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1
专项 8 一次函数与几何综合
1.如图,直线 2 4y x 交 x轴于点 A,交 y轴于点 B,C为线段��(端点除外)上一动点,点
D与点 C关于 x轴对称,过点 C作 x轴的平行线交��的延长线于点 F,则线段��的最小值是
( )
A. 4 5
5
B.8 5
5
C. 2 5 D.4 5
2.如图①,四边形����中,��//��,∠��� = 90°,�从�点出发,以每秒 2个单位长度的
速度,按� → � → � → �的顺序在边上匀速运动,设�点的运动时间为�秒,△ ���的面积为�,
�关于�的函数图象如图②所示,当�运动到��中点时,△ ���的面积为 .
3.已知一次函数� =− 2� + 4的图象与�轴,�轴分别交于点�,�.以��为边在第一象限内作
三角形���,且∠��� = 90°,�� = ��,作��的中垂线�交直线��于点�,交�轴于点 G.设�
上有一点�,且点�与点�位于直线��的同侧,使得 2�△��� = �△���,则点�的坐标为 .
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2
4.如图,在平面直角坐标系中,△ ���各顶点分别为� −3,3 ,� −4, − 2 ,� −1, − 1 .
(1)在图中作△ �'�'�',使△ �'�'�'和△ ���关于 y轴对称;
(2)直接写出点 B关于 x轴对称的点的坐标______;
(3)在 x轴上存在一点 Q,使得�� + ��的值最小,�� + ��的最小值为______;请直接写出点
Q的坐标______.
5.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,定义点 A和点 B的关联值[�, �]如下:
若 O,A,B在一条直线上 �, � = 0;
若 O,A,B不在一条直线上 �, � = �△���.
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3
已知点 A坐标为 4,0 点 B坐标为 0,4 ,回答下列问题:
(1)[�, �] = ______;
(2)若[�, �] = 0,[�, �] = 1,则点 P坐标为_______ ;
(3)在图中画出所有满足[�, �] = [�, �]的点 P.
6.如图 1,已知△��� ≌△ ���, �� = ��, �� = ��,点�从点�出发,沿� → � → �的方向以
1cm/s的速度匀速运动到点�. 图 2是点�运动时△ ���的面积� cm2 随时间� � 变化的关系
图象.
(1)�� =__________;
(2)求�的值.
7.如图 1,在平面直角坐标系中,直线 1 :l y kx b � ≠ 0 经过点� 0,5 与直线�2: � =− �交于
点� −2, � ,与 x轴交于点 C.
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(1)求直线 1l 的函数表达式;
(2)如图 2,点 D为直线�2上的动点,过点 D作 y轴的平行线,交 1l 于点 E,交 x轴于点 F,连
接��.
①当�△��� = 2�△���时,请求出点 D的坐标;
②当△���是等腰三角形时,请直接写出满足条件的等腰三角形的腰长______.
8.如图,在平面直角坐标系中, (0, 2)A , (3,0)B ,过点�作直线� ∥ �轴,点�是直线�上的动点,
以��为边在��右上侧作等腰直角△ ���,使∠��� = 90°.
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(1)如图 1当点�落在点�时,则点�的坐标是________;
学生甲认为点�的坐标一定跟点�有关,于是进行了如下探究:
(2)如图 2,小聪同学画草图时,让点�落在�1、�2、�3不同的特殊位置时(�1在�轴上、�2�
与�轴平行、当�落在�轴上时对应点�3),画出了几个点对应的�1、 2Q 、�3三个不同的位置,
发现�1、 2Q 、�3在同一条直线上,请你根据学生甲的猜测及题目条件,求出点�所在直线的解
析式;
(3)在(2)中,虽然求出了点�所在直线的解析式,但是小明同学认为几个特殊点确定解析式
是一种猜测,当点�在�上运动时,所有的�点都在一条直线上吗?就解设了点�的坐标为 ( , )x y ,
希望用一般推理的方式求出�和�满足的关系式,请你帮助小明给出解答.
9.如图,直线� = �� − 1的图像与�轴、�轴分别交于�,�两点,且�� = 2��.
(1)求�点坐标和�值.
【问题探究】
(2)点�在直线� = �� − 1的图像上,当点�的横坐标是−2时,求△���的面积;
【问题发现】
(3)若点� �, � 是直线� = �� − 1图像上在第二象限内的一个动点,求△ ���的面积�与�的
函数关系式;
【问题拓展】
(4)①问题(3)中当�点运动到某位置时,△���的面积为1
4
,求此时�点坐标;
②在①成立的情况下,�轴上是否存在一点�,使△ ���是等腰三角形?若存在,请直接写出满
足条件的所有�点坐标;若不存在,请说明理由.
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10.先阅读下列材料,然后解决问题:
【阅读感悟】
在平面直角坐标系中,已知点� � − 2,� + 3 ,当 t的值发生改变时,点 Q的位置也会发生改
变,为了求点 Q运动所形成的图象的解析式,令点 Q的横坐标 x,纵坐标 y,得到了方程组
� − 2 = �
� + 3 = �消去 t,得� − � = 5,即� = � + 5,可以发现,点�随 t的变化而运动所形成的图象
的解析式是� = � + 5.
【尝试应用】
(1)观察下列四个点的坐标,不在函数� =− � + 4图象上的是( )
A.� 1,3 B.� �,� − 4 C.� 4 − �,� D.� 2�,4 − 2�
(2)求点� 3 − �,2� − 7 随 t的变化而运动所形成的图象的解析式;
【综合运用】
(3)如图,在平面直角坐标系中,点 P在一次函数� = 1
2
� + 4的图象上运动.已知点� 3,0
为定点,连接��,过点 A作直线 BA PA ,且�� = ��,求点 B随点 P的变化而运动所形成的
图象的解析式.
11.如图 1,在平面直角坐标系中,直线� =− � + 8的图象分别交�,�轴于�,�两点,直线� =
3
2
� + �的图象分别交�,�轴于�,�两点,且两条直线相交于点�,已知点�的坐标为 −2,0 .
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(1)� =______,点�的坐标为______;
(2)若点�为�轴正半轴上一点,且△ ���的面积为 20,请求出点�的坐标;
(3)如图 2,直线�过点�且垂直于�轴,点�是直线�上的一个动点,连接��,是否存在点�使得
2∠��� + ∠��� = 90°?若存在,请直接写出点�的坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图,在平面直角坐标系中,直线� = 3
2
� + 3与 x轴,y轴分别交于点 A,点 B,直线��
与 x轴交于点� 10,0 ,与 y轴交于点 D,与��交于点� 2, � .
(1)求直线��的函数表达式;
(2)点 P在线段��上(点 P不与点 A,点 C重合),过点 P作 x轴的垂线交直线 AB于点 M,
交直线��于点 N.设点 P的横坐标为 m,线段 MN的长度为 l.
①求 l与 m之间的函数表达式,并写出自变量 m的取值范围;
②连接��,当∠��� = 45°时,请直接写出 l的值.
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专项 8 一次函数与几何综合
答案解析
1.B
【分析】先根据两个三角形全等证明�� = ��,再说明当CO最小时��最小,然后根据三角形
的面积相等求出��即可.
【详解】如图所示,连接��交 x轴于点 G,作�� ⊥ �轴,交 x轴于点 E.
根据题意可知�� = �� = ��,CO DO .
∵∠��� = ∠���,∠��� = ∠��� = 90°,
∴△���≌△���,
∴�� = ��,
∴�� = 2�� = 2��.
当CO AB 时,CO最小,即��最小.
当� = 0时,� = 4;当� = 0时, 2x ,
∴点�( − 2,0),点 (0,4)B ,
∴�� = 2,�� = 4,
根据勾股定理,得�� = ��2 + ��2 = 2 5.
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ��,
即 2 × 4 = 2 5��,
解得�� = 4 5
5
,
则�� = 8 5
5
,
∴线段��的最小值是8 5
5
.
故选:B.
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2
【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点,全等三角形的性质和判定,勾股定理,
垂线段最短等,确定点 C的位置是解题的关键.
2.20
【分析】如图(见解析),先根据函数图象、三角形的面积得出�� + �� = 12,�� = 8,�� = 8,
2AB ,再根据梯形的中位线得出 PQ 的长,然后根据三角形的面积公式即可得.
【详解】由图象可知,�� + �� = 2 × 6 = 12,�� + �� + �� = 2 × 10 = 20
∴ �� = 20 − 12 = 8
由题意知,当点 P运动到点 C时,△ ���的面积 S取得最大值,最大值为 32
此时� = 1
2
�� ⋅ ��,即1
2
× 8�� = 32
解得�� = 8
由图象可知,当点 P运动到点 B时,△ ���的面积� = 8
此时 12
S AD AB ,即
1
2
× 8�� = 8
解得 2AB
如图,过点 P作�� ⊥ ��于点 Q
∵ ∠��� = 90°
∴ ��//��
又∵ ��//��
∴ ��//��//��
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3
当点�运动到��中点时,PQ 为梯形 ABCD 的中位线
∴ �� =
1
2 (�� + ��) =
1
2 × (2 + 8) = 5
则此时△ ���的面积为1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 8 × 5 = 20
故答案为:20.
【点睛】本题考查了函数图象、梯形的中位线等知识点,从函数图象正确获取信息是解题关键.
3.(1,7)
【分析】先求出�、�两点的坐标,根据�是��的中垂线,则点�(1,0),当� = 1时, 2 4 2y x ,
即点�(1,2),故可得出��的长;设 (1, )( 2)M a a ,求出△ ���的面积,由�△��� = �△��� + �△���,
得到 2�△��� = �△���,即可求解;
【详解】解:如图,
2 4,y x
(0,4), (2,0).A B
∵ �是��的中垂线,
∴点�(1,0),
当� = 1时,� =− 2� + 4 =− 2 + 4 = 2,即�(1,2),
2;GE
90 , ,ABC BA BC
2 2 2 22 4BA OB OA = 2 5
∴ �△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 2 5 2 5 10
设 (1, )( 2),M a a
∵ �△��� = 10,2�△��� = �△���
∴ �△��� = 5,
∵ �△��� = �△��� + �△���
1 15 ( 2) ( 2),
2 2
a a
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4
解得:� = 7,
(1,7).M
故答案为:(1,7).
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,涉及到三角形全等、中垂线的性质、勾
股定理的运用,正确作出辅助线是解题的关键.
4.(1)见解析
(2) −4,2
(3)3 2; −2,0
【分析】本题主要考查坐标与图形,熟练掌握关于坐标轴对称图形的画法,关于坐标轴对称的
两点坐标关系,两点之间线段最短和勾股定理是解题的关键.
(1)分别找出�、�、�关于 y轴时称的点,画出图形即可;
(2)根据 x轴对称的点的坐标写出答案即可;
(3)作点�关于 x轴对称的点的坐标�″,连接��″,�� + ��的值最小值为��″的长;设��″的
解析式为:� = �� + �,求出解析式,令� = 0,即可得到答案.
【详解】(1)解:分别找出�、�、�关于 y轴对称的点,画出图形即可;
(2)解:x轴对称的点的坐标横坐标不变,纵坐标变成相反数,
故点 B关于 x轴对称的点的坐标为 −4,2 ;
(3)解:作点�关于 x轴对称的点的坐标�″( − 1,1),连接��″,
故�� + ��的值最小值为��″的长,
��″ = 32 + 32 = 3 2,故�� + ��的最小值为 3 2,
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∵ � −4, − 2 ,�″( − 1,1),
设��″的解析式为:� = �� + �,
故
−2 =− 4� + �
1 =− � + � ,
解得
� = 1
� = 2,
∴ ��″的解析式为:� = � + 2,
令� = 0,故 2x ,
∴点 Q的坐标为 −2,0 .
5.(1)8
(2)
1
2
, 0 或 − 1
2
, 0
(3)一三象限角平分线或二四象限角平分线
【分析】本题考查坐标与图形及坐标系中三角形面积问题,
(1)根据题中的定义直接回答即可;
(2)由[�, �] = 0可得点 P在 x轴上,由[�, �] = 1 可得�△��� = 1,据此求出点 P的坐标;
(3)根据[�, �] = [�, �]可得点 P在一三象限的角平分线,二四象限的角平分线上,据此画出
图象即可.
【详解】(1)∵点 A坐标为 4,0 点 B坐标为 0,4 ,
∴[�, �] = �△��� =
1
2
× 4 × 4 = 8,
故答案为:8;
(2)∵[�, �] = 0,
∴点 P在 x轴上,
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∵[�, �] = 1
∴�△��� = 1,
设� �, 0 ,
∴
1
2
� × 4 = 1,
解得:� =± 1
2
,
∴P
1
2
, 0 或 − 1
2
, 0
故答案为:
1
2
, 0 或 − 1
2
, 0
(3)点 P在一三象限的角平分线,二四象限的角平分线上,作图如下:
理由:设点 P坐标为 �, � ,
那么 �, � = 2 � , �, � = 2 � ,
所以 � = � .
因此� = �或� =− �,
即为一三象限和二四象限的角平分线.
6.(1) 5
(2)
5
2
【分析】本题主要了动点问题的函数图象,菱形的性质,解题的关键是根据图象分析得出点 E
的位置于 x的关系.
(1)根据全等三角形的性质推出四边形����为菱形,则�� ∥ ��,进而得出当点 E在��上时,
点E到��的距离不变,由图2可知,当 0 < � < �时,y的值不变,即可得出�� = �,当� = � + 5
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时,点 E与点 B重合,即可得出�� = 5;
(2)过点 D作�� ⊥ ��于点 H,根据�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = �,求出�� = 2,根据勾股定理得出
2 2 1BH BD DH ,则�� = �� − �� = � − 1,再根据勾股定理得出 2 2 2CH DH CD ,列出
方程求解即可.
【详解】(1)解:∵△ ��� ≌△ ���, �� = ��, �� = ��,
∴�� = �� = �� = ��,
∴四边形����为菱形,
∴�� ∥ ��,
∴当点 E在��上时,点 E到��的距离不变,
由图 2可知,当 0 < � < �时,y的值不变,
∵点 E的速度为 1cm/s,
∴�� = �,
∵当� < � < � + 5时,y随 x的增大而减小,
∴当� = � + 5时,点 E与点 B重合,
∴�� = 5,
故答案为: 5;
(2)解:过点 D作�� ⊥ ��于点 H,
∵BC AD a ,�△��� = �,
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = �,即1
2
� ⋅ �� = �,
解得:�� = 2,
在 Rt △ ���中,根据勾股定理可得: 2 2 1BH BD DH ,
∴�� = �� − �� = � − 1,
在 Rt △ ���中,根据勾股定理可得: 2 2 2CH DH CD ,
即 � − 1 2 + 22 = �2,
解得:� = 5
2
.
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7.(1)� = 3
2
� + 5
(2)① − 5
2
, 5
2
或 − 5
3
, 5
3
;②
10
3
或 10 2或40+50 2
17
或
50 2−40
17
【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题,掌握一次函数的性质,合理设点的坐标是解题
关键.
(1)根据�2: � =− �求出点�的坐标即可求解;
(2)①由�△��� = 2�△���得�� = 2��,设� �, − � 可得� �,
3
2
�+ 5 ,� �, 0 ,即可求解;
②分类讨论当��2 = ��2时、当��2 = ��2时、当 2 2OE OD 时:根据两点间的距离公式建立方
程即可求解.
【详解】(1)解:当 2x 时,� =− � = 2,
∴� −2,2
将� −2,2 、� 0,5 代入 1 :l y kx b 得:
−2� + � = 2
� = 5 ,
解得:
� = 3
2
� = 5
,
∴直线 1l 的函数表达式为:� =
3
2
� + 5
(2)解:①∵�△��� = 2����,
∴�� = 2��
设� �, − �
∵过点 D作 y轴的平行线,交 1l 于点 E,交 x轴于点 F,
∴� �, 3
2
�+ 5 ,� �, 0
∴�� = −� = � ,�� = 3
2
�+ 5 + � = 5
2
�+ 5
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∴ � = 2 5
2
�+ 5
解得:� =− 5
2
或� =− 5
3
∴点 D的坐标为 − 5
2
, 5
2
或 − 5
3
, 5
3
②由①可得:��2 = 5
2
�+ 5
2
,
��2 = �2 +�2, ��2 = �2 +
3
2
� + 5
2
当��2 = ��2时: 5
2
�+ 5
2
= �2 +�2,
解得:� = −50+20 2
17
或� = −50−20 2
17
,
此时等腰三角形的腰长为:DE DO 40+50 2
17
或
50 2−40
17
当��2 = ��2时: 5
2
�+ 5
2
= �2 + 3
2
�+ 5
2
,
解得:� =− 10
3
或� = 0(舍去),
此时等腰三角形的腰长为:ED EO
10
3
当 2 2OE OD 时:�2 +�2 = �2 + 3
2
�+ 5
2
,
解得: 10m 或� =− 2(舍去),
此时等腰三角形的腰长为:�� = �� = 10 2
故答案为:
10
3
或 10 2或40+50 2
17
或
50 2−40
17
8.(1) 5,3
(2)点�所在直线的解析式为� =− � + 8;
(3)见解析
【分析】本题主要考查平面直角坐标系和全等三角形的结合,作出辅助线利用线段相等去求点
的坐标和直线的解析式是解题的关键.
(1)作�� ⊥ �于点�,证明△ ��� ≌△ ���,推出�� = �� = 2,�� = �� = 3,据此即可求
解;
(2)求得点 2Q 的坐标是 3,5 ,由(1)知点�1的坐标是 5,3 ,利用待定系数法即可求解;
(3)作�� ⊥ ��于�,�� ⊥ ��于�,证明△��� ≌△ ���,利用全等三角形的性质即可求
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解.
【详解】(1)解:作�� ⊥ �于点�,
∵ (0, 2)A , (3,0)B ,
∴�� = 2,�� = 3,
∵�� = ��,∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° −∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ���,
∴�� = �� = 2,�� = �� = 3,
∴点�的坐标是 5,3 ,
故答案为: 5,3 ;
(2)解:当点�在于直线�上时,如图,
�2�2 = ��2 = �� = 3,
∴点 2Q 的坐标是 3,5 ,
由(1)知点�1的坐标是 5,3 ,
设点�所在直线的解析式为� = �� + �,
则
5� + � = 3
3� + � = 5,解得
� =− 1
� = 8 ,
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∴点�所在直线的解析式为� =− � + 8;
(3)解:如图,作�� ⊥ ��于�,�� ⊥ ��于�,
∵∠��� = 90°,
∴四边形����是矩形,
∵ �� = ��,∠��� = 90°,
∴∠��� + ∠��� = 90°,∠��� + ∠��� = 90°,
APM PQN ,
在△ ���和△���中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���,
∴ �� = ��,�� = ��,
∵点�的坐标为 ( , )x y ,
∴�� = �,�� = � − 3,�� = � − �� = � − �� = � − 3,�� = 2 − �� = 2 − �� = 2 − � −
3 ,
∵�� = ��,
∴2 − � − 3 = � − 3,
整理得� =− � + 8.
9.(1)�点坐标为( − 1
2
, 0),� =− 2;(2)△���的面积为3
4
;(3)� =− 1
2
� − 1
4
;(4)①�
点坐标为 −1,1 时,△ ���的面积为1
4
;②存在一点�,使△ ���是等腰三角形,满足条件的所
有�点坐标为 −1,0 或 −2,0 或 2, 0 或 − 2, 0 ,理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用,涉及三角形的面积,等腰三角形的性质,解题的关键是
分类讨论.
(1)由� = �� − 1与�轴相交于点�,可得 0� = 1,根据�� = 2��,求出�� = 1
2
,即可求出�
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点坐标,将�点坐标代入� = �� − 1,即可求出�值;
(2)求出� −2,3 ,根据�△��� =
1
2
��· �� 即可求解;
(3)由� = 1
2
��· �� =
1
2
× 1
2
× −2� − 1 即可求解;
(4)①当� = 1
4
时,
1
4
=− 1
2
� − 1
4
,求出� =− 1,再将� =− 1代入� =− 2� − 1中即可求解;②
设� �, 0 ,则��2 = �+ 1 2 + 1,��2 = �2,��2 = 2,当 AP OP 时, �+ 1 2 + 1 = �2;
当�� = ��时, �+ 1 2 + 1 = 2;当OP OA 时,�2 = 2;分别解方程即可求解.
【详解】(1)∵ � = �� − 1与�轴相交于点�,
∴ �� = 1,
∵ �� = 2��,
∴ �� = 1
2
,
∴ �点坐标为( − 1
2
, 0),
把�点坐标( − 1
2
, 0)代入� = �� − 1,
得,� =− 2;
(2)由(1)知� =− 2� − 1,
把 2x 代入� =− 2� − 1 得� =− 2 × −2 − 1 = 3,
∴ � −2,3 ,
�△��� =
1
2
��· �� =
1
2
× 1
2
× 3 = 3
4
;
(3)∵ � = 1
2
��· �� =
1
2
× 1
2
× −2� − 1 ,
∴ � =− 1
2
� − 1
4
;
(4)①当� = 1
4
时,
1
4
=− 1
2
� − 1
4
,
解得� =− 1,则� =− 2� − 1 =− 2 × −1 − 1 = 1,
∴ �点坐标为 −1,1 时,△ ���的面积为1
4
;
②存在一点�,使△ ���是等腰三角形,理由如下:
设� �, 0 ,
∴ ��2 = � + 1 2 + 1,��2 = �2,��2 = 2,
当 AP OP 时, �+ 1 2 + 1 = �2,
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13
解得:� =− 1,
∴ � −1,0 ;
当�� = ��时, �+ 1 2 + 1 = 2,
解得:� = 0(不合题意,舍去)或� =− 2,
∴ � −2,0 ;
当OP OA 时,�2 = 2,
解得:� = 2或� =− 2,
∴ � 2, 0 或� − 2, 0 ;
综上所述,�点坐标为 −1,0 或 −2,0 或 2, 0 或 − 2, 0 .
10.B;� =− 2� − 1;� =− 2� + 17或� =− 2� − 5
【分析】(1)将点代入函数解析式,即可得到答案;
(2)令
� = 3 − �
� = 2� − 7,消去�即可得到答案;
(3)当点 B在第一象限时,过点 P作PE x 轴于点 E,过点 B作�� ⊥ �轴于点 D,证明△ ��� ≌△
���,设�(�, 1
2
� + 4),将��、��用含�的式子表示,设�(�, �),得到
� = 1
2
� + 7
� = 3 − �
,即可得到答
案.当点 B在第三象限时,同理可求得点 B的坐标,进而即可求得答案.
【详解】(1)解:将� 1,3 代入函数� =− � + 4,
∴ 3 =− 1 + 4,成立,故� 1,3 在函数� =− � + 4图象上,选项 A不符合题意;
将� �, � − 4 代入函数� =− � + 4,
∴ � − 4 =− � + 4,不成立,故� �, � − 4 不在函数� =− � + 4 图象上,选项 B符合题意;
将� 4 − �, � 代入函数� =− � + 4,
∴ � =− (4 − �) + 4,成立,故� 4 − �, � 在函数� =− � + 4图象上,选项 C不符合题意;
将� 2�, 4 − 2� 代入函数� =− � + 4,
∴ 4 − 2� =− 2� + 4,成立,故� 2�, 4 − 2� 在函数� =− � + 4 图象上,选项 D不符合题意;
故选:B.
(2)令
� = 3 − �
� = 2� − 7,
消去�得� = 2(3 − �) − 7 =− 2� − 1,
故解析式为� =− 2� − 1;
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14
(3)设�(�, 1
2
� + 4),
如图 1,当点 B在第一象限时,过点 P作PE x 轴于点 E,过点 B作�� ⊥ �轴于点 D,
∵ �� = ��,BA PA ,
∴△ ���为等腰直角三角形,
∴ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� + ∠��� = 90°,
∵ ∠��� + ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = ∠��� = 90°,PA AB ,
∴△ ��� ≌△ ���(���),
易知 ( ,0)E t ,
∴ �� = 3 − �,�� = 1
2
� + 4,
∴ �� = �� = 1
2
� + 4,
∴ �� = �� + �� = 3 + 1
2
� + 4 = 1
2
� + 7,
�� = �� = 3 − �,
设�(�, �),
∴ � =
1
2
� + 7
� = 3 − �
,
消去�得� =− 2� + 17;
当点 B在第三象限时,过点 A作直线� ⊥ �轴于点 A,过点 P作�� ⊥ �于点 G,过点 B作�� ⊥ �
于点 H,设��与 y轴交于点 M,
同理可得�� = �� = 1
2
� + 4,�� = 1
2
� + 4 − 3 = 1
2
� + 1,
�� = �� = 3 − �,
设�(�, �),
∴ � =−
1
2
� − 1
� = � − 3
,
消去�得� =− 2� − 5;
综上所述,点 B随点 P的变化而运动所形成的图象的解析式为� =− 2� + 17或� =− 2� − 5.
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【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合题,用待定系数法求一次函数解析式,一次函
数的图象与性质,全等三角形的判定与性质,添加 K型全等图形的辅助线是解答本题的关键.
11.(1)3, 2,6
(2) 0,13
(3) −2, − 2 13 或 −2,12 + 2 13
【分析】本题考查的是一次函数综合运用,涉及到一次函数与坐标轴的交点问题、等腰三角形
的性质,勾股定理的运用、面积的计算等,注意分类讨论求解,避免遗漏.
(1)将点�的坐标为 −2,0 代入� = 3
2
� + �即可求出 m的值,联立两条直线解析式,即可求出
点�的坐标;
(2)先求出点 D的坐标,设� 0, � ,根据�△��� =
1
2
�� ⋅ �� + �� = 20,即可求解;
(3)过点 E作�� ⊥ �,垂足为 M,由 2∠��� + ∠��� = 90°,得到 2∠��� = ∠1,分两种情况
讨论:当��1 = ��时,当��2 = ��1时,分别求解即可.
【详解】(1)解:将点�的坐标为 −2,0 代入� = 3
2
� + �,得 0 = 3
2
× −2 +�,
解得:� = 3,
联立两条直线解析式得
� =− � + 8
� = 3
2
� + 3,
解得:
� = 2
� = 6,
∴ � 2,6 ,
故答案为:3, 2,6 ;
(2)解:令� = 0,则� = 3
2
× 0+ 3 = 3,
∴ � 0,3 ,
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设� 0, � ,
∴ �� = 3 − � ,
�△��� =
1
2
�� ⋅ �� + �� = 20,
∴ 1
2
× 3 − � × 2 × 2 = 20,
∴ 3 − � = 10,
解得:� =− 7或� = 13,
∵点�为�轴正半轴上一点,
∴� = 13,
∴点�的坐标为 0,13 ;
(3)解:存在,点 F的坐标为 −2, − 2 13 或 −2,12 + 2 13 ,
如图,过点 E作�� ⊥ �,垂足为 M,
∵ � ⊥ �轴,
90ACF ,
∵ 2∠��� + ∠��� = 90°,
∴ 2∠��� = 90° −∠��� = ∠1,
当��1 = ��时,∠��1� = ∠���1,则∠1 = ∠��1� + ∠���1 = 2∠��1�,
∵ � −2,6 ,
∴ �� = 2 − −2 = 4,�� = 6,
∴ ��1 = �� = ��2 +��2 = 42 + 62 = 2 13,
�1 −2, − 2 13 ,
当��2 = ��1时,∠��1� = ∠��2�,则∠1 = 2∠��1� = 2∠��2�,
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∴ ��1 = ��2 = 6 − −2 13 = 6 + 2 13,
∴ ��2 = �� +��2 = 6 + 6 + 2 13 = 12 + 2 13,
�2 −2,12 + 2 13 ,
综上,点 F的坐标为 −2, − 2 13 或 −2,12 + 2 13 .
12.(1)� =− 3
4
� + 15
2
(2)①当−2 < � ≤ 2时, 9 9
4 2
L m ,当 2 < � < 10时,� = 9
4
�− 9
2
;
②
63
20
【分析】(1)将点� 2, � 代入直线��的解析式� = 3
2
� + 3,求出 a的值,得点 E的坐标,再
利用待定系数法即可求得直线��的函数表达式;
(2)①设点 P的横坐标为 m,则� �, 3
2
�+ 3 ,� �, − 3
4
�+ 15
2
,即可得 l与 m之间的函数
表达式,由点 P在线段��上(点 P不与点 A,点 C重合),可写出自变量 m的取值范围;过点
P作�� ⊥ ��,交��于 Q,过点 Q作�� ⊥ �轴于 H,证明△ ��� ≌△ ��� AAS ,可得� �− 3, −
� ,由 Q在直线��上,可求得 m的值,代入①求得的函数表达式即可求解.
【详解】(1)解:将点� 2, � 代入直线��的解析式� = 3
2
� + 3,得� = 6,
∴ � 2,6 ,
设直线��的函数表达式为� = �� + �,
将点� 2,6 ,点� 10,0 代入得,
2� + � = 6
10� + � = 0,解得:
� =− 3
4
� = 15
2
,
∴直线��的函数表达式为� =− 3
4
� + 15
2
;
(2)①如图,
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18
∵过点 P作 x轴的垂线交直线��于点 M,交直线��于点 N,设点 P的横坐标为 m,线段��的长
度为 l,
∴ � �, 3
2
�+ 3 ,� �, − 3
4
�+ 15
2
,
∴ �� = � = 3
2
�+ 3 − − 3
4
�+ 15
2
= 9
4
�− 9
2
,
∵直线��的解析式� = 3
2
� + 3,
令� = 0,则3
2
� + 3 = 0,解得 2x ,
∴ � −2,0 ,
点 P在线段��上(点 P不与点 A,点 C重合),点� 10,0 ,
∴− 2 < � < 10,
∴l 与 m 之间的函数表达式为� = 9
4
�− 9
2
,自变量 m的取值范围−2 < � < 10;
②如图,过点 P作�� ⊥ ��,交��于 Q,过点 Q作�� ⊥ �轴于 H,
∴ ∠��� = ∠��� = 90°,
∵ ∠��� = 45°,
∴△ ���为等腰直角三角形,
∴ �� = ��,∠��� = 90°,
∴ ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴ �� = ��,�� = �� = �,
∵直线��的解析式� = 3
2
� + 3,
令� = 0,则 3y ,
∴ � 0,3 ,
∴ �� = �� = 3,
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∴ �� = 3 −�,
∴ � � − 3, − � ,
Q 在直线��:� = 3
2
� + 3上,
∴ 3
2
�− 3 + 3 =−�,解得� = 3
5
,
代入①求得的函数表达式� = 9
4
�− 9
2
得,
� = 9
4
× 3
5
− 9
2
= 63
20
.
【点睛】本题是一次函数综合题,考查了待定系数法,一次函数的性质、等腰直角三角形的性
质,全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形.