专项4 轴对称-最短路径问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)

2024-12-02
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学鲁教版(五四制)(2012)七年级上册
年级 七年级
章节 第二章 轴对称
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 山东省
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.77 MB
发布时间 2024-12-02
更新时间 2024-12-02
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-12-02
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/49064301.html
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 4 轴对称-最短路径问题 1.【答案】C 【知识点】最短路径问题、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质,解决本题的关键是准确找到点 的位置. 根据对称性和等边三角形的性质,过点 B作�� ⊥ ��交��于点 F,连接��,此时�� + ��取得 最小值,借助等边三角形的性质得∠��� = ∠���,∠��� = ∠��� = 30°,即可求解. 【详解】解:过点 B作�� ⊥ ��交��于点 F,连接��, ∵等边三角形���的边长为 4, ∴�� = �� = 2, ∴�� = ��, ∴∠��� = ∠���, ∵��是��边上的中线, ∴∠��� =∠��� = 30°, ∴∠��� = 30°, 故选:C. 2.【答案】B 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了轴对称,动点最值问题中的“将军饮马”问题,解法是:作定点关于动点 轨迹的对称点,由于点�关于直线�的对称点为点�,故当点�在��上时,�� + ��值的最小, 求出��长度即可得到结论. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 【详解】解:设直线�交��于�,连接��,如图所示: ∵直线�是��的垂直平分线, ∴ �、�关于直线�对称,�� = ��, ∴当�和�重合时,�� + ��的值最小,最小值等于��的长, ∵ △ ���周长= �� + �� + ��,且�� + ��的最小值等于��, ∴△ ���周长的最小值是�� + �� = 7 + 4 = 11, 故选:B. 3.【答案】7 【知识点】最短路径问题、含 30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含 30度角的直角三角形的性质,熟练 掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键.作点 E关于射线��的对称点�′,过�′ 作�′� ⊥ ��于 F,交射线��于 P,连接��,此时�� + ��的值最小,利用等边三角形的性质 和三角形的内角和定理求得∠�′ = 90° −∠� = 30°,然后利用含 30度角的直角三角形的性 质求得��′ = 2�� = 10,进而求得�� = 3即可求解. 【详解】解:作点 E关于射线��的对称点�′,过�′作�′� ⊥ ��于 F,交射线��于 P,连接��, 如图,则�′� = ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 ∴�� + �� = �′� + �� = �′�,此时�� + ��的值最小,则�� = 5, ∵△ ���是等边三角形, ∴∠� = 60°,�� = ��, 在 Rt △ ���′中,∠�′ = 90° −∠� = 30°, ∴��′ = 2�� = 10, ∵�� = 4,�� = ��′, ∴2�� + 4 = 10, ∴�� = 3, ∴�� = �� = 3 + 4 = 7, 故答案为:7. 4.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】最短路径问题、三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作 图) 【分析】(1)作点�关于直线�的对称点�′,连接��′与直线�的交点即为点�; (2)连接��,作线段��的垂直平分线�,直线�与直线�的交点即为点�; (3)连接并延长��交直线�于点�,假设直线�上有一点�1(异于点�),连接��、��,点� 即为所作. 【详解】(1)解:如图,点�即为所作, (2)解:如图,点�即为所作, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 由线段垂直平分线的性质可得�� = ��,此时 ��− �� = 0; (3)解:如图,点�即为所作, 在△ ���1中, ��1 − ��1 < ��,则 �� − �� 最大. 【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图,熟 练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 5.【答案】C 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、线段问题(轴对称综合题) 【分析】如图作�关于直线��的对称点�,作�关于直线��的对称点�,连接��,��,��,��, ��,��,��.由∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,∠��� +∠��� = 90°,推出∠���+ ∠��� = 180°,可得�、�、�共线,由�� + �� + �� = �� + �� + ��,�� + �� + �� ≥ ��, 可知当�、�、�、�共线时,且�� ⊥ ��时,�� + �� + ��的值最小,最小值= 2��,求出�� 的值即可解决问题. 【详解】解:如图,作�关于直线��的对称点�,作�关于直线��的对称点�,连接��,��, ��,��,��,��,��. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 ∴�� = ��,�� = ��,�� = ��,�� = ��, ∴�� = �� = ��, ∵∠��� =∠���,∠��� = ∠���,∠��� +∠��� = 90°, ∴∠���+∠��� = 180°, ∴M、C、N共线, ∵�� + �� + �� = �� + �� + ��, ∵��+ ��+ �� ≥ ��, ∴当 M、F、E、N共线时,且�� ⊥ ��时,�� + �� + ��的值最小, 最小值为�� = 2��, ∵�� ⊥ ��, ∴ 1 2 ·��·�� = 1 2 ·��·��, ∴�� = ��·�� �� = 12 5 = 2.4, ∴�� + �� + ��的最小值为 4.8. 故选:C. 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识,解题的关键 是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题,属于中考选择题中的压轴题. 6.【答案】4 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进 行求解 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识. 连接��,过点 A作�� ⊥ ��于点 H,求出�� = 4,证明�� + �� = �� + �� ≥ ��,当且仅当 A、 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 F、G三点共线时,�� + �� = ��,则当点 G运动到点 H时,根据垂线段最短,则��取得最 小值,此时�� = �� = 4,据此即可求出答案. 【详解】解:连接��,过点 A作�� ⊥ ��于点 H, ∵�△��� = 20,�� = 10, ∴ 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 × 10�� = 20, 解得�� = 4, ∵��的垂直平分线��分别交��, ��于点�,点�, ∴�� = ��, ∴�� + �� = �� + �� ≥ ��, 当且仅当 A、F、G三点共线时,�� + �� = ��, ∵点�是直线��上的一动点, ∴当点 G运动到点 H时,根据垂线段最短,则��取得最小值,此时�� = �� = 4, 即�� + ��的最小值为 4. 故答案为:4 7.【答案】D 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、作角平分线(尺规作图)、三线合一 【分析】过点�作�� ⊥ ��于点�,交��于点�′,根据等腰三角形的性质和勾股定理求出��, 然后根据�△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 �� ⋅ ��,可得�� = 48 5 .作点�关于��的对称点交��于点�′, 连接�′�′,可得�′� = �′�′,根据垂线段最短,当点�、�分别在�′、�′位置时,��+ ��最小,进而可以解决问题. 【详解】解:如图,过点�作�� ⊥ ��于点�,交��于点�′, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 由作图可知,��平分∠���, ∵ �� = ��, ∴ �� ⊥ ��, ∴ �� = �� = 1 2 �� = 1 2 × 12 = 6, ∵ �� = 8,�� = 10,�� = 12,�△��� = 1 2 �� ⋅ �� = 1 2 �� ⋅ ��, ∴ �� = ��⋅�� �� = 48 5 , ∵ �� = ��,�� ⊥ ��, 作点�关于��的对称点交��于点�′,连接�′�′, ∴ �′� = �′�′, ∴ �� = ��′ +�′� = ��′ +�′�′, 当点�、�分别在�′、�′位置时,��+��最小, 则��+��的最小值为��的长48 5 = 9.6. 故选:D. 【点睛】本题考查尺规作−作角平分线,利用轴对称求最短距离问题,垂线段最短,等腰三角 形的性质,三角形的面积等知识,解题关键是读懂图形信息,灵活运用所学知识解决问题,属 于中考常考题型. 8.【答案】60 【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据成轴对 称图形的特征进行求解 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题,等腰直角三角形的性质,等边三角形的判 定和性质,如图,作点 A关于直线��的对称点�′,连接�'�交��于 P,则此时点 P就是使 �� − �� 的值最大的点, 连接�'�,根据等腰直角三角形的性质可得到∠���' = 15°,根据轴对称 的性质和等腰三角形的性质可推出△ �'��是等边三角形,进而即可得到结论,熟练掌握其性 质,合理添加辅助线是解决此题的关键. 【详解】如图,作点 A关于直线��的对称点�′,连接�'�交��于 P, ∴�� = ��′, ∴ �� − �� = ��' − �� = �'�, 根据三角形的三边关系可知,此时点 P就是使 �� − �� 的值最大的点, 连接�'�, ∵△ ���为等腰直角三角形,�� = ��, ∴∠��� = ∠��� = 45°,∠��� = 90°, ∵∠��� = 15°, ∴∠��� = 75°, ∴∠���' = 15°, ∵�� = �'�, ∴�'� = ��,∠��'� = ∠���' = 15°, ∴∠���' = 150°, ∵∠��� = 90°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 ∴∠�'�� = 60°, ∴△ �'��是等边三角形, ∴∠��'� = 60°, ∴∠��'� =∠��'� −∠��'� = 60° − 15° = 45°, ∵�� = ��′, ∴∠���′ = ∠��′� = 45°, ∴∠��� =∠���′ +∠�′�� = 45° + 15° = 60°, 故答案为:60. 9.【答案】12cm/12厘米 【知识点】最短路径问题、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】如图,作点�关于��、��的对称点�′、�″,连接�′�″分别与��、��相交,交点 分别为点�′、�′,根据两点之间线段最短,△ ���周长的最小值等于�′�″的长,根据轴对 称的性质可得∠��� =∠�′��,∠��� = ∠�″��,��′ = ��″ = ��,然后求出 ∠�′��″ = 60°,从而判断出△��′�″是等边三角形,根据等边三角形的性质可得��′ = ��′. 【详解】解:如图,作点�关于��、��的对称点�′、�″,连接�′�″分别与��、��相交, 交点分别为点�′、�′, ∴�� = ��″,�� = ��′,∠��� = ∠�′��,∠��� = ∠�″��,��′ = ��″ = �� = 12, ∴�� + �� + �� = �� + ��″ + ��′ ≥ �′�″, 当点�与点�′重合、点�′与点�重合时,即�″、�′、�′、�′四点共线取“=”,此时△ ��� 周长取得最小值,最小值为�′�″的长, ∵∠��� =∠�′��,∠��� = ∠�″��,��′ = ��″ = �� = 12,∠��� = 30°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 ∴∠�′��″ =∠���″ +∠���′ = 2∠��� + 2∠��� = 2∠��� = 2 × 30° = 60°, ∴△��′�″是等边三角形, ∴�′�″ = ��′ = 12 cm , ∴△ ���周长的最小值为 12cm. 故答案为:12cm. 【点睛】本题考查轴对称确定最短路线问题,轴对称的性质,等边三角形的判定与性质,两点 之间线段最短等知识点.确定△ ���周长的最小值是解题的关键, 10.【答案】12.5° 【知识点】最短路径问题、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】在��下方作△ ���′,使△ ���′ ≌△ ���,连接��′,则�� + ��最小值为��′, 此时 A、N、�′三点在同一直线上,推出∠�′�� = ∠�′ = 180°−105° 2 = 37.5°,所以∠��� = 37.5°,即可得到∠��� = ∠��� −∠��� = 50° − 37.5° = 12.5°. 【详解】解:在��下方作△ ���′,使△ ���′ ≌△ ���,连接��′. 则∠���′ =∠���,�� = �′�. ∴�� + �� = �′� + �� ≥ ��′, 即�� + ��最小值为��′,此时 A、N、�′三点在同一直线上. ∵∠��� = 50°,�� = ��, ∴∠��� = ∠��� = 65°, ∵�� ⊥ ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 ∴∠��� = 90° − 50° = 40°, ∴∠���′ = 40°, ∴∠���′ = 65° + 40° = 105°, ∴∠�′�� = ∠�′ = 180°−105° 2 = 37.5°, ∴∠��� = 37.5°, ∴∠��� = ∠��� −∠��� = 50° − 37.5° = 12.5°, 故答案为:12.5°. 【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用,凡是涉及最短距离的问题, 一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点. 11.【答案】(1)①证明见解析;②最小值为 4;(2) 0,2 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、含 30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】(1)①在��上另取一点�′,作点�关于直线��的对称点为�′,�′在��上,点�, �′在��上,连接��′,�′�′,�′�,则�� = ��′,�′� = �′�′,在△�′��′中, 根据三角形的三边关系即可得证;②先证�� = �� = �� = 2��,∠� = 60°�� ⊥ ��,再证 △ ���′是等边三角形,利用等边三角形的性质即可得解; (2)作点�关于��的对称点�,由��平分∠���知点�在��上,连接��,由两点之间线段最 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 短及垂线段最短得当�、�、�三点共线,且�� ⊥ ��时,�� + ��最小,证△���和△��� 都是等腰直角三角形,得�� = �� = �� = ��,再证∠��� = ∠��� = 30°,得�� = 1 2 ��, 进而求得�� = 1 2 �� = 2,从而得�� = �� = �� − �� = 2,即可得解. 【详解】解:(1)①证明∶∵△ ���是等边三角形, ∴�� = ��, ∵点�为��中点, ∴��垂直平分��, 如图,在��上另取一点�′,作点�关于直线��的对称点为�′,�′在��上,点�,�′在�� 上,连接��′,�′�′,�′�, ∴�� = ��′,�′� = �′�′, ∴��+�� = �� +��′ = ��′, 在△�′��′中,��′ < ��′ +�′�′, ∴��+�� < ��′ +�′�′, ∴��′即是�� +��的最小值; ②解∶∵△ ���是等边三角形,点�为��中点, ∴�� = �� = �� = 2��,∠� = 60°,�� ⊥ ��. ∵�� = 2,�� = 1, ∴�� = �� = �� + �� = 3, ∴�� = �� = �� = 6, ∵点�关于直线��的对称点为�′, ∴�� = ��′ = 1, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 ∴��′ = �� = �� − ��′ = 2, ∴�� = ��′ = �� − �� = �� − ��′ = 4, ∵∠� = 60° ∴△ ���′是等边三角形, ∴��′ = �� = 4, ∴��+��的最小值为 4; (2)作点�关于��的对称点�,由��平分∠���知点�在��上,连接��,由两点之间线段最 短及垂线段最短得当�、�、�三点共线,且�� ⊥ ��时,�� + ��最小, ∴∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��, ∴�� ⊥ ��, 由题意可得�� ⊥ ��, ∵��平分∠��� ∴∠��� = ∠��� = 45°, ∴△���和△���都是等腰直角三角形, ∴�� = �� = �� = ��, ∵�� ⊥ ��,�� ⊥ ��, ∴�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠��� = 30°, ∴�� = 1 2 ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 ∵点�坐标为 4,0 , ∴�� = 4, ∵∠��� = 30°, ∴�� = 2�� = 8, ∵点�是��的中点, ∴�� = 1 2 �� = 4, ∴�� = 1 2 �� = 2, ∴�� = �� = �� − �� = 2, ∴� 0,2 , 故答案为: 0,2 . 【点睛】本题主要考查了垂线段最短,两点之间,线段最短,坐标与图形,轴对称的性质,30 度直角三角形的性质,等边对等角,角平分线的定义,熟练掌握两点之间,线段最短,坐标与 图形,轴对称的性质,30度直角三角形的性质是解题的关键. 12.【答案】见解析 【知识点】最短路径问题、利用平移的性质求解 【分析】本题属于最短路径问题,分析题意,利用平移河宽,将折线问题转化为直线是解题关 键;过点�作�� ⊥ ��,使��等于河宽;过点�作�� ⊥ ��,使��等于河宽,连接��,分别与 河岸�′�′,�′�′相交于点�′,�′,接下来再过�′,�′作对边的垂线,即可找到两座桥 的位置. 【详解】解:如图所示,作法如下: (1)过点�作�� ⊥ ��,使��等于河宽;过点�作�� ⊥ ��,使��等于河宽(相当于将桥平移 到��,��的位置). (2)连接��,分别与河岸�′�′,�′�′相交于点�′,�′. (3)过点�′作�′� ⊥ ��于点�,过点�′作�′� ⊥ ��于点�, 由作图可知�� + ��′ + �′�′ + ��′ + �� = �� + ��′ + �′�′ + ��′ + ��, ∴最短路径为�� + �� + ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 15 ∴�′�,�′�即为两座桥的位置. 13.【答案】(1)120° (2)��∥�� (3)4 【知识点】最短路径问题、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】(1)根据题意确定∠��� = ∠��� = 30°,再利用三角形的内角和计算即可; (2)由题干条件推出△ ���为等边三角形,然后进一步证明△ ��� ≌△ ���,从而利用全等 三角形和平行线的判定证明即可; (3)首先将�沿��对称至�′,��对称至�″,可确定且�′,�″分别在��、��上,并连接�′�″, 此时与��和��交点即为所求�、�,此时,△���的周长最小,即为�′�″的长度,然后根据 全等三角形的判定以及对称的性质证明�′�″ = �� = ��,即可求得结论. 【详解】(1)解:∵∠��� = 60°,��恰好平分∠���, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� = 30°, ∵在△ ���和△ ���中�� = ��, ∴∠��� = ∠��� = 30°, ∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 30° − 30° = 120°; (2)证:∵∠��� = 120°,��恰好平分∠���, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� = 60°, ∵�� = ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 16 ∴△ ���为等边三角形,∠��� = ∠��� = 60°, ∵∠���与∠���互为补角, ∴∠��� = 60°, ∴∠��� = ∠��� = 60°, ∴∠��� −∠��� =∠��� −∠���, 即:∠��� = ∠���, 在△ ���和△���中, �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ∴△ ��� ≌△ ��� SAS , ∴∠��� = ∠��� = 60°, ∴∠��� +∠��� = 60° × 3 = 180°, ∴��∥��; (3)解:由(2)可知,∠��� = ∠��� = 60°, ∵�� = ��,��恰好平分∠���, ∴��垂直平分��, 如图所示,将�沿��对称至�′,沿��对称至�″,且�′,�″分别在��、��上, 连接�′�″,此时与��和��交点即为所求�、�, ∴此时,△���的周长最小,且�、�两点重合, 此时,△���周长的最小值即为�′�″的长度, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 17 由(2)可得∠��� = 30°, 由对称的性质可得:∠�′��″ = 60°,�� = ��′ = ��″, ∴△ ��′�″为等边三角形, ∴�′�″ = ��, ∵△ ���为等边三角形, ∴�� = ��, ∴�′�″ = ��, 此时,过�点作��∥��,交��于�点,如图所示, ∴∠��� =∠��� = 60°,∠��� = ∠���, ∵∠��� = 60°, ∴△���为等边三角形,�� = ��, 由(2)知,�� = ��, ∴�� = ��, 在△���和△ ���中, ∠��� =∠��� �� = �� ∠��� = ��� ∴△��� ≌△ ��� ASA , ∴�� = ��, ∴��+ �� = �� + ��,即:�� = �� = 4, ∴�′�″ = �� = 4, ∴△���周长的最小值为 4. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质等,掌握全等三角形的 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 18 判定方法,熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键. 14.【答案】(1)(1,0),(0,1) (2)垂直,见解析 (3)(0, − 1),�� = 2�� 【知识点】绝对值非负性、最短路径问题、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)、 等边对等角 【分析】(1)根据非负数的性质得到� = 1,� = 1,得到�� = 1,�� = 1,于是得到结果; (2)过点 E作�� ⊥ �轴于 H,证明△ ��� ≌△ ���(AAS),由全等三角形的性质得出�� = �� = �� = 1, �� = ��,由等腰直角三角形的性质得出∠��� = 45°,证出∠��� = 90°,则 可得出结论; (3)由直角三角形的性质证出�� = �� = 1,则可得出�(0, − 1);取点�(1, − 1),连接��、��, O与 G关于直线��对称,连接��交��于 E,连接��,则�� = ��,根据三角形的面积关系可 得出�� = 2��. 【详解】(1)解:∵(� − 1)2 + |2� − 2| = 0, ∴� − 1 = 0,2� − 2 = 0, ∴� = 1,� = 1, ∴�(1,0),�(0,1), 故答案为:(1,0),(0,1); (2)证明:过点 E作�� ⊥ �轴于 H, ∵△ ���是等腰直角三角形, ∴�� = ��,∠��� = 90°, ∴∠��� +∠��� = 90°, ∵∠��� +∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠���, 又∵∠��� = ∠��� = 90°, ∴△ ��� ≌△ ���(AAS), ∴�� = �� = �� = 1,�� = ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 19 ∴�� + �� = �� + ��, ∴�� = ��, ∴�� = ��., 又∵∠��� = 90°, ∴∠��� = 45°, ∵�� = ��,∠��� = 90°, ∴∠��� = 45°, ∴∠��� = 90°, ∴�� ⊥ ��; 故答案为垂直; (3)解:∵�� ⊥ ��, ∴∠��� = 90°, ∵�� = ��, ∴∠��� = 45°, ∴∠��� = 45°, ∵∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠��� = 45°, ∴�� = �� = 1, ∴�(0, − 1); 取点 G(1, − 1),连接��, ��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 20 ∵�(0, − 1),∠��� = ∠��� = 45°, ∴O与 G关于直线��对称,连接��交��于 E,连接��,则�� = ��, 此时�� + ��最小,�� + �� = �� + �� = ��, ∵E到��, ��的距离相等,�� = 2,�� = 1, ∴�Δ��� = 2�Δ���, ∴�� = 2��, ∴�� = 2��. 故答案为:(0, − 1),�� = 2��. 【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,坐标与图形的性质,等腰直 角三角形的判定与性质,三角形的面积等知识点,正确的作出辅助线是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 4 轴对称-最短路径问题 1.如图,等边三角形���的边长为 4,��是��边上的中线,�是��边上的动点,�是��边上 一点.若�� = 2,当�� + ��取得最小值时,则∠���的度数为( ) A.15° B.225° C.30° D.45° 2.如图,在△ ���中,直线�是线段��的垂直平分线,点�是直线�上的一个动点.若�� = 7, �� = 4,�� = 5,则△ ���周长的最小值是( ) A.12 B.11 C.9 D.7 3.如图,点 E在等边△���的边��上,�� = 4,射线�� ⊥ ��,垂足为点 C,点 P是射线�� 上一动点,点 F是线段��上一动点,当�� + ��的值最小时,�� = 5,则��的长为 . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 4.已知:�、�两点在直线�的同侧,试分别画出符合条件的点�.(不用写作法) (1)如图①,在�上求作一点�,使得�� + ��最小; (2)如图②,在�上求作一点�,使得 �� − �� 最小; (3)如图③,在�上求作一点�,使得 �� − �� 最大. 5.如图,Rt △ ���中,∠�=90°, �� = 3,�� = 4,�� = 5,�、�、�分别是��、��、�� 边上的动点,则△���的周长的最小值是( ) A.2.5 B.3.5 C.4.8 D.6 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 6.如图,在△ ���中,��的垂直平分线��分别交��, ��于点�,点�,若点�是直线��上一动 点,点�是直线��上的一动点,�△��� = 20,�� = 10,则�� + ��的最小值为 . 7.如图,在等腰△ ���中,在��、��上分别截取��、��,使�� = ��.再分别以点�,� 为圆心,以大于��的长为半径作弧,两弧在∠���内交于点�,作射线��,交��于点�.已知 �� = �� = 10,�� = 8,�� = 12.若点�、�分别是线段��和线段��上的动点,则��+�� 的最小值为( ) A.10 B.12.8 C.12 D.9.6 8.如图,已知△ ���为等腰直角三角形,�� = ��,∠��� = 15°,点�为射线��上的动点, 当 �� − �� 为最大值时,∠���的度数为 °. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 9.如图,∠��� = 30°,�是∠���内的一个定点,�� = 12cm,�,�分别是��,��上的动 点,连接��,��,��,则△ ���周长的最小值为 . 10.如图,在三角形△ ���中,∠��� = 50°,�� = ��,�� ⊥ ��于 D,M,N分别是线段��, ��上的动点,�� = ��,当�� + ��最小时,∠��� = . 11.【课题回顾】 在学习《13.4课题学习最短路径问题》时,根据“两点之间,线段最短”和“垂线段最短” 探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题,并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学 问题. 【问题探究】 如图 1,在等边△���中,点�为��中点,点�,�分别为��,��上的点,�� = �� = 2,�� = 1, 点�是线段��上的动点,连接��,��,求��+��的最小值. (1)小明提出的探究思路如下:如图 2,作点�关于直线��的对称点�′,连接��′交��于点 �,连接��,根据“两点之间,线段最短”,可知此时�� +��的值最小. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 ①请你运用小明的探究思路,证明此时��+��的值最小; ②求��+��的最小值. 【类比探究】 (2)如图 3,在平面直角坐标系中,点�坐标为 4,0 ,点�为�轴正半轴上一点,连接��, ∠��� = 30°,点�为��中点,��平分∠���交边��于点�,点�为边��上的一个动点.若点 �在线段��上,连接��,��,当�� +��的值最小时,请直接写出点�的坐标______. 12.如图所示,某条护城河在��′处直角转弯,河宽均为 5m,从�处到达�处,须经过两座桥 (桥宽不计,桥与河垂直),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,如何选址造桥可使 从�处到�处的路程最短?请确定两座桥的位置. 13.在△ ���和△���中,�� = ��,连接��,��恰好平分∠���,在��上存在一点 D,使∠��� 与∠���互为补角,连接��. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 (1)如图 1,当∠��� = 60°时,求∠���的度数; (2)如图 2,当∠��� = 120°,�� = ��时,试说明��与��的位置关系; (3)在(2)问的条件下,如图 3连接��并延长,分别交��,��于点 M,N,若�� = 4,�� = ��, P,Q分别为��和��上的动点,请直接写出△���周长的最小值. 14.如图所示,点�(�, 0),�(0, �),且 a,b满足(� − 1)2 + |2� − 2| = 0.若 P为 x轴上异于 原点 O和点 A的一个动点,连接��,以线段��为边构造等腰直角△ ���(P为顶点),连接 ��. (1)如图 1所示,直接写出点 A的坐标为 ,点 B的坐标为 ; (2)如图 2所示,当点 P在点 O,A之间运动时,则��、��之间的位置关系为 ;并加以证明; (3)如图 3所示,点 P在 x轴上运动过程中,若��所在直线与 y轴交于点 F,请直接写出 F点 的坐标为 ,当�� + ��的值最小时,请直接写出此时��与��之间的数量关系.

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专项4 轴对称-最短路径问题-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
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