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1
专项 9 一次函数动点及存在性问题
答案解析
1.(1)� =− � + 6;(2)12;(3)存在,�1 2,1 或�2 2,4 或�3 −2,8
【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(2)利用三角形的面积公式即可求解;
(3)当△OMC 的面积是△OAC 的面积的
1
2
时,根据面积公式即可求得 M的横坐标,然后代入解
析式即可求得 M的坐标.
【详解】(1)设直线 AC 的解析式是� = �� + �,
根据题意得:
4� + � = 2
� = 6 ,
解得:
� =− 1
� = 6 ,
则直线 AC 的解析式是:� =− � + 6;
(2)����� =
1
2
× 6 × 4 = 12;
(3)存在这样的 M点,理由如下:
设 OA 的解析式是� = ��,则 4� = 2,解得:� = 1
2
,
则直线 OA 的解析式是:� = 1
2
�,
当△OMC 的面积是△OAC 的面积的
1
2
时,M的横坐标是
1
2
×4=2,
在� = 1
2
�中,当� = 2时,� = 1,则 M的坐标是(2,1);
在� =− � + 6中,当� = 2时,� = 4,则 M的坐标是(2,4);
则 M的坐标是:�1 2,1 或�2 2,4 ;
当 M点在 y轴左侧时,
在� =− � + 6中,当 2x 时, 8y ,则 M的坐标是(−2,8);
综上所述,M的坐标是:�1 2,1 或�2 2,4 或�3 −2,8 .
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式,熟记三角形面积公式及利用 M点横坐
标为±2分别求出是解题关键.
2.(1)y=﹣2x+6;(2)M(3,6)或(﹣1,2);(3)存在,P1 (5,0),P2 (1,0),
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2
P3(−3+ 4 2,0), P4(−3 − 4 2,0)
【分析】(1)把点 C的坐标代入 y=x+3,求出 m的值,然后利用待定系数法求出直线的解析
式;
(2)由已知条件得出 M、N两点的横坐标,利用两点间距离公式求出 M的坐标.
(3)没有指出等腰三角形三角形的腰或底边,所以应该分 3种情况进行讨论:PC=BC,PC=BP、
BC=BP.由两点间的距离公式求得相关线段的长度,从而求得符合条件的点 P的坐标.
【详解】(1)把(1,m)代入 y=x+3得 m=4,
∴C(1,4),
设直线 l2的解析式为 y=kx+b,
代入(1,4),(3,0)得
∴
� + � = 4
3� + � = 0,
解得
� =− 2
� = 6 ,
∴直线 l2的解析式为 y=﹣2x+6;
(2)在 y=x+3中,令 y=0,得 x=﹣3,
∴B(﹣3,0),
∴AB=3﹣(﹣3)=6,
设 M(a,a+3),由 MN∥y 轴,得 N(a,﹣2a+6),
MN=|a+3﹣(﹣2a+6)|=|3a﹣3|,
∵MN=AB,
∴|3a﹣3|=6,
解得 a=3或 a=﹣1,
∴M(3,6)或(﹣1,2).
(3)如图 2,
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∵B(-3,0),C(1,4).
∴BC= (1 + 3)2 + (4 − 0)2 = 4 2.
设 P(x,0),
当 PC=BC 时,此时点 P与点 B关于直线 x=1 对称,则 P1(5,0);
当 PC=PB 时,(� + 3)2 = (� − 1)2 + (0 − 4)2.
解得 x=1.
此时 P2(1,0);
当 BP=BC 时, � + 3 = 4 2,
解得� =− 3 + 4 2或� =− 3 − 4 2.
此时 P3(−3+ 4 2,0),P4(−3 − 4 2,0).
综上所述,符合条件的点 P的坐标是 P1(5,0),P2(1,0),P3(−3+ 4 2,0),P4(−3 − 4 2,
0).
【点睛】本题考查了两条直线相交问题,待定系数法求一次函数的解析式,等腰三角形的性质,
分类讨论是解题的关键.
3.(1)直线 1l 的函数表达式为� =−
3
2
� + 9
2
;
(2)点�的坐标为 3 − 13,0 或 3 + 13,0 或 −1,0 .
【分析】本题是一次函数综合题,考查了待定系数法求一次函数解析式,勾股定理,等腰三角
形性质.
(1)先求得 (1,3)C ,再运用待定系数法即可求得直线 1l 的解析式;
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(2)过点�作�� ⊥ �轴于点H,则�(1,0),利用勾股定理可得�� = ��2 + ��2 = 22 + 32 =
13,设�(�, 0),则 | 3 |AE x ,分两种情况:当�� = ��时,当�� = ��时,分别求出点�的坐
标即可.
【详解】(1)解:∵直线 2 : 3y x 与直线 1l 相交于点�,点�的横坐标为 1,
(1,3)C ,
设直线 1l 的函数表达式为� = �� + �,把点�(3,0)、 (1,3)C 的坐标代入,
∴直线 1l 的函数表达式为� =−
3
2
� + 9
2
;
(2)解:在�轴上存在一点�,使得△ ���是以��为腰的等腰三角形.
如图 2,过点�作�� ⊥ �轴于点H ,测�(1,0).
∴ �� = 3 − 1 = 2,�� = 3.
在 Rt △ ���中,�� = ��2 + ��2 = 22 + 32 = 13.
设�(�, 0),则 | 3 |AE x .
当�� = ��时, | 3 | 13x ,
解得:� = 3 − 13或3 13 ,
∴� 3 − 13, 0 或 3 + 13, 0 ;
当�� = ��时,
∵ �� ⊥ �轴,即�� ⊥ ��,
AH EH ,即�� = 2�� = 4,
∴ �( − 1,0).
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综上所述,在�轴上存在一点�,使得△ ���是以��为腰的等腰三角形;点�的坐标为 3 − 13
,0 或 3 + 13,0 或 −1,0 .
4.(1)① 4,4 或 4, − 4 ②�' − 7
2
, − 4 或�' 1
2
, 4
(2) 85
【分析】(1)①根据新定义,得到�'� ⊥ �轴,且�'� = 4,求解即可;②分点�在�轴正半轴
和在�轴负半轴上,两种情况进行求解即可;
(2)过点�作�� ⊥直线� = 2,过点�'作�'� ⊥ ��,证明△��� ≌△ �'��,得到点�'在直线� = 5
上运动,作点�关于直线� = 5的对称点�' 9, − 2 ,得到��' + �'� = ��' + �'�' ≥ ��',进而
得到当�, �', �'三点共线时,��' + �'�的值最小,为��'的长,进行求解即可.
【详解】(1)解:①∵点 P为原点,点 Q的坐标为 4,0 ,
∴�'� = �� = 4, �'� ⊥ �轴,
∴�' 4,4 或�' 4, − 4 ;
故答案为: 4,4 或 4, − 4 ;
②当点�在�轴负半轴上时:过点�'作�'� ⊥ ��,
则:∠�'�� = ∠�'�� = ∠��� = 90°,
∴∠��'� = ∠��� = 90° −∠���',
又�� = �'�,
∴△ ��'� ≌△���,
∴��' = �� = 4,即:点�'的纵坐标为 4,
∵点�'在直线� = 2� + 3上,当� = 4时,� = 12,
∴�' 1
2
, 4 ;
当点�在�轴正半轴上时:过点�'作�'� ⊥ ��,
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同法可得:△ ��'� ≌△���,
∴�'� = �� = 4,即:点�'的纵坐标为−4,
当� =− 4时,� =− 7
2
,
∴�' − 7
2
, − 4 ;
综上:�' − 7
2
, − 4 或�' 1
2
, 4 ;
(2)如图,过点�作�� ⊥直线� = 2,过点�'作�'� ⊥ ��,
∵� 1, − 2 ,点�在直线� = 2上,
∴ 4AQ ,
同(1)②法可得:△��� ≌△ �'��,
∴�'� = �� = 4,
∴点�'的横坐标为 5,即:点�'在直线� = 5上运动,
作点�关于直线� = 5的对称点�' 9, − 2 ,
∴��' + �'� = ��' + �'�' ≥ ��',
∴当�, �', �'三点共线时,��' + �'�的值最小,为��'的长,
∵�' 9, − 2 ,
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∴��' = 92 + 22 = 85.
【点睛】本题考查坐标与图形,一次函数的综合应用,利用轴对称解决线段最短问题,全等三
角形的判定和性质.解题的关键是掌握新定义,画出图形,利用数形结合和分类讨论的思想进
行求解.
5.(1)见详解;(2)� =− 5� − 10;(3)点 D坐标(11
3
,− 19
3
)或(4,−7)或(8
3
,
13
3
).
【分析】(1)由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°,根据平角的定义和同角的余角的相等求出
∠DAC=∠ECB,角角边证明△CDA≌△BEC;
(2)证明△ABO≌∠BCD,求出点 C的坐标为(-3,5),构建二元一次方程组求出 k=−5,b=−10,
利用待定系数法求出直线 l2的函数表达式为 y=-5x-10;
(3)证明△MCP≌△HPD,由其性质,点 D在直线 y=-2x+1 求出 m=− 10
3
或 n=0 或− 4
3
,将 m的值
代入,得点 D坐标为(
11
3
,− 19
3
)或(4,−7)或(8
3
,
13
3
).
【详解】解:(1)如图 1所示:
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°,∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BEC=90°,
又∵∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠DAC=∠ECB,
在△CDA 和△BEC 中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△CDA≌△BEC(AAS);
(2)过点 B作 BC⊥AB 交 AC 于点 C,CD⊥y 轴交 y轴于点 D,如图 2所示:
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∵CD⊥y 轴,x轴⊥y轴,
∴∠CDB=∠BOA=90°,
又∵BC⊥AB,
∴∠ABC=90°,
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°,
∴∠ABO+∠CBD=90°,
又∵∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠BAO=∠CBD,
又∵∠BAC=45°,
∴∠ACB=45°,
∴AB=CB,
在△ABO 和∠BCD 中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ABO≌∠BCD(AAS),
∴AO=BD,BO=CD,
又∵直线 l1:y=
3
2
x+3 与 x 轴交于点 A,与 y轴交于点 B,
∴点 A、B两点的坐标分别为(-2,0),(0,3),
∴AO=2,BO=3,
∴BD=2,CD=3,
∴点 C的坐标为(-3,5),
设 l2的函数表达式为 y=kx+b(k≠0),
点 A、C两点在直线 l2上,依题意得:
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−2� + � = 0
−3� + � = 5,
∴
� =− 5
� =− 10,
∴直线 l2的函数表达式为 y=−5x−10;
(3)能成为等腰直角三角形,依题意得,
①若点 P为直角时,如图 3甲所示:
设点 P的坐标为(3,m),则 PB 的长为 4+m,
∵∠CPD=90°,CP=PD,
∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°,
∴∠CPM+∠PDH=90°,
又∵∠CPM+∠DPM=90°,
∴∠PCM=∠PDH,
在△MCP 和△HPD 中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△MCP≌△HPD(AAS),
∴CM=PH,PM=PD,
∴点 D的坐标为(7+m,-3+m),
又∵点 D在直线 y=-2x+1 上,
∴-2(7+m)+1=-3+m,
解得:m=− 10
3
,
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即点 D的坐标为(
11
3
,− 19
3
);
②若点 C为直角时,如图 3乙所示:
设点 P的坐标为(3,n),则 PB 的长为 4+n,
CA=CD,
同理可证明△PCM≌△CDH(AAS),
∴PM=CH,MC=HD,
∴点 D的坐标为(4+n,-7),
又∵点 D在直线 y=-2x+1 上,
∴-2(4+n)+1=-7,
解得:n=0,
∴点 P与点 A重合,点 M与点 O重合,
即点 D的坐标为(4,-7);
③若点 D为直角时,如图 3丙所示:
设点 P的坐标为(3,k),则 PB 的长为 4+k,
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CD=PD,
同理可证明△CDM≌△PDQ(AAS),
∴MD=PQ,MC=DQ,
∴点 D的坐标为(
7+�
2
,− 7−�
2
),
又∵点 D在直线 y=-2x+1 上,
∴-2×
7+�
2
+1=− 7−�
2
,
解得:k=−53,
∴点 P与点 A重合,点 M与点 O重合,
即点 D的坐标为(
8
3
,
13
3
);
综合上述,点 D坐标为(
11
3
,− 19
3
)或(4,−7)或(8
3
,
13
3
).
【点睛】本题综合考查了垂直的定义,平角的定义,全等三角形的判定与性质,一次函数求法,
待定系数等知识点,重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法,难点是构造符合题意的全
等三角形.
6.(1)①8,6;②(6,14)
(2)△���的面积不变,�△��� = 18
(3)( 48
5
, − 42
5
)或(8, − 6)
【分析】(1)①若� =− 3
4
,则直线与�轴,�轴分别交于 (8,0)A ,�(0,6)两点,即可求解;②过
点�作 EF y 轴,垂足为�,证明△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质可得�� = �� = 8,�� =
�� = 6,即可求解;
(2)当�的取值变化,点�随之在�轴负半轴上运动时,过点�作�� ⊥ �轴,垂足为�,证明
△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得�� = �� = 6,根据三角形的面积公式即可求解;
(3)过点�作�� ⊥ �轴于�,过点�作�� ⊥ ��于�,证明△ ��� ≌△ ���,可分两种情况讨论,
由全等三角形的性质得�� = ��,�� = ��,进而可得点�的坐标,然后将点�的坐标代入
3 6
2
y x 求得�的值,即可求解.
【详解】(1)解:①当� =− 3
4
时,直线��解析式为� =− 3
4
� + 6,
令� = 0,则� = 6,即�(0,6),
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令� = 0,则有 0 =− 3
4
� + 6,
解得� = 8,即 (8,0)A ,
�� = 8,�� = 6.
故答案为:8,6;
②过点�作EF y 轴,垂足为�,如下图,
∵△ ���为等腰直角三角形,∠��� = 90°,
∴�� = ��,∠��� + ∠��� = 90°,
又∵∠��� + ∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠��� = 90°
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(AAS),
∴�� = �� = 8,�� = �� = 6,
∴�� = �� + �� = 8 + 6 = 14,
∴�(6,14).
故答案为:(6,14);
(2)当�的取值变化时,△���的面积是定值,�△��� = 18,理由如下:
如下图,过点�作�� ⊥ �轴,垂足为�,
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则∠��� = ∠��� = 90°,
∵�� ⊥ ��,�� = ��,
∴∠��� + ∠��� = 90°,
又∵∠��� + ∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠��� = 90°
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���(AAS),
∴�� = �� = 6,
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 6 × 6 = 18,
∴当�的取值变化时,△���的面积是定值,�△��� = 18;
(3)当� < 10时,如下图,过点�作�� ⊥ �轴于�,过点�作�� ⊥ ��于�,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵∠2 + ∠3 = 90°,
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又∵∠��� = 90°,
∴ 1 2 90 ,
∴∠1 = ∠3,
又∵�� = ��,∠��� = ∠��� = 90°,
∴△ ��� ≌△ ���(AAS).
∴�� = �� = 4,�� = �� = 10 − �,
∴�� = 14 − �,
∴点�的坐标为(4 + �, � − 14),
∵
3
2
k ,
∴直线
3 6
2
y x ,将点�的坐标代入,
可得,� − 14 =− 3
2
× (4 + �) + 6,
解得� = 28
5
,
∴4 + � = 48
5
,� − 14 =− 42
5
,
∴点�的坐标为( 48
5
, − 42
5
);
当� > 10时,过点�作�� ⊥ �轴于�,过点�作�� ⊥ ��于�,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵∠1 + ∠3 = 90°,
∵∠��� = 90°,
∴ 1 2 90 ,
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∴∠2 = ∠3,
又∵�� = ��,∠��� = ∠��� = 90°,
∴△ ��� ≌△ ���(AAS),
∴�� = �� = 4,�� = �� = � − 10,
∴�� = � − 6,
∴点�的坐标为(� − 4,6 − �),
∵
3
2
k ,
∴直线
3 6
2
y x ,将点�的坐标代入,
可得 6 − � =− 3
2
(� − 4) + 6,
解得� = 12,
∴� − 4 = 8,6 − � =− 6,
∴点�的坐标为(8, − 6).
综上所述,点�的坐标为( 48
5
, − 42
5
)或(8, − 6).
【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角
三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识,熟练掌握一次函数的图像及性质,正确作出
辅助线构造全等三角形解题是关键.
7.(1)� = 3� − 6
(2)①
4 , 2
3
或
8
3
, 2 ;②存在, 3,3 或 18
7
, 12
7
【分析】(1)先求出点 D坐标,再利用待定系数法求解;
(2)①当�△���: �△��� = 1: 2时,�� =
1
3
��,当�△���: �△��� = 1: 2时,�� =
2
3
��,结合点
D和点 E的坐标,即可求解;②分“点 D落在 x正半轴上”和“点 D落在 y轴的负半轴上”两
种情况,根据轴对称的性质分别求解即可.
【详解】(1)解:∵点 D的横坐标为 4,点 D在一次函数� = 3
4
� + 3的图象上,
将� = 4代入� = 3
4
� + 3,得� = 3
4
× 4+ 3 = 6,
∴ � 4,6 ,
将� 2,0 ,� 4,6 代入� = �� + �,
得:
2� + � = 0
4� + � = 6,
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解得
� = 3
� =− 6,
∴直线��的函数表达式为� = 3� − 6,
故答案为:� = 3� − 6;
(2)解:①将� = 0代入� = 3� − 6,得� =− 6,
∴ � 0, − 6 ,
��将△���的面积分为 1: 2两部分时,有两种情况:
当�△���: �△��� = 1: 2时,�△���: �△��� = 1: 3,
∴ �� = 1
3
��,
∵ � 4,6 ,� 0, − 6 ,
∴点 Q的横坐标为 0 + 1
3
× 4 − 0 = 4
3
,纵坐标为−6+ 1
3
× 6+ 6 =− 2;
∴ � 4
3
, − 2 ;
当�△���: �△��� = 1: 2时,�△���: �△��� = 2: 3,
∴ �� = 2
3
��,
∵ � 4,6 ,� 0, − 6 ,
∴点 Q的横坐标为 0 + 2
3
× 4 − 0 = 8
3
,纵坐标为−6+ 2
3
× 6+ 6 = 2;
∴ � 8
3
, 2 ,
综上可知,点 Q的坐标为
4
3
, − 2 或 8
3
, 2 ;
②存在,点 Q的坐标为 3,3 或 18
7
, 12
7
.求解过程如下:
一次函数� = 3
4
� + 3与 y轴的交点坐标为 0,3 ,即� 0,3 ,
当点 D落在 x正半轴上(记为点�1)时,如图,作�� ⊥ �轴于点 H,连接��1,
∵ � 0,3 ,� 4,6 ,
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∴ �� = 3,�� = 6,
∴ �� = �� = 3,
由轴对称的性质得�� = ��1,∠��� = ∠�1��,
在 Rt △ ���和 Rt △ ���1中,
�� = ��1
�� = ��,
∴ Rt △ ��� ≌ Rt △ ���1 HL ,
∴ ∠��� = ∠�1��,
∴ ∠��� + ∠��� = ∠�1�� + ∠�1��,
∴ ∠��� = ∠��� = 90°,
∴ �� ∥ �轴,
∴点 Q的纵坐标为 3,
将 3y 代入� = 3� − 6,得 3 = 3� − 6,解得� = 3,
∴点 Q的坐标为 3,3 ;
当点 D落在 y轴的负半轴上(记作�2)时,如图,过点 Q作�� ⊥ ��于 M,�� ⊥ ��于 N,
由轴对称的性质得�� = ��2,∠��� = ∠�2��,
∴ ��平分∠���,
∴ �� = ��,
∵ � 0,3 ,� 4,6 ,� 0, − 6 ,
∴ �� = 3 − −6 = 9,�� = 4,�� = 4 − 0 2 + 6 − 3 2 = 5,
�△��� =
1
2
�� ⋅ �� =
1
2
�� ⋅ �� + 1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� + �� ⋅ ��,
1
2
× 9 × 4 = 1
2
× 5+ 9 ⋅ ��,
解得�� = 18
7
,
∴点 Q的横坐标为
18
7
.
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18
将
18
7
x 代入� = 3� − 6,得� = 3 × 18
7
− 6 = 12
7
,
∴点 Q的坐标为 18
7
, 12
7
,
综上可知,点 Q的坐标为 3,3 或 18
7
, 12
7
.
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、轴对称的性质、勾
股定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用
分类讨论的思想思考问题.
8.(1)� =− 1
2
� + 4
(2) 0, 2
3
(3)① 0,3 − 41 ② 3 5+1
2
, 0 或 5,0
【分析】(1)先求出点 C的坐标,然后用待定系数法求出一次函数解析式即可;
(2)设点 M的坐标 0,� ,先求出点� 8,0 ,得出�△���=
1
2
× 8 × 3 = 12,求出�△��� =
5
6
× 12 =
10,列出关于 m的方程,1
2
× (4 −�) × 8 − 2 = 10,解方程即可;
(3)①过点 C作�� ⊥ �轴于点 E,求出�� = 41,根据折叠得出�� = �� = 3 5,根据勾股
定理求出��,即可得出答案;
②分两种情况,∠��� = 90°或∠��� = 90°,分别画出图形,利用勾股定理,求出点 N的坐标
即可.
【详解】(1)解:∵点 C的横坐标为 2,
∴把� = 2代入� = 3
2
�得: 3y ,
∴� 2,3 ,
把� 0,4 ,� 2,3 代入� = �� + �得:
� = 4
2� + � = 3,
解得:
� =− 1
2
� = 4
,
∴一次函数表达式为� =− 1
2
� + 4;
(2)解:设点 M的坐标 0,� ,
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19
把� = 0代入� =− 1
2
� + 4得:0 =− 1
2
� + 4,
解得:� = 8,
∴� 8,0 ,
∴�△���=
1
2
× 8 × 3 = 12,
∴�△��� =
5
6
× 12 = 10,
∵�△��� = �△��� − �△��� =
1
2
× (4 −�) × 8 − 2 = 5
6
× 12,
∴
1
2
× (4 − �) × 8 − 2 = 10
解得;� = 2
3
,
∴点 M的坐标 0, 2
3
.
(3)解:①过点 C作�� ⊥ �轴于点 G,如图所示:
∵� 2,3 ,� 8,0 ,
∴�� = 8 − 2 2 + 3 − 0 2 = 3 5,
根据折叠可知,�� = �� = 3 5,
∵�� = 2,�� = 3,
∴�� = ��2 − ��2 = 3 5
2
− 22 = 41,
∴�� = 41 − 3,
∴� 0,3 − 41 ;
②当∠��� = 90°时,过点 C作�� ⊥ �轴于点 M,并延长CM,过点 D作�� ⊥ ��于点 F,如图
所示:
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20
设点� �, 0 ,则�� = 8 − �,
根据折叠可得:�� = �� = 3 5,�� = �� = 8 − �,
∵∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,
∴四边形����为矩形,
∴�� = �� = 8 − �,�� = �� = � − 2,
∴�� = ��+�� = 3 + 8 − � = 11 − �,
在 Rt △ ���中根据勾股定理得:��2 = ��2 + ��2,
即 3 5
2
= 11 − � 2 + � − 2 2,
解得:� = 5或 8n (舍去),
∴此时点�的坐标为 5,0 ;
当∠��� = 90°时,如图所示:
设点� �, 0 ,则�� = 8 − �,
根据折叠可得:�� = �� = 3 5,�� = �� = 8 − �,
∵∠��� = 90°,
∴CD x 轴,
∴�� = 3,�� = 2,
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21
∴�� = 3 5 − 3,�� = � − 2,
在 Rt △ ���中根据勾股定理得:��2 = ��2 + ��2,
即 8 − � 2 = � − 2 2 + 3 5 − 3
2
,
解得:� = 3 5+1
2
,
∴此时点 N的坐标为: 3 5+1
2
, 0 ;
综上分析可知,点 N的坐标为: 3 5+1
2
, 0 或 5,0 .
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用,勾股定理,折叠的性质,三角形面积的计算,
解题的关键是根据题意作出相应的图形,数形结合,并注意分类讨论.
9.(1)直线��的函数表达式为�1 = 3� − 6,点�坐标为 0,4 .
(2)①
�+6
3
.②�四边形�1�1�1�1
= �1�1 ⋅ �1�1 =
360
49或 45;③点�的坐标为 6, − 2 或 2, − 6 或
−4,0 .
【分析】(1)用待定系数法求一次函数解析式,将点� 2,0 ,� 0, − 6 代入直线 1y ax b= + 中,
即可求得解析式,再结合 2�� = 3��,即可求得点�.
(2)①利用平移的性质和矩形的性质,得出�1�1 = �� = �,在利用 1H 在直线�1上求得 1H 的
横坐标,再结合平移的性质和矩形的性质,得到�� = �1�1,即可解题.
②1)若�1在点�下方,设 2y cx d ,把�(2,0),�(0,4)代入,得直线��的函数表达式,将
6( , )
12
mP m
代入� =− 2� + 4,求出�的值,得到 1 1
18
7
E F m , 1 1
6 20
3 7
mE H 后即可求出四边形的面积;2)
若�1在点�上方,求出
6( , )
6
mP m ,再把
6( , )
6
mP m 代入� =− 2� + 4,解得� = 9,得到 1 1 9E F ,
1 1 5E H ,则�四边形�1�1�1�1 = �1�1 ⋅ �1�1 = 45;
③本题通过点�、�2求得直线��2,可表示出点�,利用△���与△ ���全等,哪些对应的角
相等,对应的边相等,根据对应的边等,建立等式,即可解题..
【详解】(1)解:将点� 2,0 ,� 0, − 6 代入直线��的函数表达式 1y ax b= + 中,
有
2� + � = 0
� =− 6 ,解得
� = 3
� =− 6,
∴直线��的函数表达式为�1 = 3� − 6.
∵ 2�� = 3��,且�� = 6,
∴ 2 × 6 = 3��,解得�� = 4,
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22
∴点�坐标为 0,4 .
(2)①解:∵四边形EFGH 为长方形,
∴ �� = �� = �,
由平移的性质可知,�1�1 = �� = �,
当�1 = �时,有 3� − 6 = �,解得� =
�+6
3
,
∴ �1�1 =
�+6
3
,
由平移的性质可知,�� = �1�1 =
�+6
3
,
故答案为:
�+6
3
.
②当点�的坐标为 (0, 4) 时,点�在点 1H 的右侧,此时 1 1PH PE ,与条件��1 = 3��1矛盾,可得
点�的坐标为(0,4),
设 2y cx d ,把�(2,0),�(0,4)代入,
得
2� + � = 0
� = 4 ,解得
� =− 2
� = 4 ,
得直线��的函数表达式为�2 =− 2� + 4,
1)若�1在点�下方,
∵ 1 1
6
3
mE H 且��1 = 3��1,
∴ 1
6
12
mPE ,
∴ 6 ,12
mP m
,
把
6 ,
12
mP m
代入� =− 2� + 4,
得
62 4
12
m m ,解得� = 18
7
,
∴ 1 1
18
7
E F m , 1 1
6 20
3 7
mE H ,
�四边形�1�1�1�1
= �1�1 ⋅ �1�1 =
360
49;
2)若�1在点�上方,
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∵ 1 1
6
3
mE H 且且��1 = 3��1,
1 1 12E H PE ,
∴ 1
6
6
mPE ,
∴ 6 ,6
mP m
把
6 ,
6
mP m
代入� =− 2� + 4,解得� = 9,
1 1 9E F , 1 1 5E H ,
�四边形�1�1�1�1 = �1�1 ⋅ �1�1 = 45;
综上所述,长方形�1�1�1�1的面积为
360
49
或 45;
③解:∵ �1�2 =
2�
3
,
∴ �1�2 = �1�1 + �1�2 = � + 2,
∴ �2 �+ 2,� ,
设直线��2的解析式为�3 = �1� + �2,
把� 2,0 ,�2 �+ 2,� 代入�3 = �1� + �2中,
有
2�1 + �2 = 0
� + 2 �1 + �2 = �
,解得
�1 = 1
�2 =− 2
,
∴直线��2的解析式为�3 = � − 2,
当� = 0时,�3 = 0 − 2 =− 2,
0, 2M ,
∴ �� = 6,�� = ��2 + ��2 = 22 + 42 = 2 5,
∵ �� = 2,�� = 2,∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠��� = 45°,
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∵平面内存在点�,使得△ ���与△ ���全等,
当点 1N 使得△ ���1与△ ���全等时,
有∠��� = ∠���1 = 45°,�� = ��1,
∴ ∠���1 = 90°,即��1 ⊥ ��,
∵ �� = 2,�� = 6,
∴ ��1 = 6,
∴ �1 6, − 2 ,
当点�2使得△���2与△���全等时,
有∠��� = ∠���2 = 45°,��2 = �� = 6,
∵ ∠��� = 45°,
∴ ∠���2 = ∠��� + ∠���2 = 90°,即��2 ⊥ ��,
∵ �� = 2,
∴ �2 2, − 6 ,
当点�3使得△���3与△���全等时,
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有∠��� = ∠���3 = 45°,��3 = �� = 6,
∵ ∠��� = 45° = ∠���3,
∴ �、�、�3同在�轴上,
∵ �� = 2,
∴ �3� = 6 − 2 = 4
∴ �3 −4,0 .
综上所述,点�的坐标为 6, − 2 或 2, − 6 或 −4,0 .
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质、平移的性质和全等三角形的
性质和判定综合,解题的关键在于结合图形和图形的变换过程,建立线段之间的等量关系,即
可解题.
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1
专项 9 一次函数动点及存在性问题
1.如图,在平面直角坐标系中,过点 C(0,6)的直线 AC与直线 OA相交于点 A(4,2).
(1)求直线 AC的表达式;
(2)求△OAC的面积;
(3)动点M在线段 OA和射线 AC上运动,是否存在点M,使△OMC的面积是△OAC的面
积的
1
2
?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,直线 l1:y=x+3与过点 A(3,0)的直线 l2交于点 C(1,m),与 x轴交于点 B.
(1)求直线 l2的解析式;
(2)点M在直线 l1上,MN∥y轴,交直线 l2于点 N,若MN=AB,求点M的坐标.
(3)在 x轴上是否存在点 P,使以 B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接
写出点 P的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,直线 1l 交 x轴于点 A,交 y轴于点 B,点 A的坐标为 3,0 ,直
线 2 : 3l y x 与直线 1l 相交于点 C,点 C的横坐标为 1.
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2
(1)求直线 1l 的函数表达式;
(2)在 x轴上是否存在一点 E,使得△���是以��为腰的等腰三角形?若存在,求出符合条件的
点 E的坐标;若不存在,说明理由.
4.点 P、点�'和点 Q为平面直角坐标系中的三个点,给出如下定义:若�� = �'�,且∠���' = 90°,
则称�'为点 P关于点 Q的等垂点.
(1)已知点 Q的坐标为 4,0 ,
①如下图所示,若点 P为原点,直接写出 P关于 Q的等垂点�'的坐标________;
②如下图所示,P为 y轴上一点,且点 P关于点 Q的等垂点�'恰好在一次函数� = 2� + 3的图
象上,求点�'的坐标;
(2)如下图所示,若点 Q的坐标为 1, − 2 ,P为直线� = 2上一点,P关于点 Q的等垂点�'位
于 y轴右侧,连接��',��',请问OP QP 是否有最小值?若有,请求出最小值;若无,请说
明理由.
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3
5.【模型建立】
(1)如图 1,等腰 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线 ED经过点 C,过点 A作 AD⊥ED
于点 D,过点 B作 BE⊥ED于点 E,求证:△BEC≌△CDA;
【模型应用】
(2)如图 2,已知直线 l1:y=
3
2
x+3与 x轴交于点 A,与 y轴交于点 B,将直线 l1绕点 A逆时
针旋转 45°至直线 l2;求直线 l2的函数表达式;
(3)如图 3,平面直角坐标系内有一点 B(3,﹣4),过点 B作 BA⊥x轴于点 A、BC⊥y轴
于点 C,点 P是线段 AB上的动点,点 D是直线 y=﹣2x+1上的动点且在第四象限内.试探究
△CPD能否成为等腰直角三角形?若能,求出点 D的坐标,若不能,请说明理由.
6.【探索发现】如图 1,等腰直角三角形���中,∠��� = 90°,�� = ��,直线��经过点�,
过�作�� ⊥ ��于点�.过�作�� ⊥ ��于点�,则△ ��� ≌△ ���,我们称这种全等模型为“�
型全等”.(不需要证明)
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4
【迁移应用】已知:直线� = �� + 6 � ≠ 0 的图像与�轴、�轴分别交于�、�两点.
(1)如图 2,当� =− 3
4
时,在第一象限构造等腰直角△ ���,∠��� = 90°;
①直接写出�� =______,�� =______;
②点�的坐标______;
(2)如图 3,当�的取值变化,点�随之在�轴负半轴上运动时,在�轴左侧过点�作�� ⊥ ��,并
且�� = ��,连接��,问△���的面积是否发生变化?若不变,求出△���面积;若变,请
说明理由;
(3)【拓展应用】如图 4,当
3
2
k 时,直线�:� =− 4与�轴交于点�,点� �, − 4 、�分别是
直线�和直线��上的动点,点�在�轴上的坐标为 10,0 ,当△ ���是以CQ为斜边的等腰直角三
角形时,点�的坐标是______(直接写出答案即可).
7.已知:如图,一次函数� = 3
4
� + 3的图象分别与 x轴、y轴相交于点 A、B,且与经过点� 2,0
的一次函数� = �� + �的图象相交于点 D.点 D的横坐标为 4,直线��与�轴相交于点 E.
(1)直线��的函数表达式为:__________;(直接写出结果)
(2)点 Q为线段��上的一个动点,连接��.
①若直线��将△���的面积分为 1: 2两部分,试求点 Q的坐标;
②点 Q是否存在某个位置,将△ ���沿着直线��翻折,使得点 D恰好落在直线��下方的坐标
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5
轴上?若存在,请直接写出点 Q的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,一次函数� = �� + �的图象与 y轴交于点� 0,4 ,
与 x轴交于点 B,与正比例函数� = 3
2
�交于点 C,点 C的横坐标为 2.
(1)求一次函数� = �� + �的表达式;
(2)如图 1,点 M为线段��上一点,若�△��� =
5
6
�△���,求点 M的坐标;
(3)如图 2,点 N为线段��上一点,连接��,将△ ���沿直线��翻折得到△���(点 B的对
应点为点 D),��交 x轴于点 E.
①当点 D落在 y轴上时,请直接写出点 D的坐标;
②若△���为直角三角形,请直接写出点 N的坐标.
9.在平面直角坐标系中,点� 2,0 ,� 0, − 6 ,过点�,�的直线 1y ax b= + (�,�为常数,� ≠ 0).过
点�作直线�2交�轴于点�,且 2�� = 3��.
图 1 图 2 备用图
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6
(1)求直线��的函数表达式和点�坐标;
(2)如图 1,长方形EFGH 的一边��在�轴上,它的对边��在�轴上方,设��的长为�,长方形
EFGH 沿�轴向右移动得到长方形�1�1�1�1.当点�的对应点�1移动到�轴上时,顶点H的对应
点 1H 恰好落在直线�1上.
①请用含�的代数式表示��的长为______;
②若直线�1�1与直线�2交于点�,当��1 = 3��1时,求长方形�1�1�1�1的面积;
③长方形�1�1�1�1继续向右移动得到长方形�2�2�2�2,点�1的对应点为点�2,点 1H 的对应点
为点�2,当�1�2 =
2�
3
时,如图 2所示,连接�2�并延长交�轴于点�.在平面内存在点�,使
得△ ���与△ ���全等,求点�的坐标.