后的抛物线于点，由得为所求，则，，先求出，进而得直线为，联立与即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把，代入得 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，交于，过点作于，过点作于点， 由设直线为：， 把代入得， 解得， 直线为：， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值最大， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴取最小值时，的值最小，当、，，三点共线，时，的值最小， ∵，， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：过作于，在轴的下方直线上，作，过作于点，在直线的右侧作，作直线交平移后的抛物线于点，则， ∵，， ∴ ∴， 由得， ∴， ∴此时为所求， ∵，，， ∴将拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，相当于将拋物线向右平移个单位，再向下平移单位，得到新抛物线， ∵， ∴， ∵，，，，， ∴， 设直线为 把，，代入， 得， 解得，， ∴直线为， 联立与，得 ， ∴， ∴（舍去）， ∴当时，， ∴， 作关于直线的对称点，连接交于，直线交平移后的抛物线于点，由得为所求，则，， 设直线为， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线为， ∴设， ∵， ∴，即， 解得或（舍去） ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线为， 把，代入得 解得， ∴直线为， 联立与得 ∴， 解得，（舍去）或， 当时，， ∴， 综上可得的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数的平移，求一次函数，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质，二次函数的平移，求一次函数，全等三角形的判定及性质以及解直角三角形是解题的关键． 26. 如图，在中，，，点是线段的中点，点是线段上一点，连接． （1）如图，若，求线段的长度； （2）如图，点是线段上一点，点是线段上一点，连接、，分别交线段于点和点，若，，请证明：； （3）在（2）的条件下，作点关于线段的对称点，连接，点为射线上一点，连接，当线段最短时，连接，当线段长度取最小值时，请直接写出点到线段的距离． 【答案】（1）； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于，由，设，则， 由，，得即，于是，根据，解得，从而求出即可得解； （2）如图，在的延长线上取一点，使得，先证明是等边三角形，得，，再证（），得，，由证，得，从而即可得证； （3）利用垂线段最短得当，最短，进而解直角三角形得最短，由，得点在的外接圆的上运动，作的外接圆，延长交于点，连接，，，，，过作，先证是的直径，进而求得、，、的长，结合勾股定理及由两点之间，线段最短得当、、三点共线时，最小．此时，过点作于，证，得，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵在中，， ∴设，则， ∵，， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解∶如图，在的延长线上取一点，使得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵点关于线段的对称点， ∴， ∴当，最短，最短 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在的外接圆的上运动， 如图作的外接圆，延长交于点，连接，，，，，过作， ∵、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由两点之间线段最短得，当、、三点共线时，最小．此时， 如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴点到线段的距离为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定及性质，两点之间，线段最短，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角形的外角性质，熟练掌握解直角三角形，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$