专项7 勾股定理与折叠问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)

2024-12-02
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学鲁教版(五四制)(2012)七年级上册
年级 七年级
章节 第三章 勾股定理
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 山东省
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.65 MB
发布时间 2024-12-02
更新时间 2024-12-02
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-12-02
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 7 勾股定理与折叠问题 答案解析 1.B 【分析】本题考查折叠的性质,角平分线的性质,过点�作�� ⊥ ��,易得�� = ��,设�� = �� = �,勾股定理求出 AF 的长,表示出��的长,等积法列出方程求出�的值即可. 【详解】解:过点�作�� ⊥ ��, ∵长方形����, ∴∠� = 90°, ∵��平分 ABF , ∴�� = ��, 由翻折可得�� = �� = 10, 由勾股定理,得:�� = ��2 − ��2 = 6, 设�� = �� = �, ∴�� = �� − �� = 6 − �, ∵�△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 �� ⋅ ��, ∴8 6 − � = 10�, 解得:� = 8 3 , ∴�� = 6 − 8 3 = 10 3 ; 故选 B. 2.5或 20 【分析】本题主要考查了折叠的性质,勾股定理,解题的关键的分两种情况进行讨论.分点 N 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 在线段��上,点 N在线段��的延长线上,分别画出图形求出结果即可. 【详解】解:①若折叠后,直线�� ⊥ ��于点 E, ∵�� = 10,�� = 6, ∴�� = ��2 −��2 = 8, 若点 N在线段��上,如图所示: 由折叠的性质可知:�� = �� = 10,�� = ��, ∴�� = �� − �� = 10 − 6 = 4, 在 Rt△ ���中,�� = �� − �� = 8 − ��, 根据勾股定理,得��2 + ��2 = ��2, ∴ 8 − �� 2 + 42 = ��2, 解得�� = 5; ②若点 N在线段��的延长线上,如图所示, 由折叠可知:�� = �� = 10,�� = ��, ∴�� = �� + �� = 10 + 6 = 16, 在 Rt△ ���中,�� = ��− �� = ��− 8, 根据勾股定理,得��2 + ��2 = ��2, ∴ �� − 8 2 + 162 = ��2, 解得�� = 20. 综上所述,�� = 5或�� = 20. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 故答案为:5或 20. 3.30或 15 【分析】分∠��� = 90°和∠��� = 90°,两种情况进行求解即可. 【详解】解:当∠��� = 90°时,如图,则:∠��� = 90° ∵折叠, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 360° −∠��� = 135°, ∴∠��� = 180° −∠��� −∠� = 15°; 当∠��� = 90°时,如图,则: 90BFC  , ∵∠��� = 90°,∠� = 30°, ∴∠�=60°, ∴∠��� = 30°, ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 60°, ∵折叠, ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 30°, 综上:∠���的度数为 30°或15. 故答案为:30或 15. 【点睛】本题考查折叠的性质,三角形的内角和定理.熟练掌握折痕是角平分线,是解题的关 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 键. 4. −10,3 【分析】设�� = �, �� = �,根据题意可得�� = �� = 8, �� = �� = 8 − �, �� = �� = �,在 Rt AFO△ 中,在 Rt AFO△ 中勾股定理分别求得�, �的值,进而即可求得�点的坐标. 【详解】∵ � 0,8 ∴ �� = 8 ∵四边形����是长方形 ∴ �� = ��, �� = ��,∠��� = ∠��� = ∠� = 90° 根据折叠的性质可得�� = ��, �� = �� 设�� = �, �� = �,根据题意可得�� = �� = 8, �� = �� = 8 − �, �� = �� = �, ∵ �� = 4 ∴ �� = � − 4 在Rt AFO△ 中,��2 = ��2 + ��2 即  22 24 8x x   解得� = 10 ∴ �� = �� = 10 在�� △ ���中,��2 = ��2 + ��2 即 8 − � 2 = �2 + 42 解得 3y  ∴ �� = 3 ∵ �点在第二象限 ∴ �( − 10,3) 故答案为: −10,3 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题,掌握勾股定理,坐标与图形,利用勾股定理建立方 程是解题的关键. 5. 33 【分析】过点�作�� ⊥ ��于点�,由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠� = ∠�,∠� = ∠���,由折叠的性质得:∠� = ∠�,�� = ��,得出∠��� = ∠��� + ∠� = ∠��� + ∠� = 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 ∠��� + ∠� = ∠���,证出�� = �� = 6,得出�� = 1,又由勾股定理得 AM  62 − 52 = 11, 利用面积法构造一元一次方程,即可得出结果. 【详解】解:过点�作�� ⊥ ��于点�, ∵�� = �� = 6,�� = 10, ∴∠� = ∠�,CM  1 2 �� = 5, ∴ AM  62 − 52 = 11, ∵�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠�,∠� = ∠���, 由折叠的性质得:∠� = ∠�,�� = �� = 6,�� = ��,∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠��� +∠� = ∠��� +∠� = ∠��� +∠� = ∠���, ∴�� = �� = 6, ∴�� = �� − �� = 1, ∴�� = 11 2 + 12 = 2 3, 设点�到��的距离为ℎ,则 � △ ��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 �� ⋅ ℎ即1 2 × 6 × 11 = 1 2 × 2 3ℎ 解得:h  33; 故答案为 33. 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质,勾股定 理,熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键. 6.5 【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用,连接��,根据 1 24 2ACE S AC CE    可 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 求��,进而得�� = 8 − ��;结合 2 2 2DF CD CF  即可求解. 【详解】解:连接��,如图所示: 由题意得:�� = 6, �� ⊥ ��, �� = ��,�� = �� ∵ 1 24 2ACE S AC CE    , ∴�� = 8,�� = 8 − �� ∴�� = �� = ��2 + ��2 = 10 ∴�� = �� − �� = 4 ∵ 2 2 2DF CD CF  , ∴��2 = 42 + 8 − �� 2, 解得:�� = 5 故答案为:5 7. 170 3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质,勾股定理,折叠的性质.熟练掌握矩形的判定与性质, 勾股定理,折叠的性质是解题的关键. 由题意知�� = 6,�� = 2,由折叠的性质可知,�� = �� = 6,�� = �� = 10,∠��� = ∠� = 90°,则∠��� = 90°,如图,作�� ⊥ ��的延长线于H ,则四边形����是矩形,则�� = �� = 10,�� = ��,设�� = �� = �,�� = �,由勾股定理得,��2 = ��2 + ��2,即 6 + � 2 = 2+ � 2 + 102①,��2 = ��2 + ��2,即 8 + � 2 = 102 + �2②,①+②整理求解得,� = 263 − �,将� = 26 3 − �代入②求解得� = 10 3 ,则�� = �� + �� = 34 3 ,然后根据�△��� = 1 2 �� ⋅ ��,计 算求解即可. 【详解】解:∵长方形����, ∴�� = �� = 10,�� = �� = 8,∠�=∠���=∠���=90°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 ∵�� = 3��, ∴�� = 6,�� = 2, 由折叠的性质可知,�� = �� = 6,�� = �� = 10,∠��� = ∠� = 90°, ∴∠��� = 90°, 如图,作�� ⊥ ��的延长线于H ,则四边形����是矩形, ∴�� = �� = 10,�� = ��, 设�� = �� = �,�� = �, 由勾股定理得,��2 = ��2 + ��2,即 6 + � 2 = 2+ � 2 + 102①, ��2 = ��2 + ��2,即 8 + � 2 = 102 + �2②, ①+②整理得,12� + 12� = 104, 解得,� = 26 3 − �, 将� = 26 3 − �代入②得, 8 + � 2 = 102 + 26 3 − � 2 , 解得,� = 10 3 , ∴�� = �� + �� = 34 3 , ∴�△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 170 3 , 故答案为: 170 3 . 8.2 10或 2 13 【分析】过点 M作HM BC 于 H,则四边形����,����都是矩形,设��,��交于 T,由折 叠的性质可知:�� = ��,∠� = ∠� = ∠� = ∠��� = 90°,�� = ��,当点 E是��靠近点 D 的三等分点时,可得�� = 2,�� = 4,利用勾股定理可求得�� = �� = �� = 10 3 ,�� = �� = 8 3 , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 再根据直角三角形的性质可得∠��� = ∠���,进一步根据三角函数的定义和角的相等关系可 求得���∠��� = 3 4 ,���∠��� = 4 5 ,�� = 3,利用解直角三角形可求得�� = 4 3 ,可得�� = 2, 再利用勾股定理即可求得��的长;同理可求得,当点 E为��靠近点 C的三等分点时,��的 长即可 【详解】解:如图所示,过点 M作HM BC 于 H,则四边形����,����都是矩形,设��, ��交于 T, ∴ �� = �� = 6, BH AM , 由折叠的性质可知:�� = ��,∠� = ∠� = ∠� = ∠��� = 90°,�� = ��, 当点 E是��靠近点 D的三等分点时, ∴ �� = 1 3 �� = 2,�� = 2 3 �� = 4, 设 AM ME x  ,则�� = �� − �� = 6 − �, 在 Rt△���中,∠� = 90°,由勾股定理得:��2 = ��2 + ��2, ∴ �2 = (6 − �)2 + 22, 解得� = 10 3 , ∴ �� = �� = �� = 10 3 ,�� = �� = �� − �� = 6 − 10 3 = 8 3 , ∵ ∠���+∠��� = 90° = ∠���+∠���, ∴ ∠��� = ∠���, ∴ ���∠��� = ���∠��� = �� �� = 28 3 = 3 4,���∠��� = ���∠��� = �� �� = 8 3 10 3 = 4 5 , ∴ �� = �� ⋅ ���∠��� = 4 × 3 4 = 3, 设�� = �� = �,则�� = �� − �� − �� = 6 − � − 3 = 3 − �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 ∵ ∠� = ∠�,∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = ∠���, ∴ ���∠��� = ���∠���, ∴ �� = �� ⋅ ���∠��� = 3 − � × 4 5 = �, 解得� = 4 3 , 4 3 BN  , ∴ �� = �� − �� = 10 3 − 4 3 = 2, ∴ �� = ��2 + ��2 = 62 + 22 = 2 10; 同理,当 E为��靠近点 C的三等分点时,�� = 2 13, 综上所述,��的长为 2 10或 2 13, 故答案为:2 10或 2 13. 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠的性质,勾股定理,解直角三角形,正确作出辅助线构造 直角三角形是解题的关键. 9.1或 5 2 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题),等腰三角形的性质,勾股定理;分两种情况:当 90AEC  时,当∠��� = 90∘;然后分别利用等腰三角形的性质,勾股定理以及折叠的性质 进行计算,即可解答. 【详解】解:当 90AEC  时,如图 ∵ ∠��� = ∠��� = 90∘, 设�� = � cm , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 ∵ �� = �� = 5 cm ,�� ⊥ ��, ∴ �� = �� = 1 2 �� = 4 cm , ∴ �� = ��2 − ��2 = 52 − 42 = 3 cm , 由折叠性质得:�� = �� = 5 cm , �� = �� = � cm , ∴ �� = �� − �� = 5 − 3 = 2 cm , 在 Rt△���中,��2 + ��2 = ��2, ∴ 4 + 4 − � 2 = �2, 解得:� = 5 2 , ∴ �� = 5 2 cm ; 当∠��� = 90∘,如图 过点 C作�� ⊥ ��,垂足为 H, ∴ 90AHC CHE     , ∵ �� = �� = 5cm,�� ⊥ ��, ∴ B A   , �� = �� = 1 2 �� = 4 �� , ∴ �� = ��2 − ��2 = 52 − 42 = 3 cm , 由折叠得:�� = �� = 5 cm , ∠��� = ∠���,∠� = ∠�, ∴ ∠� = ∠�, ∵ 90ECH HCA    , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 90HCA A    , ∴ ∠��� = ∠�, ∴ ∠��� = ∠�, ∵ ∠���是△ ���一个外角,, ∴ ∠��� = ∠� = ���, ∠��� = ∠��� + ���, ∴ ∠��� = ∠���, �� = �� = 3 cm , �� = �� − �� = 1 cm , �� = �� = 1 cm , 综上所述��的长为 1或5 2 故答案为:1或 5 2 . 10.(1)�� = �� + ��;(2)问题应用:�� = 3 + 7;问题迁移:�△��� = 75 4 【分析】(1)通过证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,得出�� = ��,结合等边三角形的性质,即可 得出结论; (2)问题应用:过点 B作�� ⊥ ��于点 H,根据折叠的性质得出 45ADC ADF    ,则△ ��� 为等腰直角三角形,�� = ��,求出�� = �� = 3,�� = �� = 4,根据勾股定理求出 2 2 7AH AB BH   ,最后根据�� = �� + ��即可求解; 问题迁移:过点 F作�� ⊥ ��于点 G,设�� = �,则�� = 3�, �� = �� = �,�� + �� = 4�, 根据 2�� = �� + ��,�� = 5 3,求出� = 5 6 4 ,�� = 3� = 15 6 4 ,进而得出�� = 2 2 �� = 15 3 4 , �� = 2 2 �� = 5 3 4 ,根据�△��� = �△��� − �△���即可求解. 【详解】(1)解:∵△ ���和△ ���都是等边三角形, ∴�� = �� = ��, �� = ��,∠��� = ∠���, ∴∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠���,即∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴�� = ��, ∵�� = �� + ��, ∴�� = �� + �� = �� + ��; (2)解:问题应用:过点 B作�� ⊥ ��于点 H, ∵△ ���沿直线��折叠得到△ ���, ∴∠��� = ∠���, ∵�� ⊥ ��, ∴ 45ADC ADF    , ∵�� ⊥ ��, ∴△ ���为等腰直角三角形,则�� = ��, 根据勾股定理可得:��2 + ��2 = ��2, 则 2��2 = ��2, 整理得:�� = 2 2 ��, ∴�� = �� = 3, ∵△ ���为等腰直角三角形, ∴�� = ��, 同理可得: 2 2 AB BC , ∴�� = �� = 4, 根据勾股定理可得:�� = ��2 − ��2 = 42 − 32 = 7, ∴�� = �� + �� = 3 + 7; 问题迁移:过点 F作�� ⊥ ��于点 G, 设�� = �, ∵ 3BD CD ,△ ���沿直线��折叠得到△ ���, ∴�� = 3�, �� = �� = �, ∴�� + �� = 4�, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 ∵ 2�� = �� + ��,�� = 5 3, ∴ 2 × 5 3 = 4�, 解得:� = 5 6 4 , ∴�� = 3� = 15 6 4 , ∴�� = 2 2 �� = 15 3 4 , �� = 2 2 �� = 5 3 4 , ∴�△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 × 5 3 × 15 3 4 = 225 8 ,�△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 × 5 3 × 5 3 4 = 75 8 , ∴�△��� = �△��� − �△��� = 150 8 = 75 4 . 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,折叠的性 质,熟练掌握相关性质定理,正确画出辅助线,构造直角三角形是解题的关键. 11.(1)20 (2)①25 或 5;②5 41 + 35或 65 + 15 【分析】(1)根据双勾股列方程即可求出��,进而求得��的长; (2)分情况讨论当△ ���是锐角三角形时,当△ ���是钝角三角形时,分别求出��的长和 △ ���的周长. 【详解】(1)如图: ∵�� ⊥ �� 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 ∴��2 = ��2 − ��2,��2 = ��2 − ��2, 设�� = �,则�� = �� − �� = 25 − � ∴(10 5)2 − �2 = 252 − (25 − �)2, 解得:� = 10 ∴�� = 252 − (25 − 10)2 = 20 (2)①当△ ���是锐角三角形时, 当�� = 20时, �� = ��2 − ��2 = 252 − 202 = 15; �� = ��2 − ��2 = (10 5)2 − 202 = 10; ∴�� = �� + �� = 25 当△ ���是钝角三角形时,如图: ∵�� = 25 > �� = 10 5,�� = 20 ∴�� = ��2 − ��2 = 10,�� = ��2 − ��2 = 15 ∴�� = �� − �� = 5 综上所述:�� = 25或 5 ②当△ ���是锐角三角形时,由①知,�� = �� = 25,�� = 15,�� = 10,如图,��与�� 交于��过�点作�� ⊥ ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 15 由折叠可知:�� = �� = 10,�� ⊥ ��,�� = 2�� ∴�△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 �� ⋅ ��, ∴ 1 2 × 10 × 20 = 1 2 × 10 5 ⋅ ��, ∴�� = 4 5, ∴�� = 2�� = 8 5, 设�� = �,则�� = �� + �� = 10 + �, ∵��2 = ��2 − ��2 = ��2 − ��2 ∴102 − �2 = (8 5)2 − (10 + �)2, 解得:� = 6, �� = 102 − 62 = 8 ∴�� = ��2 + ��2 = (25 + 6)2 + 82 = 5 41 ∴△ ���的周长为:�� + �� + �� = �� + �� + �� = 5 41 + 35 当△ ���是钝角三角形时,如图, 同理可得:�� = �� = 10,�� = 2�� = 8 5, 5BC  ,�� = �� = 10 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 16 设�� = �,则�� = �� + �� = 10 + �, ∵��2 = ��2 − ��2 = ��2 − ��2 ∴102 − �2 = (8 5)2 − (10 + �)2, 解得:� = 6, ∴�� = �� − �� = 6 − 5 = 1,�� = 102 − 62 = 8 ∴�� = ��2 + ��2 = 12 + 82 = 65 ∴△ ���的周长为:�� + �� + �� = �� + �� + �� = 65 + 15 综上所述:△ ���的周长为 5 41 + 35或 65 + 15. 【点睛】本题考查等积法求高,双勾股定理的求直角三角形边长,解题的关键是在做题时注意 分类讨论. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 7 勾股定理与折叠问题 1.在长方形����中,�� = 8,�� = 10,�是��边上一点,连接 BE ,把△ ���沿 BE 翻折, 点�恰好落在��边上的�处,延长��,与 ABF 的平分线交于点�,��交��于点�,则��的 长度为( ) A.2 2 B. 10 3 C.4 D. 15 4 2.如图 1,M,N分别为锐角∠���边��,��上的点,把∠���沿��折叠,点 O落在∠��� 所在平面内的点 C处.若折叠后,直线CM 与��交于点 E,且�� ⊥ ��,垂足为点 E,且�� = 10, 6ME  ,则此时��的长为 . 3.在△ ���中,∠��� = 90°,∠� = 30°,点 D是��边上一动点,将△���沿直线��翻折, 使点A落在点E处,连接��交��于点F.当△���是直角三角形时,∠���度数是 度. 4.如图,在平面直角坐标系中,长方形 ABCO 的边 CO,OA 分别在 x轴、y轴上,点 E在边 BC 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 上,将该长方形沿 AE 折叠,点 B恰好落在边 OC 上的 F处.若� 0,8 ,�� = 4,则点 E的坐标 是 . 5.如图,在△ ���中,�� = �� = 6,�� = 10,点�是边��上一点(点�不与点�,�重合), 将△ ���沿��翻折,点�的对应点为点�,��交��于点�,若�� ∥ ��,则点�到线段��的距 离为 . 6.如图,直线��:� =− 2� + �与坐标轴交于 A、B两点,点 D为第一象限内一点,连接�� 且�� ∥ �轴,过点 0,6 且平行于 x轴的直线 l交��于点 C,交��于点 F,连接��,�� ⊥ ��, 将△ ���沿着直线��翻折,得到△���,点 E正好落在直线 l上,若 24ACES  ,则��的长 为 . 7.如图,在长方形����中,�� = 10,�� = 8,点 E上线段��上的一点,且满足�� = 3��, 连接 BE,将△ ���沿 BE 折叠得到△ ���,延长��交��的延长线于点 G,则△ ���的面积 是 . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 8.如图,将边长为 6的正方形纸片����折叠,折痕为��,点 M,N分别在边��,��上,点 A,B的对应点分别为 E,F,当点 E为��三等分点时,��的长为 . 9.如图,在△ ���中,�� = �� = 5cm,�� = 8cm 点�是线段��上一动点,将△ ���沿直线�� 折叠,使点�落在点�处,��交��于点�. 当△���是直角三角形时,��的长为 . 10.【问题建立】 (1)如图 1,△���和△ ���都是等边三角形,当点�, �, �在一条直线上时,把△ ���沿直线 ��折叠,点�的对应点�恰好落在线段��上. 判断线段 , ,AD BD DF 的数量关系,并说明理由; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 (2)如图 2,在等腰直角三角形△ ���中, 90 ,CAB AB AC   ,若�� ⊥ ��于点�,且点� 在直线��下方,把△ ���沿直线��折叠,点�的对应点�恰好落在线段��上. 【问题应用】 若 4 2, 3 2BC BD  ,求��的长; 【问题迁移】 若 5 3, 3 , 2AD BD CD AD DF BD    ,求△ ���的面积. 11.在△ ���中,�� = 25,�� = 10 5,��垂直直线��于点 P. (1)当�� = 25时,求��的长; (2)当�� = 20时, ①求��的长; ②将△ ���沿直线��翻折后得到△ ���,连接��,请直接写出△ ���的周长为___________.

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专项7 勾股定理与折叠问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
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