专题2-2与轴对称图形有关的热考几何模型（考题猜想，热考+压轴 必刷40题10种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想2-2 与轴对称图形有关的热考几何模型 （考题猜想，热考+压轴 必刷40题10种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 折叠模型 · 双垂直平分线导角 · 见等腰，构造三线合一 · 平行平分出等腰 · 等腰三角形双腰上的高求定值 · 等边三角形类弦图模型 · 手拉手模型 · 将军饮马问题 · 三动点问题 · 逆等线问题 一．折叠模型（共4小题） 1．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点M是射线上的一个定点，点N是射线上的一个动点，连结，把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图1，点在的内部，若，，则___°． (2)如图2，若，，折叠后点C在直线上方，与交于点E，且，求的度数及折痕的长． (3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点E，且，，直接写出此时的长． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题． （1）如图1，一个三角形的纸片中，，证明：． 小龙同学通过折叠纸片，将折叠到上，点与点重合，展开后得到折痕，如图2，折痕交于点，连接． 帮助小龙同学写出证明过程． （2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点．直线交轴于点． ①求点坐标； ②直线过点，交轴于点，且，直线沿轴翻折恰好经过点，只用圆规在直线上求作点，使与直线所夹的锐角等于．（不写作法，保留作图痕迹） ③直接写出（2）中点的坐标． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图是两个全等的直角三角形纸片，且，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．        (1)若，求的值． (2)若，求的值． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，等腰三角形中，，平分．点E为上的动点，点M为上的动点，连接，将沿翻折． (1)图1沿折叠，点A与点C重合，连接，若，①求证；②的度数为_________度； (2)如图2，若点M和点B重合，连接，将沿折叠得到，且，设与相交于点F．求度数． 二．双垂直平分线导角（共3小题） 5．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 6．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，的垂直平分线分别交于点E、F，若，则为多少度？ 7．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 三．见等腰，构造三线合一（共3小题） 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点在的外部，．求证． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 11．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且． (1)求证：是等边三角形． (2)延长交的延长线于点，求证：． 四．平行平分出等腰（共2小题） 12．如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？ 13．（23-24八年级上·山东济南·期末）用尺规作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点P． 求作：经过点P的直线，使得． 尺规作图步骤： 如图，①过点P作直线的相交线，与直线交于点H；②以点H为圆心，任意长为半径画弧，交直线于点E，交直线于点F；③以点P为圆心，以线段长为半径画弧，交射线于点M；④以点M为圆心，线段长为半径画弧交前弧于点N；④过点P，N作直线． (1)在上述作图步骤中通过______（填写合适的选项）可判定，从而可得到． A．“”　B．“”　C．“”　D．“” (2)在上述作图步骤中用到的判定的依据是________________． (3)如图3，在中，，小明通过刚才的方法，作出了，可以得到是底边的平行线，那么是外角的平分线吗？请说明理由． 五．等腰三角形双腰上的高求定值（共小题） 14．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 15．（23-24七年级下·全国·期末）在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由） (3)若点P是直线上的点，，求的值． 16．（21-22八年级上·山东临沂·期中）阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： (1)请补全阳阳同学证明猜想的过程： 证明：连接， ∵______， ∴____________． ∵，∴． (2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点． 如图，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． 若点在如图所示的位置，利用图探究得此时、、、之间的数量关系并写出推理过程． 17．（21-22八年级上·河南南阳·期末）阅读材料： 如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值）． (1)类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明（定值）． (2)理解与应用 中，，，，，内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由． 18．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 六．等边三角形类弦图模型（共3小题） 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【课本巩固】如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______； 【探究发现】 （2）在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，，求． 20．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：           (1)如图1，爬行过程中，和的数量关系是________； (2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：； (3)如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：． 21．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 七．手拉手模型（共6小题） 22．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图1，已知均为等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接交于点F． (1)判断线段，的数量关系，并说明理由． (2)求线段与线段的夹角的度数． (3)如图2，若点B，C，E不在同一条直线上，则（1）（2）中的结论_____________（填“成立”或“不成立”）． 23．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 24．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知是等边三角形． (1)如图1，点、分别为，边上的点，，连接，相交于点．求的度数； (2)如图2，，点在边上，点在射线上，与相交于点，且． ①求证：； ②作于点，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间的数量关系，并对结论加以证明． 25．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．    (1)如图①，在与中，，当、满足条件____时，与互为“兄弟三角形”； (2)如图②，在与互为“兄弟三角形”，， 相交于点M，连，求证：平分 (3)如图③，在四边形中，，，，求的度数． 26．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．    (1)如图1，当时， ①、的形状是____________； ②求证：． (2)若， ①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 八．将军饮马问题（共6小题） 27．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 28．（23-24七年级下·河南焦作·期末）唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题． (1)如图2，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点，连接 因为点B 、关于直线l对称，点C、在直线l上， 所以 ， ， 所以 ， 在中，依据 ， 可得 所以 即最小． (2)迁移应用：如图4，是等边三角形，N是的中点，是边上的中线，，M是上的一个动点，连接、，则的最小值是 ． 29．（22-23八年级上·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： (1)如图②，在的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为，则的周长为　　． (2)如图③，在分别是上任意一点，若的面积为30，则的最小值是　　． 30．（22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，的面积为12，的垂直平分线交于点，若为边的中点，为线段上的一动点，求周长的最小值． 31．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 32．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 九．三动点问题（共3小题） 33．（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 34．（21-22七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AD上，连接BE，CE，CF，延长CF交BE于点G． (1)若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，则S△ABE＝　 　； (2)若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求证：AE＝EF； (3)如图2，在（2）条件下，点P、M、N分别是△GEF三边上的动点，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，当△PMN的周长最小时，直接写出的值． 35．动手操作：请按要求作图．（规范作图，保留作图痕迹即可，不要求尺规作图） （）如图（），是内一定点，为射线边上一定点，请在射线上找一点，使得最小． （）如图（），是内一定点，点、分别为射线、边上两个动点，请作出使得最小的点和点． （）如图（），是内一定点，点、分别为射线、边上两个动点，请作出使得最小的点和点． 拓展应用： （）如图（），为锐角三角形，，，的面积为，点、、分别为三边、、上的三个动点，请在图中作出满足条件的周长最小的，并求出周长的最小值． 一十．逆等线问题（共5小题） 36．如图，为等边的高，，分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时，的度数为 ． 37．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 38．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值 39．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知 （1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 40．（21-22八年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图（1），为的边上的一点，，过点作，且，连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图（2），在中，，平分，点在上，且，若点分别到，的距离之比为，求证：； 【拓展创新】（3）如图（3），在中，，，，，分别是，上的点，且，直接写出的最小值． $$考题猜想2-2 与轴对称图形有关的热考几何模型 （考题猜想，热考+压轴 必刷40题10种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 折叠模型 · 双垂直平分线导角 · 见等腰，构造三线合一 · 平行平分出等腰 · 等腰三角形双腰上的高求定值 · 等边三角形类弦图模型 · 手拉手模型 · 将军饮马问题 · 三动点问题 · 逆等线问题 一．折叠模型（共4小题） 1．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点M是射线上的一个定点，点N是射线上的一个动点，连结，把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图1，点在的内部，若，，则___°． (2)如图2，若，，折叠后点C在直线上方，与交于点E，且，求的度数及折痕的长． (3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点E，且，，直接写出此时的长． 【答案】(1)40； (2)； (3)或． 【分析】（1）由对折的性质得：，由及，则可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）设，由折叠知，；由三角形外角的性质及等腰三角形性质得：，由三角形内角和即可求得的度数；过N点作于D，则易得；再由含30度直角三角形的性质得； （3）由勾股定理；分两种情况：①当点N在线段上时；②当点N在线段延长线上时；设，利用勾股定理建立方程求出x即可． 【详解】（1）解：由对折的性质得：， ，， 且，， ， ， 故答案为：40； （2）解：设， 由折叠知，； ，， ， ， ， 解得：， 即； 如图，过N点作于D， 则， ， 由勾股定理得：， ； ， ； （3）解：， ； ①当点N在线段上时，如图， 设，由折叠性质得：，， ，； ， ， 即， 解得：； 即； ②当点N在线段延长线上时，如图， 设，由折叠性质得：，， ，； ， ， 即， 解得：； 即； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题． （1）如图1，一个三角形的纸片中，，证明：． 小龙同学通过折叠纸片，将折叠到上，点与点重合，展开后得到折痕，如图2，折痕交于点，连接． 帮助小龙同学写出证明过程． （2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点．直线交轴于点． ①求点坐标； ②直线过点，交轴于点，且，直线沿轴翻折恰好经过点，只用圆规在直线上求作点，使与直线所夹的锐角等于．（不写作法，保留作图痕迹） ③直接写出（2）中点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；③，． 【分析】（1）由折叠的性质得到，再根据三角形外角的性质即可证明； （2）①先利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得到点E的坐标；②以点E为圆心，为半径画弧，交直线于点G，点，点G，点为所求；③先利用对称的性质求出点G的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式为，根据，利用两点的距离求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ， ， ； （2）解：①设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ； ②如图所示，以点E为圆心，为半径画弧，交直线于点G，点，点G，点为所求； 直线沿轴翻折恰好经过点， 直线与直线关于y轴对称， 点C与点G关于y轴对称， ， ， ； ③由②知点C与点G关于y轴对称，且，由①知， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ，即， 解得：，或， ， ， 综上，点G的坐标为，． 【点睛】本题考查了对称作图，对称的性质，一次函数综合问题，等腰三角形的性质，两点的距离，掌握对称的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图是两个全等的直角三角形纸片，且，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．        (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，设，则，依据，即可得到的值，进而用三角形面积公式可得的值； （2）设，，，由折叠可得，，，可得，可知，，，由，解得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 由折叠可得，，，， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）由，可设，，， 由折叠可得，，， ∴， 则，，， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，等腰三角形中，，平分．点E为上的动点，点M为上的动点，连接，将沿翻折． (1)图1沿折叠，点A与点C重合，连接，若，①求证；②的度数为_________度； (2)如图2，若点M和点B重合，连接，将沿折叠得到，且，设与相交于点F．求度数． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①证明，可得，可得，，结合三角形的内角和可得，可得；②由对折可得：，，可得，结合等腰三角形的性质可得． （2）如图，连接，先证明是等边三角形，得出，再利用三角形的外角的性质得出即可； 【详解】（1）证明：①如图， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②由对折可得：，，而， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接， ∵，平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为； 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，内角和定理的应用等知识，掌握轴对称的性质是解本题的关键． 二．双垂直平分线导角（共3小题） 5．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 6．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，的垂直平分线分别交于点E、F，若，则为多少度？ 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等边对等角可得，最后根据角的和差、等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 7．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证； 【详解】（1）分别为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作的垂线，垂足分别为点，   ， ， 又， ， ， ， 同理， 平分． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键． 三．见等腰，构造三线合一（共3小题） 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点在的外部，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，，，再证明，即可得到结论，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，过作于，而， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 11．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且． (1)求证：是等边三角形． (2)延长交的延长线于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证得，又得，，即可得证； （2）连接，先证明得，进而利用三线合一得，由（）知得，从而得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵为的中点，， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 （2）证明：连接 ∵是等边三角形，为的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 由（）知 ∴ ∴，即 ∴ 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质，垂线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 四．平行平分出等腰（共2小题） 12．如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？ 【答案】．理由见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，再由，等量代换可得证． 【详解】解：． 理由：，分别是，的平分线， ，． 又∵， ，， ，， 即，， ． 13．（23-24八年级上·山东济南·期末）用尺规作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点P． 求作：经过点P的直线，使得． 尺规作图步骤： 如图，①过点P作直线的相交线，与直线交于点H；②以点H为圆心，任意长为半径画弧，交直线于点E，交直线于点F；③以点P为圆心，以线段长为半径画弧，交射线于点M；④以点M为圆心，线段长为半径画弧交前弧于点N；④过点P，N作直线． (1)在上述作图步骤中通过______（填写合适的选项）可判定，从而可得到． A．“”　B．“”　C．“”　D．“” (2)在上述作图步骤中用到的判定的依据是________________． (3)如图3，在中，，小明通过刚才的方法，作出了，可以得到是底边的平行线，那么是外角的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)A (2)同位角相等，两直线平行 (3)是，理由见解析 【分析】（1）由作图可知，，可证，然后作答即可； （2）根据平行线的判定定理作答即可； （3）由平行线的性质，等边对等角可得，进而可证是外角的平分线． 【详解】（1）解：由作图可知，， ∴， 故选：A； （2）解：由题意知，， ∴， ∴判定的依据是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （3）解：是外角的平分线，理由如下； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是外角的平分线． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线是解题的关键． 五．等腰三角形双腰上的高求定值（共小题） 14．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，， 理由：过点M作于点D，于点E， 如图，则，，    ∵且 ∴是等边三角形， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 如图②，连接，则 ，    ∴，即， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，则 ，    ∴，即 ， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 两边同时除以2022得，， ∴，即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键． 15．（23-24七年级下·全国·期末）在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由） (3)若点P是直线上的点，，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)在图②中，；在图③中， (3)的值为3或13 【分析】（1）连接，根据面积法可得，即可得到，即； （2）点在或的延长线上时，连接，根据面积法可得，，三者关系； （3）当，时，根据上述结论中，，三者关系即可得到的值． 本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，运用面积法得出线段之间的数量关系，解决问题的关键是作辅助线，运用分类思想解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ，，， 又 ， ， ，即； （2）解：如图，点在的延长线上时，连接， ， ， ，即； 如图，点在的延长线上时，连接， ， ， ，即； （3）解：当点P在边上时，由（1）可知，， 那么， 故； 当点在的延长线上时，由（2）可知，， 那么， 故（舍去）； 当点在的延长线上时，由（2）可知，， 那么， 故． 综上所述，的值为3或13． 16．（21-22八年级上·山东临沂·期中）阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： (1)请补全阳阳同学证明猜想的过程： 证明：连接， ∵______， ∴____________． ∵，∴． (2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点． 如图，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． 若点在如图所示的位置，利用图探究得此时、、、之间的数量关系并写出推理过程． 【答案】(1)，，； (2) ，理由见解析； ，理由见解析． 【分析】（）根据图，结合阅读材料填写即可； （）连接，根据 得到，即可可得结论； 连接，根据，得到，同理可得结论； 本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线运用类比方法构建三个三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵, ∴， 故答案为：，，； （2）解： ． 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ． 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（21-22八年级上·河南南阳·期末）阅读材料： 如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值）． (1)类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明（定值）． (2)理解与应用 中，，，，，内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？若存在，求出这个距离r的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，2 【分析】（1）连接，，，仿照面积的割补法，得出，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系． （2）作与的角平分线相交于O，根据角平分线的性质可得点O到各边的距离相等，连接，根据，则，代入三边长即可求解． 【详解】（1） 解：连接，，， ， ， ，(定值)． （2）解：存在， 作与的角平分线相交于O，过点O作于D，作于E，作于F， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等． 连接，设 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，解题关键是利用面积分割法，求线段之间的关系． 18．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【详解】（1），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 六．等边三角形类弦图模型（共3小题） 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【课本巩固】如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______； 【探究发现】 （2）在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，，求． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的面积公式； （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分； （3）如图所示，连接， 设， 在等边中，， 又 ， ， ， ， 又 ，则， 同理可得，，又， ， ， ， ， ． 20．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：           (1)如图1，爬行过程中，和的数量关系是________； (2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：； (3)如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）根据，得到，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （3）过点作交于，证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形， ，， 由题意得：， 在和中， ， ， ； （2）证明如下：由（1）可知， ， ，， ； （3）证明：过点作交于， ， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 21．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 七．手拉手模型（共6小题） 22．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图1，已知均为等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接交于点F． (1)判断线段，的数量关系，并说明理由． (2)求线段与线段的夹角的度数． (3)如图2，若点B，C，E不在同一条直线上，则（1）（2）中的结论_____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)成立 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和三角形内角和定理． （1）根据等边三角形的性质证明，即可得出； （2）根据全等三角形的性质得出，结合三角形内角和定理即可求出； （3）用和（1）（2）同样的方法，即可解答． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解： ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：成立． 23．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 24．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知是等边三角形． (1)如图1，点、分别为，边上的点，，连接，相交于点．求的度数； (2)如图2，，点在边上，点在射线上，与相交于点，且． ①求证：； ②作于点，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间的数量关系，并对结论加以证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由等边三角形的性质证明，可得，再结合三角形的外角的平分线可得结论； （2）①如图，过作，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得； ②延长过点F作于点G，连接，过点D作于点N，过点D作于点M，证明得出，证明得出，证明为等边三角形，得出，证明得出，根据线段间的关系，即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①如图，过作交于T， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； ②；理由如下； 延长，过点F作于点G，连接，过点D作于点N，过点D作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 25．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．    (1)如图①，在与中，，当、满足条件____时，与互为“兄弟三角形”； (2)如图②，在与互为“兄弟三角形”，， 相交于点M，连，求证：平分 (3)如图③，在四边形中，，，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出、、的关系便可； （2）过点作于点，作于点，再证明得，再根据角平分线的判定定理得结论； （3）延长至，使得，连接，证明，进而得是等边三角形，便可得． 【详解】（1）解：在与中，，， 当时，与互为“兄弟三角形”， ， ， 故当时，与互为“兄弟三角形”， 故答案为； （2）解：在与互为“兄弟三角形”， ，， ， ， ， ，． 过点作于点，作于点，如图②，   ， ， （全等三角形的对应高相等）， 平分； （3）解：延长至，使得，连接，如图③，   ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键． 26．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．    (1)如图1，当时， ①、的形状是____________； ②求证：． (2)若， ①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析 (2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得与不全等，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴、是等边三角形， 故答案为：等边三角形． ②证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴． ∴． （2）解：①当，时，成立． 理由：如图， ∵， ，， ∴    ∴， ∴； ②当，时，不成立． 理由：如图， ∵，    ∴，， ∴与不全等， ∴． 八．将军饮马问题（共6小题） 27．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 28．（23-24七年级下·河南焦作·期末）唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题． (1)如图2，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点，连接 因为点B 、关于直线l对称，点C、在直线l上， 所以 ， ， 所以 ， 在中，依据 ， 可得 所以 即最小． (2)迁移应用：如图4，是等边三角形，N是的中点，是边上的中线，，M是上的一个动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边求解即可； （2）连接，，根据题意得到当点N，M，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后根等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点，连接 因为点B 、关于直线l对称，点C、在直线l上， 所以，， 所以， 在中，依据三角形的任意两边之和大于第三边 可得 所以 即最小． 故答案为：，，三角形的任意两边之和大于第三边； （2）解：如图所示，连接，， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点N，M，C三点共线时，有最小值，即的长度， ∵，N是的中点，是等边三角形， ∴， ∴的最小值为6． 【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的性质以及两点之间线段最短，三角形三边关系，等边三角形的性质等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 29．（22-23八年级上·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： (1)如图②，在的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为，则的周长为　　． (2)如图③，在分别是上任意一点，若的面积为30，则的最小值是　　． 【答案】(1)20 (2)10 【分析】教材呈现：根据“”证明即可； 定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明，那么 的周长就转化为的长， （2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知是的垂直平分线，所以想到过点C作，垂足为点E，交于点P，此时的值最小． 【详解】（1）教材呈现：证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴； 定理应用：∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∵的周长， 故答案为：20． （2）过点C作，垂足为点E，交于点P， ∵， ∴B， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 此时的值最小， ∴的面积， ∴， 则的最小值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 30．（22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，的面积为12，的垂直平分线交于点，若为边的中点，为线段上的一动点，求周长的最小值． 【答案】8 【分析】连接、，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，从而可得周长的最小值． 【详解】解：连接、 是等腰三角形，点是边的中点， , ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点 的长为的最小值, 的周长最小值 【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，同时涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 31．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 32．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析，的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 点即为中转站的位置； 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 九．三动点问题（共3小题） 33．（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 34．（21-22七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AD上，连接BE，CE，CF，延长CF交BE于点G． (1)若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，则S△ABE＝　 　； (2)若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求证：AE＝EF； (3)如图2，在（2）条件下，点P、M、N分别是△GEF三边上的动点，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，当△PMN的周长最小时，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由AD是BC边上的中线，可得S△ABD＝S△ADC＝S△ABC，由题意知S△ABE：S△BED＝2：3，即可求解出结果． （2）延长ED至Q，使DQ＝ED，则可证△BDE≌△CDQ（SAS），再证明△ABE≌△ECF（AAS），即可求解． （3）作P点关于GE的对称点K，连接GK，KP，作P点关于GF的对称点L，连接GL，PL，连接KL交GE于M，交GF于N，连接MP，NP，则△PMN的周长＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL，设∠GBC+∠GCB＝α，在△GEC中，α++60°+90°﹣＝180°，可得α＝30°，从而得到△GLK是等边三角形，当GP最小时，LK就最小，从而可得 【详解】（1）∵AD是BC边上的中线， ∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC， ∵S△ABC＝20， ∴S△ABD＝10， ∵AE：ED＝2：3， ∴S△ABE：S△BED＝2：3， ∴S△ABE＝S△ABD＝4， 故答案为：4； （2）如图1，延长ED至Q，使DQ＝ED， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠BDE＝∠CDQ， ∴△BDE≌△CDQ（SAS）， ∴CQ＝BE， ∵GE＝GF， ∴∠GEF＝∠GFE， ∵∠GFE＝∠QFC， ∴CF＝CQ， ∴BE＝CF， ∵∠BAE+∠ECF＝∠GEF，∠GFE＝∠ECF+∠FEC， ∴∠BAE＝∠FEC， ∵∠GEF＝∠BAE+∠ABE，∠GFE＝∠FEC+∠ECF， ∴∠ABE＝∠ECF， ∴△ABE≌△ECF（AAS）， ∴AE＝EF； （3）如图2，作P点关于GE的对称点K，连接GK，KP，作P点关于GF的对称点L，连接GL，PL，连接KL交GE于M，交GF于N，连接MP，NP， ∴MP＝KM，PL＝NL， ∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL， 设∠GBC+∠GCB＝α， ∴∠EGF＝α， ∵GE＝GF， ∴∠GEF＝90°﹣， 由（2）知，∠CEF＝∠BAF，∠ABE＝∠ECF， ∵∠BAF＝60°， ∴∠CEF＝60°， ∵∠GBC+∠GCB＝2∠ABE， ∴∠ECF＝， 在△GEC中，α++60°+90°﹣＝180°， ∴α＝30°， ∴∠EGF＝30°， ∴∠KGL＝60°， ∴△GLK是等边三角形， ∴当GP最小时，LK就最小， ∴GP⊥EF， ∴GE＝GF， ∴P点是EF的中点， ∵EF＝AE， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离，垂线段最短是解此题的关键． 35．动手操作：请按要求作图．（规范作图，保留作图痕迹即可，不要求尺规作图） （）如图（），是内一定点，为射线边上一定点，请在射线上找一点，使得最小． （）如图（），是内一定点，点、分别为射线、边上两个动点，请作出使得最小的点和点． （）如图（），是内一定点，点、分别为射线、边上两个动点，请作出使得最小的点和点． 拓展应用： （）如图（），为锐角三角形，，，的面积为，点、、分别为三边、、上的三个动点，请在图中作出满足条件的周长最小的，并求出周长的最小值． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）作图见解析，的周长有最小值为11. 【详解】试题分析：（1）作点P关于直线AB的对称点P^'，连接P^' F交AB于E，则此时PE+EF最小； （2）作点P关于直线AB的对称点M，连接MP交AB于点N，过点M作MF⊥BC于F交AB于E，则此时PE+EF最小； （3）作点P关于直线AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于F，则此时PE+EF+PE最小； （4）作点P关于线段AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于点F，则此时△PEF的周长为MN的长度． 试题解析：解：（1）如图①，作点P关于直线AB的对称点P^'，连接P^' F交AB于E，则此时PE+EF最小； （）如图②，作点P关于直线AB的对称点M，连接MP交AB于点N，过点M作MF⊥BC于F交AB于E，则此时PE+EF最小； （3）如图③，作点P关于直线AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于F，则此时PE+EF+PE最小； （4）如图④，作点P关于线段AB的对称点M，关于直线BC的对称点N，连接MN交AB于E，交BC于点F，则此时△PEF的周长为MN的长度． ∵∠ABC=30°，∴∠MBN=60°且BM=BP=BN，∴△MBN为等边三角形，∴当BP⊥AC时，MN有最小值，即△PEF的周长有最小值，． 点睛：本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 一十．逆等线问题（共5小题） 36．如图，为等边的高，，分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，最短路径问题，关键是作出辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，即可求出的度数． 【详解】解：作，且，连接交于，连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴当为与的交点时，的值最小， 此时，， ∴， 故答案为：． 37．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，连接，证明，得出，推出的最小值等于的最小值，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线，连接，与的交点即为所求的点，根据对称性可得，得到，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线， ， 连接，与的交点即为所求的点， 根据对称性可得， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 38．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值 【答案】 【分析】过点A作，且，连接，如图所示，证明，得到，则，当为最小时，即为最小，则当点C、D、H三点共线时即为最小，连接，交于点M，证明 ，得到，，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点A作，且，连接，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为最小时，即为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小， 连接，交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴CD+BE的最小值为； 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之间线段最短进行求解即可． 39．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知 （1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理以及对称的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键. （1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，可得四边形为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解； 【详解】解：（1）由对称可知： ， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 40．（21-22八年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图（1），为的边上的一点，，过点作，且，连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图（2），在中，，平分，点在上，且，若点分别到，的距离之比为，求证：； 【拓展创新】（3）如图（3），在中，，，，，分别是，上的点，且，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先判断出∠DAE=∠B，即可得出结论； （2）过点C作CG∥AB交BD的延长线于G，过点C作CF⊥BG交于K，CH⊥AB于H，连接，由（1）可得△CDG≌△AEC（SAS），进而证明四边形是菱形，根据等面积法即可得证； （3）过点作，且，由（1）可得，当三点共线时取得最小值，过点作交的延长线于点，过点作，则四边形是矩形，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE和△BAC中， ， ∴△ADE≌△BAC（SAS）； （2）如图， 过点C作CG∥AB交BD的延长线于G，过点C作CF⊥BG交于K，CH⊥AB于H，连接， ∴∠CGB=∠GBA ∵平分， ∴∠CBG=∠GBA， ∴∠CBG=∠CGB， ∴CG=CB， 由（1）可得△CDG≌△AEC（SAS）， ， ， 是的角平分线，，即， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， ∵点分别到，的距离之比为， ∴CH=， ， 即， 即， ， 即， （3）如图， 过点作，且 由（1）可得 ，当三点共线时取得最小值， 如图，过点作交的延长线于点，过点作，则四边形是矩形， ，，， 四边形是正方形， 即的最小值． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，运用好第一问的模型是解题的关键． $$