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1
专项 7 勾股定理与折叠问题
答案解析
1.B
【分析】本题考查折叠的性质,角平分线的性质,过点�作�� ⊥ ��,易得�� = ��,设�� =
�� = �,勾股定理求出 AF 的长,表示出��的长,等积法列出方程求出�的值即可.
【详解】解:过点�作�� ⊥ ��,
∵长方形����,
∴∠� = 90°,
∵��平分 ABF ,
∴�� = ��,
由翻折可得�� = �� = 10,
由勾股定理,得:�� = ��2 − ��2 = 6,
设�� = �� = �,
∴�� = �� − �� = 6 − �,
∵�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ��,
∴8 6 − � = 10�,
解得:� = 8
3
,
∴�� = 6 − 8
3
= 10
3
;
故选 B.
2.5或 20
【分析】本题主要考查了折叠的性质,勾股定理,解题的关键的分两种情况进行讨论.分点 N
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2
在线段��上,点 N在线段��的延长线上,分别画出图形求出结果即可.
【详解】解:①若折叠后,直线�� ⊥ ��于点 E,
∵�� = 10,�� = 6,
∴�� = ��2 −��2 = 8,
若点 N在线段��上,如图所示:
由折叠的性质可知:�� = �� = 10,�� = ��,
∴�� = �� − �� = 10 − 6 = 4,
在 Rt△ ���中,�� = �� − �� = 8 − ��,
根据勾股定理,得��2 + ��2 = ��2,
∴ 8 − �� 2 + 42 = ��2,
解得�� = 5;
②若点 N在线段��的延长线上,如图所示,
由折叠可知:�� = �� = 10,�� = ��,
∴�� = �� + �� = 10 + 6 = 16,
在 Rt△ ���中,�� = ��− �� = ��− 8,
根据勾股定理,得��2 + ��2 = ��2,
∴ �� − 8 2 + 162 = ��2,
解得�� = 20.
综上所述,�� = 5或�� = 20.
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3
故答案为:5或 20.
3.30或 15
【分析】分∠��� = 90°和∠��� = 90°,两种情况进行求解即可.
【详解】解:当∠��� = 90°时,如图,则:∠��� = 90°
∵折叠,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
360° −∠��� = 135°,
∴∠��� = 180° −∠��� −∠� = 15°;
当∠��� = 90°时,如图,则: 90BFC ,
∵∠��� = 90°,∠� = 30°,
∴∠�=60°,
∴∠��� = 30°,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 60°,
∵折叠,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 30°,
综上:∠���的度数为 30°或15.
故答案为:30或 15.
【点睛】本题考查折叠的性质,三角形的内角和定理.熟练掌握折痕是角平分线,是解题的关
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4
键.
4. −10,3
【分析】设�� = �, �� = �,根据题意可得�� = �� = 8, �� = �� = 8 − �, �� = �� = �,在
Rt AFO△ 中,在 Rt AFO△ 中勾股定理分别求得�, �的值,进而即可求得�点的坐标.
【详解】∵ � 0,8
∴ �� = 8
∵四边形����是长方形
∴ �� = ��, �� = ��,∠��� = ∠��� = ∠� = 90°
根据折叠的性质可得�� = ��, �� = ��
设�� = �, �� = �,根据题意可得�� = �� = 8, �� = �� = 8 − �, �� = �� = �,
∵ �� = 4
∴ �� = � − 4
在Rt AFO△ 中,��2 = ��2 + ��2
即 22 24 8x x
解得� = 10
∴ �� = �� = 10
在�� △ ���中,��2 = ��2 + ��2
即 8 − � 2 = �2 + 42
解得 3y
∴ �� = 3
∵ �点在第二象限
∴ �( − 10,3)
故答案为: −10,3
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题,掌握勾股定理,坐标与图形,利用勾股定理建立方
程是解题的关键.
5. 33
【分析】过点�作�� ⊥ ��于点�,由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠� = ∠�,∠� =
∠���,由折叠的性质得:∠� = ∠�,�� = ��,得出∠��� = ∠��� + ∠� = ∠��� + ∠� =
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5
∠��� + ∠� = ∠���,证出�� = �� = 6,得出�� = 1,又由勾股定理得 AM 62 − 52 = 11,
利用面积法构造一元一次方程,即可得出结果.
【详解】解:过点�作�� ⊥ ��于点�,
∵�� = �� = 6,�� = 10,
∴∠� = ∠�,CM 1
2
�� = 5,
∴ AM 62 − 52 = 11,
∵�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠�,∠� = ∠���,
由折叠的性质得:∠� = ∠�,�� = �� = 6,�� = ��,∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠��� +∠� = ∠��� +∠� = ∠��� +∠� = ∠���,
∴�� = �� = 6,
∴�� = �� − �� = 1,
∴�� = 11
2
+ 12 = 2 3,
设点�到��的距离为ℎ,则
� △ ��� = 1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ℎ即1
2
× 6 × 11 = 1
2
× 2 3ℎ
解得:h 33;
故答案为 33.
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质,勾股定
理,熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键.
6.5
【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用,连接��,根据 1 24
2ACE
S AC CE 可
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6
求��,进而得�� = 8 − ��;结合 2 2 2DF CD CF 即可求解.
【详解】解:连接��,如图所示:
由题意得:�� = 6, �� ⊥ ��, �� = ��,�� = ��
∵
1 24
2ACE
S AC CE ,
∴�� = 8,�� = 8 − ��
∴�� = �� = ��2 + ��2 = 10
∴�� = �� − �� = 4
∵ 2 2 2DF CD CF ,
∴��2 = 42 + 8 − �� 2,
解得:�� = 5
故答案为:5
7.
170
3
【分析】本题考查了矩形的判定与性质,勾股定理,折叠的性质.熟练掌握矩形的判定与性质,
勾股定理,折叠的性质是解题的关键.
由题意知�� = 6,�� = 2,由折叠的性质可知,�� = �� = 6,�� = �� = 10,∠��� =
∠� = 90°,则∠��� = 90°,如图,作�� ⊥ ��的延长线于H ,则四边形����是矩形,则�� =
�� = 10,�� = ��,设�� = �� = �,�� = �,由勾股定理得,��2 = ��2 + ��2,即 6 + � 2 =
2+ � 2 + 102①,��2 = ��2 + ��2,即 8 + � 2 = 102 + �2②,①+②整理求解得,� = 263 −
�,将� = 26
3
− �代入②求解得� = 10
3
,则�� = �� + �� = 34
3
,然后根据�△��� =
1
2
�� ⋅ ��,计
算求解即可.
【详解】解:∵长方形����,
∴�� = �� = 10,�� = �� = 8,∠�=∠���=∠���=90°,
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7
∵�� = 3��,
∴�� = 6,�� = 2,
由折叠的性质可知,�� = �� = 6,�� = �� = 10,∠��� = ∠� = 90°,
∴∠��� = 90°,
如图,作�� ⊥ ��的延长线于H ,则四边形����是矩形,
∴�� = �� = 10,�� = ��,
设�� = �� = �,�� = �,
由勾股定理得,��2 = ��2 + ��2,即 6 + � 2 = 2+ � 2 + 102①,
��2 = ��2 + ��2,即 8 + � 2 = 102 + �2②,
①+②整理得,12� + 12� = 104,
解得,� = 26
3
− �,
将� = 26
3
− �代入②得, 8 + � 2 = 102 + 26
3
− �
2
,
解得,� = 10
3
,
∴�� = �� + �� = 34
3
,
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 170
3
,
故答案为:
170
3
.
8.2 10或 2 13
【分析】过点 M作HM BC 于 H,则四边形����,����都是矩形,设��,��交于 T,由折
叠的性质可知:�� = ��,∠� = ∠� = ∠� = ∠��� = 90°,�� = ��,当点 E是��靠近点 D
的三等分点时,可得�� = 2,�� = 4,利用勾股定理可求得�� = �� = �� = 10
3
,�� = �� = 8
3
,
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8
再根据直角三角形的性质可得∠��� = ∠���,进一步根据三角函数的定义和角的相等关系可
求得���∠��� = 3
4
,���∠��� = 4
5
,�� = 3,利用解直角三角形可求得�� = 4
3
,可得�� = 2,
再利用勾股定理即可求得��的长;同理可求得,当点 E为��靠近点 C的三等分点时,��的
长即可
【详解】解:如图所示,过点 M作HM BC 于 H,则四边形����,����都是矩形,设��,
��交于 T,
∴ �� = �� = 6, BH AM ,
由折叠的性质可知:�� = ��,∠� = ∠� = ∠� = ∠��� = 90°,�� = ��,
当点 E是��靠近点 D的三等分点时,
∴ �� = 1
3
�� = 2,�� = 2
3
�� = 4,
设 AM ME x ,则�� = �� − �� = 6 − �,
在 Rt△���中,∠� = 90°,由勾股定理得:��2 = ��2 + ��2,
∴ �2 = (6 − �)2 + 22,
解得� = 10
3
,
∴ �� = �� = �� = 10
3
,�� = �� = �� − �� = 6 − 10
3
= 8
3
,
∵ ∠���+∠��� = 90° = ∠���+∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
∴ ���∠��� = ���∠��� = ��
��
= 28
3
= 3
4,���∠��� = ���∠��� =
��
��
=
8
3
10
3
= 4
5
,
∴ �� = �� ⋅ ���∠��� = 4 × 3
4
= 3,
设�� = �� = �,则�� = �� − �� − �� = 6 − � − 3 = 3 − �,
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9
∵ ∠� = ∠�,∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
∴ ���∠��� = ���∠���,
∴ �� = �� ⋅ ���∠��� = 3 − � × 4
5
= �,
解得� = 4
3
,
4
3
BN ,
∴ �� = �� − �� = 10
3
− 4
3
= 2,
∴ �� = ��2 + ��2 = 62 + 22 = 2 10;
同理,当 E为��靠近点 C的三等分点时,�� = 2 13,
综上所述,��的长为 2 10或 2 13,
故答案为:2 10或 2 13.
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠的性质,勾股定理,解直角三角形,正确作出辅助线构造
直角三角形是解题的关键.
9.1或
5
2
【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题),等腰三角形的性质,勾股定理;分两种情况:当
90AEC 时,当∠��� = 90∘;然后分别利用等腰三角形的性质,勾股定理以及折叠的性质
进行计算,即可解答.
【详解】解:当 90AEC 时,如图
∵ ∠��� = ∠��� = 90∘,
设�� = � cm ,
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10
∵ �� = �� = 5 cm ,�� ⊥ ��,
∴ �� = �� = 1
2
�� = 4 cm ,
∴ �� = ��2 − ��2 = 52 − 42 = 3 cm ,
由折叠性质得:�� = �� = 5 cm ,
�� = �� = � cm ,
∴ �� = �� − �� = 5 − 3 = 2 cm ,
在 Rt△���中,��2 + ��2 = ��2,
∴ 4 + 4 − � 2 = �2,
解得:� = 5
2
,
∴ �� = 5
2
cm ;
当∠��� = 90∘,如图
过点 C作�� ⊥ ��,垂足为 H,
∴ 90AHC CHE ,
∵ �� = �� = 5cm,�� ⊥ ��,
∴ B A ,
�� = �� = 1
2
�� = 4 �� ,
∴ �� = ��2 − ��2 = 52 − 42 = 3 cm ,
由折叠得:�� = �� = 5 cm ,
∠��� = ∠���,∠� = ∠�,
∴ ∠� = ∠�,
∵ 90ECH HCA ,
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11
90HCA A ,
∴ ∠��� = ∠�,
∴ ∠��� = ∠�,
∵ ∠���是△ ���一个外角,,
∴ ∠��� = ∠� = ���,
∠��� = ∠��� + ���,
∴ ∠��� = ∠���,
�� = �� = 3 cm ,
�� = �� − �� = 1 cm ,
�� = �� = 1 cm ,
综上所述��的长为 1或5
2
故答案为:1或
5
2
.
10.(1)�� = �� + ��;(2)问题应用:�� = 3 + 7;问题迁移:�△��� =
75
4
【分析】(1)通过证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,得出�� = ��,结合等边三角形的性质,即可
得出结论;
(2)问题应用:过点 B作�� ⊥ ��于点 H,根据折叠的性质得出 45ADC ADF ,则△ ���
为等腰直角三角形,�� = ��,求出�� = �� = 3,�� = �� = 4,根据勾股定理求出
2 2 7AH AB BH ,最后根据�� = �� + ��即可求解;
问题迁移:过点 F作�� ⊥ ��于点 G,设�� = �,则�� = 3�, �� = �� = �,�� + �� = 4�,
根据 2�� = �� + ��,�� = 5 3,求出� = 5 6
4
,�� = 3� = 15 6
4
,进而得出�� = 2
2
�� =
15 3
4
, �� = 2
2
�� = 5 3
4
,根据�△��� = �△��� − �△���即可求解.
【详解】(1)解:∵△ ���和△ ���都是等边三角形,
∴�� = �� = ��, �� = ��,∠��� = ∠���,
∴∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠���,即∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
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12
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�� = ��,
∵�� = �� + ��,
∴�� = �� + �� = �� + ��;
(2)解:问题应用:过点 B作�� ⊥ ��于点 H,
∵△ ���沿直线��折叠得到△ ���,
∴∠��� = ∠���,
∵�� ⊥ ��,
∴ 45ADC ADF ,
∵�� ⊥ ��,
∴△ ���为等腰直角三角形,则�� = ��,
根据勾股定理可得:��2 + ��2 = ��2,
则 2��2 = ��2,
整理得:�� = 2
2
��,
∴�� = �� = 3,
∵△ ���为等腰直角三角形,
∴�� = ��,
同理可得:
2
2
AB BC ,
∴�� = �� = 4,
根据勾股定理可得:�� = ��2 − ��2 = 42 − 32 = 7,
∴�� = �� + �� = 3 + 7;
问题迁移:过点 F作�� ⊥ ��于点 G,
设�� = �,
∵ 3BD CD ,△ ���沿直线��折叠得到△ ���,
∴�� = 3�, �� = �� = �,
∴�� + �� = 4�,
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13
∵ 2�� = �� + ��,�� = 5 3,
∴ 2 × 5 3 = 4�,
解得:� = 5 6
4
,
∴�� = 3� = 15 6
4
,
∴�� = 2
2
�� = 15 3
4
, �� = 2
2
�� = 5 3
4
,
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 5 3 × 15 3
4
= 225
8
,�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 5 3 × 5 3
4
= 75
8
,
∴�△��� = �△��� − �△��� =
150
8
= 75
4
.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,折叠的性
质,熟练掌握相关性质定理,正确画出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.
11.(1)20
(2)①25 或 5;②5 41 + 35或 65 + 15
【分析】(1)根据双勾股列方程即可求出��,进而求得��的长;
(2)分情况讨论当△ ���是锐角三角形时,当△ ���是钝角三角形时,分别求出��的长和
△ ���的周长.
【详解】(1)如图:
∵�� ⊥ ��
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14
∴��2 = ��2 − ��2,��2 = ��2 − ��2,
设�� = �,则�� = �� − �� = 25 − �
∴(10 5)2 − �2 = 252 − (25 − �)2,
解得:� = 10
∴�� = 252 − (25 − 10)2 = 20
(2)①当△ ���是锐角三角形时,
当�� = 20时,
�� = ��2 − ��2 = 252 − 202 = 15;
�� = ��2 − ��2 = (10 5)2 − 202 = 10;
∴�� = �� + �� = 25
当△ ���是钝角三角形时,如图:
∵�� = 25 > �� = 10 5,�� = 20
∴�� = ��2 − ��2 = 10,�� = ��2 − ��2 = 15
∴�� = �� − �� = 5
综上所述:�� = 25或 5
②当△ ���是锐角三角形时,由①知,�� = �� = 25,�� = 15,�� = 10,如图,��与��
交于��过�点作�� ⊥ ��,
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15
由折叠可知:�� = �� = 10,�� ⊥ ��,�� = 2��
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ��,
∴
1
2
× 10 × 20 = 1
2
× 10 5 ⋅ ��,
∴�� = 4 5,
∴�� = 2�� = 8 5,
设�� = �,则�� = �� + �� = 10 + �,
∵��2 = ��2 − ��2 = ��2 − ��2
∴102 − �2 = (8 5)2 − (10 + �)2,
解得:� = 6,
�� = 102 − 62 = 8
∴�� = ��2 + ��2 = (25 + 6)2 + 82 = 5 41
∴△ ���的周长为:�� + �� + �� = �� + �� + �� = 5 41 + 35
当△ ���是钝角三角形时,如图,
同理可得:�� = �� = 10,�� = 2�� = 8 5, 5BC ,�� = �� = 10
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16
设�� = �,则�� = �� + �� = 10 + �,
∵��2 = ��2 − ��2 = ��2 − ��2
∴102 − �2 = (8 5)2 − (10 + �)2,
解得:� = 6,
∴�� = �� − �� = 6 − 5 = 1,�� = 102 − 62 = 8
∴�� = ��2 + ��2 = 12 + 82 = 65
∴△ ���的周长为:�� + �� + �� = �� + �� + �� = 65 + 15
综上所述:△ ���的周长为 5 41 + 35或 65 + 15.
【点睛】本题考查等积法求高,双勾股定理的求直角三角形边长,解题的关键是在做题时注意
分类讨论.
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1
专项 7 勾股定理与折叠问题
1.在长方形����中,�� = 8,�� = 10,�是��边上一点,连接 BE ,把△ ���沿 BE 翻折,
点�恰好落在��边上的�处,延长��,与 ABF 的平分线交于点�,��交��于点�,则��的
长度为( )
A.2 2 B.
10
3
C.4 D.
15
4
2.如图 1,M,N分别为锐角∠���边��,��上的点,把∠���沿��折叠,点 O落在∠���
所在平面内的点 C处.若折叠后,直线CM 与��交于点 E,且�� ⊥ ��,垂足为点 E,且�� = 10,
6ME ,则此时��的长为 .
3.在△ ���中,∠��� = 90°,∠� = 30°,点 D是��边上一动点,将△���沿直线��翻折,
使点A落在点E处,连接��交��于点F.当△���是直角三角形时,∠���度数是 度.
4.如图,在平面直角坐标系中,长方形 ABCO 的边 CO,OA 分别在 x轴、y轴上,点 E在边 BC
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2
上,将该长方形沿 AE 折叠,点 B恰好落在边 OC 上的 F处.若� 0,8 ,�� = 4,则点 E的坐标
是 .
5.如图,在△ ���中,�� = �� = 6,�� = 10,点�是边��上一点(点�不与点�,�重合),
将△ ���沿��翻折,点�的对应点为点�,��交��于点�,若�� ∥ ��,则点�到线段��的距
离为 .
6.如图,直线��:� =− 2� + �与坐标轴交于 A、B两点,点 D为第一象限内一点,连接��
且�� ∥ �轴,过点 0,6 且平行于 x轴的直线 l交��于点 C,交��于点 F,连接��,�� ⊥ ��,
将△ ���沿着直线��翻折,得到△���,点 E正好落在直线 l上,若 24ACES ,则��的长
为 .
7.如图,在长方形����中,�� = 10,�� = 8,点 E上线段��上的一点,且满足�� = 3��,
连接 BE,将△ ���沿 BE 折叠得到△ ���,延长��交��的延长线于点 G,则△ ���的面积
是 .
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3
8.如图,将边长为 6的正方形纸片����折叠,折痕为��,点 M,N分别在边��,��上,点
A,B的对应点分别为 E,F,当点 E为��三等分点时,��的长为 .
9.如图,在△ ���中,�� = �� = 5cm,�� = 8cm 点�是线段��上一动点,将△ ���沿直线��
折叠,使点�落在点�处,��交��于点�. 当△���是直角三角形时,��的长为 .
10.【问题建立】
(1)如图 1,△���和△ ���都是等边三角形,当点�, �, �在一条直线上时,把△ ���沿直线
��折叠,点�的对应点�恰好落在线段��上. 判断线段 , ,AD BD DF 的数量关系,并说明理由;
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(2)如图 2,在等腰直角三角形△ ���中, 90 ,CAB AB AC ,若�� ⊥ ��于点�,且点�
在直线��下方,把△ ���沿直线��折叠,点�的对应点�恰好落在线段��上.
【问题应用】
若 4 2, 3 2BC BD ,求��的长;
【问题迁移】
若 5 3, 3 , 2AD BD CD AD DF BD ,求△ ���的面积.
11.在△ ���中,�� = 25,�� = 10 5,��垂直直线��于点 P.
(1)当�� = 25时,求��的长;
(2)当�� = 20时,
①求��的长;
②将△ ���沿直线��翻折后得到△ ���,连接��,请直接写出△ ���的周长为___________.