专题03 立体几何中的折叠和开放性问题（考题猜想，易错必刷2大题型）（期末复习专项训练）高二数学上学期人教B版

专题03 立体几何中的折叠和开放性问题（考题猜想，易错必刷2大题型） 【题型一】折叠问题 【题型二】开放性问题 【题型一】折叠问题 一、解答题 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图1，在中，，，若沿中位线AD把折起，使，如图2，此时直线PB与CD所成角的大小为．    (1)求BC的长； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，借助线线角的空间向量法求解； （2）利用空间向量法求二面角的余弦值． 【详解】（1）由于，，，平面， 故平面， 又因为，所以两两垂直， 故分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，且A为PB的中点，所以， 设，则， 所以，，，，， 则，．     因为直线PB与CD所成角的大小为， 所以，即， 解得或（舍去）． 所以BC的长为2； （2）设平面PBD的法向量为， 因为，，， 所以，令，则，，， 设平面PBC的法向量为，所以， 令，则，，． 所以， 由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 2．（23-24高二上·江西景德镇·期末）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）． (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面. （2）根据二面角的知识求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）取线段中点，连接， 由图1可知，四边形是矩形，且， 在图2中，且， 且，四边形是平行四边形，则， 由于平面，平面，平面． （2）由已知，四边形是矩形，折叠前后都有， 由于平面，所以平面， 由于，所以平面，由于平面， 所以，所以是二面角的平面角， 所以，， 则，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， ， 平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 由，得，于是平面的一个法向量， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）. (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】利用面面垂直性质定理可得平面， （1）（法一）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得.（法二）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出可得答案； （2）求出平面的一个法向量，设在线段上存在一点且，则，设直线与平面所成的角为，利用线面角的向量求法求出再结合的范围可得答案. 【详解】（1）∵平面平而，平而， 平面平面，， ∴平面， （法一）又平而，则， 又正方形中，，且， 平面，则平面， 又平面，则. （法二）∵平而，， ∴以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，∴平面， ∴，∴，， 设平面的一个法向量为， 令，则， 设在线段上存在一点且， 则， 设直线与平面所成的角为， 则，不满足，所以不存在点满足题意. 4．（23-24高二上·山东聊城·期末）图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2. (1)求图2中的点B到平面ACDE的距离； (2)证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面ACDE的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （2）利用共面向量基本定理证明四点共面，求出平面ABFE的法向量，利用平面夹角的向量公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，图2中，， 又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF， 在平面BCDF内，过D作于点H，则， 又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC， 以C为原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，以过点C且与DH平行的直线为z轴， 建立如图空间直角坐标系， 由题意可得，，，， ，，， 设平面ACDE的法向量为，则，得， 令，则，，所以为平面ACDE的一个法向量， 所以点B到平面ACDE的距离为，即点B到平面ACDE的距离为. （2）因为，所以图2中的A，B，F，E四点共面， 由（1）知，，， 所以， 设平面ABFE的法向量为，则，得， 令，则，， 所以为平面ABFE的一个法向量，又是平面ACDE的一个法向量， 所以， 即平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值为. 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 5．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，所以，则， 则， 又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形， 同理可得为菱形，所以， 所以，连接，则， 又，所以，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 因为平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， 设，因为，， 所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得或（舍去）， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 6．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四边形ABCD如图甲，，沿AC将折起，使点D到达点P位置，且，连接PB得三棱锥如图乙． (1)证明；平面ABC； (2)在线段PC上是否存在点M，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以，， 易知平面的一个法向量为， 则，整理可得， 因为，解得， 因此，线段上存在点，使二面角的余弦值为，且. 【题型二】开放性问题 一、解答题 1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，   ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面．             （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，          ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                         （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，            ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为            （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则，       由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是 ，         ． 2．（23-24高二上·福建厦门·期末）如图，在平行六面体中，平面，，，. (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）解法一：利用空间向量法，，从而得证； 解法二：在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标运算得，从而得证； 解法三：通过证明平面，则，利用勾股定理得证，从而得证； （2）假设存在点满足条件，利用两平面夹角公式可解. 【详解】（1）解法一：因为平面，平面， 所以，所以 因为，所以 又因为， 所以，化简得 所以， 所以 解法二： 在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，，， 设，则，所以， 由得，所以， 又因为，所以，解得， 所以，，，， 所以， 所以； 解法三：在平面中，过作的垂线，垂足为，连结交于. 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，则， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 在中，，，，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以； （2）由（1）得平面的一个法向量为， 假设存在点满足条件，设，则， 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，，所以， 所以， 因为平面与平面的夹角为， 即，解得， 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点使得平面与平面的夹角为. 3．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）取中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，过点作的平行线，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）取中点，连接， 因为分别为中点，则， 即四边形为平行四边形，则， 又平面平面，则平面； （2）存在点，证明如下： 取中点，连接， 因为，则， 又平面平面，平面平面平面， 则平面， 过点作平行线，交于， 因为平面， 则， 过点作的平行线， 则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 注意到，则，故， 则， 设，则， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，则，则平面的一个法向量， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，则， 则平面的一个法向量， 因为二面角余弦值为， 则， 解得， 故当为中点时，满足题意. 4．（19-20高二上·北京西城·期末）如图，四棱锥中，平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值是，求的值； (3)若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）推导出平面． ．由此能证明平面; （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值; （3）设，当，，，由知，,，这与矛盾,从而在线段上不存在点，使得． 【详解】（1）证明：因为 平面，, 所以 平面, 又因为 平面，所以 ． 在中，，是的中点， 所以 ． 又因为 , 平面, 所以 平面． （2）因为 平面，平面， 所以, 又因为  , 所以如图建立空间直角坐标系． 则, 则，， 设平面的法向量为． 则即 ， 令，则，， 故． 因为平面，平面， 所以, 又,平面, 所以平面． 又因为， 所以取平面的法向量为 所以， 则，解得． 又因为，所以； （3）结论：不存在．理由如下： 证明：设． 当时，，， 由知,，这与矛盾, 所以在线段上不存在点，使得． 5．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②不存在点，理由见解析 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论； （2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得的值； ②假设存在点，可由推得，得点坐标，由得方程，因此方程无实数解，假设不成立. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示直角空间坐标系， 设，则，由，，，， 则，，因，则，， 所以，， ①设平面的法向量为，由，， 得：，可取， 设直线与平面所成角为， 则有：，， 即：，化简得：， 解得或，即或， ②如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上， 由，得，所以， 所以， 又得，，所以，， 由得，即， 亦即（*）， 因为，所以方程（*）无实数解， 所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上. 【点睛】方法点睛：根据题意，创建合适的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标表达式即可求解相关问题，对于开放性问题，一般是假设结论成立，通过推理计算求得结论成立的条件或者推导出矛盾. 6．（23-24高二下·广西桂林·期末）如图，已知边长为的正方形，以边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，使平面，证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，利用中位线性质可证四边形是平行四边形，可得，然后利用线面平行的判定即可得证. （2）利用线面垂直可以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，可得，取，得，，根据垂直易知平面的一个法向量为，进而利用向量夹角余弦值公式求解即可. （3）设，（），可得，，根据平面，所以，即可求出的值得证. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为，分别为线段，的中点， 所以，， 又因为平行且相等，所以平行且相等， 所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面. （2）依题意得平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，所以， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建系如图所示， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得，， 所以平面的一个法向量是， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. （3）满足条件的点存在，证明如下： 设，（）， 则， 所以，， 因为平面，所以， 所以，得， 所以存在点满足题意. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何中的折叠和开放性问题（考题猜想，易错必刷2大题型） 【题型一】折叠问题 【题型二】开放性问题 【题型一】折叠问题 一、解答题 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图1，在中，，，若沿中位线AD把折起，使，如图2，此时直线PB与CD所成角的大小为．    (1)求BC的长； (2)求二面角的余弦值． 2．（23-24高二上·江西景德镇·期末）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）． (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）. (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由. 4．（23-24高二上·山东聊城·期末）图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2. (1)求图2中的点B到平面ACDE的距离； (2)证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值. 5．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 6．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四边形ABCD如图甲，，沿AC将折起，使点D到达点P位置，且，连接PB得三棱锥如图乙． (1)证明；平面ABC； (2)在线段PC上是否存在点M，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【题型二】开放性问题 一、解答题 1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2．（23-24高二上·福建厦门·期末）如图，在平行六面体中，平面，，，. (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 4．（19-20高二上·北京西城·期末）如图，四棱锥中，平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值是，求的值； (3)若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 5．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 6．（23-24高二下·广西桂林·期末）如图，已知边长为的正方形，以边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，使平面，证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$