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1
专项 4 轴对称-最短路径问题
1.【答案】C
【知识点】最短路径问题、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质,解决本题的关键是准确找到点
的位置.
根据对称性和等边三角形的性质,过点 B作�� ⊥ ��交��于点 F,连接��,此时�� + ��取得
最小值,借助等边三角形的性质得∠��� = ∠���,∠��� = ∠��� = 30°,即可求解.
【详解】解:过点 B作�� ⊥ ��交��于点 F,连接��,
∵等边三角形���的边长为 4,
∴�� = �� = 2,
∴�� = ��,
∴∠��� = ∠���,
∵��是��边上的中线,
∴∠��� =∠��� = 30°,
∴∠��� = 30°,
故选:C.
2.【答案】B
【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了轴对称,动点最值问题中的“将军饮马”问题,解法是:作定点关于动点
轨迹的对称点,由于点�关于直线�的对称点为点�,故当点�在��上时,�� + ��值的最小,
求出��长度即可得到结论.
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2
【详解】解:设直线�交��于�,连接��,如图所示:
∵直线�是��的垂直平分线,
∴ �、�关于直线�对称,�� = ��,
∴当�和�重合时,�� + ��的值最小,最小值等于��的长,
∵ △ ���周长= �� + �� + ��,且�� + ��的最小值等于��,
∴△ ���周长的最小值是�� + �� = 7 + 4 = 11,
故选:B.
3.【答案】7
【知识点】最短路径问题、含 30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含 30度角的直角三角形的性质,熟练
掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键.作点 E关于射线��的对称点�′,过�′
作�′� ⊥ ��于 F,交射线��于 P,连接��,此时�� + ��的值最小,利用等边三角形的性质
和三角形的内角和定理求得∠�′ = 90° −∠� = 30°,然后利用含 30度角的直角三角形的性
质求得��′ = 2�� = 10,进而求得�� = 3即可求解.
【详解】解:作点 E关于射线��的对称点�′,过�′作�′� ⊥ ��于 F,交射线��于 P,连接��,
如图,则�′� = ��,
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3
∴�� + �� = �′� + �� = �′�,此时�� + ��的值最小,则�� = 5,
∵△ ���是等边三角形,
∴∠� = 60°,�� = ��,
在 Rt △ ���′中,∠�′ = 90° −∠� = 30°,
∴��′ = 2�� = 10,
∵�� = 4,�� = ��′,
∴2�� + 4 = 10,
∴�� = 3,
∴�� = �� = 3 + 4 = 7,
故答案为:7.
4.【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】最短路径问题、三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作
图)
【分析】(1)作点�关于直线�的对称点�′,连接��′与直线�的交点即为点�;
(2)连接��,作线段��的垂直平分线�,直线�与直线�的交点即为点�;
(3)连接并延长��交直线�于点�,假设直线�上有一点�1(异于点�),连接��、��,点�
即为所作.
【详解】(1)解:如图,点�即为所作,
(2)解:如图,点�即为所作,
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4
由线段垂直平分线的性质可得�� = ��,此时 ��− �� = 0;
(3)解:如图,点�即为所作,
在△ ���1中, ��1 − ��1 < ��,则 �� − �� 最大.
【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图,熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
5.【答案】C
【知识点】最短路径问题、垂线段最短、线段问题(轴对称综合题)
【分析】如图作�关于直线��的对称点�,作�关于直线��的对称点�,连接��,��,��,��,
��,��,��.由∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,∠��� +∠��� = 90°,推出∠���+
∠��� = 180°,可得�、�、�共线,由�� + �� + �� = �� + �� + ��,�� + �� + �� ≥ ��,
可知当�、�、�、�共线时,且�� ⊥ ��时,�� + �� + ��的值最小,最小值= 2��,求出��
的值即可解决问题.
【详解】解:如图,作�关于直线��的对称点�,作�关于直线��的对称点�,连接��,��,
��,��,��,��,��.
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5
∴�� = ��,�� = ��,�� = ��,�� = ��,
∴�� = �� = ��,
∵∠��� =∠���,∠��� = ∠���,∠��� +∠��� = 90°,
∴∠���+∠��� = 180°,
∴M、C、N共线,
∵�� + �� + �� = �� + �� + ��,
∵��+ ��+ �� ≥ ��,
∴当 M、F、E、N共线时,且�� ⊥ ��时,�� + �� + ��的值最小,
最小值为�� = 2��,
∵�� ⊥ ��,
∴
1
2
·��·�� = 1
2
·��·��,
∴�� = ��·��
��
= 12
5
= 2.4,
∴�� + �� + ��的最小值为 4.8.
故选:C.
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识,解题的关键
是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题,属于中考选择题中的压轴题.
6.【答案】4
【知识点】最短路径问题、垂线段最短、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进
行求解
【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识.
连接��,过点 A作�� ⊥ ��于点 H,求出�� = 4,证明�� + �� = �� + �� ≥ ��,当且仅当 A、
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F、G三点共线时,�� + �� = ��,则当点 G运动到点 H时,根据垂线段最短,则��取得最
小值,此时�� = �� = 4,据此即可求出答案.
【详解】解:连接��,过点 A作�� ⊥ ��于点 H,
∵�△��� = 20,�� = 10,
∴
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 10�� = 20,
解得�� = 4,
∵��的垂直平分线��分别交��, ��于点�,点�,
∴�� = ��,
∴�� + �� = �� + �� ≥ ��,
当且仅当 A、F、G三点共线时,�� + �� = ��,
∵点�是直线��上的一动点,
∴当点 G运动到点 H时,根据垂线段最短,则��取得最小值,此时�� = �� = 4,
即�� + ��的最小值为 4.
故答案为:4
7.【答案】D
【知识点】最短路径问题、垂线段最短、作角平分线(尺规作图)、三线合一
【分析】过点�作�� ⊥ ��于点�,交��于点�′,根据等腰三角形的性质和勾股定理求出��,
然后根据�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ��,可得�� = 48
5
.作点�关于��的对称点交��于点�′,
连接�′�′,可得�′� = �′�′,根据垂线段最短,当点�、�分别在�′、�′位置时,��+
��最小,进而可以解决问题.
【详解】解:如图,过点�作�� ⊥ ��于点�,交��于点�′,
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7
由作图可知,��平分∠���,
∵ �� = ��,
∴ �� ⊥ ��,
∴ �� = �� = 1
2
�� = 1
2
× 12 = 6,
∵ �� = 8,�� = 10,�� = 12,�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ��,
∴ �� = ��⋅��
��
= 48
5
,
∵ �� = ��,�� ⊥ ��,
作点�关于��的对称点交��于点�′,连接�′�′,
∴ �′� = �′�′,
∴ �� = ��′ +�′� = ��′ +�′�′,
当点�、�分别在�′、�′位置时,��+��最小,
则��+��的最小值为��的长48
5
= 9.6.
故选:D.
【点睛】本题考查尺规作−作角平分线,利用轴对称求最短距离问题,垂线段最短,等腰三角
形的性质,三角形的面积等知识,解题关键是读懂图形信息,灵活运用所学知识解决问题,属
于中考常考题型.
8.【答案】60
【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据成轴对
称图形的特征进行求解
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8
【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题,等腰直角三角形的性质,等边三角形的判
定和性质,如图,作点 A关于直线��的对称点�′,连接�'�交��于 P,则此时点 P就是使 �� −
�� 的值最大的点, 连接�'�,根据等腰直角三角形的性质可得到∠���' = 15°,根据轴对称
的性质和等腰三角形的性质可推出△ �'��是等边三角形,进而即可得到结论,熟练掌握其性
质,合理添加辅助线是解决此题的关键.
【详解】如图,作点 A关于直线��的对称点�′,连接�'�交��于 P,
∴�� = ��′,
∴ �� − �� = ��' − �� = �'�,
根据三角形的三边关系可知,此时点 P就是使 �� − �� 的值最大的点,
连接�'�,
∵△ ���为等腰直角三角形,�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 45°,∠��� = 90°,
∵∠��� = 15°,
∴∠��� = 75°,
∴∠���' = 15°,
∵�� = �'�,
∴�'� = ��,∠��'� = ∠���' = 15°,
∴∠���' = 150°,
∵∠��� = 90°,
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∴∠�'�� = 60°,
∴△ �'��是等边三角形,
∴∠��'� = 60°,
∴∠��'� =∠��'� −∠��'� = 60° − 15° = 45°,
∵�� = ��′,
∴∠���′ = ∠��′� = 45°,
∴∠��� =∠���′ +∠�′�� = 45° + 15° = 60°,
故答案为:60.
9.【答案】12cm/12厘米
【知识点】最短路径问题、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】如图,作点�关于��、��的对称点�′、�″,连接�′�″分别与��、��相交,交点
分别为点�′、�′,根据两点之间线段最短,△ ���周长的最小值等于�′�″的长,根据轴对
称的性质可得∠��� =∠�′��,∠��� = ∠�″��,��′ = ��″ = ��,然后求出
∠�′��″ = 60°,从而判断出△��′�″是等边三角形,根据等边三角形的性质可得��′ =
��′.
【详解】解:如图,作点�关于��、��的对称点�′、�″,连接�′�″分别与��、��相交,
交点分别为点�′、�′,
∴�� = ��″,�� = ��′,∠��� = ∠�′��,∠��� = ∠�″��,��′ = ��″ = �� = 12,
∴�� + �� + �� = �� + ��″ + ��′ ≥ �′�″,
当点�与点�′重合、点�′与点�重合时,即�″、�′、�′、�′四点共线取“=”,此时△ ���
周长取得最小值,最小值为�′�″的长,
∵∠��� =∠�′��,∠��� = ∠�″��,��′ = ��″ = �� = 12,∠��� = 30°,
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∴∠�′��″ =∠���″ +∠���′ = 2∠��� + 2∠��� = 2∠��� = 2 × 30° = 60°,
∴△��′�″是等边三角形,
∴�′�″ = ��′ = 12 cm ,
∴△ ���周长的最小值为 12cm.
故答案为:12cm.
【点睛】本题考查轴对称确定最短路线问题,轴对称的性质,等边三角形的判定与性质,两点
之间线段最短等知识点.确定△ ���周长的最小值是解题的关键,
10.【答案】12.5°
【知识点】最短路径问题、全等三角形的性质、等边对等角
【分析】在��下方作△ ���′,使△ ���′ ≌△ ���,连接��′,则�� + ��最小值为��′,
此时 A、N、�′三点在同一直线上,推出∠�′�� = ∠�′ = 180°−105°
2
= 37.5°,所以∠��� =
37.5°,即可得到∠��� = ∠��� −∠��� = 50° − 37.5° = 12.5°.
【详解】解:在��下方作△ ���′,使△ ���′ ≌△ ���,连接��′.
则∠���′ =∠���,�� = �′�.
∴�� + �� = �′� + �� ≥ ��′,
即�� + ��最小值为��′,此时 A、N、�′三点在同一直线上.
∵∠��� = 50°,�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 65°,
∵�� ⊥ ��,
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∴∠��� = 90° − 50° = 40°,
∴∠���′ = 40°,
∴∠���′ = 65° + 40° = 105°,
∴∠�′�� = ∠�′ = 180°−105°
2
= 37.5°,
∴∠��� = 37.5°,
∴∠��� = ∠��� −∠��� = 50° − 37.5° = 12.5°,
故答案为:12.5°.
【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用,凡是涉及最短距离的问题,
一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
11.【答案】(1)①证明见解析;②最小值为 4;(2) 0,2
【知识点】最短路径问题、垂线段最短、含 30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】(1)①在��上另取一点�′,作点�关于直线��的对称点为�′,�′在��上,点�,
�′在��上,连接��′,�′�′,�′�,则�� = ��′,�′� = �′�′,在△�′��′中,
根据三角形的三边关系即可得证;②先证�� = �� = �� = 2��,∠� = 60°�� ⊥ ��,再证
△ ���′是等边三角形,利用等边三角形的性质即可得解;
(2)作点�关于��的对称点�,由��平分∠���知点�在��上,连接��,由两点之间线段最
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短及垂线段最短得当�、�、�三点共线,且�� ⊥ ��时,�� + ��最小,证△���和△���
都是等腰直角三角形,得�� = �� = �� = ��,再证∠��� = ∠��� = 30°,得�� = 1
2
��,
进而求得�� = 1
2
�� = 2,从而得�� = �� = �� − �� = 2,即可得解.
【详解】解:(1)①证明∶∵△ ���是等边三角形,
∴�� = ��,
∵点�为��中点,
∴��垂直平分��,
如图,在��上另取一点�′,作点�关于直线��的对称点为�′,�′在��上,点�,�′在��
上,连接��′,�′�′,�′�,
∴�� = ��′,�′� = �′�′,
∴��+�� = �� +��′ = ��′,
在△�′��′中,��′ < ��′ +�′�′,
∴��+�� < ��′ +�′�′,
∴��′即是�� +��的最小值;
②解∶∵△ ���是等边三角形,点�为��中点,
∴�� = �� = �� = 2��,∠� = 60°,�� ⊥ ��.
∵�� = 2,�� = 1,
∴�� = �� = �� + �� = 3,
∴�� = �� = �� = 6,
∵点�关于直线��的对称点为�′,
∴�� = ��′ = 1,
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∴��′ = �� = �� − ��′ = 2,
∴�� = ��′ = �� − �� = �� − ��′ = 4,
∵∠� = 60°
∴△ ���′是等边三角形,
∴��′ = �� = 4,
∴��+��的最小值为 4;
(2)作点�关于��的对称点�,由��平分∠���知点�在��上,连接��,由两点之间线段最
短及垂线段最短得当�、�、�三点共线,且�� ⊥ ��时,�� + ��最小,
∴∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴�� ⊥ ��,
由题意可得�� ⊥ ��,
∵��平分∠���
∴∠��� = ∠��� = 45°,
∴△���和△���都是等腰直角三角形,
∴�� = �� = �� = ��,
∵�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 30°,
∴�� = 1
2
��,
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∵点�坐标为 4,0 ,
∴�� = 4,
∵∠��� = 30°,
∴�� = 2�� = 8,
∵点�是��的中点,
∴�� = 1
2
�� = 4,
∴�� = 1
2
�� = 2,
∴�� = �� = �� − �� = 2,
∴� 0,2 ,
故答案为: 0,2 .
【点睛】本题主要考查了垂线段最短,两点之间,线段最短,坐标与图形,轴对称的性质,30
度直角三角形的性质,等边对等角,角平分线的定义,熟练掌握两点之间,线段最短,坐标与
图形,轴对称的性质,30度直角三角形的性质是解题的关键.
12.【答案】见解析
【知识点】最短路径问题、利用平移的性质求解
【分析】本题属于最短路径问题,分析题意,利用平移河宽,将折线问题转化为直线是解题关
键;过点�作�� ⊥ ��,使��等于河宽;过点�作�� ⊥ ��,使��等于河宽,连接��,分别与
河岸�′�′,�′�′相交于点�′,�′,接下来再过�′,�′作对边的垂线,即可找到两座桥
的位置.
【详解】解:如图所示,作法如下:
(1)过点�作�� ⊥ ��,使��等于河宽;过点�作�� ⊥ ��,使��等于河宽(相当于将桥平移
到��,��的位置).
(2)连接��,分别与河岸�′�′,�′�′相交于点�′,�′.
(3)过点�′作�′� ⊥ ��于点�,过点�′作�′� ⊥ ��于点�,
由作图可知�� + ��′ + �′�′ + ��′ + �� = �� + ��′ + �′�′ + ��′ + ��,
∴最短路径为�� + �� + ��,
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∴�′�,�′�即为两座桥的位置.
13.【答案】(1)120°
(2)��∥��
(3)4
【知识点】最短路径问题、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质
【分析】(1)根据题意确定∠��� = ∠��� = 30°,再利用三角形的内角和计算即可;
(2)由题干条件推出△ ���为等边三角形,然后进一步证明△ ��� ≌△ ���,从而利用全等
三角形和平行线的判定证明即可;
(3)首先将�沿��对称至�′,��对称至�″,可确定且�′,�″分别在��、��上,并连接�′�″,
此时与��和��交点即为所求�、�,此时,△���的周长最小,即为�′�″的长度,然后根据
全等三角形的判定以及对称的性质证明�′�″ = �� = ��,即可求得结论.
【详解】(1)解:∵∠��� = 60°,��恰好平分∠���,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = 30°,
∵在△ ���和△ ���中�� = ��,
∴∠��� = ∠��� = 30°,
∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 30° − 30° = 120°;
(2)证:∵∠��� = 120°,��恰好平分∠���,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = 60°,
∵�� = ��,
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∴△ ���为等边三角形,∠��� = ∠��� = 60°,
∵∠���与∠���互为补角,
∴∠��� = 60°,
∴∠��� = ∠��� = 60°,
∴∠��� −∠��� =∠��� −∠���,
即:∠��� = ∠���,
在△ ���和△���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� = ∠��� = 60°,
∴∠��� +∠��� = 60° × 3 = 180°,
∴��∥��;
(3)解:由(2)可知,∠��� = ∠��� = 60°,
∵�� = ��,��恰好平分∠���,
∴��垂直平分��,
如图所示,将�沿��对称至�′,沿��对称至�″,且�′,�″分别在��、��上,
连接�′�″,此时与��和��交点即为所求�、�,
∴此时,△���的周长最小,且�、�两点重合,
此时,△���周长的最小值即为�′�″的长度,
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由(2)可得∠��� = 30°,
由对称的性质可得:∠�′��″ = 60°,�� = ��′ = ��″,
∴△ ��′�″为等边三角形,
∴�′�″ = ��,
∵△ ���为等边三角形,
∴�� = ��,
∴�′�″ = ��,
此时,过�点作��∥��,交��于�点,如图所示,
∴∠��� =∠��� = 60°,∠��� = ∠���,
∵∠��� = 60°,
∴△���为等边三角形,�� = ��,
由(2)知,�� = ��,
∴�� = ��,
在△���和△ ���中,
∠��� =∠���
�� = ��
∠��� = ���
∴△��� ≌△ ��� ASA ,
∴�� = ��,
∴��+ �� = �� + ��,即:�� = �� = 4,
∴�′�″ = �� = 4,
∴△���周长的最小值为 4.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质等,掌握全等三角形的
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判定方法,熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键.
14.【答案】(1)(1,0),(0,1)
(2)垂直,见解析
(3)(0, − 1),�� = 2��
【知识点】绝对值非负性、最短路径问题、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)、
等边对等角
【分析】(1)根据非负数的性质得到� = 1,� = 1,得到�� = 1,�� = 1,于是得到结果;
(2)过点 E作�� ⊥ �轴于 H,证明△ ��� ≌△ ���(AAS),由全等三角形的性质得出�� =
�� = �� = 1, �� = ��,由等腰直角三角形的性质得出∠��� = 45°,证出∠��� = 90°,则
可得出结论;
(3)由直角三角形的性质证出�� = �� = 1,则可得出�(0, − 1);取点�(1, − 1),连接��、��,
O与 G关于直线��对称,连接��交��于 E,连接��,则�� = ��,根据三角形的面积关系可
得出�� = 2��.
【详解】(1)解:∵(� − 1)2 + |2� − 2| = 0,
∴� − 1 = 0,2� − 2 = 0,
∴� = 1,� = 1,
∴�(1,0),�(0,1),
故答案为:(1,0),(0,1);
(2)证明:过点 E作�� ⊥ �轴于 H,
∵△ ���是等腰直角三角形,
∴�� = ��,∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 90°,
∵∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
又∵∠��� = ∠��� = 90°,
∴△ ��� ≌△ ���(AAS),
∴�� = �� = �� = 1,�� = ��,
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∴�� + �� = �� + ��,
∴�� = ��,
∴�� = ��.,
又∵∠��� = 90°,
∴∠��� = 45°,
∵�� = ��,∠��� = 90°,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = 90°,
∴�� ⊥ ��;
故答案为垂直;
(3)解:∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
∵�� = ��,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = 45°,
∵∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠��� = 45°,
∴�� = �� = 1,
∴�(0, − 1);
取点 G(1, − 1),连接��, ��,
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∵�(0, − 1),∠��� = ∠��� = 45°,
∴O与 G关于直线��对称,连接��交��于 E,连接��,则�� = ��,
此时�� + ��最小,�� + �� = �� + �� = ��,
∵E到��, ��的距离相等,�� = 2,�� = 1,
∴�Δ��� = 2�Δ���,
∴�� = 2��,
∴�� = 2��.
故答案为:(0, − 1),�� = 2��.
【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,坐标与图形的性质,等腰直
角三角形的判定与性质,三角形的面积等知识点,正确的作出辅助线是解题的关键.
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专项 4 轴对称-最短路径问题
1.如图,等边三角形���的边长为 4,��是��边上的中线,�是��边上的动点,�是��边上
一点.若�� = 2,当�� + ��取得最小值时,则∠���的度数为( )
A.15° B.225° C.30° D.45°
2.如图,在△ ���中,直线�是线段��的垂直平分线,点�是直线�上的一个动点.若�� = 7,
�� = 4,�� = 5,则△ ���周长的最小值是( )
A.12 B.11 C.9 D.7
3.如图,点 E在等边△���的边��上,�� = 4,射线�� ⊥ ��,垂足为点 C,点 P是射线��
上一动点,点 F是线段��上一动点,当�� + ��的值最小时,�� = 5,则��的长为 .
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4.已知:�、�两点在直线�的同侧,试分别画出符合条件的点�.(不用写作法)
(1)如图①,在�上求作一点�,使得�� + ��最小;
(2)如图②,在�上求作一点�,使得 �� − �� 最小;
(3)如图③,在�上求作一点�,使得 �� − �� 最大.
5.如图,Rt △ ���中,∠�=90°, �� = 3,�� = 4,�� = 5,�、�、�分别是��、��、��
边上的动点,则△���的周长的最小值是( )
A.2.5 B.3.5 C.4.8 D.6
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3
6.如图,在△ ���中,��的垂直平分线��分别交��, ��于点�,点�,若点�是直线��上一动
点,点�是直线��上的一动点,�△��� = 20,�� = 10,则�� + ��的最小值为 .
7.如图,在等腰△ ���中,在��、��上分别截取��、��,使�� = ��.再分别以点�,�
为圆心,以大于��的长为半径作弧,两弧在∠���内交于点�,作射线��,交��于点�.已知
�� = �� = 10,�� = 8,�� = 12.若点�、�分别是线段��和线段��上的动点,则��+��
的最小值为( )
A.10 B.12.8 C.12 D.9.6
8.如图,已知△ ���为等腰直角三角形,�� = ��,∠��� = 15°,点�为射线��上的动点,
当 �� − �� 为最大值时,∠���的度数为 °.
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9.如图,∠��� = 30°,�是∠���内的一个定点,�� = 12cm,�,�分别是��,��上的动
点,连接��,��,��,则△ ���周长的最小值为 .
10.如图,在三角形△ ���中,∠��� = 50°,�� = ��,�� ⊥ ��于 D,M,N分别是线段��,
��上的动点,�� = ��,当�� + ��最小时,∠��� = .
11.【课题回顾】
在学习《13.4课题学习最短路径问题》时,根据“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”
探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题,并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学
问题.
【问题探究】
如图 1,在等边△���中,点�为��中点,点�,�分别为��,��上的点,�� = �� = 2,�� = 1,
点�是线段��上的动点,连接��,��,求��+��的最小值.
(1)小明提出的探究思路如下:如图 2,作点�关于直线��的对称点�′,连接��′交��于点
�,连接��,根据“两点之间,线段最短”,可知此时�� +��的值最小.
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①请你运用小明的探究思路,证明此时��+��的值最小;
②求��+��的最小值.
【类比探究】
(2)如图 3,在平面直角坐标系中,点�坐标为 4,0 ,点�为�轴正半轴上一点,连接��,
∠��� = 30°,点�为��中点,��平分∠���交边��于点�,点�为边��上的一个动点.若点
�在线段��上,连接��,��,当�� +��的值最小时,请直接写出点�的坐标______.
12.如图所示,某条护城河在��′处直角转弯,河宽均为 5m,从�处到达�处,须经过两座桥
(桥宽不计,桥与河垂直),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,如何选址造桥可使
从�处到�处的路程最短?请确定两座桥的位置.
13.在△ ���和△���中,�� = ��,连接��,��恰好平分∠���,在��上存在一点 D,使∠���
与∠���互为补角,连接��.
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(1)如图 1,当∠��� = 60°时,求∠���的度数;
(2)如图 2,当∠��� = 120°,�� = ��时,试说明��与��的位置关系;
(3)在(2)问的条件下,如图 3连接��并延长,分别交��,��于点 M,N,若�� = 4,�� = ��,
P,Q分别为��和��上的动点,请直接写出△���周长的最小值.
14.如图所示,点�(�, 0),�(0, �),且 a,b满足(� − 1)2 + |2� − 2| = 0.若 P为 x轴上异于
原点 O和点 A的一个动点,连接��,以线段��为边构造等腰直角△ ���(P为顶点),连接
��.
(1)如图 1所示,直接写出点 A的坐标为 ,点 B的坐标为 ;
(2)如图 2所示,当点 P在点 O,A之间运动时,则��、��之间的位置关系为 ;并加以证明;
(3)如图 3所示,点 P在 x轴上运动过程中,若��所在直线与 y轴交于点 F,请直接写出 F点
的坐标为 ,当�� + ��的值最小时,请直接写出此时��与��之间的数量关系.