专项9 一次函数动点及存在性问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)

2024-12-02
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学鲁教版(五四制)(2012)七年级上册
年级 七年级
章节 第六章 一次函数
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 山东省
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.93 MB
发布时间 2024-12-02
更新时间 2024-12-02
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-12-02
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 9 一次函数动点及存在性问题 答案解析 1.(1)� =− � + 6;(2)12;(3)存在,�1 2,1 或�2 2,4 或�3 −2,8 【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式; (2)利用三角形的面积公式即可求解; (3)当△OMC 的面积是△OAC 的面积的 1 2 时,根据面积公式即可求得 M的横坐标,然后代入解 析式即可求得 M的坐标. 【详解】(1)设直线 AC 的解析式是� = �� + �, 根据题意得: 4� + � = 2 � = 6 , 解得: � =− 1 � = 6 , 则直线 AC 的解析式是:� =− � + 6; (2)����� = 1 2 × 6 × 4 = 12; (3)存在这样的 M点,理由如下: 设 OA 的解析式是� = ��,则 4� = 2,解得:� = 1 2 , 则直线 OA 的解析式是:� = 1 2 �, 当△OMC 的面积是△OAC 的面积的 1 2 时,M的横坐标是 1 2 ×4=2, 在� = 1 2 �中,当� = 2时,� = 1,则 M的坐标是(2,1); 在� =− � + 6中,当� = 2时,� = 4,则 M的坐标是(2,4); 则 M的坐标是:�1 2,1 或�2 2,4 ; 当 M点在 y轴左侧时, 在� =− � + 6中,当 2x   时, 8y  ,则 M的坐标是(−2,8); 综上所述,M的坐标是:�1 2,1 或�2 2,4 或�3 −2,8 . 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式,熟记三角形面积公式及利用 M点横坐 标为±2分别求出是解题关键. 2.(1)y=﹣2x+6;(2)M(3,6)或(﹣1,2);(3)存在,P1 (5,0),P2 (1,0), 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 P3(−3+ 4 2,0), P4(−3 − 4 2,0) 【分析】(1)把点 C的坐标代入 y=x+3,求出 m的值,然后利用待定系数法求出直线的解析 式; (2)由已知条件得出 M、N两点的横坐标,利用两点间距离公式求出 M的坐标. (3)没有指出等腰三角形三角形的腰或底边,所以应该分 3种情况进行讨论:PC=BC,PC=BP、 BC=BP.由两点间的距离公式求得相关线段的长度,从而求得符合条件的点 P的坐标. 【详解】(1)把(1,m)代入 y=x+3得 m=4, ∴C(1,4), 设直线 l2的解析式为 y=kx+b, 代入(1,4),(3,0)得 ∴ � + � = 4 3� + � = 0, 解得 � =− 2 � = 6 , ∴直线 l2的解析式为 y=﹣2x+6; (2)在 y=x+3中,令 y=0,得 x=﹣3, ∴B(﹣3,0), ∴AB=3﹣(﹣3)=6, 设 M(a,a+3),由 MN∥y 轴,得 N(a,﹣2a+6), MN=|a+3﹣(﹣2a+6)|=|3a﹣3|, ∵MN=AB, ∴|3a﹣3|=6, 解得 a=3或 a=﹣1, ∴M(3,6)或(﹣1,2). (3)如图 2, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 ∵B(-3,0),C(1,4). ∴BC= (1 + 3)2 + (4 − 0)2 = 4 2. 设 P(x,0), 当 PC=BC 时,此时点 P与点 B关于直线 x=1 对称,则 P1(5,0); 当 PC=PB 时,(� + 3)2 = (� − 1)2 + (0 − 4)2. 解得 x=1. 此时 P2(1,0); 当 BP=BC 时, � + 3 = 4 2, 解得� =− 3 + 4 2或� =− 3 − 4 2. 此时 P3(−3+ 4 2,0),P4(−3 − 4 2,0). 综上所述,符合条件的点 P的坐标是 P1(5,0),P2(1,0),P3(−3+ 4 2,0),P4(−3 − 4 2, 0). 【点睛】本题考查了两条直线相交问题,待定系数法求一次函数的解析式,等腰三角形的性质, 分类讨论是解题的关键. 3.(1)直线 1l 的函数表达式为� =− 3 2 � + 9 2 ; (2)点�的坐标为 3 − 13,0 或 3 + 13,0 或 −1,0 . 【分析】本题是一次函数综合题,考查了待定系数法求一次函数解析式,勾股定理,等腰三角 形性质. (1)先求得 (1,3)C ,再运用待定系数法即可求得直线 1l 的解析式; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 (2)过点�作�� ⊥ �轴于点H,则�(1,0),利用勾股定理可得�� = ��2 + ��2 = 22 + 32 = 13,设�(�, 0),则 | 3 |AE x  ,分两种情况:当�� = ��时,当�� = ��时,分别求出点�的坐 标即可. 【详解】(1)解:∵直线 2 : 3y x 与直线 1l 相交于点�,点�的横坐标为 1, (1,3)C , 设直线 1l 的函数表达式为� = �� + �,把点�(3,0)、 (1,3)C 的坐标代入, ∴直线 1l 的函数表达式为� =− 3 2 � + 9 2 ; (2)解:在�轴上存在一点�,使得△ ���是以��为腰的等腰三角形. 如图 2,过点�作�� ⊥ �轴于点H ,测�(1,0). ∴ �� = 3 − 1 = 2,�� = 3. 在 Rt △ ���中,�� = ��2 + ��2 = 22 + 32 = 13. 设�(�, 0),则 | 3 |AE x  . 当�� = ��时, | 3 | 13x   , 解得:� = 3 − 13或3 13 , ∴� 3 − 13, 0 或 3 + 13, 0 ; 当�� = ��时, ∵ �� ⊥ �轴,即�� ⊥ ��, AH EH  ,即�� = 2�� = 4, ∴ �( − 1,0). 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 综上所述,在�轴上存在一点�,使得△ ���是以��为腰的等腰三角形;点�的坐标为 3 − 13 ,0 或 3 + 13,0 或 −1,0 . 4.(1)① 4,4 或 4, − 4 ②�' − 7 2 , − 4 或�' 1 2 , 4 (2) 85 【分析】(1)①根据新定义,得到�'� ⊥ �轴,且�'� = 4,求解即可;②分点�在�轴正半轴 和在�轴负半轴上,两种情况进行求解即可; (2)过点�作�� ⊥直线� = 2,过点�'作�'� ⊥ ��,证明△��� ≌△ �'��,得到点�'在直线� = 5 上运动,作点�关于直线� = 5的对称点�' 9, − 2 ,得到��' + �'� = ��' + �'�' ≥ ��',进而 得到当�, �', �'三点共线时,��' + �'�的值最小,为��'的长,进行求解即可. 【详解】(1)解:①∵点 P为原点,点 Q的坐标为 4,0 , ∴�'� = �� = 4, �'� ⊥ �轴, ∴�' 4,4 或�' 4, − 4 ; 故答案为: 4,4 或 4, − 4 ; ②当点�在�轴负半轴上时:过点�'作�'� ⊥ ��, 则:∠�'�� = ∠�'�� = ∠��� = 90°, ∴∠��'� = ∠��� = 90° −∠���', 又�� = �'�, ∴△ ��'� ≌△���, ∴��' = �� = 4,即:点�'的纵坐标为 4, ∵点�'在直线� = 2� + 3上,当� = 4时,� = 12, ∴�' 1 2 , 4 ; 当点�在�轴正半轴上时:过点�'作�'� ⊥ ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 同法可得:△ ��'� ≌△���, ∴�'� = �� = 4,即:点�'的纵坐标为−4, 当� =− 4时,� =− 7 2 , ∴�' − 7 2 , − 4 ; 综上:�' − 7 2 , − 4 或�' 1 2 , 4 ; (2)如图,过点�作�� ⊥直线� = 2,过点�'作�'� ⊥ ��, ∵� 1, − 2 ,点�在直线� = 2上, ∴ 4AQ  , 同(1)②法可得:△��� ≌△ �'��, ∴�'� = �� = 4, ∴点�'的横坐标为 5,即:点�'在直线� = 5上运动, 作点�关于直线� = 5的对称点�' 9, − 2 , ∴��' + �'� = ��' + �'�' ≥ ��', ∴当�, �', �'三点共线时,��' + �'�的值最小,为��'的长, ∵�' 9, − 2 , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 ∴��' = 92 + 22 = 85. 【点睛】本题考查坐标与图形,一次函数的综合应用,利用轴对称解决线段最短问题,全等三 角形的判定和性质.解题的关键是掌握新定义,画出图形,利用数形结合和分类讨论的思想进 行求解. 5.(1)见详解;(2)� =− 5� − 10;(3)点 D坐标(11 3 ,− 19 3 )或(4,−7)或(8 3 , 13 3  ). 【分析】(1)由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°,根据平角的定义和同角的余角的相等求出 ∠DAC=∠ECB,角角边证明△CDA≌△BEC; (2)证明△ABO≌∠BCD,求出点 C的坐标为(-3,5),构建二元一次方程组求出 k=−5,b=−10, 利用待定系数法求出直线 l2的函数表达式为 y=-5x-10; (3)证明△MCP≌△HPD,由其性质,点 D在直线 y=-2x+1 求出 m=− 10 3 或 n=0 或− 4 3 ,将 m的值 代入,得点 D坐标为( 11 3 ,− 19 3 )或(4,−7)或(8 3 , 13 3  ). 【详解】解:(1)如图 1所示: ∵AD⊥ED,BE⊥ED, ∴∠ADC=∠CEB=90°, 又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°,∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BEC=90°, 又∵∠ACD+∠DAC=90°, ∴∠DAC=∠ECB, 在△CDA 和△BEC 中, ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△CDA≌△BEC(AAS); (2)过点 B作 BC⊥AB 交 AC 于点 C,CD⊥y 轴交 y轴于点 D,如图 2所示: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 ∵CD⊥y 轴,x轴⊥y轴, ∴∠CDB=∠BOA=90°, 又∵BC⊥AB, ∴∠ABC=90°, 又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°, ∴∠ABO+∠CBD=90°, 又∵∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠BAO=∠CBD, 又∵∠BAC=45°, ∴∠ACB=45°, ∴AB=CB, 在△ABO 和∠BCD 中, ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ABO≌∠BCD(AAS), ∴AO=BD,BO=CD, 又∵直线 l1:y= 3 2 x+3 与 x 轴交于点 A,与 y轴交于点 B, ∴点 A、B两点的坐标分别为(-2,0),(0,3), ∴AO=2,BO=3, ∴BD=2,CD=3, ∴点 C的坐标为(-3,5), 设 l2的函数表达式为 y=kx+b(k≠0), 点 A、C两点在直线 l2上,依题意得: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 −2� + � = 0 −3� + � = 5, ∴ � =− 5 � =− 10, ∴直线 l2的函数表达式为 y=−5x−10; (3)能成为等腰直角三角形,依题意得, ①若点 P为直角时,如图 3甲所示: 设点 P的坐标为(3,m),则 PB 的长为 4+m, ∵∠CPD=90°,CP=PD, ∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°, ∴∠CPM+∠PDH=90°, 又∵∠CPM+∠DPM=90°, ∴∠PCM=∠PDH, 在△MCP 和△HPD 中, ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△MCP≌△HPD(AAS), ∴CM=PH,PM=PD, ∴点 D的坐标为(7+m,-3+m), 又∵点 D在直线 y=-2x+1 上, ∴-2(7+m)+1=-3+m, 解得:m=− 10 3 , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 即点 D的坐标为( 11 3 ,− 19 3 ); ②若点 C为直角时,如图 3乙所示: 设点 P的坐标为(3,n),则 PB 的长为 4+n, CA=CD, 同理可证明△PCM≌△CDH(AAS), ∴PM=CH,MC=HD, ∴点 D的坐标为(4+n,-7), 又∵点 D在直线 y=-2x+1 上, ∴-2(4+n)+1=-7, 解得:n=0, ∴点 P与点 A重合,点 M与点 O重合, 即点 D的坐标为(4,-7); ③若点 D为直角时,如图 3丙所示: 设点 P的坐标为(3,k),则 PB 的长为 4+k, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 CD=PD, 同理可证明△CDM≌△PDQ(AAS), ∴MD=PQ,MC=DQ, ∴点 D的坐标为( 7+� 2 ,− 7−� 2 ), 又∵点 D在直线 y=-2x+1 上, ∴-2× 7+� 2 +1=− 7−� 2 , 解得:k=−53, ∴点 P与点 A重合,点 M与点 O重合, 即点 D的坐标为( 8 3 , 13 3  ); 综合上述,点 D坐标为( 11 3 ,− 19 3 )或(4,−7)或(8 3 , 13 3  ). 【点睛】本题综合考查了垂直的定义,平角的定义,全等三角形的判定与性质,一次函数求法, 待定系数等知识点,重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法,难点是构造符合题意的全 等三角形. 6.(1)①8,6;②(6,14) (2)△���的面积不变,�△��� = 18 (3)( 48 5 , − 42 5 )或(8, − 6) 【分析】(1)①若� =− 3 4 ,则直线与�轴,�轴分别交于 (8,0)A ,�(0,6)两点,即可求解;②过 点�作 EF y 轴,垂足为�,证明△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质可得�� = �� = 8,�� = �� = 6,即可求解; (2)当�的取值变化,点�随之在�轴负半轴上运动时,过点�作�� ⊥ �轴,垂足为�,证明 △ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得�� = �� = 6,根据三角形的面积公式即可求解; (3)过点�作�� ⊥ �轴于�,过点�作�� ⊥ ��于�,证明△ ��� ≌△ ���,可分两种情况讨论, 由全等三角形的性质得�� = ��,�� = ��,进而可得点�的坐标,然后将点�的坐标代入 3 6 2 y x   求得�的值,即可求解. 【详解】(1)解:①当� =− 3 4 时,直线��解析式为� =− 3 4 � + 6, 令� = 0,则� = 6,即�(0,6), 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 令� = 0,则有 0 =− 3 4 � + 6, 解得� = 8,即 (8,0)A , �� = 8,�� = 6. 故答案为:8,6; ②过点�作EF y 轴,垂足为�,如下图, ∵△ ���为等腰直角三角形,∠��� = 90°, ∴�� = ��,∠��� + ∠��� = 90°, 又∵∠��� + ∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, ∠��� = ∠��� = 90° ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ���(AAS), ∴�� = �� = 8,�� = �� = 6, ∴�� = �� + �� = 8 + 6 = 14, ∴�(6,14). 故答案为:(6,14); (2)当�的取值变化时,△���的面积是定值,�△��� = 18,理由如下: 如下图,过点�作�� ⊥ �轴,垂足为�, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 则∠��� = ∠��� = 90°, ∵�� ⊥ ��,�� = ��, ∴∠��� + ∠��� = 90°, 又∵∠��� + ∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, ∠��� = ∠��� = 90° ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ���(AAS), ∴�� = �� = 6, ∴�△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 × 6 × 6 = 18, ∴当�的取值变化时,△���的面积是定值,�△��� = 18; (3)当� < 10时,如下图,过点�作�� ⊥ �轴于�,过点�作�� ⊥ ��于�, ∴∠��� = ∠��� = 90°, ∵∠2 + ∠3 = 90°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 又∵∠��� = 90°, ∴ 1 2 90   , ∴∠1 = ∠3, 又∵�� = ��,∠��� = ∠��� = 90°, ∴△ ��� ≌△ ���(AAS). ∴�� = �� = 4,�� = �� = 10 − �, ∴�� = 14 − �, ∴点�的坐标为(4 + �, � − 14), ∵ 3 2 k   , ∴直线 3 6 2 y x   ,将点�的坐标代入, 可得,� − 14 =− 3 2 × (4 + �) + 6, 解得� = 28 5 , ∴4 + � = 48 5 ,� − 14 =− 42 5 , ∴点�的坐标为( 48 5 , − 42 5 ); 当� > 10时,过点�作�� ⊥ �轴于�,过点�作�� ⊥ ��于�, ∴∠��� = ∠��� = 90°, ∵∠1 + ∠3 = 90°, ∵∠��� = 90°, ∴ 1 2 90   , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 15 ∴∠2 = ∠3, 又∵�� = ��,∠��� = ∠��� = 90°, ∴△ ��� ≌△ ���(AAS), ∴�� = �� = 4,�� = �� = � − 10, ∴�� = � − 6, ∴点�的坐标为(� − 4,6 − �), ∵ 3 2 k   , ∴直线 3 6 2 y x   ,将点�的坐标代入, 可得 6 − � =− 3 2 (� − 4) + 6, 解得� = 12, ∴� − 4 = 8,6 − � =− 6, ∴点�的坐标为(8, − 6). 综上所述,点�的坐标为( 48 5 , − 42 5 )或(8, − 6). 【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角 三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识,熟练掌握一次函数的图像及性质,正确作出 辅助线构造全等三角形解题是关键. 7.(1)� = 3� − 6 (2)① 4 , 2 3      或 8 3 , 2 ;②存在, 3,3 或 18 7 , 12 7 【分析】(1)先求出点 D坐标,再利用待定系数法求解; (2)①当�△���: �△��� = 1: 2时,�� = 1 3 ��,当�△���: �△��� = 1: 2时,�� = 2 3 ��,结合点 D和点 E的坐标,即可求解;②分“点 D落在 x正半轴上”和“点 D落在 y轴的负半轴上”两 种情况,根据轴对称的性质分别求解即可. 【详解】(1)解:∵点 D的横坐标为 4,点 D在一次函数� = 3 4 � + 3的图象上, 将� = 4代入� = 3 4 � + 3,得� = 3 4 × 4+ 3 = 6, ∴ � 4,6 , 将� 2,0 ,� 4,6 代入� = �� + �, 得: 2� + � = 0 4� + � = 6, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 16 解得 � = 3 � =− 6, ∴直线��的函数表达式为� = 3� − 6, 故答案为:� = 3� − 6; (2)解:①将� = 0代入� = 3� − 6,得� =− 6, ∴ � 0, − 6 , ��将△���的面积分为 1: 2两部分时,有两种情况: 当�△���: �△��� = 1: 2时,�△���: �△��� = 1: 3, ∴ �� = 1 3 ��, ∵ � 4,6 ,� 0, − 6 , ∴点 Q的横坐标为 0 + 1 3 × 4 − 0 = 4 3 ,纵坐标为−6+ 1 3 × 6+ 6 =− 2; ∴ � 4 3 , − 2 ; 当�△���: �△��� = 1: 2时,�△���: �△��� = 2: 3, ∴ �� = 2 3 ��, ∵ � 4,6 ,� 0, − 6 , ∴点 Q的横坐标为 0 + 2 3 × 4 − 0 = 8 3 ,纵坐标为−6+ 2 3 × 6+ 6 = 2; ∴ � 8 3 , 2 , 综上可知,点 Q的坐标为 4 3 , − 2 或 8 3 , 2 ; ②存在,点 Q的坐标为 3,3 或 18 7 , 12 7 .求解过程如下: 一次函数� = 3 4 � + 3与 y轴的交点坐标为 0,3 ,即� 0,3 , 当点 D落在 x正半轴上(记为点�1)时,如图,作�� ⊥ �轴于点 H,连接��1, ∵ � 0,3 ,� 4,6 , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 17 ∴ �� = 3,�� = 6, ∴ �� = �� = 3, 由轴对称的性质得�� = ��1,∠��� = ∠�1��, 在 Rt △ ���和 Rt △ ���1中, �� = ��1 �� = ��, ∴ Rt △ ��� ≌ Rt △ ���1 HL , ∴ ∠��� = ∠�1��, ∴ ∠��� + ∠��� = ∠�1�� + ∠�1��, ∴ ∠��� = ∠��� = 90°, ∴ �� ∥ �轴, ∴点 Q的纵坐标为 3, 将 3y  代入� = 3� − 6,得 3 = 3� − 6,解得� = 3, ∴点 Q的坐标为 3,3 ; 当点 D落在 y轴的负半轴上(记作�2)时,如图,过点 Q作�� ⊥ ��于 M,�� ⊥ ��于 N, 由轴对称的性质得�� = ��2,∠��� = ∠�2��, ∴ ��平分∠���, ∴ �� = ��, ∵ � 0,3 ,� 4,6 ,� 0, − 6 , ∴ �� = 3 − −6 = 9,�� = 4,�� = 4 − 0 2 + 6 − 3 2 = 5, �△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 �� ⋅ �� + 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 �� + �� ⋅ ��, 1 2 × 9 × 4 = 1 2 × 5+ 9 ⋅ ��, 解得�� = 18 7 , ∴点 Q的横坐标为 18 7 . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 18 将 18 7 x  代入� = 3� − 6,得� = 3 × 18 7 − 6 = 12 7 , ∴点 Q的坐标为 18 7 , 12 7 , 综上可知,点 Q的坐标为 3,3 或 18 7 , 12 7 . 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、轴对称的性质、勾 股定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用 分类讨论的思想思考问题. 8.(1)� =− 1 2 � + 4 (2) 0, 2 3 (3)① 0,3 − 41 ② 3 5+1 2 , 0 或 5,0 【分析】(1)先求出点 C的坐标,然后用待定系数法求出一次函数解析式即可; (2)设点 M的坐标 0,� ,先求出点� 8,0 ,得出�△���= 1 2 × 8 × 3 = 12,求出�△��� = 5 6 × 12 = 10,列出关于 m的方程,1 2 × (4 −�) × 8 − 2 = 10,解方程即可; (3)①过点 C作�� ⊥ �轴于点 E,求出�� = 41,根据折叠得出�� = �� = 3 5,根据勾股 定理求出��,即可得出答案; ②分两种情况,∠��� = 90°或∠��� = 90°,分别画出图形,利用勾股定理,求出点 N的坐标 即可. 【详解】(1)解:∵点 C的横坐标为 2, ∴把� = 2代入� = 3 2 �得: 3y  , ∴� 2,3 , 把� 0,4 ,� 2,3 代入� = �� + �得: � = 4 2� + � = 3, 解得: � =− 1 2 � = 4 , ∴一次函数表达式为� =− 1 2 � + 4; (2)解:设点 M的坐标 0,� , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 19 把� = 0代入� =− 1 2 � + 4得:0 =− 1 2 � + 4, 解得:� = 8, ∴� 8,0 , ∴�△���= 1 2 × 8 × 3 = 12, ∴�△��� = 5 6 × 12 = 10, ∵�△��� = �△��� − �△��� = 1 2 × (4 −�) × 8 − 2 = 5 6 × 12, ∴ 1 2 × (4 − �) × 8 − 2 = 10 解得;� = 2 3 , ∴点 M的坐标 0, 2 3 . (3)解:①过点 C作�� ⊥ �轴于点 G,如图所示: ∵� 2,3 ,� 8,0 , ∴�� = 8 − 2 2 + 3 − 0 2 = 3 5, 根据折叠可知,�� = �� = 3 5, ∵�� = 2,�� = 3, ∴�� = ��2 − ��2 = 3 5 2 − 22 = 41, ∴�� = 41 − 3, ∴� 0,3 − 41 ; ②当∠��� = 90°时,过点 C作�� ⊥ �轴于点 M,并延长CM,过点 D作�� ⊥ ��于点 F,如图 所示: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 20 设点� �, 0 ,则�� = 8 − �, 根据折叠可得:�� = �� = 3 5,�� = �� = 8 − �, ∵∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°, ∴四边形����为矩形, ∴�� = �� = 8 − �,�� = �� = � − 2, ∴�� = ��+�� = 3 + 8 − � = 11 − �, 在 Rt △ ���中根据勾股定理得:��2 = ��2 + ��2, 即 3 5 2 = 11 − � 2 + � − 2 2, 解得:� = 5或 8n  (舍去), ∴此时点�的坐标为 5,0 ; 当∠��� = 90°时,如图所示: 设点� �, 0 ,则�� = 8 − �, 根据折叠可得:�� = �� = 3 5,�� = �� = 8 − �, ∵∠��� = 90°, ∴CD x 轴, ∴�� = 3,�� = 2, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 21 ∴�� = 3 5 − 3,�� = � − 2, 在 Rt △ ���中根据勾股定理得:��2 = ��2 + ��2, 即 8 − � 2 = � − 2 2 + 3 5 − 3 2 , 解得:� = 3 5+1 2 , ∴此时点 N的坐标为: 3 5+1 2 , 0 ; 综上分析可知,点 N的坐标为: 3 5+1 2 , 0 或 5,0 . 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用,勾股定理,折叠的性质,三角形面积的计算, 解题的关键是根据题意作出相应的图形,数形结合,并注意分类讨论. 9.(1)直线��的函数表达式为�1 = 3� − 6,点�坐标为 0,4 . (2)① �+6 3 .②�四边形�1�1�1�1 = �1�1 ⋅ �1�1 = 360 49或 45;③点�的坐标为 6, − 2 或 2, − 6 或 −4,0 . 【分析】(1)用待定系数法求一次函数解析式,将点� 2,0 ,� 0, − 6 代入直线 1y ax b= + 中, 即可求得解析式,再结合 2�� = 3��,即可求得点�. (2)①利用平移的性质和矩形的性质,得出�1�1 = �� = �,在利用 1H 在直线�1上求得 1H 的 横坐标,再结合平移的性质和矩形的性质,得到�� = �1�1,即可解题. ②1)若�1在点�下方,设 2y cx d  ,把�(2,0),�(0,4)代入,得直线��的函数表达式,将 6( , ) 12 mP m 代入� =− 2� + 4,求出�的值,得到 1 1 18 7 E F m  , 1 1 6 20 3 7 mE H   后即可求出四边形的面积;2) 若�1在点�上方,求出 6( , ) 6 mP m ,再把 6( , ) 6 mP m 代入� =− 2� + 4,解得� = 9,得到 1 1 9E F  , 1 1 5E H  ,则�四边形�1�1�1�1 = �1�1 ⋅ �1�1 = 45; ③本题通过点�、�2求得直线��2,可表示出点�,利用△���与△ ���全等,哪些对应的角 相等,对应的边相等,根据对应的边等,建立等式,即可解题.. 【详解】(1)解:将点� 2,0 ,� 0, − 6 代入直线��的函数表达式 1y ax b= + 中, 有 2� + � = 0 � =− 6 ,解得 � = 3 � =− 6, ∴直线��的函数表达式为�1 = 3� − 6. ∵ 2�� = 3��,且�� = 6, ∴ 2 × 6 = 3��,解得�� = 4, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 22 ∴点�坐标为 0,4 . (2)①解:∵四边形EFGH 为长方形, ∴ �� = �� = �, 由平移的性质可知,�1�1 = �� = �, 当�1 = �时,有 3� − 6 = �,解得� = �+6 3 , ∴ �1�1 = �+6 3 , 由平移的性质可知,�� = �1�1 = �+6 3 , 故答案为: �+6 3 . ②当点�的坐标为 (0, 4) 时,点�在点 1H 的右侧,此时 1 1PH PE ,与条件��1 = 3��1矛盾,可得 点�的坐标为(0,4), 设 2y cx d  ,把�(2,0),�(0,4)代入, 得 2� + � = 0 � = 4 ,解得 � =− 2 � = 4 , 得直线��的函数表达式为�2 =− 2� + 4, 1)若�1在点�下方, ∵ 1 1 6 3 mE H  且��1 = 3��1, ∴ 1 6 12 mPE  , ∴ 6 ,12 mP m     , 把 6 , 12 mP m     代入� =− 2� + 4, 得 62 4 12 m m    ,解得� = 18 7 , ∴ 1 1 18 7 E F m  , 1 1 6 20 3 7 mE H   , �四边形�1�1�1�1 = �1�1 ⋅ �1�1 = 360 49; 2)若�1在点�上方, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 23 ∵ 1 1 6 3 mE H  且且��1 = 3��1, 1 1 12E H PE  , ∴ 1 6 6 mPE  , ∴ 6 ,6 mP m     把 6 , 6 mP m     代入� =− 2� + 4,解得� = 9, 1 1 9E F  , 1 1 5E H  , �四边形�1�1�1�1 = �1�1 ⋅ �1�1 = 45; 综上所述,长方形�1�1�1�1的面积为 360 49 或 45; ③解:∵ �1�2 = 2� 3 , ∴ �1�2 = �1�1 + �1�2 = � + 2, ∴ �2 �+ 2,� , 设直线��2的解析式为�3 = �1� + �2, 把� 2,0 ,�2 �+ 2,� 代入�3 = �1� + �2中, 有 2�1 + �2 = 0 � + 2 �1 + �2 = � ,解得 �1 = 1 �2 =− 2 , ∴直线��2的解析式为�3 = � − 2, 当� = 0时,�3 = 0 − 2 =− 2,  0, 2M  , ∴ �� = 6,�� = ��2 + ��2 = 22 + 42 = 2 5, ∵ �� = 2,�� = 2,∠��� = 90°, ∴ ∠��� = ∠��� = 45°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 24 ∵平面内存在点�,使得△ ���与△ ���全等, 当点 1N 使得△ ���1与△ ���全等时, 有∠��� = ∠���1 = 45°,�� = ��1, ∴ ∠���1 = 90°,即��1 ⊥ ��, ∵ �� = 2,�� = 6, ∴ ��1 = 6, ∴ �1 6, − 2 , 当点�2使得△���2与△���全等时, 有∠��� = ∠���2 = 45°,��2 = �� = 6, ∵ ∠��� = 45°, ∴ ∠���2 = ∠��� + ∠���2 = 90°,即��2 ⊥ ��, ∵ �� = 2, ∴ �2 2, − 6 , 当点�3使得△���3与△���全等时, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 25 有∠��� = ∠���3 = 45°,��3 = �� = 6, ∵ ∠��� = 45° = ∠���3, ∴ �、�、�3同在�轴上, ∵ �� = 2, ∴ �3� = 6 − 2 = 4 ∴ �3 −4,0 . 综上所述,点�的坐标为 6, − 2 或 2, − 6 或 −4,0 . 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质、平移的性质和全等三角形的 性质和判定综合,解题的关键在于结合图形和图形的变换过程,建立线段之间的等量关系,即 可解题. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 9 一次函数动点及存在性问题 1.如图,在平面直角坐标系中,过点 C(0,6)的直线 AC与直线 OA相交于点 A(4,2). (1)求直线 AC的表达式; (2)求△OAC的面积; (3)动点M在线段 OA和射线 AC上运动,是否存在点M,使△OMC的面积是△OAC的面 积的 1 2 ?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,直线 l1:y=x+3与过点 A(3,0)的直线 l2交于点 C(1,m),与 x轴交于点 B. (1)求直线 l2的解析式; (2)点M在直线 l1上,MN∥y轴,交直线 l2于点 N,若MN=AB,求点M的坐标. (3)在 x轴上是否存在点 P,使以 B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接 写出点 P的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,在平面直角坐标系中,直线 1l 交 x轴于点 A,交 y轴于点 B,点 A的坐标为 3,0 ,直 线 2 : 3l y x 与直线 1l 相交于点 C,点 C的横坐标为 1. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 (1)求直线 1l 的函数表达式; (2)在 x轴上是否存在一点 E,使得△���是以��为腰的等腰三角形?若存在,求出符合条件的 点 E的坐标;若不存在,说明理由. 4.点 P、点�'和点 Q为平面直角坐标系中的三个点,给出如下定义:若�� = �'�,且∠���' = 90°, 则称�'为点 P关于点 Q的等垂点. (1)已知点 Q的坐标为 4,0 , ①如下图所示,若点 P为原点,直接写出 P关于 Q的等垂点�'的坐标________; ②如下图所示,P为 y轴上一点,且点 P关于点 Q的等垂点�'恰好在一次函数� = 2� + 3的图 象上,求点�'的坐标; (2)如下图所示,若点 Q的坐标为 1, − 2 ,P为直线� = 2上一点,P关于点 Q的等垂点�'位 于 y轴右侧,连接��',��',请问OP QP  是否有最小值?若有,请求出最小值;若无,请说 明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 5.【模型建立】 (1)如图 1,等腰 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线 ED经过点 C,过点 A作 AD⊥ED 于点 D,过点 B作 BE⊥ED于点 E,求证:△BEC≌△CDA; 【模型应用】 (2)如图 2,已知直线 l1:y= 3 2 x+3与 x轴交于点 A,与 y轴交于点 B,将直线 l1绕点 A逆时 针旋转 45°至直线 l2;求直线 l2的函数表达式; (3)如图 3,平面直角坐标系内有一点 B(3,﹣4),过点 B作 BA⊥x轴于点 A、BC⊥y轴 于点 C,点 P是线段 AB上的动点,点 D是直线 y=﹣2x+1上的动点且在第四象限内.试探究 △CPD能否成为等腰直角三角形?若能,求出点 D的坐标,若不能,请说明理由. 6.【探索发现】如图 1,等腰直角三角形���中,∠��� = 90°,�� = ��,直线��经过点�, 过�作�� ⊥ ��于点�.过�作�� ⊥ ��于点�,则△ ��� ≌△ ���,我们称这种全等模型为“� 型全等”.(不需要证明) 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 【迁移应用】已知:直线� = �� + 6 � ≠ 0 的图像与�轴、�轴分别交于�、�两点. (1)如图 2,当� =− 3 4 时,在第一象限构造等腰直角△ ���,∠��� = 90°; ①直接写出�� =______,�� =______; ②点�的坐标______; (2)如图 3,当�的取值变化,点�随之在�轴负半轴上运动时,在�轴左侧过点�作�� ⊥ ��,并 且�� = ��,连接��,问△���的面积是否发生变化?若不变,求出△���面积;若变,请 说明理由; (3)【拓展应用】如图 4,当 3 2 k   时,直线�:� =− 4与�轴交于点�,点� �, − 4 、�分别是 直线�和直线��上的动点,点�在�轴上的坐标为 10,0 ,当△ ���是以CQ为斜边的等腰直角三 角形时,点�的坐标是______(直接写出答案即可). 7.已知:如图,一次函数� = 3 4 � + 3的图象分别与 x轴、y轴相交于点 A、B,且与经过点� 2,0 的一次函数� = �� + �的图象相交于点 D.点 D的横坐标为 4,直线��与�轴相交于点 E. (1)直线��的函数表达式为:__________;(直接写出结果) (2)点 Q为线段��上的一个动点,连接��. ①若直线��将△���的面积分为 1: 2两部分,试求点 Q的坐标; ②点 Q是否存在某个位置,将△ ���沿着直线��翻折,使得点 D恰好落在直线��下方的坐标 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 轴上?若存在,请直接写出点 Q的坐标;若不存在,请说明理由. 8.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,一次函数� = �� + �的图象与 y轴交于点� 0,4 , 与 x轴交于点 B,与正比例函数� = 3 2 �交于点 C,点 C的横坐标为 2. (1)求一次函数� = �� + �的表达式; (2)如图 1,点 M为线段��上一点,若�△��� = 5 6 �△���,求点 M的坐标; (3)如图 2,点 N为线段��上一点,连接��,将△ ���沿直线��翻折得到△���(点 B的对 应点为点 D),��交 x轴于点 E. ①当点 D落在 y轴上时,请直接写出点 D的坐标; ②若△���为直角三角形,请直接写出点 N的坐标. 9.在平面直角坐标系中,点� 2,0 ,� 0, − 6 ,过点�,�的直线 1y ax b= + (�,�为常数,� ≠ 0).过 点�作直线�2交�轴于点�,且 2�� = 3��. 图 1 图 2 备用图 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 (1)求直线��的函数表达式和点�坐标; (2)如图 1,长方形EFGH 的一边��在�轴上,它的对边��在�轴上方,设��的长为�,长方形 EFGH 沿�轴向右移动得到长方形�1�1�1�1.当点�的对应点�1移动到�轴上时,顶点H的对应 点 1H 恰好落在直线�1上. ①请用含�的代数式表示��的长为______; ②若直线�1�1与直线�2交于点�,当��1 = 3��1时,求长方形�1�1�1�1的面积; ③长方形�1�1�1�1继续向右移动得到长方形�2�2�2�2,点�1的对应点为点�2,点 1H 的对应点 为点�2,当�1�2 = 2� 3 时,如图 2所示,连接�2�并延长交�轴于点�.在平面内存在点�,使 得△ ���与△ ���全等,求点�的坐标.

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专项9 一次函数动点及存在性问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
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专项9 一次函数动点及存在性问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
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