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专项 6 三角形综合压轴题
1.如图,�� ⊥ ��于点�,点�、�分别是射线��、��上的动点(不与点�重合),延长��
至点�,∠���的角平分线及其反向延长线分别交∠���、∠���的角平分线于点�、�.若
△���中有一个角是另一个角的 3倍,则∠���为( ).
A.45°或 30° B.30°或 60° C.45°或 60° D.67.5°或 45°
2.如图,在△ ���中,∠��� = 90°,△ ���的角平分线��与角平分线��相交于点�,过�
作�� ⊥ ��交��的延长线于点�,交��于点�.下列结论中,正确的个数是( )
①∠��� = 135°;②△ ��� ≌△ ���;③∠��� = ∠��� + 1
2
∠���;④�� + �� = ��
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,已知△ ���为等腰直角三角形,�� = ��,∠��� = 15°,点�为射线��上的动点,
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2
当 �� − �� 为最大值时,∠���的度数为 °.
4.如图,�� ⊥ ��,垂足为�,�� = 2cm,�� = 6cm,射线�� ⊥ ��,垂足为�,动点�从�
点出发以 1cm/s的速度沿射线��运动,点�为射线��上一动点,满足�� = ��,随着�点运
动而运动,当点�运动 秒时,△ ���与点�、�、�为顶点的三角形全等(时间不等于 0).
5.综合与探究
[问题情境]
(1)数学活动课上,老师出示了一个问题,如图(1),在四边形����中,��平分∠���,
�� ⊥ ��于点�,且�� = ��.
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3
求证:�� = �� + ��
小明是这样思考的:因为��平分∠���,�� ⊥ ��,根据角平分线的性质,
所以过点�作�� ⊥ ��的延长线于点�,先证明△ ���≌△ ���,再证明△���≌△ ���,即
可证出�� = �� + ��,
小丽是这样思考的:根据截长补短的方法,延长��至�,使�� = ��,连接��,先证明△ ���≌△
���,再证明△ ���≌△ ���,即可证出�� = �� + ��.请你帮助小明或小丽完成证明过程.
[实践探究]
(2)老师总结了他们的证明方法,有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线,帮助我们完
成证明过程.老师又出示了一个问题.如图(2),在△ ���中∠��� = ∠��� = 45°,�� = ��,
点�为��的中点,�� ⊥ ��交��于�.
①求证:∠��� = ∠���;
②求证:�� = �� + ��.
6.如图,在锐角三角形���中,∠��� = 60°,将三角形���沿着射线��方向平移得到三角
形�′�′�′(平移后点 A,B,C 的对应点分别是点�′,�′,�′),连接��′.若在整个平
移过程中,∠���′和∠��′�的度数之间存在 2倍关系,则∠���′的度数不可能为( )
A.20° B.40° C.100° D.120°
7.如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标是 0,6 ,点 B 是 x 轴上的一个动点.以��为边向右侧
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作等边三角形���,连接��,在运动过程中,��的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图,△ ���中,沿∠���的平分线�� 1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠�1�1�
的平分线�1�2折叠,剪掉重叠部分;…;将余下部分沿∠B n A n C 的平分线 A n B n+1 折叠,
点 B n 与点 C 重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称△ ���是好三角形.如
果一个三角形的最小角是 15°,且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角,则此三角形另
两个角的度数为( )
A.10°, 100° B.15°,150° C.10°,150° D.15°,100°
9.如图,在 Rt △ ���中,∠��� = 90°,以该三角形的三条边为边向外作正方形����,正方
形����和正方形����,给出下列结论:①�� = ��.②�△��� = �△���.③过点 B 作�� ⊥ ��
于点 I,延长��交��于点 J,则�� = ��.④若 J 是��中点,则 2�� = ��.其中正确的结论
有 .(只填写序号)
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10.如图,四边形����中,对角线�� ⊥ ��,点 F 为��上一点,连接��交��于点 E,�� ⊥ ��,
�� = ��,∠��� = ∠��� = 45°,�� = 2��,�� = 20,则�� = .
11.如图,��是等腰△ ���的角平分线,�� = �� = 6,�� = 8,�为线段��(端点除外)上
的动点,连接��,作∠��� = ∠���,且�� = ��,连接��,当△ ���的周长最小时,则��
��
的值是 .
12.如图,在△ ���中,∠��� = 90°,�� = ��,�为射线��上一点(不与点�,�重合),
连接��并延长到点�,使得�� = ��,连接��,过点�作��的垂线交直线��于点�.
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(1)如图 1,点�在线段��上,且�� < ��.
①请补全图形;
②判断��,��,��之间的数量关系,并证明.
(2)如图 2,若点�在线段��的延长线上,请画出图形,直接写出��,��,��之间的数量关系.
13.(1)情境观察:
如图①,△ ���中,∠��� = 45°,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,垂足分别为�、�,��与��交于点�,
△ ���与△ ���全等吗?请说明理由;
(2)问题探究:
如图②,△ ���中,∠��� = 45°,�� = ��,��平分∠���,�� ⊥ ��,��与��交于点�.猜
想��与��之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展延伸:
如图③,△ ���中,∠��� = 45°,�� = ��,受图②结论的启发,小聪在��上取了一点�,
作∠��� = 22.5°,�� ⊥ ��,��交��于点�,若�� = 2,请你帮小聪求出��的长.
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14.如图 1,在平面直角坐标系中,� 8,0 ,点�在第二象限的角平分线上,��,��的垂直平
分线交于点�.
(1)直接写出∠��� = °;
(2)如图 2,设��交�轴于点�,若� −4,4 ,求点�的坐标;
(3)如图 3,过�作�� ⊥ ��交�轴于点�,若∠��� = 30°,求△���的面积.
15.如图,在△ ���中,∠��� = ∠���.
(1)如图 1,若�是��边上的一点,点�为线段��的中点,连接��,�� ⊥ ��于�,�� = 1
3
��,
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�� = 20,求��的长度.
(2)如图 2,H 为线段��上一点,连接��,E 为��的中点,连接��并延长交��于�,再连接��,
若�� = ��,求证:∠��� +∠��� = ∠���.
(3)如图 3,若∠��� = 90°,∠��� = 1
3
∠��� = 1
2
∠���,��为△ ���的角平分线,将△���
沿��翻折 180°后得到△���,再将△���绕点�逆时针方向旋转�角度 0° ≤ � ≤ 180° ,当线
段�′�′所在直线分别与��和��所在的直线夹角为 80°时,线段��′所在的直线与��所在的
直线形成的锐角度数为�,线段��′所在的直线与��所在的直线形成的锐角度数为�,请直接
写出
�
�
的值.
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专项 6 三角形综合压轴题
1.【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题,以及三角形外角的性质,先
根据角平分线和平角的定义可得:∠��� = 90°,分 4种情况讨论,①当∠��� = 3∠�时,
②当∠��� = 3∠�时,③当∠� = 3∠�时,④当∠� = 3∠�时,根据三角形内角和定理及
外角的性质可得结论.
【详解】解:∵��平分∠���,��平分∠���,
∴∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴∠���+∠��� = 1
2
∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = 90°,
当①∠��� = 3∠�时.
∠� = 1
3
∠��� = 30°,
∵��平分∠���,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = 45° − 30° = 15°
∴∠��� = 30°,
∵�� ⊥ ��于点�,
∴∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° − 30° = 60°,
②当∠��� = 3∠�时,
∴∠� = 1
3
∠��� = 30°
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∴∠� = 90° − 30° = 60°,
∵∠��� = 45°,
∴∠� = 60° > ∠��� = 45°
∴此种情况不成立.
③当∠� = 3∠�时,
设∠� = �°,
则:� + 3� = 90,
解得:� = 22.5,
∴∠��� = ∠���−∠� = 45° − 22.5° = 22.5°,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = 90° − 45° = 45°.
④当∠� = 3∠�时,
同理得:∠� = 22.5°,
∴∠� = 3 × 22.5° = 67.5°
∴∠� = 67.5° > ∠��� = 45°
∴此种情况不成立.
综上所述,∠���的度数为 60°或 45°,
故选∶C.
2.【答案】D
【知识点】全等三角形综合问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义
及性质
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,三角形内角和以及角平分线的定义,证明三角形
全等是解题的关键.
根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠��� +∠��� = 45°,继而得出∠���的度数,即
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可判断①;推出∠��� = ∠���,根据 ASA证明即可,即可判断②;证明△ ��� ≌△ ���(ASA),
得�� = ��,
∠��� = ∠���,根据外角的性质可判断③;通过等量代换可判断④.
【详解】解:在△ ���中,∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∵ ��、��分别平分∠���、∠���,
∴ ∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 1
2
(∠��� +∠���) = 1
2
× 90° = 45°,
∴∠��� = 180° − (∠��� +∠���) = 180° − 45° = 135°,故结论①正确;
∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 135° = 45°,
又∵�� ⊥ ��,
∴ ∠��� = ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 90° + 45° = 135°,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
,
∴△ ��� ≌△ ���(ASA),故结论②正确;
∴ ∠��� = ∠���, �� = ��, �� = ��,
∴ ∠��� = ∠��� = 90° −∠���,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
,
∴△ ��� ≌△ ���(ASA),
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∴ �� = ��,∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� + 1
2
∠���,
∴∠��� = ∠��� = ∠��� + 1
2
∠���,故结论③正确;
又∵�� = ��, �� = ��,
∴�� = �� = �� + �� = �� + ��,
即�� + �� = ��,故结论④正确,
∴正确的个数是 4个.
故选:D.
3.【答案】60
【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据成轴对
称图形的特征进行求解
【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题,等腰直角三角形的性质,等边三角形的判
定和性质,如图,作点 A关于直线��的对称点�′,连接�'�交��于 P,则此时点 P就是使 �� −
�� 的值最大的点, 连接�'�,根据等腰直角三角形的性质可得到∠���' = 15°,根据轴对称
的性质和等腰三角形的性质可推出△ �'��是等边三角形,进而即可得到结论,熟练掌握其性
质,合理添加辅助线是解决此题的关键.
【详解】如图,作点 A关于直线��的对称点�′,连接�'�交��于 P,
∴�� = ��′,
∴ �� − �� = ��' − �� = �'�,
根据三角形的三边关系可知,此时点 P就是使 �� − �� 的值最大的点,
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连接�'�,
∵△ ���为等腰直角三角形,�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 45°,∠��� = 90°,
∵∠��� = 15°,
∴∠��� = 75°,
∴∠���' = 15°,
∵�� = �'�,
∴�'� = ��,∠��'� = ∠���' = 15°,
∴∠���' = 150°,
∵∠��� = 90°,
∴∠�'�� = 60°,
∴△ �'��是等边三角形,
∴∠��'� = 60°,
∴∠��'� = ∠��'� −∠��'� = 60° − 15° = 45°,
∵�� = ��′,
∴∠���′ = ∠��′� = 45°,
∴∠��� = ∠���′ +∠�′�� = 45° + 15° = 60°,
故答案为:60.
4.【答案】4或 8或 12
【知识点】用 HL证全等(HL)、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了三角形全等的判定,分两种情况:①当 P在线段 ��上,②当 P在射线 ��
上,再分别分�� = ��和 �� = ��两种情况解答即可求解,运用分类讨论思想解答是解题的
关键.
【详解】解:①当�在线段��上,�� = ��时,△��� ≌△ ���,
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∵�� = 2cm,
∴�� = 2cm,
∴�� = 6 − 2 = 4cm,
∴点�的运动时间为 4 ÷ 1 = 4秒;
②当�在线段��上,�� = ��时,△ ��� ≌△���,
则�� = �� = 6cm,
∴�� = 0cm,
即时间为 0秒,不合题意;
③当�在射线��上,�� = ��时,△��� ≌△ ���,
∴�� = �� = 2cm,
∴�� = �� + �� = 6 + 2 = 8cm,
∴点�的运动时间为 8 ÷ 1 = 8秒;
④当�在射线��上,�� = ��时,△ ��� ≌△���,
则�� = �� = 6cm,
∴�� = �� + �� = 6 + 6 = 12cm,
∴点�的运动时间为 12 ÷ 1 = 12秒;
综上,当点�运动 4或 8或 12秒时,△ ���与点�、�、�为顶点的三角形全等,
故答案为:4或 8或 12.
5.【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②见解析.
【知识点】全等的性质和 HL综合(HL)、全等的性质和 SAS综合(SAS)、同(等)角的余(补)
角相等的应用、角平分线的有关计算
【分析】(1)根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解;
(2)①由∠��� = ∠��� = 45°,得∠��� +∠��� = 90°,由�� ⊥ ��,∠��� +∠��� =
90°,根据同角的余角相等即可得解;②过�作�� ⊥ ��交��的延长线于点�,则∠��� =
∠��� = 90°,进而得∠��� = 90° − 45° = 45°,证明△��� ≌△ ���,得�� = ��,�� = ��,
再证明△��� ≌△ ���得�� = ��,即可得证.
【详解】(1)证明∶小明∶过点�作�� ⊥ ��的延长线于点�,
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∵��平分∠���,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴�� = ��,∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠���,
∵�� = ��,
∴Rt △ ���≌Rt △ ��� HL ,
∴�� = ��,
∵∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠���,�� = ��,
∴△ ���≌△ ��� AAS ,
∴ �� = ��,
∵ �� = �� + ��
∴�� = �� + �� = �� + ��;
小丽∶延长��至�,使�� = ��,连接��,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵��平分∠���,
∴∠��� = ∠���,
∵�� = ��,�� = ��,
∴△ ���≌△ ��� SAS ,
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∴∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵�� = ��,�� = ��,
∴Rt △ ���≌Rt △ ��� HL ,
∴�� = ��,
∴�� = �� = �� + �� = �� + ��.
(2)①∵∠��� = ∠��� = 45°,
∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 90°,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���;
②过�作�� ⊥ ��交��的延长线于点�,
∴∠��� = 90°,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = 90° − 45° = 45°,
∵ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠���,�� = ��,∠��� = ∠���,
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∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,
∴�� = ��,�� = ��,
∵点�是��的中点,
∴�� = �� = ��,
∵∠��� = ∠��� = 45°,�� = ��,
∴△��� ≌△ ��� SAS
∴�� = ��,
∴�� = �� = �� +�� = �� + ��.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质,同角的余角相等,中点定义,角平分线的
性质,熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.
6.【答案】C
【知识点】利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质, 熟练掌握平移前后对应线段互相平行
以及两直线平行内错角相等是解题的关键.
根据△ ���的平移过程,分点�在��上和点�在��外两种情况,根据平移的性质得到
��∥�′�′,根据平行线的性质得到∠���′、∠���、∠�′��之间的等量关系,列出方程求
解即可.
【详解】解:如图 1,当点�′在��上时,过点 C作��∥��.
因为三角形�′�′�′由三角形���平移得到,
所以��∥�′�′.
因为��∥��,��∥�′�′,
所以��∥�′�′.
①当∠���′ = 2∠��′�′时,设∠��′�′ = �,则∠���′ = 2�.
因为��∥��,��∥�′�′,
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所以∠��� = ∠��� = 60°,∠�′�� = ∠��′�′ = �.
因为∠��� = ∠���′ +∠�′��,
所以 2� + � = 60°,
解得� = 20°,
所以∠���′ = 2� = 40°;
图 1
②当∠��′�′ = 2∠���′时,设∠��′�′ = �,则∠���′ = 1
2
�.
因为��∥��,��∥�′�′,
所以∠��� = ∠��� = 60°,∠�′�� = ∠��′�′ = �.
因为∠��� = ∠���′ +∠�′��,
所以� + 1
2
� = 60°,
解得� = 40°,
所以∠���′ = 1
2
� = 20°.
如图 2,过点 C作��∥��.
因为三角形�′�′�′由三角形 ABC平移得到,
所以��∥�′�′.
因为��∥��,��∥�′�′,
所以��∥�′�′.
①当∠���′ = 2∠��′�′时,设∠��′�′ = �,则∠���′ = 2�.
因为��∥��,��∥�′�′,
所以∠��� = ∠��� = 60°,∠�′�� = ∠��′�′ = �.
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因为∠���′ = ∠��� +∠�′��,
所以 2� = � + 60°,
解得� = 60°,所以∠���′ = 2� = 120°;
图 2
②当∠��′�′ = 2∠���′时,由图可知,∠��′�′ < ∠���′,故不存在这种情况
综上所述,∠���′的度数为 20°或 40°或 120°,
故选 C.
7.【答案】B
【知识点】全等的性质和 SAS综合(SAS)、含 30度角的直角三角形、等边三角形的性质、
坐标系中的动点问题(不含函数)
【分析】以��为边向左侧作等边三角形���,连接��,先证出△��� ≌△ ��� SAS ,根据全
等三角形的性质可得�� = ��,再根据垂线段最短可得当�� ⊥ �轴时,��的值最小,即此时��
的值最小,最后利用含 30度角的直角三角形的性质求解即可.
【详解】解:如图,以��为边向左侧作等边三角形���,连接��,
∴�� = �� = ��,∠��� = ∠��� = 60°.
∵△ ���为等边三角形,
∴�� = ��,∠��� = 60°,
∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即∠��� = ∠���,
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∴△��� ≌△ ��� SAS ,
∴�� = ��.
∴当�� ⊥ �轴时,��最短,即此时��最小.
∵� 0,6 ,
∴�� = 6,
∴�� = 6.
∵∠��� = 60°,∠��� = 90°,
∴∠��� = 30°,
∴�� = 1
2
�� = 3,即在运动过程中,��的最小值为 3.
故选 B.
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含 30度角的
直角三角形的性质等知识,通过作辅助线,构造全等三角形是解题关键.
8.【答案】B
【知识点】折叠问题、图形类规律探索
【分析】此题是三角形综合题,主要考查了折叠问题,找规律,三角形的内角和定理,根据经
过三次折叠∠���是△ ���的好角,所以第三次折叠的∠�2�2� = ∠�,由∠���1 = ∠��1�1,
∠��1�1 = ∠�1�1� +∠�,又∠�1�1� = ∠�1�2�2,∠�1�2�2 = ∠�2�2� +∠�,∠���1 =
∠�1�1� +∠� = ∠�2�2� +∠� +∠� = 3∠�,由此即可求得结果,从折叠有限次数中找到
规律是解本题的关键,也是难点.
【详解】解:在△ ���中,沿∠���的平分线��1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠�1�1�
的平分线�1�2折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠�2�2�的平分线�2�3折叠,点�2与点�
重合,则∠���是Δ���的好角.
理由如下:∵根据折叠的性质知,∠� = ∠��1�1,∠� = ∠�2�2�,∠�1�1� = ∠�1�2�2,
∴根据三角形的外角定理知,∠�1�2�2 = ∠� +∠�2�2� = 2∠�;
∵根据四边形的外角定理知,∠��� +∠� +∠��1�1 −∠�1�1� = ∠��� + 2∠� − 2� =
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180°,
根据三角形���的内角和定理知,∠��� +∠� +∠� = 180°,
∴ ∠� = 3∠�;
∴当∠� = ∠�时,∠���是△ ���的好角;
当∠� = 2∠�时,∠���是△ ���的好角;
当∠� = 3∠�时,∠���是△ ���的好角;
故若经过�次折叠∠���是△ ���的好角,则∠�与∠�(不妨设∠� > ∠�)之间的等量关系为
∠� = �∠�,
∵最小角是 15°是△ ���的好角,
根据好角定义,则可设另两角分别为 15�°, 15��°(其中�、�都是正整数).
由题意,得 15� + 15�� + 15 = 180,所以� � + 1 = 11.
因为�、�都是正整数,所以�与� + 1是 11的整数因子,
因此有:� = 1, � + 1 = 11;
所以� = 1,� = 10;
所以 15� = 15°, 15�� = 150°;
所以该三角形的另外两个角的度数分别为:15°,150°;
故选:B.
9.【答案】①②③④
【知识点】全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定,解题的关键是正确作出辅助线.首先根据题意证
明出△ ��� ≌△��� SAS ,进而得到�� = ��,即可判断①;过点 F作�� ⊥ ��交��延长线
于点 O,证明出△ ��� ≌△ ��� AAS ,得到�� = ��,然后利用三角形面积公式即可得到
�△��� = �△���,即可判断②;过点 A作�� ⊥ ��交��的延长线于点 P,过点 C作�� ⊥ ��,证
明出△ ��� ≌△ ��� AAS ,得到�� = ��,同理得到�� = ��,得到�� = ��,然后证明出
△ ��� ≌△ ��� AAS ,得到�� = ��,即可判断③;延长��交��于�,过�作�� ⊥ ��于�,过�
作�� ⊥ ��于�,同理可得:△��� ≌△ ���,可得�△��� = �△��� = �△���,证明�� = ��,证
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14
明△ ��� ≌△���,可得△ ��� ≌△���,从而可得结论;
【详解】解:∵在 Rt △ ���中,∠��� = 90°,以该三角形的三条边为边向外作正方形����,
正方形����和正方形����,
∴�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 90°,
∵∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∴△ ��� ≌△��� SAS ,
∴�� = ��,故①正确;
如图所示,过点 F作�� ⊥ ��交��延长线于点 O,
∵∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
又∵∠� = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴�� = ��,
∵�� = ��,
∵�△��� =
1
2
�� ⋅ ��,�△��� =
1
2
�� ⋅ ��,
∴�△��� = �△���,
同理可得:�△��� = �△���,
∴�△��� = �△���,故②正确;
如图所示,过点 A作�� ⊥ ��交��的延长线于点 P,过点 C作�� ⊥ ��,
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15
∵∠��� +∠��� = 180° − 90° = 90°,∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
又∵∠� = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴�� = ��,
同理可证,△ ��� ≌△��� AAS ,
∴�� = ��,
∴�� = ��,
∵∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴�� = ��,故③正确;
延长��交��于�,过�作�� ⊥ ��于�,过�作�� ⊥ ��于�,
∵�为��中点;
同理可得:△ ��� ≌△ ���,
∴�△��� = �△��� = �△���,�� = ��,
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16
∴
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ��,而�� = ��,
∴�� = ��,
∵��∥��,∠��� = ∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 180° = ∠��� +∠���,
∴∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△���,
∴�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ���,
∴�� = ��,而�� = ��,
∴�� = 2��;故④正确.
故答案为:①②③④.
10.【答案】12
【知识点】全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)、等腰三角形的性质和判定
【分析】延长��、��,交于点�,先证明△ ���为等腰直角三角形,再判定△ ��� ≌△ ��� ASA ,
然后在等腰直角△ ���中得�� = �� = 20,设�� = �,则�� = 2�,判定△��� ≌△ ��� AAS ,
从而�� = �� = 2�,解得�的值,最后根据�� = �� + ��,可得答案.
【详解】解:延长��、��,交于点�,如图:
∵ �� ⊥ ��,∠��� = 45°,
∴ ∠��� = 90°,∠��� = 90° − 45° = 45°,
∴ △ ���为等腰直角三角形,
∴ �� = �� = 20,
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∵ ∠��� = 90°,∠��� = 45°,∠��� = 45°,
∴ ∠��� = ∠��� = ∠��� = 45°,
∵ �� ⊥ ��,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∵ ∠��� +∠��� = ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△���中,
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
,
∴ △ ��� ≌△��� ASA ,
∴ �� = ��,
∵ �� = 2��,
∴设�� = �,则�� = 2�,
∵ �� = ��,
∴ ∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = ∠��� = 45°,
∴ ∠��� = 135° −∠��� = ∠���,
在△ ���和△���中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴ △ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴ �� = �� = 2�,
∴ �� = �� + �� + �� = 5� = 20,
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解得:� = 4,
∴ �� = �� + �� = 3� = 12,
故答案为 12.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点,正确作出
辅助线构造全等三角形是解题的关键.
11.【答案】7
4
.
【知识点】全等的性质和 SAS综合(SAS)、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判
定、等腰三角形的定义
【分析】首先过点�作�� ⊥ ��、�� ⊥ ��,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得
�� = ��,从而可得��
��
= ��
��
= 3
4
,连接��,证△ ��� ≌△ ���,得∠��� = ∠���,所以可
得点�在射线��上运动,作点�关于射线��的对称点�′,当点�′、�、�三点共线时△ ���
的周长最小,此时可得
��
��
= �
′�
��
= �
′�
��
= ��
��
= 7
4
.
【详解】解:如下图所示,过点�作�� ⊥ ��、�� ⊥ ��,连接��,
∵ ��平分∠���,
∴ �� = ��,∠��� = 1
2
∠���,
∴ �△���
�△���
=
1
2��·��
1
2��·��
= ��
��
= 6
8
= 3
4
,
∵△ ���和△ ���分别看成以��、��为底边,则对应边上的高相同,
∴ ��
��
= �△���
�△���
= ��
��
= 3
4
,
∴ ��
��
= 3+4
4
= 7
4
,
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∵ ∠��� = ∠���,
∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���,
∴ ∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
∴点�在射线��上运动,
如图,作点�关于射线��的对称点�′,连接�′�,�′�,则�′� = �� = �� = 6 , �′� = ��,
∠��� = ∠�′��,
∴△ ���的周长= �� + �� + �� = �′� + �� + �� ,
由题意得��为定值,
∴如下图所示,当点�′、�、�三点共线时,�′� + ��最小,即△���的周长最小,
∵∠��� = ∠�′��,
∴同
��
��
= ��
��
的理由可得
�′�
��
= �
′�
��
,
∵�′� = �� , �′� = ��,��
��
= 7
4
,
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20
∴ ��
��
= �
′�
��
= �
′�
��
= ��
��
= 7
4
.
【点睛】本题考查等腰三角形性质,角平分线的性质、三角形全等的判定与性质及两点之间线
段最短,解决本题的关键是根据对称性得到当点�′、�、�三点共线时△ ���的周长最小.
12.【答案】(1)①见解析;②�� = �� + ��,证明见解析
(2)画图见解析,�� = �� + ��
【知识点】全等三角形综合问题、证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质;
(1)①根据题意画出图形即可;②作�� ⊥ ��交��的延长线于�,证明△��� ≌△ ���得到
�� = ��,�� = ��,从而得到�� = ��,证明△ ��� ≌△ ���得到�� = ��,即可得证;
(2)根据题意画出图形,作�� ⊥ ��交��的延长线于�,证明△��� ≌△ ���得到�� = ��,
�� = ��,从而得到�� = ��,证明△ ��� ≌△ ���得到�� = ��,即可得证.
【详解】(1)解:①补全图形如图所示:
②�� = �� + ��,
证明:如图,作�� ⊥ ��交��的延长线于�,
则∠��� = ∠��� = 90°,
在△ ���和△���中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
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21
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴ �� = ��,�� = ��,
∵ �� = ��,
∴ �� = ��,
∵ �� ⊥ ��,
∴ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∵ ∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴ �� = ��,
∴ �� = �� = �� + �� = �� + ��;
(2)解:画出如图所示:
关系:�� = �� + ��,
作�� ⊥ ��交��的延长线于�,
则∠��� = ∠��� = 90°,
在△ ���和△���中,
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22
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴ �� = ��,�� = ��,
∵ �� = ��,
∴ �� = ��,
∵ �� ⊥ ��,
∴ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∵ ∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴ �� = ��,
∴ �� = �� = �� + �� + �� = �� + ��;
13.【答案】(1)全等,理由见解析;(2)�� = 2��,理由见解析;(3)4.
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问
题、等腰三角形的性质和判定
【分析】(1)由∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,得∠��� = ∠���,则�� = ��,即可证
明△ ��� ≌△ ���;
(2)延长��,��交于点�,先证明△ ��� ≌△ ��� ASA ,得�� = �� = 1
2
��,再证明△ ��� ≌△
��� ASA , 根据性质即可求证;
(3)过点�作��∥��交��的延长线于点�,交��于点�,先证明△ ��� ≌△ ��� AAS ,得
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�� = ��,再由等腰三角形的判定得∠��� = ∠���, 再证明△��� ≌△��� ASA ,根据全
等三角形的性质和线段和差即可求解.
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行线的性质,同角的
余角相等,直角三角形的两个锐角互余等知识,熟练掌握知识点的应用,正确添加辅助线是解
题的关键.
【详解】解:(1)全等,理由如下:
∵�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = ∠��� = 90°,
∵∠��� = 45°,
∴∠��� = 90° − 45° = 45°,
∴∠��� = ∠���,
∴�� = ��,
∵∠�+∠��� = ∠�+∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� ASA ;
(2)�� = 2��;理由如下:
延长��,��交于点�,如图所示:
∵∠��� = 45°,�� = ��,
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∴∠��� = ∠��� = 45°,
∴∠��� = 180° − 45° − 45° = 90°,
∴∠��� = 180° − 90° = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∵��平分∠���,
∴∠��� = ∠���,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,
∴�� = �� = 1
2
��,
∵∠� +∠��� = ∠� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∵�� = ��,∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,
∴�� = �� = 2��;
(3)过点�作�� ∥ ��交��的延长线于点�,交��于点�,如图所示:
∵∠��� = 45°,�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 45°,
∵��∥��,
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∴∠��� = ∠��� = 45°,
∴∠��� = 180° − 45° − 45° = 90°,
∴∠��� = 180° − 90° = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠���,
∴�� = ��,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∴∠� +∠��� = ∠� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴�� = ��,
∵∠��� = 45°,∠��� = 22.5°,
∴∠��� = 45° − 22.5° = 22.5°,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴△��� ≌△ ��� ASA ,
∴�� = �� = 2,
∴�� = �� = �� + �� = 4.
14.【答案】(1)90
(2)� 0,6
(3)32
【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题、坐标与
图形
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【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到�� = ��,�� = ��,则由等边对等角得到
∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,设∠��� = 2�,则∠��� = ∠��� = 90° − �,根据题
意可得∠��� = 45°,则∠��� = ∠��� −∠��� = 45° − �,进而得到∠��� = ∠��� =
45° + �,则可求出∠��� = 90° − 2�,进而可得∠��� = ∠��� +∠��� = 90°,
(2)过点 E作�� ∥ �轴,分别过点 A,点 B作��的垂线,垂足分别为 H、G,过点 B作�� ⊥ �
轴于 Q,设��与 y轴交于点 P,证明△��� ≌△��� AAS ,得到�� = ��,�� = ��,根据
� −4,4 ,� 8,0 ,得到�� = �� = 4,�� = 8,�� = �� − 4,�� = 4,进而求出�� =
8,�� = 4,则�� = 8 − 4 = 4,�� = 4,�� = �� = 4,证明△ ��� ≌△ ��� AAS ,得到�� =
�� = 1
2
�� = 2,则�� = 6,即� 0,6 ;
(3)如图所示,过点 E作�� ⊥ �轴于 K,求出∠��� = 45°,则∠��� = 75°,由�� = ��,
得到∠��� = ∠��� = 75°,�� = 1
2
�� = 4,则∠��� = 30°,进而得到∠��� = 60°,
∠��� = ∠��� = 60°,即可证明∠��� = ∠��� = 75°,求出∠��� = 90° −∠��� = 30°,
则∠��� = 75° = ∠���,证明△��� ≌△ ���,得到�� = ��,∠��� = ∠��� = ∠��� −
∠��� = 15°,则可求出∠��� = 30°,�� = 2�� = 16,�� = 16,即可得到�△��� =
1
2
�� ⋅
�� = 1
2
× 16 × 4 = 32.
【详解】(1)解:设��与�轴交于 T,
∵��, ��的垂直平分线交于点�,
∴�� = ��,�� = ��,
∴∠��� = ∠���,∠��� = ∠���;
设∠��� = 2�,则∠��� = ∠��� = 180°−2�
2
= 90° − �,
∵点�在第二象限的角平分线上,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 45° − �,
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∴∠��� = ∠��� = ∠��� −∠��� = 45° + �,
∴∠��� = 180° − 2 45° + � = 90° − 2�,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 90°,
故答案为:90;
(2)解:如图所示,过点 E作�� ∥ �轴,分别过点 A,点 B作��的垂线,垂足分别为 H、G,
过点 B作�� ⊥ �轴于 Q,设��与 y轴交于点 P,
由(1)可得�� = �� = ��,∠��� = 90°,
∴∠� = ∠� = ∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴�� = ��,�� = ��,
∵� −4,4 ,� 8,0 ,
∴�� = �� = 4,�� = 8,�� = �� − 4,�� = 4,
∴�� + �� − 4 = 12,
∴�� = 8,�� = 4,
∴�� = 8 − 4 = 4,�� = �� − �� = �� − �� = 4,
∴�� = �� = 4,
又∵∠��� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴�� = �� = 1
2
�� = 2,
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∴�� = 6,
∴� 0,6 ;
(3)解:如图所示,过点 E作�� ⊥ �轴于 K,
∵�� = ��,∠��� = 90°,
∴∠��� = 45°,
∵∠��� = 30°,
∴∠��� = 75°,
∵�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 75°,�� = 1
2
�� = 4,
∴∠��� = 30°,
∴∠��� = 60°,
∵�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 180°−60°
2
= 60°,
∵∠��� = 45°,
∴∠��� = 180° − 45° − 60° = 75°,
∴∠��� = ∠��� = 75°,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° −∠��� = 30°,
∴∠��� = 180° − 75° − 30° = 75° = ∠���,
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∴�� = ��,
∴△��� ≌△ ���,
∴�� = ��,∠��� = ∠��� = ∠��� −∠��� = 15°,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 60°,
∴∠��� = 30°,
∴�� = 2�� = 16,
∴�� = 16,
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 16 × 4 = 32.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,线段垂直平分
线的性质,坐标与图形,含 30度角的直角三角形的性质,三角形内角和定理等等,正确作出
辅助线构造全等三角形是解题的关键.
15.【答案】(1)2
(2)见详解
(3) 5
16
或
1
16
或
4
17
或
8
13
.
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)、
三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】(1)由等腰三角形的判定及性质得 �� = 1
2
�� = 10,设�� = �,由线段的和差得��
= 2�,由�� + �� + �� = ��即可求解;
(2)过�作��∥��交��于�,由 AAS可判定△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得�� = ��,
由 SAS可判定△ ��� ≌△���,由全等三角形的性质得∠��� = ∠���,即可得证;
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30
(3)设∠��� = �,可求∠��� = 15°,∠��� = 45°,∠��� = 30°,由三角形的内角和结
合由旋转和折叠的性质得∠��′�′ = ∠� = ∠��� = 30°,∠��� = ∠��� = ∠�′��′ =
105°,①当∠��� = 80°时,由外角的性质得∠��� = ∠��′�′ +∠���′,从而可求
∠���′ = 50°,由� = ∠��� +∠���求出�,由� +∠���′ = 180° −∠���求出�,即可
求解;②当∠���′ = 80°时,由外角的性质和三角形内角和得∠���′ = ∠��� +∠���,
再由∠��� = � +∠��′�′求出�,由� = ∠��� = 180° −∠��� −∠���求出�,即可求
解;③当∠��� = 80°时,由外角的性质和三角形内角和得∠��� = ∠���′ +∠��′�′,
由� = ∠��� +∠���求出�,� = ∠�′�� = ∠��� − �求出�,即可求解;④当∠���′ =
80°时,由三角形内角和定理得 ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 65°,∠��� = 180° −
∠��� −∠��� = 85°,由∠��� = ∠�′�� +∠��′�′求出�,由� = ∠��� +∠���求
出�,即可求解.
【详解】(1)解:∵ ∠��� = ∠���,
∴△ ���是等腰三角形,
∵ �� ⊥ ��,
∴ �� = 1
2
�� = 10,
设�� = �,
∵ �� = 1
3
��,
∴ �� = 3�,
∴ �� = ��− ��
= 2�,
∵点�为线段��的中点,
∴ �� = �� = 2�,
∵ �� + �� + �� = ��,
∴ � + 2� + 2� = 20,
解得:� = 4,