专项5 等腰三角形与手拉手模型-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)

2024-12-02
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学鲁教版(五四制)(2012)七年级上册
年级 七年级
章节 第一章 三角形
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 山东省
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.78 MB
发布时间 2024-12-02
更新时间 2024-12-02
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-12-02
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 5 等腰三角形与手拉手模型 1.两个大小不同的等腰直角三角板按图 1所示摆放,将两个三角板抽象成如图 2所示的△ ��� 和△ ���,其中∠��� = ∠��� = 90°,点�、�、�依次在同一条直线上,连结��.若�� = 4, �� = 2,则△���的面积是 . 2.如图,C为线段��上一动点(不与点 A、E重合),在��同侧分别作正△ ���和正△ ���, ��与��交于点 O,��与��交于点 P,��与��交于点 Q,连接��.以下五个结论:①�� = ��; ②�� ∥ ��;③�� = ��;④�� = ��;⑤∠��� = 60°. 恒成立的结论有 .(把你认为正确的序号都填上) 3.如图,△ ���为任意三角形,以边��、��为边分别向外作等边三角形���和等边三角形���, 连接��、��并且相交于点�. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 求证:(1)��=��; (2)∠��� = 120°. 4.在△ ���中,�� = ��,点 D是直线��上一点,连接��,以��为边向右作△ ���,使得�� = ��,∠��� = ∠���,连接 CE. (1)①如图 1,求证:△ ��� ≌△ ���; ②当点 D在��边上时,请直接写出△ ���,△ ���,△ ���的面积(�△���,�△���,�△���) 所满足的关系; (2)当点 D在��的延长线上时,试探究△���,△���,△ ���的面积(�△���,�△���,�△���) 所满足的关系,并说明理由. 5.如图,△ ���是等边三角形,�是��的中点,�在线段��上,连接��,以��为边在��的右 侧作等边△���,连接��,若存在实数�,使得���+�� �� 为定值�,则�和�分别是( ) 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 A.� = 1 2 ,� = 1B.� = 1 3 ,� = 1 C.� = 1,� = 3 2 D.� = 2,� = 3 6.如图,在△ ���和△ ���中,�� = ��,�� = ��,若∠��� = ∠��� = 60°,连接��、 ��交于点 P; (1)求证∶△ ��� ≌△ ���. (2)求∠���的度数. (3)如图(2),△ ���是等腰直角三角形,∠��� = 90°,�� = ��,�� = 14cm,点 D是射 线��上的一点,连接��,在直线��上方作以点 C为直角顶点的等腰直角△ ���,连接��, 若�� = 4cm,求��的值. 7.如图,△ ���和△ ���都是等边三角形,直线��,��交于点 F. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 (1)如图 1,当 A,C,D三点在同一直线上时,∠���的度数为______,线段��与��的数量 关系为______. (2)如图 2,当△ ���绕点 C顺时针旋转� 0° ≤ � ≤ 360° 时,(1)中的结论是否还成立?若 不成立,请说明理由:若成立,请就图 2给予证明. (3)若�� = 4,�� = 3,当△ ���绕点 C顺时针旋转一周时,请直接写出��长的取值范围. 8.在△ ���中,�� = ��,点�是直线��上一点(不与�、�重合),把线路��绕着点�逆时 针旋转至��(即�� = ��),使得∠��� = ∠���,连接��、��. (1)如图 1,点�在线段��上,如果∠��� = 90°,则∠��� =__________度. (2)如图 2,当点�在线段��上,如果∠��� = 60°,则∠��� =__________度. (3)如图 3,设∠��� = �,∠��� = �,当点�在线段��上移动时,�,�的数量关系是什么? 请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 (4)设∠��� = �,∠��� = �,当点�在直线��上移动时,请直接写出�,�的数量关系,不 用证明. 9.已知在△ ���中,�� = ��,过点 B引一条射线��,D是��上一点 【问题解决】 (1)如图 1,若∠��� = 60°,射线��在∠���内部,∠��� = 60°,求证:∠��� = 60°,小 明同学展示的做法是:在��上取一点 E使得�� = ��,通过已知的条件,从而求得∠���的 度数,请你帮助小明写出证明过程; 【类比探究】 (2)如图 2,已知∠��� = ∠��� = 30°. ①当射线��在∠���内,求∠���的度数 ②当射线��在��下方,如图 3所示,请问∠���的度数会变化吗?若不变,请说明理由,若 改变,请求出∠���的度数; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 10.如图 1,在△ ���中,�� ⊥ ��于点�,�� = ��,�是��上的一点,且�� = ��,连接��, ��. (1)如图 1试判断��与��的位置关系和数量关系,并说明理由; (2)如图 2,若将△���绕点�旋转一定的角度后,试判断��与��的位置关系和数量关系是否 发生变化,并说明理由; (3)如图 3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变. ①试猜想��与��的数量关系,并说明理由; ②你能求出��与��的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由. 11.已知:△ABC与△BDE都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有∠ABC=∠ DBE. (1)如图 1,如果 A、B、D在一直线上,且∠ABC=60°,求证:△BMN是等边三角形; (2)在第(1)问的情况下,直线 AE和 CD的夹角是 °; (3)如图 2,若 A、B、D不在一直线上,但∠ABC=60°的条件不变则直线 AE和 CD的夹 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 角是 °; (4)如图 3,若∠ACB=60°,直线 AE和 CD的夹角是 °. 12.数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用基本途径.通过探究图形的变化规律,再结 合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地. (1)发现问题:如图 1,在△ ���和△ ���中,�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 30°, 连接��,��,延长��交��于点 D.则��与��的数量关系:__________,∠��� = ; (2)类比探究:如图 2,在△ ���和△ ���中,�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 120°, 连接��,��,延长 BE,��交于点 D.请猜想��与��的数量关系及∠���的度数,并说明理 由; (3)拓展应用:在△ ���和△ ���中,�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 90°,连接��, ��,将△ ���绕它们共同的顶点 A旋转一定的角度后,若 B,E,F三点刚好在同一直线上, 求此时∠���的度数. 13.某数学小组在探究三角形之间的关系问题中,经历了如下过程: 问题发现 如图,�,�分别是钝角∠���的边��,��上的点,�为∠���内部的一点,分别以��,�� 为腰作等腰△ ���和△ ���,且�� = ��,�� = ��,��交��于点�,∠��� = ∠��� = ∠���, 请根据下图的各角和点的位置情况. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 (1)当∠��� = ∠��� = ∠��� = 50°时,�� �� 的值为_______,∠���的度数为______. 猜想论证 (2)当∠��� = ∠��� = ∠��� = � 0 < � < 90° 时,�� �� 的值是否会发生变化?∠���的度 数与�存在什么数量关系?请分别进行说明. 拓展思考 (3)当�为钝角,且点�落在直线��上时,(2)中的结论是否仍然成立?如果成立,直接写 出∠���与∠���满足的数量关系,不必说明理由;如果不成立,直接写出结论,不必证明. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 5 等腰三角形与手拉手模型 1.【答案】6 【知识点】全等的性质和 SAS综合(SAS)、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识,根据 SAS证明 △ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得出∠��� = ∠�,�� = ��,则可得出答案. 【详解】解:∵ ∠��� = ∠��� = 90°, ∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,即∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴ ∠��� = ∠�,�� = ��, ∵ ∠� = 45°, ∴ ∠��� = 45°, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 90°, ∵ �� = 4,�� = 2, ∴ �� = 6, ∴ �� = 6, ∴ �△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 × 2 × 6 = 6, 故答案为:6. 2.【答案】①②③⑤ 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质,平行线的判定以及性质. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 ①由于△ ���和△ ���是等边三角形,可知�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°,从 而利用 SAS证出△ ��� ≌△ ���,可推知�� = ��;②由△ ��� ≌△ ���得�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°,∠��� = ∠���,得到△ ��� ≌△ ���,再根据推出为△ ���等边三角形,又 由∠��� = ∠���,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确;③由①和②可得出�� = ��, �� = ��,即可证�� = ��;④根据∠��� = ∠��� +∠��� = 60° + ���,,∠��� = 60°, 可知∠��� ≠ ���,�� > ��,且�� = ��,得出�� > ��,可知④错误;⑤利用等边三角形 的性质得出�� ∥ ��,再根据平行线的性质得到∠��� = ∠���,于是∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 60°,可知⑤正确. 【详解】解:①∵正△ ���和正△ ���, ∴�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°, ∵∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +∠���, ∴∠��� = ∠���, 在△ ���和△���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴�� = ��,∠��� = ∠���, 故①正确; ②又∵�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°,∠��� = ∠���, ∴△ ��� ≌△ ��� ASA . ∴�� = ��, ∴∠��� = ∠��� = 60°, ∴∠��� = ∠���, ∴�� ∥ ��, 故②正确; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 ③∵△ ��� ≌△ ���, ∴�� = ��, ∵△ ��� ≌△ ��� ∴�� = ��, ∴�� − �� = �� − ��, ∴�� = ��, 故③正确; ④∵�� > ��,且�� = ��, ∴�� > ��, 故④错误; ⑤∵∠��� = ∠��� = 60°, ∴∠��� = 60°, ∵△���是等边三角形, ∴∠��� = 60° = ∠���, ∴�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠��� ∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 60°, 故⑤正确. ∴正确的有:①②③⑤. 故答案为:①②③⑤. 3.【答案】(1)见解析;(2)见解析 【知识点】等边三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】(1)根据等边三角形的性质得出 AD=AB,AC=AE,∠ACE=∠AEC=60°,∠DAB= ∠EAC=60°,求出∠DAC=∠BAE,根据 SAS推出△DAC≌△BAE即可; (2)根据全等三角形的性质得出∠BEA=∠ACD,求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC, 代入求出即可. 【详解】证明:(1)∵以 AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 ∴AD=AB,AC=AE,∠ACE=∠AEC=60°,∠DAB=∠EAC=60°, ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE, 在△DAC和△BAE中, AD=AB ∠��� = ∠��� AC=AE , ∴△DAC≌△BAE(SAS), ∴CD=BE; (2)∵△DAC≌△BAE, ∴∠BEA=∠ACD, ∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC =∠BEA+∠ACE+∠PEC =∠ACE+∠AEC =60°+60° =120°. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,关键是求出△DAC ≌△BAE. 4.【答案】(1)①证明见解析;②�△��� = �△��� + �△���,理由见解析 (2)�△��� = �△��� + �△���,理由见解析 【知识点】全等的性质和 SAS综合(SAS) 【分析】(1)①先证明∠��� = ∠���,再利用 SAS证△ ��� ≌△ ���即可;②利用全等三 角形的性质得到�△��� = �△���,再由�△��� = �△��� + �△���即可得到结论; (2)由已知条件可得证出,△ ��� ≌△ ���,推出�△��� = �△���,再由�△��� = �△��� + �△���, 即可得到�△��� = �△��� + �△���. 【详解】(1)证明:①∵∠��� = ∠���, ∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即∠��� = ∠���. 在△ ���和△ ���中, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� 。 ∴△ ��� ≌△ ��� SAS . ②�△��� = �△��� + �△���,理由如下: ∵△ ��� ≌△ ���, ∴�△��� = �△���, ∵�△��� = �△��� + �△���, ∴�△��� = �△��� + �△���; (2)解:�△��� = �△��� + �△���,理由如下: ∵∠��� = ∠���, ∴∠��� +∠1 = ∠��� +∠1,即∠��� = ∠���. 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴�△��� = �△���, ∵�△��� = �△��� + �△���, ∴�△��� = �△��� + �△���. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,熟知全等三角形的判定定理以及性质是解 题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 5.【答案】A 【知识点】全等的性质和 SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质 【分析】在��上截取�� = ��,连接��,通过证明△���≌△ ���,可得�� = ��,即可求 解. 【详解】解:如图,在��上截取�� = ��,连接��, ∵△ ���是等边三角形, ∴ ∠��� = 60°, ∵ �是��的中点, ∴ �� = �� = 1 2 �� = 1 2 ��, ∴△ ���是等边三角形, ∴ ∠��� = 60°,�� = ��, ∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = ��,∠��� = 60°, ∴ ∠��� = ∠���, 在△���与△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� ��=�� , ∴△ ���≌△ ��� SAS . ∴ �� = ��, ∴ �� + �� = ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 ∴ 1 2 �� + �� = ��, ∴ 1 2��+�� �� = 1, ∴ � = 1 2 ,� = 1; 故选:A. 【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,本题的 难点是作出辅助线,构成全等三角形. 6.【答案】(1)见解析 (2)60° (3)�� = 10cm或 18cm 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和 SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质 和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质,三角形内角和定理的应用; (1)根据题意得出∠��� = ∠���,即可证明△ ��� ≌△ ��� SAS ; (2)根据题意可得△ ���是等边三角形,根据(1)的结论可得∠��� = ∠���,进而根据 三角形的内角和定理,即可求解; (3)分情况讨论,当�在线段��上时,当�在��的延长线上时,证明△ ��� ≌△ ��� SAS , 得出�� = ��,结合图形,即可求解. 【详解】(1)证明:∵∠��� = ∠��� = 60°, ∴∠��� = ∠���, 又∵�� = ��,�� = ��, ∴△ ��� ≌△ ��� SAS ; (2)解:∵�� = ��,∠��� = 60°, ∴△ ���是等边三角形, ∴∠��� = ∠��� = 60°, ∵△ ��� ≌△ ���, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 ∴∠��� = ∠���, ∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − ∠��� −∠��� − ∠��� +∠��� = 180° − 60° +∠��� − 60° −∠��� = 60°; (3)解:如图所示,当�在线段��上时, ∵△ ���是以点�为直角顶点的等腰直角三角形, ∴∠��� = 90°, �� = ��, 又∵∠��� = 90°,�� = ��, ∴∠��� = 90° −∠��� = ∠���, ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴�� = ��, ∵�� = 14, �� = 4, ∴�� = �� = �� − �� = 10cm, 如图所示,当�在��的延长线上时, 同理可得,∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴�� = ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 ∵�� = 14, �� = 4, ∴�� = �� = �� + �� = 18cm, 综上所述,�� = 10cm或 18cm. 7.【答案】(1)60°,�� = ��; (2)成立,理由见解析 (3)1 ≤ �� ≤ 7 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、全等的性质和 SAS综合(SAS) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,以及旋转的性 质,解答时证明三角形全等是关键. (1)利用等边三角形的性质证明△ ��� ≌△ ���,结合三角形的外角就可以得出结论; (2)同(1)中方法证明△ ��� ≌△ ���,得出�� = ��,∠2 = ∠3,再根据三角形的内角 和得出∠��� = 60°; (3)当 B、C、D 三点共线时得出��的最大和最小值,即可得出结论. 【详解】(1)解:∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = ��,∠��� = 60°, ∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = ��,∠��� = 60°, ∴ ∠��� = ∠��� = 60° ∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���, 即∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△ ���, ∴ �� = ��,∠��� = ∠���, ∵ ∠��� = ∠��� +∠���,且∠��� = 60° 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 60° (2)(1)中结论仍成立, ∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = ��,∠��� = 60°, ∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = ��,∠��� = 60°, ∴ ∠��� = ∠��� = 60° ∴ ∠��� +∠1 = ∠��� +∠1, 即∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△ ���, ∴ �� = ��,∠2 = ∠3, ∵ ∠��� +∠3 = ∠��� +∠2,且∠��� = 60°, ∴ ∠��� = 60°; (3)∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = �� = 4, 当旋转�=60°时,B、C、D 三点共线,此时�� = �� + �� = 7, 当旋转�=240°时,B、C、D 三点共线,此时�� = �� − �� = 1; ∴1 ≤ �� ≤ 7. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 8.【答案】(1)90 (2)120 (3)� + � = 180° (4)� + � = 180°或� = � 【知识点】根据等边对等角证明、全等的性质和 SAS综合(SAS) 【分析】(1)由“SAS”可证△ ��� ≌△ ���,得∠��� = ∠��� = 45°,可求∠���的度数; (2)由“SAS”可证△ ��� ≌△ ���,得∠��� = ∠��� = 60°,可求∠���的度数; (3)由“SAS”可证△ ��� ≌△ ���得出∠��� = ∠���,再用三角形的内角和即可得出结 论; (4)由“SAS”可证△ ��� ≌△ ���得出∠��� = ∠���,再用三角形的内角和即可得出结 论. 【详解】(1)解:∵∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠��� = 90°, ∵�� = ��,�� = ��, ∴∠� = ∠��� = 45°,∠��� = ∠��� = 45°, ∵∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴∠��� = ∠� = 45°, ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 90°, 故答案为:90; (2)∵∠��� = 60°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 ∴∠��� = ∠��� = 60°, ∵�� = ��,�� = ��, ∴∠� = ∠��� = 60°,∠��� = ∠��� = 60°, ∵∠��� = ∠���, ∴∠���=∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴∠��� = ∠� = 60°, ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120°, 故答案为:120; (3)� + � = 180°, 理由如下: ∵�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴∠��� = ∠�, ∴∠��� +∠��� = ∠� +∠���, ∵∠��� = ∠��� +∠��� = �, ∴∠� +∠��� = �, ∵∠��� = �,∠��� +∠� +∠��� = 180°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 ∴� + � = 180°; (4)如图 4,当点 D 在��的延长线上时,� + � = 180°, 证明方法同(3); 如图 5,当点 D 在��的延长线上时,� = �, 理由如下:∵∠��� = ∠���, ∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠���, ∴∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +∠���, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� = �,∠��� = �, ∴� = �. 综上,� + � = 180°或� = �. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 【点睛】此题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等 腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识,本题综合性强,熟练掌握等腰三角形的性质, 证明△ ��� ≌△ ���是解题的关键. 9.【答案】(1)见解析 (2)①∠��� = 120°②;∠���的度数会变化,理由见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、等边对等角、全等的性质和 SAS综合(SAS)、三角 形内角和定理的应用 【分析】(1)根据等边三角形的判定定理得到△ ���、△ ���是等边三角形,进而得到∠��� = ∠���,根据 SAS证明△ ��� ≌△ ���,根据全等三角形的性质得到∠��� = ∠��� = 120°, 得到答案; (2)①在��上取一点 E,�� = ��,证明△ ��� ≌△ ���,得到∠��� = 150°,可求出答案; ②在��延长线上取一点E,使得�� = ��,同理证明△��� ≌△ ���,求出∠��� = ∠� = 30°, 进而求出∠���. 【详解】(1)证明:如图 1,在��上取一点 E,使�� = ��, ∵∠��� = 60°, ∴△ ���是等边三角形, ∴∠��� = 60°, ∵�� = ��,∠��� = 60°, ∴△ ���是等边三角形, ∴∠��� = 60°, ∴∠��� = ∠���, ∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即∠��� = ∠���, ∵在△ ���和△ ���中 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 15 ∴∠��� = ∠��� = 120°, ∴∠��� = 120° − 60° = 60°; (2)证明:①在��上取一点 E,�� = ��,如图所示: ∵∠��� = ∠��� = 30°,�� = ��, ∴∠��� = ∠��� = 30°,∠��� = ∠��� = 30°, ∴∠��� = ∠��� = 120°, ∴∠��� = ∠���, ∵在△ ���和△ ���中 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴∠��� = ∠��� = 180° − 30° = 150°, ∴∠��� = 150° − 30° = 120°; ②∠���的度数会变化,理由如下: 在��延长线上取一点 E,使得�� = ��,如图所示: 同理①的方法可证:△ ��� ≌△ ���, ∴∠��� = ∠� = 30°, ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 30° + 30° = 60°. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判 定和性质,正确作出辅助线,构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 16 10.【答案】(1)�� = ��, �� ⊥ ��,见解析 (2)不发生变化,见解析 (3)①�� = ��,见解析;②能,60° 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、根据等边对等角证明、全等的性质和 SAS综合(SAS) 【分析】(1)延长��交��于点�,证明△ ��� ≌△ ���,得到�� = ��,∠��� = ∠���, 推出∠��� = 90°,即可; (2)证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,得到�� = ��,∠��� = ∠���,进一步推出∠��� = 180° − 90° = 90°,即可; (3)①证明△ ��� ≌△ ��� SAS 即可;②证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,得到∠��� = ∠���, �� = ��,根据∠��� = 180° − ∠��� +∠��� +∠��� ,进行求解即可. 【详解】(1)解:�� = �� ,�� ⊥ ��, 理由如下:延长��交��于点�. ∵ �� ⊥ ��, ∴ ∠��� = ∠��� = 90°. 在△ ��� 和△ ��� 中, �� = ��, ∠��� = ∠���, �� = ��, ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴ �� = ��,∠��� = ∠���. ∵ ∠��� = 90° , ∴ ∠��� +∠��� = 90° . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 17 ∵ ∠��� = ∠���, ∴ ∠��� +∠��� = 90° , ∴ ∠��� = 180° − 90° = 90°, ∴ �� ⊥ ��. (2)不发生变化. 理由如下:∵ ∠��� = ∠��� = 90° , ∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� , ∴ ∠��� = ∠���. 在△ ��� 和△ ��� 中, �� = ��, ∠��� = ∠���, �� = ��, ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴ �� = ��,∠��� = ∠���. ∵ ∠��� = 90°, ∴ ∠��� +∠��� = 90°. ∵ ∠��� = ∠���, ∴ ∠��� +∠��� = 90°, ∴ ∠��� = 180° − 90° = 90°, ∴ �� ⊥ ��. (3)①�� = �� ,理由如下: ∵ ∠��� = ∠��� = 60°, ∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���, ∴ ∠��� = ∠���. 在△ ��� 和△ ��� 中, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 18 �� = ��, ∠��� = ∠���, �� = �� ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴ �� = ��. ②能.�� 与�� 所成的夹角的度数为 60° . 理由如下:∵△ ��� 和△��� 是等边三角形, ∴ �� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°, ∠��� = ∠��� = 60°, ∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���, ∴ ∠��� = ∠���. 在△ ��� 和△ ��� 中, �� = ��, ∠��� = ∠���, �� = ��, ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴ ∠��� = ∠���,�� = ��. ∴ ∠��� = 180° − ∠��� +∠��� +∠��� = 180° − ∠��� +∠��� +∠��� = 180° − 60° + 60° = 60°, 即�� 与�� 所成的夹角的度数为 60°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,掌握相 关性质,证明三角形全等,是解题的关键. 11.【答案】(1)证明见解析;(2)60;(3)60;(4)60; 【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性 质 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 19 【分析】(1)根据题意,得∠ABC=∠DBE=60°,从而得∠��� = ∠���;通过证明△ ��� ≌△ ���,得∠��� = ∠���;通过证明△ ��� ≌△ ���,得�� = ��,根据等边三角形的性质 分析,即可完成证明; (2)结合题意,通过证明△ ���为等边三角形,得∠��� = ∠��� = 60°;结合(1)的结论, 根据三角形外角性质,推导得∠��� = 120°,从而完成求解; (3)同理,通过证明△���为等边三角形,得∠��� = ∠��� = 60°;通过证明△��� ≌△ ���, 得∠��� = ∠���;根据三角形外角性质,推导得∠��� = 120°,从而完成求解; (4)根据题意,通过证明△ ���为等边三角形,推导得∠��� = ∠���,通过证明△ ��� ≌△ ���,得∠��� = ∠���,结合三角形外角的性质计算,即可得到答案. 【详解】(1)∵∠ABC=∠DBE=60° ∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 60°,∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� + ∠��� ∴∠��� = ∠��� ∵BA=BC,BD=BE △ ���和△ ���中 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△ ��� ∴∠��� = ∠��� △ ���和△ ���中 ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� = 60° ∴△ ��� ≌△��� ∴�� = �� ∴△ ���为等边三角形; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 20 (2)∵∠ABC=∠DBE=60°, BA=BC ∴△ ���为等边三角形; ∴∠��� = ∠��� = 60° 根据题意,AE 和 CD 相交于点 O ∵∠��� = ∠��� ∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� ∵∠��� +∠��� = ∠��� ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120° ∴∠��� = 180° −∠��� = 60°,即直线 AE 和 CD 的夹角是 60° 故答案为:60; (3)∵∠ABC=∠DBE=60°, BA=BC ∴△ ���为等边三角形; ∴∠��� = ∠��� = 60° ∵∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +∠���,∠ABC=∠DBE=60° ∴∠��� = ∠��� ∵BA=BC,BD=BE △ ���和△ ���中 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△ ��� ∴∠��� = ∠��� 如图,延长��,交 CD 于点 O 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 21 ∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� ∵∠��� +∠��� = ∠��� ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120° ∴∠��� = 180° −∠��� = 60°,即直线 AE 和 CD 的夹角是 60° 故答案为:60; (4)∵BA=BC, ∴∠��� = ∠��� ∵∠ACB=60° ∴∠��� = ∠��� = 60° ∴△ ���为等边三角形 ∵BD=BE,∠ABC=∠DBE ∴∠��� = 60° ∵∠��� = ∠��� −∠���,∠��� = ∠��� −∠��� ∴∠��� = ∠��� △ ���和△ ���中 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△ ��� ∴∠��� = ∠��� 分别延长 CD、AE,相较于点 O,如下图: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 22 ∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� ∵∠��� +∠��� = ∠��� ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120° ∴∠��� = 180° −∠��� = 60°,即直线 AE 和 CD 的夹角是 60° 故答案为:60. 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识;解题 的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质,从而完成求解. 12.【答案】(1)�� = ��,30 (2)�� = ��,∠��� = 60°,理由见解析 (3)135° 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 SAS综合(SAS) 【分析】本题考查全等三角形的判定,等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质,灵活运 用相关知识成为解题的关键. (1)设��交��于点 G,由∠��� = ∠��� = 30°可得∠��� = ∠��� = 30° +∠���,而 �� = ��、�� = ��,即可根据“SAS”证明△ ��� ≌△ ���,所以�� = ��,∠��� = ∠���, 则∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� = 30°即可解答; (2)根据等腰三角形的性质,利用 SAS证明△ ��� ≌△ ���可得�� = ��,∠��� = ∠���, 然后再根据等腰三角形的性质即可解答; (3)根据等腰直角三角形的性质,利用 SAS证明△ ��� ≌△ ���可得∠��� = ���, �� = ��, 再说明∠��� = 135°即可. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 23 【详解】(1)解:如图 1,设��交��于点 G, ∵∠��� = ∠��� = 30°, ∴∠��� = ∠��� = 30° +∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴∠��� = ∠���,�� = ��, ∴∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� = 30°. 故答案为:�� = ��,30. (2)解:�� = ��,∠��� = 60°,理由如下: ∵∠��� = ∠��� = 120°, ∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴�� = ��,∠��� = ∠���, ∵∠��� = 120°,�� = ��, ∴∠��� = ∠��� = 30°, ∴∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� + 30° − ∠��� − 30° = 60°. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 24 (3)解:如图 3所示: ∵△ ���和△ ���都是等腰三角形, ∴∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,�� = ��, ∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即:∠��� = ∠���, ∴△ ��� ≌△ ���(SAS), ∴∠��� = ���, �� = ��, ∵∠��� = 90°, ∴∠��� = 45°, ∴∠��� = 180° −∠��� = 135°, ∴∠��� = ∠��� = 135°. 13.【答案】(1)1,80°;(2)�� �� 的值不会发生变化,∠��� = 180° − 2�,说明见解析; (3)(2)中�� �� = 1;∠��� = 2� − 180°;∠���+∠��� = 180° + � 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 SAS综合(SAS)、三角形内角和定理 的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】(1)由手拉手模型,结合三角形全等的判定得到△ ���≌△ ��� SAS ,再由全等性 质得到�� = ��即可得到答案;由全等性质得到∠��� = ∠��� = 50°,再结合三角形内角和 定理即可得到答案; (2)由手拉手模型,结合三角形全等的判定得到△ ���≌△ ��� SAS ,再由全等性质得到 �� = ��即可得到答案;由全等性质得到∠��� = ∠��� = �,再结合三角形内角和即可得到 答案; (3)由手拉手模型,结合三角形全等的判定得到△ ���≌△ ��� SAS ,再由全等性质得到 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 25 �� = ��即可得到答案;由全等性质得到∠��� = ∠��� = �,再结合三角形外角性质即可得 到答案;根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理即可求出∠���与∠���满足的数 量关系. 【详解】解:(1)∵ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ���≌△ ��� SAS , ∴ �� = ��,则�� �� = 1; ∵ △ ���≌△ ��� SAS , ∴ ∠��� = ∠��� = 50°, ∵ ∠��� = 50°, ∴ ∠��� = 180° −∠��� +∠��� = 80°,则∠��� = ∠��� = 80°; 故答案为:1,80°; (2)�� �� 的值不会发生变化;∠��� = 180° − 2�; ∵ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ���≌△ ��� SAS , ∴ �� = ��,则�� �� = 1; ∵ △ ���≌△ ��� SAS , ∴ ∠��� = ∠��� = �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 26 ∵ ∠��� = �, ∴ ∠��� = 180° −∠��� +∠��� = 180° − 2�,则∠��� = ∠��� = 180° − 2�; (3)当�是钝角时,如图所示: 由(2)中�� �� = 1;∠��� = 2� − 180°; ∵ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ���≌△ ��� SAS , ∴ �� = ��,则�� �� = 1; ∵ △ ���≌△ ��� SAS , ∴ ∠��� = ∠��� = �, ∵ ∠��� = �, ∴ ∠��� = 180° − �, ∵ ∠���是△ ���的一个外角, ∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = � − 180° − � = 2� − 180°; 在等腰△ ���中,∠��� = �,则设∠��� = ∠��� = �;在等腰△���中,∠��� = �,则 ∠��� = ∠��� = �; ∵ ∠��� = �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 27 ∴ ∠��� = � + �, ∵ △ ���≌△ ��� SAS , ∴ ∠��� = ∠��� = �,∠��� = ∠��� = �,则在△ ���中,∠��� = 180° − � − �, ∴ ∠��� = � + 180° − � − � , ∴ ∠���+∠��� = � + � + � + 180° − � − � = 180° + �. 【点睛】本题考查利用三角形全等探讨角度关系,涉及三角形全等的判定与性质、手拉手模型、 三角形内角和定理、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识,熟练掌握三角形全等的判定 与性质是解决问题的关键.

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专项5 等腰三角形与手拉手模型-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
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专项5 等腰三角形与手拉手模型-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
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