第十四章整式的乘法与因式分解复习课第23讲 因式分解2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册考点过关检测 第23讲 因式分解 一、教学目标： 1.理解掌握因式分解的三种方法 2.学会判断用哪种方法因式分解 3.综合提升因式分解的能力 二、教学重、难点： 重点：理解掌握因式分解的三种方法 难点：学会判断用哪种方法因式分解 三、教学过程：要点梳理 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 （a+b）(a-b)=a2-b2 2.完全平方公式：两个数和或差的平方，等于这两个数的平方和加或减它们积的2倍 （a+b）2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 3.因式分解的基本方法：（1）提公因式法 （2）公式法 （3）十字相乘法 考点导练 【考点1】因式分解的定义 例题1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键； 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）一一判断，即可求解； 【详解】解：A、，该选项正确； B、，该选项不正确； C、，该选项不属于因式分解，故选项错误； D、，该选项不属于因式分解，故选项错误； 方法总结：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 【针对练习】 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A．B．C． D． 【分析】此题考查了因式分解；根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，右边不是整式的积，不是因式分解，故本选项不符合； B、，符合因式分解的概念，故本选项符合； C、，该是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； D、，该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合． 2.下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得． 【详解】解：A． ，是因式分解，选项说法正确，符合题意；     B． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； C． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；     D． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； 3.下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了因式分解的定义，因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一分析即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     B、属于因式分解，故该选项正确，符合题意； C、 是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     D、右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； 【考点2】用提公因式法分解因式 例题1.把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．据此求解即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提的公因式是 例题2分解因式： ． 【分析】本题考查因式分解，直接提取公因式求解即可得到答案． 【详解】解：． 方法总结：用提公因式法分解因式的基本步骤：①找公因式②提公因式 【针对练习】 1整式各项的公因式是 ． 【分析】本题考查多项式的公因式，解题的关键是掌握确定一个多项式的公因式，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．据此解答即可． 【详解】解：各项的公因式是． 2.因式分解： ． 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，寻找正确的公因式是解题的关键． 通过观察发现，公因式为，然后分解因式即可． 【详解】解：， 3．因式分解： ． 【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，提取公因式法，根据题意，先把分组得，然后再提取公因式，得出，最后再提取公因式即可得出答案． 【详解】解： 、 ． 4．分解因式： ． 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解题的关键．根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 【考点3】用公式法分解因式 例题1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 例题2.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A. B． C． D． 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误； B、，不符合完全平方公式，故此选项错误； C、，不符合完全平方公式，故此选项错误； D、，符合完全平方公式，故此选项正确； 例题3.在实数范围内因式分解： ． 【分析】本题考查了实数，分解因式，能选择正确的方法分解因式是解此题的关键．注意分解因式要彻底. 先拆项，将拆成，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可． 【详解】解 . 例题4．因式分解： ． 【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 【针对练习】 1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知平方差公式分解因式是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，符合题意； 2.在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 4. ． 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 5．分解因式： ． 【分析】本题考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 先用十字相乘法分解，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 【考点4】十字相乘法分解因式 例题1.多项式因式分解的结果 ． 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，牢记十字相乘法分解因式的方法是解题的关键：对于形如的二次三项式，若能找到两数、，使，且，那么就可以进行如下的因式分解，即． 按照十字相乘法分解因式的方法进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 例题2．因式分解： ． 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法可进行分解因式． 【详解】解：原式； 故答案为． 【针对练习】 1.因式分解： (1)___________． (2)因式分解：___________； 【分析】本题主要考查了十字相乘法因式分解，平方差公式等知识点， (1)先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可； (2)先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可； 熟练掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ， （2） ， 【考点5】因式分解的综合应用 例题1.因式分解： ． 【分析】本题考查因式分解，将原式化为，然后分组，再根据平方差公式和提公因式法进一步分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 【针对练习】 1.分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．把看作整体，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 2．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 3．因式分解： 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的应用．根据完全平方公式和提取公因式法即可因式分解． 【详解】解： ． 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 学科网（北京）股份有限公司11111 学科网（北京）股份有限公司 $$