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专项 5 等腰三角形与手拉手模型
1.两个大小不同的等腰直角三角板按图 1所示摆放,将两个三角板抽象成如图 2所示的△ ���
和△ ���,其中∠��� = ∠��� = 90°,点�、�、�依次在同一条直线上,连结��.若�� = 4,
�� = 2,则△���的面积是 .
2.如图,C为线段��上一动点(不与点 A、E重合),在��同侧分别作正△ ���和正△ ���,
��与��交于点 O,��与��交于点 P,��与��交于点 Q,连接��.以下五个结论:①�� = ��;
②�� ∥ ��;③�� = ��;④�� = ��;⑤∠��� = 60°.
恒成立的结论有 .(把你认为正确的序号都填上)
3.如图,△ ���为任意三角形,以边��、��为边分别向外作等边三角形���和等边三角形���,
连接��、��并且相交于点�.
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2
求证:(1)��=��;
(2)∠��� = 120°.
4.在△ ���中,�� = ��,点 D是直线��上一点,连接��,以��为边向右作△ ���,使得�� =
��,∠��� = ∠���,连接 CE.
(1)①如图 1,求证:△ ��� ≌△ ���;
②当点 D在��边上时,请直接写出△ ���,△ ���,△ ���的面积(�△���,�△���,�△���)
所满足的关系;
(2)当点 D在��的延长线上时,试探究△���,△���,△ ���的面积(�△���,�△���,�△���)
所满足的关系,并说明理由.
5.如图,△ ���是等边三角形,�是��的中点,�在线段��上,连接��,以��为边在��的右
侧作等边△���,连接��,若存在实数�,使得���+��
��
为定值�,则�和�分别是( )
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3
A.� = 1
2
,� = 1B.� = 1
3
,� = 1 C.� = 1,� = 3
2
D.� = 2,� = 3
6.如图,在△ ���和△ ���中,�� = ��,�� = ��,若∠��� = ∠��� = 60°,连接��、
��交于点 P;
(1)求证∶△ ��� ≌△ ���.
(2)求∠���的度数.
(3)如图(2),△ ���是等腰直角三角形,∠��� = 90°,�� = ��,�� = 14cm,点 D是射
线��上的一点,连接��,在直线��上方作以点 C为直角顶点的等腰直角△ ���,连接��,
若�� = 4cm,求��的值.
7.如图,△ ���和△ ���都是等边三角形,直线��,��交于点 F.
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(1)如图 1,当 A,C,D三点在同一直线上时,∠���的度数为______,线段��与��的数量
关系为______.
(2)如图 2,当△ ���绕点 C顺时针旋转� 0° ≤ � ≤ 360° 时,(1)中的结论是否还成立?若
不成立,请说明理由:若成立,请就图 2给予证明.
(3)若�� = 4,�� = 3,当△ ���绕点 C顺时针旋转一周时,请直接写出��长的取值范围.
8.在△ ���中,�� = ��,点�是直线��上一点(不与�、�重合),把线路��绕着点�逆时
针旋转至��(即�� = ��),使得∠��� = ∠���,连接��、��.
(1)如图 1,点�在线段��上,如果∠��� = 90°,则∠��� =__________度.
(2)如图 2,当点�在线段��上,如果∠��� = 60°,则∠��� =__________度.
(3)如图 3,设∠��� = �,∠��� = �,当点�在线段��上移动时,�,�的数量关系是什么?
请说明理由.
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(4)设∠��� = �,∠��� = �,当点�在直线��上移动时,请直接写出�,�的数量关系,不
用证明.
9.已知在△ ���中,�� = ��,过点 B引一条射线��,D是��上一点
【问题解决】
(1)如图 1,若∠��� = 60°,射线��在∠���内部,∠��� = 60°,求证:∠��� = 60°,小
明同学展示的做法是:在��上取一点 E使得�� = ��,通过已知的条件,从而求得∠���的
度数,请你帮助小明写出证明过程;
【类比探究】
(2)如图 2,已知∠��� = ∠��� = 30°.
①当射线��在∠���内,求∠���的度数
②当射线��在��下方,如图 3所示,请问∠���的度数会变化吗?若不变,请说明理由,若
改变,请求出∠���的度数;
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10.如图 1,在△ ���中,�� ⊥ ��于点�,�� = ��,�是��上的一点,且�� = ��,连接��,
��.
(1)如图 1试判断��与��的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图 2,若将△���绕点�旋转一定的角度后,试判断��与��的位置关系和数量关系是否
发生变化,并说明理由;
(3)如图 3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变.
①试猜想��与��的数量关系,并说明理由;
②你能求出��与��的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由.
11.已知:△ABC与△BDE都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有∠ABC=∠
DBE.
(1)如图 1,如果 A、B、D在一直线上,且∠ABC=60°,求证:△BMN是等边三角形;
(2)在第(1)问的情况下,直线 AE和 CD的夹角是 °;
(3)如图 2,若 A、B、D不在一直线上,但∠ABC=60°的条件不变则直线 AE和 CD的夹
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角是 °;
(4)如图 3,若∠ACB=60°,直线 AE和 CD的夹角是 °.
12.数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用基本途径.通过探究图形的变化规律,再结
合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.
(1)发现问题:如图 1,在△ ���和△ ���中,�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 30°,
连接��,��,延长��交��于点 D.则��与��的数量关系:__________,∠��� = ;
(2)类比探究:如图 2,在△ ���和△ ���中,�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 120°,
连接��,��,延长 BE,��交于点 D.请猜想��与��的数量关系及∠���的度数,并说明理
由;
(3)拓展应用:在△ ���和△ ���中,�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 90°,连接��,
��,将△ ���绕它们共同的顶点 A旋转一定的角度后,若 B,E,F三点刚好在同一直线上,
求此时∠���的度数.
13.某数学小组在探究三角形之间的关系问题中,经历了如下过程:
问题发现
如图,�,�分别是钝角∠���的边��,��上的点,�为∠���内部的一点,分别以��,��
为腰作等腰△ ���和△ ���,且�� = ��,�� = ��,��交��于点�,∠��� = ∠��� = ∠���,
请根据下图的各角和点的位置情况.
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(1)当∠��� = ∠��� = ∠��� = 50°时,��
��
的值为_______,∠���的度数为______.
猜想论证
(2)当∠��� = ∠��� = ∠��� = � 0 < � < 90° 时,��
��
的值是否会发生变化?∠���的度
数与�存在什么数量关系?请分别进行说明.
拓展思考
(3)当�为钝角,且点�落在直线��上时,(2)中的结论是否仍然成立?如果成立,直接写
出∠���与∠���满足的数量关系,不必说明理由;如果不成立,直接写出结论,不必证明.
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专项 5 等腰三角形与手拉手模型
1.【答案】6
【知识点】全等的性质和 SAS综合(SAS)、等边对等角
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识,根据 SAS证明
△ ��� ≌△ ���,由全等三角形的性质得出∠��� = ∠�,�� = ��,则可得出答案.
【详解】解:∵ ∠��� = ∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,即∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴ ∠��� = ∠�,�� = ��,
∵ ∠� = 45°,
∴ ∠��� = 45°,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 90°,
∵ �� = 4,�� = 2,
∴ �� = 6,
∴ �� = 6,
∴ �△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 2 × 6 = 6,
故答案为:6.
2.【答案】①②③⑤
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质,平行线的判定以及性质.
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2
①由于△ ���和△ ���是等边三角形,可知�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°,从
而利用 SAS证出△ ��� ≌△ ���,可推知�� = ��;②由△ ��� ≌△ ���得�� = ��,∠��� =
∠��� = 60°,∠��� = ∠���,得到△ ��� ≌△ ���,再根据推出为△ ���等边三角形,又
由∠��� = ∠���,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确;③由①和②可得出�� = ��,
�� = ��,即可证�� = ��;④根据∠��� = ∠��� +∠��� = 60° + ���,,∠��� = 60°,
可知∠��� ≠ ���,�� > ��,且�� = ��,得出�� > ��,可知④错误;⑤利用等边三角形
的性质得出�� ∥ ��,再根据平行线的性质得到∠��� = ∠���,于是∠��� = ∠��� +
∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 60°,可知⑤正确.
【详解】解:①∵正△ ���和正△ ���,
∴�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°,
∵∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +∠���,
∴∠��� = ∠���,
在△ ���和△���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�� = ��,∠��� = ∠���,
故①正确;
②又∵�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°,∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� ASA .
∴�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 60°,
∴∠��� = ∠���,
∴�� ∥ ��,
故②正确;
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③∵△ ��� ≌△ ���,
∴�� = ��,
∵△ ��� ≌△ ���
∴�� = ��,
∴�� − �� = �� − ��,
∴�� = ��,
故③正确;
④∵�� > ��,且�� = ��,
∴�� > ��,
故④错误;
⑤∵∠��� = ∠��� = 60°,
∴∠��� = 60°,
∵△���是等边三角形,
∴∠��� = 60° = ∠���,
∴�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠���
∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 60°,
故⑤正确.
∴正确的有:①②③⑤.
故答案为:①②③⑤.
3.【答案】(1)见解析;(2)见解析
【知识点】等边三角形的性质、全等三角形综合问题
【分析】(1)根据等边三角形的性质得出 AD=AB,AC=AE,∠ACE=∠AEC=60°,∠DAB=
∠EAC=60°,求出∠DAC=∠BAE,根据 SAS推出△DAC≌△BAE即可;
(2)根据全等三角形的性质得出∠BEA=∠ACD,求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC,
代入求出即可.
【详解】证明:(1)∵以 AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE,
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∴AD=AB,AC=AE,∠ACE=∠AEC=60°,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
AD=AB
∠��� = ∠���
AC=AE
,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴CD=BE;
(2)∵△DAC≌△BAE,
∴∠BEA=∠ACD,
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,关键是求出△DAC
≌△BAE.
4.【答案】(1)①证明见解析;②�△��� = �△��� + �△���,理由见解析
(2)�△��� = �△��� + �△���,理由见解析
【知识点】全等的性质和 SAS综合(SAS)
【分析】(1)①先证明∠��� = ∠���,再利用 SAS证△ ��� ≌△ ���即可;②利用全等三
角形的性质得到�△��� = �△���,再由�△��� = �△��� + �△���即可得到结论;
(2)由已知条件可得证出,△ ��� ≌△ ���,推出�△��� = �△���,再由�△��� = �△��� + �△���,
即可得到�△��� = �△��� + �△���.
【详解】(1)证明:①∵∠��� = ∠���,
∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即∠��� = ∠���.
在△ ���和△ ���中,
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�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
。
∴△ ��� ≌△ ��� SAS .
②�△��� = �△��� + �△���,理由如下:
∵△ ��� ≌△ ���,
∴�△��� = �△���,
∵�△��� = �△��� + �△���,
∴�△��� = �△��� + �△���;
(2)解:�△��� = �△��� + �△���,理由如下:
∵∠��� = ∠���,
∴∠��� +∠1 = ∠��� +∠1,即∠��� = ∠���.
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�△��� = �△���,
∵�△��� = �△��� + �△���,
∴�△��� = �△��� + �△���.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,熟知全等三角形的判定定理以及性质是解
题的关键.
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5.【答案】A
【知识点】全等的性质和 SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质
【分析】在��上截取�� = ��,连接��,通过证明△���≌△ ���,可得�� = ��,即可求
解.
【详解】解:如图,在��上截取�� = ��,连接��,
∵△ ���是等边三角形,
∴ ∠��� = 60°,
∵ �是��的中点,
∴ �� = �� = 1
2
�� = 1
2
��,
∴△ ���是等边三角形,
∴ ∠��� = 60°,�� = ��,
∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = ��,∠��� = 60°,
∴ ∠��� = ∠���,
在△���与△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
��=��
,
∴△ ���≌△ ��� SAS .
∴ �� = ��,
∴ �� + �� = ��,
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∴ 1
2
�� + �� = ��,
∴
1
2��+��
��
= 1,
∴ � = 1
2
,� = 1;
故选:A.
【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,本题的
难点是作出辅助线,构成全等三角形.
6.【答案】(1)见解析
(2)60°
(3)�� = 10cm或 18cm
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和 SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质
和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质,三角形内角和定理的应用;
(1)根据题意得出∠��� = ∠���,即可证明△ ��� ≌△ ��� SAS ;
(2)根据题意可得△ ���是等边三角形,根据(1)的结论可得∠��� = ∠���,进而根据
三角形的内角和定理,即可求解;
(3)分情况讨论,当�在线段��上时,当�在��的延长线上时,证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,
得出�� = ��,结合图形,即可求解.
【详解】(1)证明:∵∠��� = ∠��� = 60°,
∴∠��� = ∠���,
又∵�� = ��,�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ;
(2)解:∵�� = ��,∠��� = 60°,
∴△ ���是等边三角形,
∴∠��� = ∠��� = 60°,
∵△ ��� ≌△ ���,
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∴∠��� = ∠���,
∴∠��� = 180° −∠��� −∠���
= 180° − ∠��� −∠��� − ∠��� +∠���
= 180° − 60° +∠��� − 60° −∠���
= 60°;
(3)解:如图所示,当�在线段��上时,
∵△ ���是以点�为直角顶点的等腰直角三角形,
∴∠��� = 90°, �� = ��,
又∵∠��� = 90°,�� = ��,
∴∠��� = 90° −∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�� = ��,
∵�� = 14, �� = 4,
∴�� = �� = �� − �� = 10cm,
如图所示,当�在��的延长线上时,
同理可得,∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�� = ��,
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∵�� = 14, �� = 4,
∴�� = �� = �� + �� = 18cm,
综上所述,�� = 10cm或 18cm.
7.【答案】(1)60°,�� = ��;
(2)成立,理由见解析
(3)1 ≤ �� ≤ 7
【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、全等的性质和 SAS综合(SAS)
【分析】本题考查了等边三角形性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,以及旋转的性
质,解答时证明三角形全等是关键.
(1)利用等边三角形的性质证明△ ��� ≌△ ���,结合三角形的外角就可以得出结论;
(2)同(1)中方法证明△ ��� ≌△ ���,得出�� = ��,∠2 = ∠3,再根据三角形的内角
和得出∠��� = 60°;
(3)当 B、C、D 三点共线时得出��的最大和最小值,即可得出结论.
【详解】(1)解:∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = ��,∠��� = 60°,
∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = ��,∠��� = 60°,
∴ ∠��� = ∠��� = 60°
∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,
即∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ���,
∴ �� = ��,∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = ∠��� +∠���,且∠��� = 60°
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∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� = 60°
(2)(1)中结论仍成立,
∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = ��,∠��� = 60°,
∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = ��,∠��� = 60°,
∴ ∠��� = ∠��� = 60°
∴ ∠��� +∠1 = ∠��� +∠1,
即∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ���,
∴ �� = ��,∠2 = ∠3,
∵ ∠��� +∠3 = ∠��� +∠2,且∠��� = 60°,
∴ ∠��� = 60°;
(3)∵△ ���是等边三角形,
∴ �� = �� = 4,
当旋转�=60°时,B、C、D 三点共线,此时�� = �� + �� = 7,
当旋转�=240°时,B、C、D 三点共线,此时�� = �� − �� = 1;
∴1 ≤ �� ≤ 7.
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8.【答案】(1)90
(2)120
(3)� + � = 180°
(4)� + � = 180°或� = �
【知识点】根据等边对等角证明、全等的性质和 SAS综合(SAS)
【分析】(1)由“SAS”可证△ ��� ≌△ ���,得∠��� = ∠��� = 45°,可求∠���的度数;
(2)由“SAS”可证△ ��� ≌△ ���,得∠��� = ∠��� = 60°,可求∠���的度数;
(3)由“SAS”可证△ ��� ≌△ ���得出∠��� = ∠���,再用三角形的内角和即可得出结
论;
(4)由“SAS”可证△ ��� ≌△ ���得出∠��� = ∠���,再用三角形的内角和即可得出结
论.
【详解】(1)解:∵∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵�� = ��,�� = ��,
∴∠� = ∠��� = 45°,∠��� = ∠��� = 45°,
∵∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� = ∠� = 45°,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 90°,
故答案为:90;
(2)∵∠��� = 60°,
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∴∠��� = ∠��� = 60°,
∵�� = ��,�� = ��,
∴∠� = ∠��� = 60°,∠��� = ∠��� = 60°,
∵∠��� = ∠���,
∴∠���=∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� = ∠� = 60°,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120°,
故答案为:120;
(3)� + � = 180°,
理由如下:
∵�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� = ∠�,
∴∠��� +∠��� = ∠� +∠���,
∵∠��� = ∠��� +∠��� = �,
∴∠� +∠��� = �,
∵∠��� = �,∠��� +∠� +∠��� = 180°,
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∴� + � = 180°;
(4)如图 4,当点 D 在��的延长线上时,� + � = 180°,
证明方法同(3);
如图 5,当点 D 在��的延长线上时,� = �,
理由如下:∵∠��� = ∠���,
∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,
∴∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +∠���,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = �,∠��� = �,
∴� = �.
综上,� + � = 180°或� = �.
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【点睛】此题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等
腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识,本题综合性强,熟练掌握等腰三角形的性质,
证明△ ��� ≌△ ���是解题的关键.
9.【答案】(1)见解析
(2)①∠��� = 120°②;∠���的度数会变化,理由见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、等边对等角、全等的性质和 SAS综合(SAS)、三角
形内角和定理的应用
【分析】(1)根据等边三角形的判定定理得到△ ���、△ ���是等边三角形,进而得到∠��� =
∠���,根据 SAS证明△ ��� ≌△ ���,根据全等三角形的性质得到∠��� = ∠��� = 120°,
得到答案;
(2)①在��上取一点 E,�� = ��,证明△ ��� ≌△ ���,得到∠��� = 150°,可求出答案;
②在��延长线上取一点E,使得�� = ��,同理证明△��� ≌△ ���,求出∠��� = ∠� = 30°,
进而求出∠���.
【详解】(1)证明:如图 1,在��上取一点 E,使�� = ��,
∵∠��� = 60°,
∴△ ���是等边三角形,
∴∠��� = 60°,
∵�� = ��,∠��� = 60°,
∴△ ���是等边三角形,
∴∠��� = 60°,
∴∠��� = ∠���,
∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即∠��� = ∠���,
∵在△ ���和△ ���中
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
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∴∠��� = ∠��� = 120°,
∴∠��� = 120° − 60° = 60°;
(2)证明:①在��上取一点 E,�� = ��,如图所示:
∵∠��� = ∠��� = 30°,�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 30°,∠��� = ∠��� = 30°,
∴∠��� = ∠��� = 120°,
∴∠��� = ∠���,
∵在△ ���和△ ���中
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� = ∠��� = 180° − 30° = 150°,
∴∠��� = 150° − 30° = 120°;
②∠���的度数会变化,理由如下:
在��延长线上取一点 E,使得�� = ��,如图所示:
同理①的方法可证:△ ��� ≌△ ���,
∴∠��� = ∠� = 30°,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 30° + 30° = 60°.
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判
定和性质,正确作出辅助线,构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键.
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10.【答案】(1)�� = ��, �� ⊥ ��,见解析
(2)不发生变化,见解析
(3)①�� = ��,见解析;②能,60°
【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、根据等边对等角证明、全等的性质和
SAS综合(SAS)
【分析】(1)延长��交��于点�,证明△ ��� ≌△ ���,得到�� = ��,∠��� = ∠���,
推出∠��� = 90°,即可;
(2)证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,得到�� = ��,∠��� = ∠���,进一步推出∠��� = 180° −
90° = 90°,即可;
(3)①证明△ ��� ≌△ ��� SAS 即可;②证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,得到∠��� = ∠���,
�� = ��,根据∠��� = 180° − ∠��� +∠��� +∠��� ,进行求解即可.
【详解】(1)解:�� = �� ,�� ⊥ ��,
理由如下:延长��交��于点�.
∵ �� ⊥ ��,
∴ ∠��� = ∠��� = 90°.
在△ ��� 和△ ��� 中,
�� = ��,
∠��� = ∠���,
�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴ �� = ��,∠��� = ∠���.
∵ ∠��� = 90° ,
∴ ∠��� +∠��� = 90° .
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∵ ∠��� = ∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 90° ,
∴ ∠��� = 180° − 90° = 90°,
∴ �� ⊥ ��.
(2)不发生变化.
理由如下:∵ ∠��� = ∠��� = 90° ,
∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� ,
∴ ∠��� = ∠���.
在△ ��� 和△ ��� 中,
�� = ��,
∠��� = ∠���,
�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴ �� = ��,∠��� = ∠���.
∵ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°.
∵ ∠��� = ∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� = 180° − 90° = 90°,
∴ �� ⊥ ��.
(3)①�� = �� ,理由如下:
∵ ∠��� = ∠��� = 60°,
∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,
∴ ∠��� = ∠���.
在△ ��� 和△ ��� 中,
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�� = ��,
∠��� = ∠���,
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴ �� = ��.
②能.�� 与�� 所成的夹角的度数为 60° .
理由如下:∵△ ��� 和△��� 是等边三角形,
∴ �� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = 60°,
∠��� = ∠��� = 60°,
∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,
∴ ∠��� = ∠���.
在△ ��� 和△ ��� 中,
�� = ��,
∠��� = ∠���,
�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴ ∠��� = ∠���,�� = ��.
∴ ∠��� = 180° − ∠��� +∠��� +∠���
= 180° − ∠��� +∠��� +∠���
= 180° − 60° + 60°
= 60°,
即�� 与�� 所成的夹角的度数为 60°.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,掌握相
关性质,证明三角形全等,是解题的关键.
11.【答案】(1)证明见解析;(2)60;(3)60;(4)60;
【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性
质
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【分析】(1)根据题意,得∠ABC=∠DBE=60°,从而得∠��� = ∠���;通过证明△ ��� ≌△
���,得∠��� = ∠���;通过证明△ ��� ≌△ ���,得�� = ��,根据等边三角形的性质
分析,即可完成证明;
(2)结合题意,通过证明△ ���为等边三角形,得∠��� = ∠��� = 60°;结合(1)的结论,
根据三角形外角性质,推导得∠��� = 120°,从而完成求解;
(3)同理,通过证明△���为等边三角形,得∠��� = ∠��� = 60°;通过证明△��� ≌△ ���,
得∠��� = ∠���;根据三角形外角性质,推导得∠��� = 120°,从而完成求解;
(4)根据题意,通过证明△ ���为等边三角形,推导得∠��� = ∠���,通过证明△ ��� ≌△
���,得∠��� = ∠���,结合三角形外角的性质计算,即可得到答案.
【详解】(1)∵∠ABC=∠DBE=60°
∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 60°,∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +
∠���
∴∠��� = ∠���
∵BA=BC,BD=BE
△ ���和△ ���中
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ���
∴∠��� = ∠���
△ ���和△ ���中
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠��� = 60°
∴△ ��� ≌△���
∴�� = ��
∴△ ���为等边三角形;
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(2)∵∠ABC=∠DBE=60°, BA=BC
∴△ ���为等边三角形;
∴∠��� = ∠��� = 60°
根据题意,AE 和 CD 相交于点 O
∵∠��� = ∠���
∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠���
∵∠��� +∠��� = ∠���
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120°
∴∠��� = 180° −∠��� = 60°,即直线 AE 和 CD 的夹角是 60°
故答案为:60;
(3)∵∠ABC=∠DBE=60°, BA=BC
∴△ ���为等边三角形;
∴∠��� = ∠��� = 60°
∵∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +∠���,∠ABC=∠DBE=60°
∴∠��� = ∠���
∵BA=BC,BD=BE
△ ���和△ ���中
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ���
∴∠��� = ∠���
如图,延长��,交 CD 于点 O
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∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠���
∵∠��� +∠��� = ∠���
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120°
∴∠��� = 180° −∠��� = 60°,即直线 AE 和 CD 的夹角是 60°
故答案为:60;
(4)∵BA=BC,
∴∠��� = ∠���
∵∠ACB=60°
∴∠��� = ∠��� = 60°
∴△ ���为等边三角形
∵BD=BE,∠ABC=∠DBE
∴∠��� = 60°
∵∠��� = ∠��� −∠���,∠��� = ∠��� −∠���
∴∠��� = ∠���
△ ���和△ ���中
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ���
∴∠��� = ∠���
分别延长 CD、AE,相较于点 O,如下图:
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∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠���
∵∠��� +∠��� = ∠���
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120°
∴∠��� = 180° −∠��� = 60°,即直线 AE 和 CD 的夹角是 60°
故答案为:60.
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识;解题
的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质,从而完成求解.
12.【答案】(1)�� = ��,30
(2)�� = ��,∠��� = 60°,理由见解析
(3)135°
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 SAS综合(SAS)
【分析】本题考查全等三角形的判定,等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质,灵活运
用相关知识成为解题的关键.
(1)设��交��于点 G,由∠��� = ∠��� = 30°可得∠��� = ∠��� = 30° +∠���,而
�� = ��、�� = ��,即可根据“SAS”证明△ ��� ≌△ ���,所以�� = ��,∠��� = ∠���,
则∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� = 30°即可解答;
(2)根据等腰三角形的性质,利用 SAS证明△ ��� ≌△ ���可得�� = ��,∠��� = ∠���,
然后再根据等腰三角形的性质即可解答;
(3)根据等腰直角三角形的性质,利用 SAS证明△ ��� ≌△ ���可得∠��� = ���, �� = ��,
再说明∠��� = 135°即可.
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【详解】(1)解:如图 1,设��交��于点 G,
∵∠��� = ∠��� = 30°,
∴∠��� = ∠��� = 30° +∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� = ∠���,�� = ��,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� = 30°.
故答案为:�� = ��,30.
(2)解:�� = ��,∠��� = 60°,理由如下:
∵∠��� = ∠��� = 120°,
∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴�� = ��,∠��� = ∠���,
∵∠��� = 120°,�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 30°,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = ∠��� + 30° − ∠��� − 30° = 60°.
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(3)解:如图 3所示:
∵△ ���和△ ���都是等腰三角形,
∴∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,�� = ��,
∴∠��� −∠��� = ∠��� −∠���,即:∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS),
∴∠��� = ���, �� = ��,
∵∠��� = 90°,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = 180° −∠��� = 135°,
∴∠��� = ∠��� = 135°.
13.【答案】(1)1,80°;(2)��
��
的值不会发生变化,∠��� = 180° − 2�,说明见解析;
(3)(2)中��
��
= 1;∠��� = 2� − 180°;∠���+∠��� = 180° + �
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和 SAS综合(SAS)、三角形内角和定理
的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】(1)由手拉手模型,结合三角形全等的判定得到△ ���≌△ ��� SAS ,再由全等性
质得到�� = ��即可得到答案;由全等性质得到∠��� = ∠��� = 50°,再结合三角形内角和
定理即可得到答案;
(2)由手拉手模型,结合三角形全等的判定得到△ ���≌△ ��� SAS ,再由全等性质得到
�� = ��即可得到答案;由全等性质得到∠��� = ∠��� = �,再结合三角形内角和即可得到
答案;
(3)由手拉手模型,结合三角形全等的判定得到△ ���≌△ ��� SAS ,再由全等性质得到
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�� = ��即可得到答案;由全等性质得到∠��� = ∠��� = �,再结合三角形外角性质即可得
到答案;根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理即可求出∠���与∠���满足的数
量关系.
【详解】解:(1)∵ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ���≌△ ��� SAS ,
∴ �� = ��,则��
��
= 1;
∵ △ ���≌△ ��� SAS ,
∴ ∠��� = ∠��� = 50°,
∵ ∠��� = 50°,
∴ ∠��� = 180° −∠��� +∠��� = 80°,则∠��� = ∠��� = 80°;
故答案为:1,80°;
(2)��
��
的值不会发生变化;∠��� = 180° − 2�;
∵ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ���≌△ ��� SAS ,
∴ �� = ��,则��
��
= 1;
∵ △ ���≌△ ��� SAS ,
∴ ∠��� = ∠��� = �,
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∵ ∠��� = �,
∴ ∠��� = 180° −∠��� +∠��� = 180° − 2�,则∠��� = ∠��� = 180° − 2�;
(3)当�是钝角时,如图所示:
由(2)中��
��
= 1;∠��� = 2� − 180°;
∵ ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴ ∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ���≌△ ��� SAS ,
∴ �� = ��,则��
��
= 1;
∵ △ ���≌△ ��� SAS ,
∴ ∠��� = ∠��� = �,
∵ ∠��� = �,
∴ ∠��� = 180° − �,
∵ ∠���是△ ���的一个外角,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = � − 180° − � = 2� − 180°;
在等腰△ ���中,∠��� = �,则设∠��� = ∠��� = �;在等腰△���中,∠��� = �,则
∠��� = ∠��� = �;
∵ ∠��� = �,
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∴ ∠��� = � + �,
∵ △ ���≌△ ��� SAS ,
∴ ∠��� = ∠��� = �,∠��� = ∠��� = �,则在△ ���中,∠��� = 180° − � − �,
∴ ∠��� = � + 180° − � − � ,
∴ ∠���+∠��� = � + � + � + 180° − � − � = 180° + �.
【点睛】本题考查利用三角形全等探讨角度关系,涉及三角形全等的判定与性质、手拉手模型、
三角形内角和定理、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识,熟练掌握三角形全等的判定
与性质是解决问题的关键.