清单02 直线的交点、距离公式与对称、最值问题（考点清单，知识导图+9个考点梳理+8题型解读+变式训练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单02 直线的交点、距离公式与对称、最值问题（9个考点梳理+8题型解读+变式训练） 【清单01】直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 【清单02】两点间的距离公式 两点，间的距离公式为． 【清单03】点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 【清单04】两平行线间的距离 直线与直线的距离为． 【清单05】点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 【清单06】点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 【清单07】直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 【清单08】直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 【清单09】常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 考点题型1：两直线的交点问题 【典例1-1】若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·海南海口·期末）过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 考点题型2：两点的距离 【典例2-1】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【典例2-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【变式2-1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【变式2-2】（23-24高二上·广西南宁·期末）已知函数且过定点，直线过定点，则 【变式2-3】（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 考点题型3：点到直线的距离 【典例3-1】（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【典例3-2】（23-24高二上·广西北海·期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【变式3-1】（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式3-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【变式3-3】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点题型4：两平行直线的距离 【典例4-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【典例4-2】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【变式4-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线与直线间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 考点题型5：点线对称 【典例5-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【变式5-1】（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【变式5-2】（21-22高二上·湖北随州·期中）光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ． 【变式5-3】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，，则顶点C的坐标 ． 考点题型6：线点对称 【典例6-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【典例6-2】（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式6-2】（多选题）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【变式6-3】（多选题）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线，则（    ） A．直线l始终过第二象限 B．时，直线l的倾斜角为 C．时，直线l关于原点对称的直线方程为 D．点到直线l的最大距离为 考点题型7：线线对称 【典例7-1】（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为 【变式7-2】（22-23高二上·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为 ． 【变式7-3】（21-22高二·全国·课后作业）已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 考点题型8：两线段和与差的最值问题 【典例8-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【典例8-2】（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【变式8-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式8-3】（23-24高二上·湖南·期中）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知，，，P为内一点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-5】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【变式8-6】（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 直线的交点、距离公式与对称、最值问题（9个考点梳理+8题型解读+变式训练） 【清单01】直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 【清单02】两点间的距离公式 两点，间的距离公式为． 【清单03】点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 【清单04】两平行线间的距离 直线与直线的距离为． 【清单05】点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 【清单06】点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 【清单07】直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 【清单08】直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 【清单09】常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 考点题型1：两直线的交点问题 【典例1-1】若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知， 联立方程，解得，即两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，则    解得， 且直线l的倾斜角为，则，且，解得， 所以直线l的倾斜角θ的取值范围为. 故选：C. 【典例1-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【变式1-2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高二上·海南海口·期末）过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得两直线交点， 由第一条直线的斜率为，得到所求直线的斜率为， 所求直线的方程为：，即． 故选：C 考点题型2：两点的距离 【典例2-1】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 因为的中点坐标为，可得， 整理得，解得或， 不妨设，所以. 故选：B. 【典例2-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】由题设，则. 故选：B 【变式2-1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 【变式2-2】（23-24高二上·广西南宁·期末）已知函数且过定点，直线过定点，则 【答案】5 【解析】，； 由得：，直线恒过定点；. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【解析】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 考点题型3：点到直线的距离 【典例3-1】（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 【典例3-2】（23-24高二上·广西北海·期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【答案】C 【解析】根据点到直线距离公式和已知可得，解得. 故选：C 【变式3-1】（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】点到直线的距离. 故选：D 【变式3-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 【变式3-3】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得： ， 显然当时，有最大值，此时， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 故选：D. 考点题型4：两平行直线的距离 【典例4-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】平行直线和之间的距离. 故选：A 【典例4-2】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 【变式4-1】（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【解析】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线与直线间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【答案】D 【解析】由题意，，解得（舍去）. 故选：D. 考点题型5：点线对称 【典例5-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【典例5-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【答案】 【解析】关于x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点， 则反射光线所在的直线经过点，Q， 则反射光线所在直线的方程为，化简得，得， 所以则光线从P到R所走的路程为． 故答案为：. 【变式5-1】（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 【变式5-2】（21-22高二上·湖北随州·期中）光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由得 即直线与直线交点为 在直线上取点 设点关于的对称点为 则即 则反射光线所在直线的方程为 故答案为： 【变式5-3】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，，则顶点C的坐标 ． 【答案】 【解析】由题意可知：关于直线的对称点在直线上， 设对称点为， 则由，解得， 所以直线BC的斜率为, 所以直线（即）的方程为，即：． 解方程组，求得点的坐标为． 故答案为：. 考点题型6：线点对称 【典例6-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【典例6-2】（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【解析】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【变式6-2】（多选题）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】AC 【解析】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC 【变式6-3】（多选题）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线，则（    ） A．直线l始终过第二象限 B．时，直线l的倾斜角为 C．时，直线l关于原点对称的直线方程为 D．点到直线l的最大距离为 【答案】AD 【解析】A选项，直线，可变形为， 令，解得，所以直线l恒过定点，故A正确； B选项，当时，直线，斜率为1，所以倾斜角为，故B错误； C选项，当时，直线，取直线上一点， 则点关于原点的对称点为， 设关于原点的对称直线为，将代入，，解得， 故直线l关于原点对称的直线方程为，即，故C错误； D选项，当直线l与点和的连线垂直时，点到直线l的距离最大， 最大值为，故D正确. 故选：AD． 考点题型7：线线对称 【典例7-1】（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为2，与x轴交于点， 则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点， 所以，所求方程为，即. 故选：D 【典例7-2】（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 【变式7-1】（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为 【答案】 【解析】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 【变式7-2】（22-23高二上·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为， 将代入直线得，， 即直线关于y轴对称的直线的方程为. 故答案为：. 【变式7-3】（21-22高二·全国·课后作业）已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 【解析】（1）设点，则由题意可得， 解得， 所以点B的坐标为， （2）由，得，所以两直线交于点， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则 ，解得，即， 所以， 所以直线为，即， 所以直线关于直线的对称直线方程为 考点题型8：两线段和与差的最值问题 【典例8-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：A. 【典例8-2】（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 【变式8-1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【变式8-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 【变式8-3】（23-24高二上·湖南·期中）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知，，，P为内一点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设为坐标原点，由，，， 知，且为锐角三角形， 因此，费马点在线段上，设， 如图： 则为顶角是的等腰三角形，故，所以， 故 故选：A． 【变式8-4】（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【变式8-5】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【答案】 【解析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 【变式8-6】（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【解析】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$