专题06 圆锥曲线解答题（考题猜想，易错必刷5大题型）（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

专题06 圆锥曲线解答题（考题猜想，易错必刷5大题型） 【题型一】弦长问题 【题型二】中点弦问题 【题型三】定值问题 【题型四】定点问题 【题型五】定直线问题 【题型一】弦长问题 一、解答题 1．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设直线，联立抛物线方程，结合弦长公式即可列方程求得参数，进而得解； （2）由题意设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方程即可求得参数，进一步即可求解的面积. 【详解】（1）抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 2．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得关于的方程，即可求解； （2）由直线方程与双曲线方程联立，并表示直线的直线方程，并求点的坐标，并转化为，结合韦达定理，即可表示求解. 【详解】（1）设，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离， 又，则，则， 所以双曲线方程为； （2）由（1）知，设直线，, 联立，得，， ，， 直线的方程为，当时，， 直线的方程为，当时，， 即，， 如图可知，， ， ， ， 当，时，，， 所以， 即， 当时，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用点的坐标表示点的坐标，再一个关键是计算问题，利用韦达定理正确表示面积比值，即可求解. 4．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为 (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为1，求的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）先由短轴长得，由三点共线设点坐标，再利用点在椭圆上将斜率之积转化为待定，从而求椭圆方程； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论.当直线斜率不存在时，解方程组可得；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，借助韦达定理表示弦长及点到直线的距离，从而由面积为得，代入由韦达定理表示的关系式，化简求值可得. 【详解】（1）由题意知椭圆的短轴长为2，即，. 为椭圆的上顶点，所以. 当三点共线时，设，则. 由点在椭圆上，则, 因为， 所以，解得． 故椭圆的方程为； （2）设过两点的直线为， 当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称， 所以 因为在椭圆上，所以，又， 所以，即，联立， 解得 此时，所以. 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立消去得， 其中①， 所以， 所以． 因为点到直线的距离， 所以， 所以， 整理得，符合①式， 此时， 综上所述，的值为5． 5．（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上． (1)求抛物线的方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出焦点坐标，再利用两点间的距离公式列方程可求出，从而可求出抛物线的方程； （2）设直线的方程为：，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，将两点的坐标代入抛物线方程，两式相加化简结合前面的式子可得，再结合判别式可得，利用弦长公式表示出，再表示出点到直线的距离，从而可表示出面积，化简后结合可求出其范围. 【详解】（1）焦点，，由焦点到点的距离为， 得，解得 所以抛物线方程为． （2）如图所示，显然，直线的斜率不为0， 设直线的方程为：，，， 联立方程组，消去得, 所以，，且（*）, 所以线段的中点的纵坐标为, 因为点在直线上，所以，所以, 因为，，所以， 即, 将，代入上式，所以, 代入（*）得，化简得，所以, 点到的距离, , 所以, 将代入上式，得, 因为 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的三角形面积问题，解题的关键是设出直线方程代入抛物线方程化简结合根与系数的关系和中点坐标公式表示出点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题. 6．（23-24高二上·广东·期末）已知椭圆的短轴长为2，点P在椭圆C上且与两焦点围成的三角形面积的最大值为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C内一点的直线l交C于A，B两点，是否存在定值m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在满足题意，理由见解析 【分析】（1）由题意，，结合平方关系即可得解. （2）先讨论直线l的斜率为0时的情形，得，当直线l的斜率不为0时，联立椭圆方程，表示出，将其代入即可得解. 【详解】（1）由题意得，，又, 所以解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2） 当直线l的斜率为0时，即直线l的方程为，不妨设此时，且， 则，解得满足题意， 当直线l的斜率不为0时，不妨设直线l的方程为， 将其与椭圆方程联立得，，化简并整理得， ， 由韦达定理有， 由求根公式有， 若， 则， 化简并整理得， 若，则恒成立，满足题意. 综上所述，存在，使得恒成立. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是巧妙设直线方程，即当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，这样在算弦长乘积时，会有奇效. 【题型二】中点弦问题 一、解答题 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解； （2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 【答案】(1)的方程是： (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为.      3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，表示出，再由的面积，并结合双曲线中的关系求解； （2）法一：设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理和中点坐标公式求解；法二：利用点差法求解. 【详解】（1）由题设双曲线，直线的方程为 联立方程解得 ，又， ，则 而 所以双曲线的标准方程为. （2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设直线的方程为即 联立方程 得① 解得 将代入①，得 故直线的方程为. 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 可知，直线的方程不是， 设 得， , 直线的方程为，即， 联立方程 得， 故直线的方程为. 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为． (1)求抛物线C的标准方程； (2)记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法求解即可； （2）设，，从而可得，再联立直线与抛物线的方程，代入韦达定理求解即可. 【详解】（1）不妨设，， 因为A，B两点在抛物线C上，所以， 两式作差得，① 因为A，B均在直线l上，所以， 又的中点为，此时，② 联立①②，解得，则抛物线C的标准方程为． （2）由为抛物线C上一点，所以，解得，即， 不妨设，，此时，同理得， 所以，③ 联立消去x并整理得， 由韦达定理得④ 联立③④，解得． 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点，则， 解得，故实数的取值范围是. （3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、，因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 6．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点． (1)求实数a的取值范围； (2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程； (3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆及圆的性质可得，则，结合即可求得结果； （2）由题可知，又，求解即可； （3）设线段的中点为，由结合点差法求得的坐标，根据点P在椭圆内部得的范围，又点P在直线上，代入得的关系式，从而得实数的取值范围. 【详解】（1）椭圆C的短半轴，圆的圆心为原点，半径为， ∵椭圆C与圆有公共点，∴，，则， 又，从而解得， 所以a的取值范围为.    （2）由题可知，又， 联立解得，， 所以椭圆的方程为. （3）设线段的中点为, ∵，∴①， 设，，则，， 两式作差得，即， 即，即②， 联立①②解得，即， 因为点P在椭圆内部，则， 代入点P坐标化简得， 又点P在直线上，代入得， 因此，实数的取值范围是．    【题型三】定值问题 一、解答题 1．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，结合离心率公式即可求解； （2）由题可知，直线的斜率显然存在，设的方程为，，，联立直线与椭圆方程， 由题意得，结合韦达定理整理可得，解出的值，结合题意即可求证. 【详解】（1）因为，所以． 又在上，所以， 解得，， 则椭圆的方程为． （2）证明：由题可知，直线的斜率显然存在， 设的方程为，，， 则，得， 则，， ． 又， 整理可得， 化简得， 即， 所以或． 当时，直线过点，不符合题意， 所以，即直线的斜率为定值． 2．（23-24高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积，即可求解； （2）联立直线与抛物线的方程，结合弦长公式，求出，由已知建立关系推理，即可说明理由. 【详解】（1）物线的焦点为， 直线的方程， 由，得， 设， 所以， 所以， 所以，且 所以， 所以抛物线的方程为． （2）存在，使得为定值， 由题意可得直线的方程，直线的方程为， 联立，得， 设， 所以， ， 所以， 设， 同理可得， 所以， 由，得， 即，而， 所以， 所以存在，使得为定值0． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用坐标表示弦长，并结合韦达定理，即可求解. 3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）动点G到点的距离比到直线的距离小2. (1)求G的轨迹的方程； (2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，，长度恒为2. 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程. （2）联立直线与G的轨迹方程，求出点的坐标，同理可得点的坐标，再求出直线，并求出直线所过定点即可得解. 【详解】（1）因为动点G到点的距离比到直线的距离小2， 则点G到点的距离和它到直线的距离相等， 因此点G的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为（），由，得， 所以G的轨迹的方程为. （2）显然直线的方程为，直线的方程为，其中，且， 由消去y并整理得， 该方程的判别式，设，， 则，， 点，同理，的斜率， 直线的方程为，即，， 所以，因此直线：过定点， 又，则点D在以为直径的圆上， 所以存在定点，使得线段的长度为定值2. 【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，先求出这两个动点坐标，进而求出直线方程，即可推理计算解决问题. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且点在上． (1)求的方程； (2)点在上，且为垂足．证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设双曲线的方程为，利用待定系数法求出即可得解； （2）分直线的斜率是否为零两种情况讨论，根据，可得，双曲线方程可变形为，再由直线的方程可得，代入变形后的双曲线方程，再利用韦达定理即可得出间的关系，进而可求出直线所过的定点，即可得出结论. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 因为点在上， 所以，解得， 所以的方程为； （2）设， 当直线的斜率为时，则， 因为点在上，所以，则， 由，得， 即， ，解得或（舍去）， 故直线的方程为， 当直线的斜率不等于时，设直线的方程为， 当的斜率不存在时，则的斜率为， 此时直线的方程，直线的方程为， 联立，解得（舍去）， 联立，解得（舍去）， 所以，则， 所以直线的方程为， 令，则，故直线过点， 同理可得当的斜率不存在时，则的斜率为， 此时直线的方程为，直线过点， 当直线的斜率都存在且都不等于零时， 因为，所以， 由， 得 ， 所以， 由，得， 则，所以， 所以 ， 整理得 即， 所以 所以， 所以直线得方程为， 所以直线过定点，综上所述，直线过定点， 因为， 所以存在的中点，使得. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 6．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【详解】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； （2）由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 （3）法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 【题型四】定点问题 一、解答题 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上. (1)求的方程； (2)若为直线上任意一点，直线的斜率之积为，平面内是否存在定点满足恒成立.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由椭圆的离心率，椭圆上一个动点到右焦点的最短距离，即可解得，进而求得，即可得到的方程； （2）设，由直线的斜率之积为，可得，由对称性知，若存在点满足恒成立，则在轴上，设，则，可得，解得，适合题意. 【详解】（1） 由已知，， 椭圆的方程为. （2）设，因为直线的斜率之积为， 则， 整理得， 又在上， ， ① 由对称性知，若存在点满足恒成立，则在轴上， 设，则， 即， 将①代入，得：， 解得，适合题意， 即存在定点，满足恒成立. 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点F在直线上． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标可得，即可得方程； （2）设，，，，联立方程结合韦达定理可得，结合消元即可得结果. 【详解】（1）由题意可得，则，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）设直线MN的方程为：，，，， 不妨设， 联立直线MN与抛物线C的方程，消去y可得， 由，且，解得且， 则，， 因为，则， 整理可得，即， 又因为点Q在直线MN上，则，消m得， 且且，可得得且， 所以点Q在定直线：（且）上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据离心率和上顶点确定、，进而可得双曲线方程； （2）直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的值，进而可得定点. 【详解】（1）解：设双曲线方程为， 因为该双曲线的上顶点坐标为，则， 则由可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：由（1）可得、，设、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称， 从而可知，直线、关于轴对称，则点在轴上，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以，， ， 设，则，，所以，， 又， 得，所以，， 即，化简得， 解得，所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得出，再利用点到直线的距离求解b即可； （2）先证明圆心在直线上，再由圆的性质可以求出圆经过另一个定点. 【详解】（1）由于是右顶点，故. 而到渐近线的距离均为， 故由已知有. 所以，解得. 故的方程为. （2）如图所示，记，并设的中点为，设， 由于，假设的斜率不存在， 那么的方程是，该直线与只有一个公共点，矛盾； 所以的斜率存在，故可设其方程为. 将该直线与联立，得， 即. 所以该方程的两根之和为. 但，故此方程已有一根，从而另一根为. 又. 此时，由，知直线的方程为， 而过且垂直于轴的直线为，故. 这就得到的中点的坐标为. 由于 . 所以圆心在直线上， 设原点关于直线的对称点为, 则有，解得， 所以， 因为，点O在圆上，所以点T也在圆上， 故以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆一定经过. 【点睛】关键点点睛：第（2）问关键在于知道圆心在直线上，又圆E经过原点，根据圆的性质可知，原点关于直线的对称点一定在圆E上. 5．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程； （2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标. 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． （2）设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 6．（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，． (1)求抛物线的方程； (2)分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程得到、的横坐标，用表示出，由解出，进而得到抛物线的方程； （2）联立直线与抛物线方程得到，，再由切线、的方程分别求得，进而利用圆心是弦的垂直平分线的交点求得外接圆圆心，从而求得圆的方程，再由定点的求法即可得解. 【详解】（1） 当，时，直线，联立得， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2） 设，，因为，所以，，， 联立并整理得，由韦达定理得，， 由得，从而， 所以直线即，令得，所以 同理直线，令得，所以 联立、：得，所以， 因为，，所以的外接圆圆心落在直线上， 由，知线段中点，， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立得， 所以外接圆圆心坐标为， 所以， 所以圆的方程为， 即， 令得，所以的外接圆过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的处理： （1）若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点； （2）证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理； （3）证明曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点. 【题型五】定直线问题 一、解答题 1．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【详解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程， (2)动直线与Γ相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)点在定直线上 【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率计算即可得其轨迹； （2）联立直线方程与曲线方程，借助韦达定理得到，再计算即可得. 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标为， 所以直线的斜率， 同理直线的斜率， 由已知，有， 化简，得Γ的方程为； （2）点M位于定直线上，理由如下：    设，， 由，得， 所以， ，， 因为A，B两点的坐标分别为，， 直线方程为，直线方程为， 由，得， 又，代入得， 由，得， 即， 所以， 所以点在定直线上. 【点睛】关键点睛：本题关键在于联立直线方程与曲线方程，得到与两交点纵坐标有关韦达定理，借助韦达定理得到，从而解决非对称问题. 3．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由为的中点，分别表示出，，的坐标，再利用抛物线的定义表示出即可求出的值，从而得到抛物线的方程； （2）设直线，将直线与抛物线的方程联立方程，由韦达定理得到，再分别设出过和两点的切线方程，分别与抛物线联立方程，利用，化简得到：，，再联立两条切线方程，化简可得轴，分别表示出与的面积，利用面积相等，化简即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则，则，所以， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得， 则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得，则，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，，假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由椭圆的定义、、求出可得答案； （2）设，设直线的方程，与椭圆方程联立，求出直线的方程、直线的方程，然后联立利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）由椭圆的定义得，且， 得到，， 因为，所以，解得， 所以， 故所求的椭圆方程为； （2）由题意得， 直线的方程，设， 联立，消去，整理得， ， 直线的方程为，直线的方程为， 联立， 得 ， 解得，即直线与的交点在定直线上.    【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是求出直线、直线的方程，然后方程联立利用韦达定理求出答案. 6．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及的关系，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的标准方程； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为， 所以，解得，则双曲线的标准方程为； （2）证明：设，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证； （3）证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根，则，解得，（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为，则，， 所以， 则都在直线上，故共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线解答题（考题猜想，易错必刷5大题型） 【题型一】弦长问题 【题型二】中点弦问题 【题型三】定值问题 【题型四】定点问题 【题型五】定直线问题 【题型一】弦长问题 一、解答题 1．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 2．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值. 4．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为 (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为1，求的值. 5．（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上． (1)求抛物线的方程； (2)求面积的取值范围． 6．（23-24高二上·广东·期末）已知椭圆的短轴长为2，点P在椭圆C上且与两焦点围成的三角形面积的最大值为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C内一点的直线l交C于A，B两点，是否存在定值m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【题型二】中点弦问题 一、解答题 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程. 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为． (1)求抛物线C的标准方程； (2)记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 6．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点． (1)求实数a的取值范围； (2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程； (3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围． 【题型三】定值问题 一、解答题 1．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 2．（23-24高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）动点G到点的距离比到直线的距离小2. (1)求G的轨迹的方程； (2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且点在上． (1)求的方程； (2)点在上，且为垂足．证明：存在点，使得为定值． 6．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【题型四】定点问题 一、解答题 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上. (1)求的方程； (2)若为直线上任意一点，直线的斜率之积为，平面内是否存在定点满足恒成立.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点F在直线上． (1)求C的方程； (2)过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 3．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 5．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 6．（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，． (1)求抛物线的方程； (2)分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点． 【题型五】定直线问题 一、解答题 1．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 2．（23-24高二上·福建福州·期末）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程， (2)动直线与Γ相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 3．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 6．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值； (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$