专题05 圆锥曲线选择填空题（考题猜想，易错必刷7大题型）（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

专题05 圆锥曲线选择填空题（考题猜想，易错必刷7大题型） 【题型一】圆锥曲线的定义 【题型二】圆锥曲线的标准方程 【题型三】椭圆、双曲线中的焦点三角形 【题型四】椭圆、双曲线的离心率 【题型五】双曲线的渐近线 【题型六】抛物线中的距离最值问题 【题型七】圆锥曲线中的轨迹问题 【题型一】圆锥曲线的定义 一、单选题 1．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 3．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 4．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 6．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 【题型二】圆锥曲线的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（   ） A．以为直径的圆与轴相切，切点为 B．以为直径的圆与轴相切，切点为 C．以为直径的圆与的准线相切，切点为 D．以为直径的圆与的准线相切，切点为 【题型三】椭圆、双曲线中的焦点三角形 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 3．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【题型四】椭圆、双曲线的离心率 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江台州·期末）若双曲线的离心率为2，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．16 2．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 6．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【题型五】双曲线的渐近线 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东·期末）已知为双曲线的一条渐近线，则（    ） A． B．1 C． D．27 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线， 垂足为P， 则为（    ） A． B． C．2 D．4 5．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 6．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别，．是上一点(在第一象限)，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型六】抛物线中的距离最值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 3．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 4．（23-24高二上·吉林·期末）已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为 ． 5．（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【题型七】圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·辽宁·期末）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 6．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·重庆·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆锥曲线选择填空题（考题猜想，易错必刷7大题型） 【题型一】圆锥曲线的定义 【题型二】圆锥曲线的标准方程 【题型三】椭圆、双曲线中的焦点三角形 【题型四】椭圆、双曲线的离心率 【题型五】双曲线的渐近线 【题型六】抛物线中的距离最值问题 【题型七】圆锥曲线中的轨迹问题 【题型一】圆锥曲线的定义 一、单选题 1．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 3．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 4．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 二、填空题 5．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】设，由双曲线定义可得，代入结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且， 设，则， 可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值3． 故答案为：3. 6．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 【答案】5 【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，， 由消去得，则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 【题型二】圆锥曲线的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】依题意，解得或 故选：D 2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算求得，由抛物线的准线方程，可得所求． 【详解】解：由函数过定点，可得， 解得：， 则抛物线， 即的准线方程是． 故选：D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由题得出，代入求得，得到双曲线标准方程即可得出答案. 【详解】由题意得，代入得，解得， 即，因此虚轴长为， 故选：D． 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 当时，方程表示双曲线， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 5．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式求，即可得方程. 【详解】因为椭圆的左焦点为，所以. 又因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为， 所以， 结合，可得， 故椭圆的方程为. 故选：A. 6．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（   ） A．以为直径的圆与轴相切，切点为 B．以为直径的圆与轴相切，切点为 C．以为直径的圆与的准线相切，切点为 D．以为直径的圆与的准线相切，切点为 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，以为直径的圆的圆心坐标及半径，再逐项分析判断即可. 【详解】由点在：，得，解得，则抛物线的焦点， 以为直径的圆的圆心，半径， 圆心到轴的距离，圆心到抛物线准线的距离， 因此以为直径的圆与轴相切，切点为，A错误，B正确； 以为直径的圆与的准线相离，CD错误. 故选：B 【题型三】椭圆、双曲线中的焦点三角形 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（    ） A．8或20 B．20 C．6或22 D．22 【答案】B 【分析】根据中位线的性质和双曲线的定义，即可求. 【详解】由双曲线方程可知，，，设双曲线的右焦点为， 中，点分别是的中点，所以， 则，又因为. 故选：B 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 3．（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【分析】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论得出直角位置，结合椭圆定义得出面积计算即可； 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】利用椭圆，双曲线的定义求出，进而可求出，，利用余弦定理求出，进而可得，最后利用面积公式计算即可. 【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点， 则由已知得， 则， ， ， 则， 所以. 故选：A. 5．（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，根据椭圆定义得到，结合求出，则，，求出. 【详解】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 6．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B.    【题型四】椭圆、双曲线的离心率 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江台州·期末）若双曲线的离心率为2，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．16 【答案】A 【分析】根据离心率表示出方程，计算即可求解. 【详解】由题意得,,解得. 又，则. 故选:A. 2．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的渐近线求离心率的取值范围. 【详解】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以. 故选:：D 3．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点坐标和离心率，结合题意求出双曲线的a、b，即可求解. 【详解】由题意知，对于椭圆， 焦点为和，离心率为. 设双曲线的标准方程为， 又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为，即， 又，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B 4．（23-24高二上·天津·期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与椭圆有交点得，即，可得，即可求解. 【详解】由题意知，以为直径的圆的方程为， 要使得圆与椭圆有交点，需， 即，得，即， 由，解得， 所以椭圆的离心率的最小值为. 故选：C 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到为直角三角形，进而由勾股定理可以求解. 【详解】由双曲线的定义可知得 因为，， 设，则， ， ， 为直角三角形 ， ，即， ， 故选：D 6．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知向量关系得出直角，再根据定义得出长轴长及焦距关系计算出离心率即可. 【详解】 因为所以, 在中, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 7．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合椭圆定义依次得的表达式，进一步分别在中运用由两次余弦定理，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设椭圆的标准方程为， 因为，所以， 又，所以，， 所以， 如图所示，由余弦定理知：， 整理得，又， 解得：离心率. 故选：B. 【点睛】关键点睛：画出图形，通过椭圆定义把各边长度求出来，由此即可顺利得解. 【题型五】双曲线的渐近线 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，化简整理即得渐近线方程. 【详解】由双曲线，令，解得， 所以渐近线方程为. 故选：B. 2．（23-24高二上·广东·期末）已知为双曲线的一条渐近线，则（    ） A． B．1 C． D．27 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】因为双曲线的渐近线为， 所以，解得. 故选：A. 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线（）的渐近线为， 依题意可得，则双曲线的离心率. 故选：B 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线， 垂足为P， 则为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由双曲线方程求得得焦点坐标和渐近线方程，设出点坐标，由垂直求得参数得点坐标，再由两点间距离公式计算． 【详解】由已知，，，，， 如图，一条渐近线的方程为，即， ，则的斜率为，设， 由得，所以， ， 故选：B． 5．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得，即可求出离心率. 【详解】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 6．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别，．是上一点(在第一象限)，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用，表示的各边长，利用勾股定理确定，的关系，再探求与的关系，利用余弦定理和直角三角形的边角关系，列出等式，再由双曲线中的关系，求出即可. 【详解】如图： 设，则，因为，所以，根据双曲线的定义：， 因为，由勾股定理得：，所以. 所以：， ，. 在中，. 在中，. 因为，，所以， 从而，即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是得到，利用得到关于的关系，整理过程运算量较大，要足够细心和耐心. 【题型六】抛物线中的距离最值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点，准线，过作于，则，将问题转化为求，由图可知当三点共线时最小. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用抛物线定义将 转化为 ，数形结合根据线段和的几何意义求得 的最小值, 即可求得答案. 【详解】在抛物线 中， , ∴, 又 , 故 在抛物线 的外部, ∴, ∵抛物线 的焦点为 , 准线方程为 , ∴， ， ∵, 当三点共线（ 在之间）时， 取到最小值 , ∴ 的最小值为 , 故选: C 二、填空题 3．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解． 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 4．（23-24高二上·吉林·期末）已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，则，，利用两点距离公式求得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，则，， 所以 ． 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 5．（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值. 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 【题型七】圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 2．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将问题转化为到定点与定直线的距离相等，从而得解. 4．（23-24高二上·辽宁·期末）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找过右顶点的切线和过上顶点的切线，从而可知这两条切线的交点在蒙日圆上，进而建立的方程，即可求解. 【详解】   如图所示，分别与椭圆相切，显然 所以点C一定在其蒙日圆上，所以，所以， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 5．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 【答案】B 【分析】易得点在圆内，则圆内切与圆，再根据椭圆的定义即可得解. 【详解】因为，所以点在圆内， 所以圆内切与圆， 由两圆内切的关系可知，， 从而， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：B. 6．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用点到直线的距离求，，利用面积为4，列式求轨迹方程. 【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离，到直线的距离， ，即. 所以动点M的轨迹方程：. 故选：C. 7．（23-24高二下·重庆·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知动点在线段的延长线上，根据椭圆定义可得为定值，即可判断其轨迹为圆，写出方程即可得解. 【详解】由椭圆得， 故， 由题意，动点在射线的延长线上，且， 故， 故动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 其方程为. 故选：D 8．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接、，如图所示：    因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$