专项6 平行四边形性质判定综合-鲁教版五四制八年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 平行四边形的证明及存在性问题 参考答案： 1．(1)见解析 (2)120 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质： （1）根据 2 3  ，可得CP FN∥ ，从而得到 C FND  ，继而得到 1 FND   ，即可求证； （2）根据CP FN∥ ，可得 2 80EMF   ，再由 AB CD∥ ，可得 40FED D   ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 2 3  ， ∴CP FN∥ ， ∴ C FND  ， 又∵ C 1   ， ∴ 1 FND   ， ∴ AB CD∥ ； （2）解：∵CP FN∥ ， ∴ 2 80EMF   ， 又∵ AB CD∥ ， ∴ 40FED D   ， ∴ 2 80 40 120AEP FED     ． 2．(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据平行线的性质证明  AASBCE DAE ≌ ，推出 BC AD ，得出四边形 ABCD是 平行四边形，得到 AB DC ，即可证得结论； （2）由（1）可推出四边形 ABCF的面积 3 ADFS  ，然后作 AM CF 于点 M，如图，求出 4AM  和 ADFS△ ，进而可得结果． 【详解】（1）证明：∵ AD BC∥ ， ∴ ,BCA CAD CBD ADB      ， ∵点 E是 BD的中点， ∴ BE DE ， ∴  AASBCE DAE ≌ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ BC AD ， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB DC ， ∵DF CD ， ∴ AB DF ； （2）解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ ABC ADCS S△ △ ∵ AB DC ， 4AB  ， ∴ 4, 8CD DF CF   ， ∴ ADF ADCS S  ， ∴四边形 ABCF的面积 3 ADFS  ， 作 AM CF 于点 M，如图， ∵ 8AF  ， 30F  ， ∴ 1 4 2 AM AF  ， ∴ 1 4 4 8 2ADF S     ， ∴四边形 ABCF的面积 3 8 24   ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及含 30度角的直 角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质定理、明确解答的方法是解题的关键． 3．（1）见解析 （2）9 【分析】（1）先证明 Rt△ABE≌Rt△CDF，得到 AB∥CD，即可判定平行四边形； （2）证明 AB=GB，根据勾股定理构造方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）∵AF=CE， ∴AF-EF=CE-EF， ∴AE=CF， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∵BE⊥AC，DF⊥AC，， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∵AB=CD， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF， ∴∠BAE=∠DCF， ∴AB∥CD， ∵AB=CD， ∴四边形 ABCD是平行四边形； （2）∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD， ∴∠AGB=∠GBC， ∵∠GBC=∠BCD， ∴∠AGB=∠BAG， ∴AB=GB， 设 AB=GB=x，则 BE=x-2， ∵BG⊥AC， ∴ 2 2 2 2AB BE AG GE   ， ∴  22 2 22 6 2x x    ， 解得 x=9， ∴AB=9． 【点睛】本题考查了平行四边的判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定等知识，综合性较强， 熟知相关定理并根据已知条件合理选择定理是解题关键． 4．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用 AE平分∠BAD， 推出∠BAE＝∠AEB，得到 BE=AB，即可得到结论； （2）根据 BE＝AB，BF平分∠ABE，得到 AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出 DF＝CF，即 可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB＝CD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴∠DAE＝∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB ∴BE＝AB ∴BE=CD （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE ∴AF＝EF 在△ADF和△ECF中 DAE AEB AF EF AFD EFC         ∴△ADF≌△ECF ∴DF＝CF 又∵AF＝EF ∴四边形 ACED是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一 的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 5．(1)  5,4C  ， 9m  (2) 200, 7 P      (3)当 21t  或 4或 37 8 时，△CDP是等腰三角形 【分析】(1)根据 4 4 3 y x   确定    3,0 , 0,4A B ，计算 5AD BC  ，结合平行四边形性质确定点 C的坐标，将其代入解析式 y x m  即可确定 m的值． (2)根据解析式 y x m  确定 E的坐标，计算 7DE  利用 y x m  ， 4 4 3 y x   ，  0,P t 表示 M， N的坐标，根据 7MN DE  列出等式计算即可． (3)分 , ,CD CP CD DP CP DP   三种情形计算即可． 【详解】（1）∵直线 4 4 3 y x   与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B， ∴    3,0 , 0,4A B ， 2 23 4 5AB    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵点 D的坐标为  2,0 ， ∴ 5AD  ． ∵ ABCD ， ∴ 5,AD BC AD BC   ， ∴ 4,0 5C Cy x   ， 解得 4, 5C Cy x   ， ∴  5,4C  ． 将  5,4C  ）代入 y x m  ， 得 4 5 m   ， 解得 9m  ． （2）∵直线  9y x + 与 x轴交于点 E， ∴E的坐标为  9,0 ， ∵点 D的坐标为  2,0 ， ∴  2 9 7DE      ． ∵直线  9y x + ， 4 4 3 y x   与过点  0,P t 且平行 x轴的直线分别交于点 N，M， ∴ 49, 4 3 t x t x     ， 解得  39, 4 4 x t x t    ， ∴  33 , , 9,4M t t N t t       ， ∴  3 73 9 12 4 4 MN t t t       ， ∵四边形NEDM是平行四边形， ∴ 7MN DE  ， ∴ 7 12 7 4 t   ， 解得 20 7 t  ． 故 200, 7 P      ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 （3）∵    3,0 , 0,4A B ， ABCD ， ∴ 2 23 4 5AB CD    ， ∵点 D的坐标为  2,0 ，  0,P t ， ∴ 24DP t  ，  225 4CP t   ． 当CD DP ，则 24 25t  ． 解得 21, 21t t   （舍去）． 当CD CP ，则点 P与 B重合．此时， 4t  ． 当 CP DP时，则  22 4 25 4t t    ． 解得 37 8 t  ． 综上所述，当 21t  或 4或 37 8 时，△CDP是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和 性质，两点间的距离公式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，两 点间的距离公式是解题的关键． 6． 1t  或 7 3 【分析】分两种情况进行讨论，①当点 Q在线段CE上时，②当点 Q在线段 BE上时，再根据 平行四边形对边相等的性质列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 3AD  ， 8BC  ， E是 BC的中点， AD BC∥ ， ∴ PD QE 时，以点 P，Q， E，D为顶点的四边形是平行四边形． ①当点 Q在线段CE上时， 4 2QE t  ， 3PD t  ， 即： 4 2 3t t   ，解得： 1t  ； ②当点 Q在线段 BE上时， 2 4QE t  ， 3PD t  ， 即： 2 4 3t t   ，解得： 7 3 t  ． 所以当 1t  或 7 3 时，以点 P，Q， E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考平行四边形的性质，解题关键是由已知明确有两种情况，不能漏解． 7．（1）当 t=2.5s时，四边形 ABQP是平行四边形，理由详见解析；（2）5.4cm2． 【分析】（1）求出 AP BQ 和 //AP BQ，根据平行四边形的判定得出即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （2）先求出高 AM和 ON的长度，再求出 DOC 和 OQC 的面积，再求出答案即可． 【详解】（1）当 2.5t s 时，四边形 ABQP是平行四边形，理由如下： ∵四边形 ABCD是平行四边形 ∴ // , , 5 , ,AD BC AB CD AD BC cm AO CO AO OC     ∴ PAO QCO   在 APO 和 CQO 中， PAO QCO AO CO POA QOC         ∴ ( )APO CQO ASA   ∴ 2.5AP CQ cm  ， 2.5( ) 1 APt s  ∵ 5BC cm ∴ 5 2.5 2.5BQ cm cm cm AP    即 , //AP BQ AP BQ ∴四边形 ABQP是平行四边形 故当 2.5t s 时，四边形 ABQP是平行四边形； （2）过 A作 AM BC 于M，过 O作ON BC 于 N ∵ , 3 , 5AB AC AB cm BC cm   ∴在Rt ABC 中，由勾股定理得： 2 2 4AC BC AB cm   由三角形的面积公式得： 1 1 2 2BAC S AB AC BC AM     ，即 1 13 4 5 2 2 AM    ∴ 2.4AM cm ∵ ,ON BC AM BC  ∴ //AM ON ∵ AO OC ∴MN CN ∴ 1 1.2 2 ON AM cm  在 BAC 和 DCA 中， AC AC BC AD AB CD      ∴ ( )BAC DCA SSS   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ 2 1 3 4 6( ) 2DCA BAC S S cm      ∵ AO OC ∴ DOC 的面积为 2 1 3 2 DCA S cm  当 4t s 时， 4AP CQ cm  ∴ OQC 的面积为 2 1 1.2 4 2.4( ) 2 cm   ∴ 23 2.4 5.4( )y cm   故 y的值为 25.4cm ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形的面积、全等三角形的性质和判定等知 识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 8．(1)  18,6 (2)4 (3)  9,3 或  3,3 或  15,9 【分析】（1）过点 C作CH OA 于点 H，然后根据题意可得点  6,6C ，进而问题可求解； （2）由题意得 2 , 2OQ t CP t  ，则有 , 12 2OD t PB t   ，当点 D、E、P三点共线时，可知  ASABPE ODE ≌ ，然后问题可求解； （3）由题意可知当以 C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当 PQ为对角 线时，②当以CQ为对角线时，③当以CP为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点 C作CH OA 于点 H，如图所示： ∵ 45AOC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴ CDO 是等腰直角三角形， ∵ 6 2OC  ， ∴ 2 6 2 OD CD OC   ， ∴  6,6C ， ∵四边形OABC是平行四边形， 12OA  ， ∴ 12,BC OA BC OA  ∥ ， ∴  18,6B ； （2）解：如图所示， 由题意得： 2 , 2OQ t CP t  ， ODQ 是等腰直角三角形， ∴ , 12 2OD t PB t   ， 在 OABC 中， ,OE BE BC OA ∥ ， ∴ PBE DOE  ， 当点 D、E、P三点共线时，如图， ∴ BEP OED  ， ∴  ASABPE ODE ≌ ， ∴BP OD ， ∴ 12 2t t  ， 解得： 4t  ， ∴当 4t  时，D、E、P三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：    , , 2 6,6Q t t P t  ， 当点 P运动到 BC的中点时，则有2 6t  ， 解得： 3t  ， ∴    3,3 , 12,6Q P ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 当以 C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分： ①当 PQ为对角线时，则根据平行四边形的性质可得 3 2, 6CQ PM CP QM    ，CP QM∥ ， ∴  9,3M ， ②当以CQ为对角线时，即 ,CM QP CP QM∥ ∥ ， ∴ 6CP QM  ， ∴  3,3M  ； ③当以CP为对角线时，即 ,CM QP CQ PM∥ ∥ ， 3 2QC PM  ，如图所示，过点 M作MN BC 于 点 N， ∴ 45MPN AOC    ， ∴ 2 3 2 PN MN PM   ， ∴  15,9M ∴综上所述：当以 C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点  9,3M 或  3,3 或  15,9 ． 【点睛】本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角 形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 9．(1)8-2t； (2)1.5； (3)S=3t2-7t+40； (4)t＝ 83或 t＝ 8 7 ． 【分析】（1）先得出 CE=（8-2t）（cm），AF=（10-3t）（cm），再得出四边形 CEHD是平 行四边形即可求解； （2）先得出 AH=（2+2t）（cm），再利用△CEG≌△AHG得出结论； （3）得出 GH=AH，再利用 S=S△ACD-S△AFG求解即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 （4）分两种情况解答，画出图形，根据图形及平行四边形的性质，得出 BE=FH求解即可． 【详解】（1）根据题意，得 BE=2t（cm），DF=3t（cm）， ∴CE=（8-2t）（cm），AF=（10-3t）（cm）， ∵CD⊥AD，EH⊥AD， ∴∠D=∠EHA=90°， ∴CD EH∥ ， 又∵CB AD∥ ， ∴四边形 CEHD是平行四边形， ∴DH=CE=（8-2t）（cm）； （2）∵AD=10cm，DH=（8-2t）（cm）， ∴AH=AD-DH=10-（8-2t）=（2+2t）（cm）， ∵△CEG≌△AHG， ∴CE=AH， ∴8-2t=2+2t， ∴t=1.5； （3）如图， ∵CD=AD=10cm， ∴∠1=∠2， ∵∠D=90°， ∴∠2=45°， 又∵∠GHA=90°， ∴∠3=45°， ∴∠2=∠3， ∴GH=AH=（2+2t）（cm）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴S=S△ACD-S△AFG = 1 2 ×AD×CD− 1 2 ×AF×GH = 1 2 ×10×10− 1 2 ×(10−3t)(2+2t) =3t2-7t+40 （4）①如图，作 BG⊥AD于点 G， 由题意得：BE=HG=2t（cm），AG=10-8=2cm， ∵B，E，F，H为顶点的四边形为平行四边形， ∴BE=FH， ∴2t=10-2-2t-3t，解得：t= 8 7 ， ②如图， 由题意得：2t=3t-（8-2t），解得：t= 83， 综上所述，t的值为：t＝ 83或 t＝ 8 7 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意 分类讨论思想的运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 平行四边形的证明及存在性问题 1．如图，已知点 E、F在直线 AB上，点N在线段CD上，ED与 FN交于点M ， C 1   ， 2 3  ， (1)求证： AB CD∥ ； (2)若 40D  ， 80EMF  ，求 AEP 的度数． 2．如图，在四边形 ABCD中， AD BC∥ ， AC与 BD交于点 E，点 E是 BD的中点，延长CD到点 F，使DF CD ，连接 AF ． (1)求证： AB DF ． (2)若 4AB  ， 8AF  ， 30F  ，求四边形 ABCF的面积． 3．如图，四边形 ABCD中，BE⊥AC交 AD于点 G，DF⊥AC于点 F，已知 AF=CE，AB=CD． （1）求证：四边形 ABCD是平行四边形； （2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求 AB的长． 4．如图，四边形 ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线 AE交 CD于点 F，交 BC的延长 线于点 E． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （1）求证：BE＝CD； （2）若 BF恰好平分∠ABE，连接 AC、DE，求证：四边形 ACED是平行四边形． 5．已知直线 4 4 3 y x   与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，将 ABCD 如图放置在平面直角坐标 系中，点 D的坐标为  2,0 ，直线 y x m  经过点 C，交 x轴于点 E． (1)求点 C的坐标和 m的值； (2)若点  0,P t 是线段OB上的动点（P不与点 O，B重合），经过点 P且平行于 x轴的直线交 AB 于点 M，交CE于点 N．当四边形NEDM是平行四边形，求点 P的坐标； (3)若点  0,P t 是 y轴正半轴上的一个动点，当 t为何值时， CDP△ 是等腰三角形？ 6．如图，四边形 ABCD中， AD BC∥ ， 3AD  ， 8BC  ，E是 BC的中点，点 P以每秒 1个单位 长度的速度从 A点出发，沿 AD向点 D运动；点 Q同时以每秒 2个单位长度的速度从点 C出 发，沿CB向点 B运动，点 P停止运动时，点 Q也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以 点 P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7． 如图，在▱ ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，AB⊥AC，AB=3cm，BC=5cm．点 P 从 A点出发沿 AD方向匀速运动速度为 lcm/s，连接 PO并延长交 BC于点 Q．设运动时间为 t （s）（0＜t＜5） （1）当 t为何值时，四边形 ABQP是平行四边形？ （2）设四边形 OQCD的面积为 y（cm2），当 t=4时，求 y的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边边 12OA  ， 6 2OC  ， 45AOC  ，P、 Q分别是边 BC、OC上的动点，点 P以每秒 2个单位的速度从点 C向点 B运动，同时点 Q以 每秒 2个单位的速度从点 O向点 C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动 时间为  0t t  ． (1)点 B的坐标为___________； (2)连接 AC、BO交于点 E，过 Q点作QD OA 于 D，当 t  ___________时，D、E、P三点在一 条直线上； (3)当点 P运动到 BC的中点时，在平面内找一点 M，使得以 C、P、Q、M为顶点的四边形是 平行四边形，则点 M的坐标为___________. 9．如图，在四边形 ABCD中，BC AD∥ ，∠ADC＝90°，BC＝8cm，AD＝CD＝10cm，点 E从 点 B出发，沿 BC方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时，点 F从点 D出发，沿 DA方向匀速运 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 动，速度为 3cm/s．过点 E作 EH⊥AD，垂足为 H，EH与 AC相交于点 G，连结 FG．设运动 时间为 t(s)( 100 3 t  )，解答下列问题： (1)求 DH的长度(用含 t的代数式表示)； (2)当CEG≌AHG时，求 t的值； (3)设四边形 CDFG的面积为 S( 2cm )，求 S与 t之间的关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得以点 B，E，F，H为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请直接写出 t的值；若不存在，请说明理由．