17.2勾股定理的逆定理 同步练习-2024-2025学年人教版数学八年级下册

17.2勾股定理的逆定理---2024-2025学年人教版数学八年级下册 知识点回顾 1)勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 2)勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。 证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。 根据勾股定理b2－x2=c2－(a ±x)2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0 ∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形 注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形。 1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. 2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 同步练习 一、单选题 1．若的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 2．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 4．已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 5．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为、，且后分别到达，点如图所示，若，两点的直线距离为，甲探险者是沿着北偏东的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（    ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 6．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 7．已知的三边长分别为a，b，c且，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 8．如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为 ． 10．测得一个三角形花坛的三边长分别为，，，则此三角形的面积为 ；其最短边上的高为 ． 11．已知一个等腰的底边的长为厘米，腰上有一点，使得厘米，厘米，那么等腰的腰长为 厘米． 12．如图，在中，，，，P为边上一动点，作于D，于E，则的最小值为 ． 13．如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为 ． 14．如图，在中，，，，E，F分别为边上的点，M，N分别为的中点．若，则的长为 ． 三、解答题 15．如图，是等边内一点，，，，线段绕点逆时针旋转到，连接，． (1)求的长； (2)求的度数． 16．如图，在，，，边上的中线．请判定与的位置关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B D C B D A 1．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出的值，并正确运用勾股定理的逆定理．根据非负数的性质可知的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解：， ，，， 解得：，，， ，， ， 该三角形是直角三角形， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理找出是解题的关键．根据路程速度时间可求出、，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出，结合的度数即可求出的度数，此题得解． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴ ∴乙探险者的行走方向为南偏东， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ，， ∴， 是边上的中线， ， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．完全平方公式的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用完全平方公式可得，再根据勾股定理逆定理可得的形状为直角三角形． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 的形状为直角三角形， 故选：D． 8．A 【分析】连接，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，进而求出，利用等边对等角求出，从而可得出结论． 【详解】解：连接，如图： ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解本题的关键是判断出是等边三角形． 9．直角三角形 【分析】本题考查了非负数和勾股定理的逆定理．熟练掌握平方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性质．勾股定理的逆定理判定直角三角形，是解决问题的关键． 由平方，绝对值，算术平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形即可． 【详解】∵，且，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个三角形是直角三角形，边a是斜边． 故答案为：直角三角形． 10． 30 12 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理逆定理可得此三角形为直角三角形，两直角边分别为和，再利用三角形公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为和， ∴花坛面积为，最短边上的高为． 故答案为：30，12． 11．/ 【分析】本题考查勾股定理及其勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的性质，利用勾股定理列方程是解题关键. 首先判定，然后利用勾股定理列方程计算求解. 【详解】解：如图， 由题意可得，，即， ∴ ∴， 设个等腰的腰长为厘米， 在中，， 解得. 故答案为：. 12．/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质及判定与三角形等面积法的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．连接，首先证明四边形为矩形，由此得出，然后进一步利用三角形等面积法求出的最小值，从而得出答案即可. 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，即， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点C到的最短距离就是点C到的垂线段的长，即边上的高， 设边上的高为， 则：， ∴， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理及逆定理等知识点，首先作，使得：，，即可得，即可得与相似比为2，继而可得与是直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理，即可求得的面积，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用． 【详解】如图，作，使得：，， ∴， ∵， ∴与相似比为2， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 作于M， 由， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】连接，过A作交延长线于G，连接，证明， ，，利用勾股定理的逆定理得出，进而可得出，利用勾股定理求出，然后利用三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：连接，过A作交延长线于G，连接， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∵M为中点，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适辅助线，构造三角形中位线是解题的关键． 15．(1)6 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理： （1）根据旋转前后对应边相等证明是等边三角形，即可求解； （2）先证，推出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：线段绕点逆时针旋转到， ，， 是等边三角形， ； （2）解：是等边三角形， ，， 由（1）知，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是直角三角形， 16．，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，先根据三角形中线的定义得到，进而得到，则由勾股定理的逆定理可得，即． 【详解】解：，理由如下： ∵，是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$