3.4函数的应用（一）（3知识点+6题型）-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.4 函数的应用（一） 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 一次函数模型 1.一次函数解析式： 2.求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 3.解决实际应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 知识点 2 二次函数模型 1.二次函数解析式：形如 2.求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3.解决实际应用问题的注意事项 (1)审题选模型：函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． (2)定义域优先：要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． (3)检验意识：注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 知识点 3 幂函数模型 1.幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， 2.在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. 知识点4 分段函数模型 1.分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论。 思路方法总结 1、应用分段函数时的三个注意点 （1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； （2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； （3）分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论。 2、图像信息应用题的解答策略 （1）明确横轴、纵轴的意义，分析题中的具体含义； （2）由图象判定函数模型； （3）抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点（最大值点）、最低点（最小值点）及折线的拐角点等； （4）通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题。 3、建模时确定函数解析式的一般方法 （1）待定系数法：已知条件中给出的含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数（未知系数），就可以确定函数的解析式． （2）归纳法：先让自变量取一些特殊值，计算出对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式． 典例·举一反三 一、题型一 一次函数模型 例1．某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系． 【答案】 【分析】设从上海调运台到A市，则从上海调运台到B市，从杭州调运台到A市，根据题意，列出函数关系即可． 【详解】设从上海调运台到A市，则从上海调运台到B市，从杭州调运台到A市， 从杭州调运台到B市， 根据题意，， 其中且，解得， 所以． 跟踪训练 1．据调查，某存车处（只存放自行车和电动车）在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出自行车存车量x与存车总收入y之间的等量关系，即可求解. 【详解】解：由题意，因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为辆次， 所以， 故选：D． 2．网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”. 从上述表格中可以推算出30号的童鞋对应的脚的长度为 ；若一个篮球运动员的脚长为282，则他该穿 号的鞋. 【答案】 【详解】试题分析：观察上图可知，法实际标注，故号的童鞋对应的脚的长度为，当脚长为为，对应的法，应穿码的鞋，故答案为，. 考点：推理，归纳. 3．成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元，用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共40件，其中甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，求商场共有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若每件甲种玩具售价32元，每件乙种玩具售价50元．请求出卖完这批玩具共获利（元）与甲种玩具进货量（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少元？ 【答案】(1)24元，36元. (2)10种 (3)，500元 【分析】（1）根据题意即可列出方程，解方程可得答案； （2）由题意列出不等式，即可求得答案； （3）由题意即可列出获利（元）与甲种玩具进货量（件）之间的函数关系式，结合一次函数性质，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）设每件甲种玩具的进价是x元，则每件乙种玩具的进价为元， 则，解得， 经检验，时原方程的解，则（元）， 故每件甲种、乙种玩具的进价分别是24元和36元. （2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具件， 由题意可得， 解得，因为m为整数， 故m可取共10个整数， 即商场共有10种进货方案. （3）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具件， 则， w随m的增大而减小， 故当时，利润w取到最大值（元）. 二、题型二 二次函数模型 例2．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】(1)该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 (2)该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【详解】（1）由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 跟踪训练 1．某自来水厂的蓄水池中存有水400吨，水厂每小时向蓄水池注水60吨，而蓄水池1小时内向居民小区供水总量为吨（）．若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张，则在一天24小时内，出现供水紧张的时长约为（    ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【答案】C 【分析】设蓄水池中的水量为，由题可得，，设，，得出，令，解出的范围，再得出的范围，即可得出答案． 【详解】设蓄水池中的水量为，则，， 设，， 则， 令，解得， 所以， 所以出现供水紧张的时长约为小时， 故选：C． 2．如图所示，一个长为、宽为的长方形，被平行于边的两条直线所割，其中长方形的左上角是一个边长为的正方形． (1)试用表达式将图中阴影部分的面积表示成的函数； (2)当，时，求面积的最小值，并指出此时自变量的值． 【答案】(1)， (2)时，面积的最小值为7 【分析】（1）根据的定义写出其表达式并化简，然后列出不等式组，求使得有意义的的值即可； （2）当，时，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得． 又∵，∴． 所求函数为，． （2）当，时，，函数为， ∴当时，面积的最小值为7． 3．某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为y与x的函数模型 (2)289百棵 【分析】（1）将代入和，求出两个函数，然后和代入，看那个算出的数据更接近选择哪个模型； （2）由（1）得，利用换元法及二次函数性质求解即可. 【详解】（1）①若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以. 此时，当时，与表格中的7.8相差较大， 当时，与表格中的11.2相差较大， 所以不适合作为y与x的函数模型. ②若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以.此时，当时，， 当时，，y的值刚好与表格中的7.8和11.2相符合， 所以更适合作为y与x的函数模型. （2）由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x的取值范围为， 当时，. 易知，当，即时，之取最大值53（万元）， 故果树数量为289百棵时，年利润最大. 三、题型三幂函数模型 例3．某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x与利润y（单位：万元）分别满足函数关系与． (1)求，与，的值； (2)该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值． 【答案】(1)，，， (2)分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为万元，此时总利润的最大值为31.5万元. 【分析】（1）代入点的坐标，求出，与，的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值. 【详解】（1）将代入中， ，解得：， 将代入中， ，解得：， 所以，，，. （2）设分配生产乙商品的投资为m（0≤m≤20）万元、甲商品的投资为万元，此时的总利润为w， 则， 因为0≤m≤20，所以当，即时，w取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为万元，此时总利润的最大值为31.5万元. 跟踪训练 1．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 2．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30. 故选：A. 3．今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示. (1)试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产、两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金.（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金） 【答案】(1)；. (2)公司最大利润为9千万，此时生产芯片投入的资金为4千万. 【分析】(1)结合已知条件和图像分别求解即可；(2)根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）(i)不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； (ii)、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值9. 四、题型四对勾函数模型 例4．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 【答案】(1) (2)见解析； (3). 【分析】（1）利用题意建立函数关系即可； （2）根据函数关系利用导数研究其单调性即可； （3）根据（2）求函数的极值、最值即可. 【详解】（1）由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为：， 则， 所以y关于x的函数解析式为，； （2）由（1）， 显然当时，，即此时随着x的增大，y也增大； 当时，，即此时随着x的增大，y减小； （3）由（2）可知，当时，y可取得极小值也是最小值，此时， 所以长和宽分别为32，16时最省料，此时长宽比为. 跟踪训练 1．近年来，某企业每年消耗电费24万元.为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：）之间的函数关系是（，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与15年所消耗的电费之和为F（单位：万元）. （1）解释的实际意义，并写出F关于x的函数关系式； （2）要使F不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求x的取值范围. 【答案】（1）表示不安装太阳能电池板的年消耗的电费，且；（2）. 【分析】（1）由题设可得每年安装费用为，由表示不安装太阳能电池板的年消耗的电费求k值，进而由写出解析式. （2）由（1）及题意有，整理为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）由题设，每年安装这种太阳能供电设备的费用为， 而表示不安装太阳能电池板的年消耗的电费，则，即， ∴且. （2）由题设，， ∴，整理得，解得. 2．某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以110 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为 km/h．（结果保留整数） 【答案】 【分析】首先求出的值，再解不等式即可求得答案. 【详解】由，解得， 所以， 所以，故． 故答案为：. 3．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第3年 (2)第7年平均利润最大，为12万元 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，万元时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 五、题型五 分段函数模型 5．某手机生产企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润＝销售额－成本）； (2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)2023年产量为100（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为7000万元 【分析】（1）根据题意先得到每生产（千部）手机的投入成本，再由利润＝销售额－成本求解； （2）根据（1）的结果，分，，分别利用二次函数和基本不等式求解. 【详解】（1）解：由题意知：每生产（千部）手机， 投入的成本， ∴， 即； （2）当时，， ∴当时，； 当时， （当且仅当，即时取等号），∴； 综上：2023年产量为100（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为7000万元. 跟踪训练 例1．如图，动点从边长为4的正方形的顶点开始，顺次经过点绕正方形的边界运动，最后回到点．用表示点运动的路程，表示的面积，求关于的函数解析式．（当点在上时，规定）    【答案】 【分析】根据点的运动顺序，依次求出在各个边上时三角形的面积，将结果写成分段函数的形式即可． 【详解】当点在边上时，， 当点在边上时，， 当点在边上时，， 当点在边上时，， 综上所述，． 2．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.    ① 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除.  ② 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表3.1-5. 表3.1-5 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 4 25 31920 5 30 52920 6 35 85920 7 45 181920 假定小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元， 设小王全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）. (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果小王全年的综合所得为249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 【答案】(1) (2)5712元 【分析】根据公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式，再结合的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式. 【详解】（1）设全年应纳税所得额为t，由个人应纳税所得额计算公式，可得 . 令，得. 根据个人应纳税所得额的规定可知，当时，. 所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为. 根据表3.1-5，可得函数的解析式为 ，       ③ 则当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以，函数解析式为.           ④ （2）根据④，当时，. 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元. 3．漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产万斤，需投入其他成本万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入固定成本其它成本) (1)写出2025年利润（万元）与产量x（万斤）的函数解析式； (2)求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值. 【答案】(1) (2)2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元 【分析】（1）由利润=收入固定成本其它成本，根据题意求解； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质和基本不等式求解. 【详解】（1）解：由题意可知： 当时，， 当时， . （2）由， ①当时， 当时，取得大值，最大值为85， ②当时，， 当且仅当即时，取得最大值50， 由①②可得:当时，取得最大值150， 综上所述，2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元. 六、题型六 函数图像信息 例6．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 跟踪训练 1．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【答案】ABC 【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果. 【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样， 显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点； 所以只有D正确. 故选：ABC 2．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 【答案】BCD 【分析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误；根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论C正确；结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程＝速度×时间，即可得出结论D正确． 【详解】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交， ∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误； 甲车的速度为240÷4＝60（km/h）， 乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h）， ∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h）， ∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确； ∵， ∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确； ∵80×（4﹣3.5）＝40（km）， ∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确； 故选：BCD 3．家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻承温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．    (1)求R和t之间的关系式； (2)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ． 【答案】(1) (2)15℃～37.5℃ 【分析】（1）分段讨论电阻与温度的解析式即可； （2）把R＝4代入，解得温度的范围即可． 【详解】（1）∵ 温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系， ∴当时，设关系为R， 将代入上式中得：6，解得k＝60， 故当时，； 将t＝30℃代入上式中得：， ∴温度在30℃时，电阻， ∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加， ∴当时，， 故R和t之间的关系式为； （2）把R＝4代入，得t＝37.5， 把R＝4代入，得t＝15， 所以，温度在15℃～37.5℃时，发热材料的电阻不超过4kΩ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 函数的应用（一） 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 一次函数模型 1.一次函数解析式： 2.求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 3.解决实际应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 知识点 2 二次函数模型 1.二次函数解析式：形如 2.求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3.解决实际应用问题的注意事项 (1)审题选模型：函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． (2)定义域优先：要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． (3)检验意识：注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 知识点 3 幂函数模型 1.幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， 2.在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. 知识点4 分段函数模型 1.分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论。 思路方法总结 1、应用分段函数时的三个注意点 （1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； （2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； （3）分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论。 2、图像信息应用题的解答策略 （1）明确横轴、纵轴的意义，分析题中的具体含义； （2）由图象判定函数模型； （3）抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点（最大值点）、最低点（最小值点）及折线的拐角点等； （4）通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题。 3、建模时确定函数解析式的一般方法 （1）待定系数法：已知条件中给出的含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数（未知系数），就可以确定函数的解析式． （2）归纳法：先让自变量取一些特殊值，计算出对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式． 典例·举一反三 一、题型一 一次函数模型 例1．某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系． 跟踪训练 1．据调查，某存车处（只存放自行车和电动车）在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”. 从上述表格中可以推算出30号的童鞋对应的脚的长度为 ；若一个篮球运动员的脚长为282，则他该穿 号的鞋. 3．成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元，用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共40件，其中甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，求商场共有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若每件甲种玩具售价32元，每件乙种玩具售价50元．请求出卖完这批玩具共获利（元）与甲种玩具进货量（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少元？ 二、题型二 二次函数模型 例2．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 跟踪训练 1．某自来水厂的蓄水池中存有水400吨，水厂每小时向蓄水池注水60吨，而蓄水池1小时内向居民小区供水总量为吨（）．若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张，则在一天24小时内，出现供水紧张的时长约为（    ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 2．如图所示，一个长为、宽为的长方形，被平行于边的两条直线所割，其中长方形的左上角是一个边长为的正方形． (1)试用表达式将图中阴影部分的面积表示成的函数； (2)当，时，求面积的最小值，并指出此时自变量的值． 3．某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 三、题型三幂函数模型 例3．某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x与利润y（单位：万元）分别满足函数关系与． (1)求，与，的值； (2)该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值． 跟踪训练 1．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 2．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 3．今年中国“芯”掀起研究热潮，某公司已成功研发、两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.25千万元；生产芯片的净收入（千万元）是关于投入的资金（千万元）的幂函数，其图象如图所示. (1)试分别求出生产、两种芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产、两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产芯片投入的资金.（利润芯片净收入芯片净收入研发耗费资金） 四、题型四对勾函数模型 例4．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着x的变化，y的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？ 跟踪训练 1．近年来，某企业每年消耗电费24万元.为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：）之间的函数关系是（，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与15年所消耗的电费之和为F（单位：万元）. （1）解释的实际意义，并写出F关于x的函数关系式； （2）要使F不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求x的取值范围. 2．某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以110 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为13L，欲使每小时的油耗不超过11L，则速度x的取值范围为 km/h．（结果保留整数） 3．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 五、题型五 分段函数模型 例5．某手机生产企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润＝销售额－成本）； (2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 跟踪训练 1．如图，动点从边长为4的正方形的顶点开始，顺次经过点绕正方形的边界运动，最后回到点．用表示点运动的路程，表示的面积，求关于的函数解析式．（当点在上时，规定）    2．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.    ① 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除.  ② 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表3.1-5. 表3.1-5 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 4 25 31920 5 30 52920 6 35 85920 7 45 181920 假定小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元， 设小王全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）. (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果小王全年的综合所得为249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 3．漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产万斤，需投入其他成本万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入固定成本其它成本) (1)写出2025年利润（万元）与产量x（万斤）的函数解析式； (2)求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值. 六、题型六 函数图像信息 例6．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 跟踪训练 1．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 2．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（    ）    A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km 3．家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻承温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．    (1)求R和t之间的关系式； (2)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$