江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期期中学业质量监测数学试题

2025届高三期中学业质量监测试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则实数（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．在△中，，则（ ） A．30° B．45° C．60° D．135° 4．函数的极大值为（ ） A．4 B．0 C．1 D．4 5．在三棱锥中，，与平面所成角的大小为60°，则（ ） A．1 B． C． D．2 6．曲线与的交点中，与轴最近的点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 7．在中，．若∥，则（ ） A． B． C． D． 8．在正四棱柱中，，是线段上靠近的三等分点，过点与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（ ） A． B．2 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间中，设是三条直线，是三个平面，则下列能推出∥的是（ ） A． B．∥ C． D．∥ 10．已知函数，则（ ） A．的最大值为1 B．是曲线的对称中心 C．在上单调递减 D．的最小正周期为 11．设为上的增函数，满足：，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的一个单调减区间为，则________，_________． 13．在平面直角坐标系中，曲线上的两点满足，线段的中点在轴上，则点的横坐标为_________． 14．已知圆的半径为2，点在圆上，点在圆内，且，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知分别为△的内角的对边，且． （1）求； （2）若△的面积为，周长为6，试判断△的形状． 16．（15分） 设抛物线的焦点为，准线为，点在上，记在上的射影为． （1）△能否为正三角形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由； （2）设在点处的切线与相交于点，证明：°． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面，是的中点，平面平面，且． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 18．（17分） 已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线过原点，求； （2）当时，证明：； （3）若在上单调递增，求的取值范围． 19．（17分） 如果数列是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列是数列． （1）写出所有满足的数列； （2）证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）对任意给定的，都存在，使得数列是数列，求整数的最小值． 高三数学期中参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． BABD CBCB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． BD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解：（1）因为， 所以由正弦定理，得． 在△中，，所以． 所以， 即． 又，故，所以． 所以． 由，知，所以，即， （2）因为△的面积为，所以，结合（1）知，① 由余弦定理，得，即． 因为△的周长为6，所以②． 所以，所以， 所以，解得③． 由①③，解得，代入②，得． 所以△为等边三角形． 16．（15分） 解：设点 （1）△能为正三角形，理由如下： 依题意，抛物线的焦点，准线． 则，点到的距离． 假设△为正三角形，则°，即， 解得，所以点的坐标为． 经检验，此时△是边长为4的正三角形． （2）法1：依题意，抛物线，则． 所以在点处的切线方程为：，即． 令，得，所以点． 则， 所以． 法2：设的方程为：． 与抛物线联立方程组，去，得． 因为与抛物线相切，所以判别式，即． 代入得，解得，所以． 联立，解得，所以． 又，所以， 所以． 所以，所以°． 17．（15分） 证明：（1）在平面内，过点作，交于点． 因为平面平面，，平面平面， 所以平面． 因为平面，所以． 在△中，，所以． 所以点到平面的距离为． （2）由（1）知，平面，所以． 因为平面，平面，所以． 又因为，平面，所以平面． 因为平面，所以． 法1：在平面内，过点作平行于的射线． 如图，以为坐标原点，为正交基底建立空间直角坐标系． 则． 设平面的法向量为． 因为，所以． 令，得．所以． 又因为是平面的一个法向量， 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 所以平面与平面夹角的正弦值为． 法2：在△中，，所以． 在平面内，过点作，交于点，连接． 因为平面，平面，所以． 因为平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 所以是的平面角． 因为到的距离为，是的中点，所以． 在△中，又，故． 所以． 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18．（17分） 解：（1）依题意，，则． 因为曲线在点处的切线过点，所以， 解得． （2）当时，记， 则． 因为，所以，所以单调递增． 又，故令得，． 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增， 所以的最小值为，所以． 所以当时，． （3）因为在上单调递增，所以在上恒成立． 当时，因为，所以符合． 当时，，所以在上单调递增， 所以，符合． 当时，令，得，故在上存在唯一解， 不妨记为，则当时，，所以在上单调递减， 所以当时，，不符题意，故舍去． 综上，的取值范围为． 19．（17分） 解：（1）满足的数列共有4个，分别是1，2，3，7；1，2，6，7；1，5，6，7；1，3，5，7． （2）法1：存在数列1，4，16，64是数列，也是等比数列． 因为对于每一个，等比数列都满足： 首项为1，各项均为整数的递增数列， 且能被3整除， 能被3整除， 所以存在数列是等比数列，且有无穷个． 法2：若数列是等比数列，不妨记公比为，则该数列为：． 由题意，得． 当时，， 又， 则也是3的倍数， 所以对于每一个，数列均满足题意， 所以存在数列是等比数列，且有无穷个． （3）法1：当时，令，则或． 当时，则，不符； 当时，同上，显然不符， 故不存在，使得数列是数列． 当时，若，则存在数列1，2，3，4，11满足题意； 若，则存在数列1，3，5，7，12满足题意； 若，则存在数列1，4，7，10，13满足题意； 因此，则存在数列1，2，3，4，满足题意； 因此，则存在数列1，3，5，7，满足题意； 因此，则存在数列1，4，7，10，满足题意． 综上，的最小值为11． 法2：若． 由任意连续三项的和都能被3整除，得． 同理，． 所以． 若． 由任意连续三项的和都能被3整除，得． 同理，． 所以． 若． 由任意连续三项的和都能被3整除，得． 同理，． 所以． 综上，整数的最小值为11． 学科网（北京）股份有限公司 $$