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1
专项 3 角平分线的判定和性质的综合
1.【答案】A
【知识点】折叠问题、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的性质定理、三角形面积公式,作�� ⊥ ��于�,
�� ⊥ ��于�,由折叠的性质可得:∠��� = ∠��� = 45°,�� = ��′ = 1,再由角平分线
的性质定理可得�� = ��,再结合面积公式计算即可得解.
【详解】解:如图:作�� ⊥ ��于�,�� ⊥ ��于�,
,
∵在 Rt △ ���中,∠��� = 90°,
∴由折叠的性质可得:∠��� = ∠��� = 45°,�� = ��′ = 1,
∵�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴�� = ��,
∵将△ ���沿直线��翻折后,点�恰好落在边��的中点处,
∴��′ = ��′ = 1,
∴�� = 2,
∵�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 1 × 2 = 1,�△��� = �△��� + �△��� =
1
2
�� ⋅ �� + 1
2
�� ⋅ �� = 1
2
×
1 �� + 1
2
× 2 ×��,
∴
1
2
× 1 ×�� + 1
2
× 2 ×�� = 1,
∴�� = 2
3
,
故选:A.
2.【答案】D
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2
【知识点】全等的性质和 HL综合(HL)、角平分线的性质定理、多边形内角和问题
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、直角三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等
知识,通过作辅助线,构造全等三角形是解题关键.过点�作�� ⊥ ��于点�,先根据角平分线
的性质定理可得�� = ��, �� = ��,从而可得�� = ��,再证出 Rt △ ��� ≌ Rt △ ���,根
据全等三角形的性质可得∠��� = ∠���,由此即可判断①正确;先证出 Rt △ ��� ≌ Rt △
���,根据全等三角形的性质可得∠��� = ∠���,从而可得∠��� = 2∠���,再根据四
边形的内角和即可判断②正确;先根据三角形的外角性质可得∠��� = ∠��� +∠���,从而
可得 2∠��� = 2∠��� +∠���,再根据三角形的外角性质可得∠��� = ∠��� +∠���,
由此即可判断③正确;根据全等三角形的性质可得�△��� = �△���,�△��� = �△���,由此即可
判断④正确.
【详解】解:如图,过点�作�� ⊥ ��于点�,
∵∠���、∠���的角平分线��、��交于点�,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴�� = ��, �� = ��,∠��� = 2∠���,∠��� = 2∠���,
∴�� = ��,
在 Rt △ ���和 Rt △ ���中,
�� = ��
�� = ��,
∴Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,
∴∠��� = ∠���,∠��� =∠���,
∴��平分∠���,结论①正确;
在 Rt △ ���和 Rt △ ���中,
�� = ��
�� = ��,
∴Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,
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3
∴∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 2 ∠��� +∠��� = 2∠���,
∵�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� + 2∠��� = 180°,结论②正确;
∵∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = 2∠���,∠��� = 2∠���,
∴2∠��� = 2∠��� +∠���,
又∵∠��� = ∠��� +∠���,
∴2 ∠��� +∠��� = 2∠��� +∠���,
∴∠��� = 2∠���,结论③正确;
∵Rt △ ��� ≌ Rt △ ���,Rt △ ��� ≌ Rt △ ���,
∴�△��� = �△���,�△��� = �△���,
∴�△��� + �△��� = �△��� + �△���,即�△��� = �△��� + �△���,结论④正确;
综上,结论中正确的个数 4个,
故选:D.
3.【答案】4
【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理
【分析】过点�作�� ⊥ ��于点�,交��于点�,过点�作�� ⊥ ��于点�,则��即为��+��
的最小值,再根据三角形的面积公式求出��的长,即为��+��的最小值.本题考查了垂线
段最短,角平分线的性质,关键是将��+��的最小值转化为��,题目具有一定的代表性,
是一道比较好的题目.
【详解】解:如图,过点�作�� ⊥ ��于点�,交��于点�,过点�作�� ⊥ ��于点�,
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4
∵ ��平分∠���,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴ �� = ��,
∴当�、�、�三点共线时,�� +��有最小值,
∴ �� = ��+�� = ��+��,
∵三角形���的面积为 14,�� = 7,
∴ 1
2
× 7 ⋅ �� = 14,
∴ �� = 4.
即��+��的最小值为 4.
故答案为:4.
4.【答案】6
【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了角平分线的性质定理,三角形面积公式,掌握角平分线上的点到角两边的
距离相等是解题关键.连接��,过点�作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,由角平分线的性质
定理,得出�� = �� = ��,再结合三角形面积公式,求出�� = 2,再根据四边形����的面
积= �△��� + �△��� = �△��� + �△���,即可求出��+ ��的值.
【详解】解:如图,连接��,过点�作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∵ ��平分∠���,��平分∠���,
∴ �� = ��,�� = ��,
∴ �� = �� = ��,
∵△ ���的面积是 1,
∴ 1
2
�� ⋅ �� = 1,
∵ �� = 1,
∴ �� = 2,
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5
∵△ ���的面积是 1,△���的面积是 5,
∴四边形����的面积= �△��� + �△��� = 6,
又∵四边形����的面积= �△��� + �△���,
∴ 1
2
�� ⋅ �� + 1
2
�� ⋅ �� = 1
2
��+ �� ⋅ �� = 6,
∴ ��+ �� = 6,
故答案为:6
5.【答案】(1)见解析
(2)45°
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和 SAS综合(SAS)、角平分线的判定定
理
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的判断等知识,解题的关键是:
(1)根据 SAS可证明△ ��� ≌△ ���,得出∠��� = ∠���,然后利用三角形内角和定理可
得出∠��� = 90°,即可得证;
(2)根据全等三角形的性质得出�△��� = �△���,�� = ��,根据等面积法得出�� = ��,根
据角平分线的判定得出��平分∠���,即可求解.
【详解】(1)证明:∵∠��� = 90°,∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∵�� = ��,�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� +∠��� = 90°,
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6
∴∠��� +∠��� +∠��� =∠��� +∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = 90°,
∴�� ⊥ ��;
(2)解:过 A作�� ⊥ ��于 M,�� ⊥ ��于 N,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
∵△ ��� ≌△ ���,
∴�△��� = �△���,�� = ��,
∵
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
�� ⋅ ��,
∴�� = ��,
又�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 45°.
6.【答案】 1 ∠� = 2∠�; 2 26°; 3 72°.
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分
线的判定定理
【分析】 1 根据三角形外角的性质可得∠��� = ∠� +∠���、∠��� = ∠� +∠���,根
据角平分线的定义可得∠��� = 1
2
∠���、∠��� = 1
2
∠���,所以可得∠� +∠��� =
1
2
∠� +∠��� ,从而可得∠� = 1
2
∠�;
2 延长��到�,根据角平分线的定义可得∠��� = ∠��� =∠��� = ∠���,从而可得��
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平分∠���、��平分∠���,构造出 1 中的模型,由 1 中的结论可知∠� = 1
2
∠� = 26°;
3 过点�作�� ⊥ ��、�� ⊥ ��、�� ⊥ ��,根据 2∠��� +∠��� = 180°、∠��� +∠��� =
180°,可得��平分∠���,构造出 1 中的模型,由 1 中的结论可知∠��� = 1
2
∠��� = 72°.
【详解】 1 解:∠� = 2∠�,
理由如下:
如下图所示,
∵∠���是△ ���的外角,
∴∠��� = ∠� +∠���,
∵∠���是△ ���的外角,
∴∠��� = ∠� +∠���,
∵ ��平分∠���,��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∴∠� +∠��� = 1
2
∠� +∠��� ,
∴∠� +∠��� = 1
2
∠� + 1
2
∠���,
∴∠� = 1
2
∠�;
2 解:如下图所示,延长��到点�,
∵∠��� = 102°,
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∴∠� +∠� = 78°,
又∵ ��平分∠���,
∴∠��� =∠��� = ∠��� =∠���,
∴ ��平分∠���,
又∵ ��平分∠���,
由 1 可知∠� = 1
2
∠�,
根据折叠可知
∠� = ∠�,
∴∠� = 1
2
∠�,
∴ 1
2
∠� +∠� = 78°,
解得:∠� = 2
3
× 78° = 52°,
∴∠� = 1
2
∠� = 26°;
3 解:如下图所示,过点
�作�� ⊥ ��垂足为点�,
�� ⊥ ��垂足为点�,�� ⊥ ��垂足为点�,
∵ 2∠��� +∠��� = 180°,∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� = 2∠���,
∴ ��平分∠���,
∵ ��平分∠���,∠��� = 18°,
∴由(1)知∠��� = 2∠��� = 36°
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∴∠��� = 180° −∠��� = 180° − 36° = 144°,
∵ ��平分∠���,
∴ �� = ��
��平分∠���,
∴ �� = ��,
∴ �� = ��,
∴ ��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 72°,
故答案为 72°.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及判定定理,角平分线的定义,三角形的外角性
质,邻补角性质,解决本题的关键是根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、角平
分线把一个角分成两个相等的角,找到角之间的关系;另外还要作辅助线构造出 1 中的模型.
7.【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质,三角形的面积,设�� = 3�,�� = 5� � ≠ 0 ,过点�作�� ⊥
��于点�,过点�作�� ⊥ ��于点�,过点�作�� ⊥ ��于点�,设�� = ℎ ,根据角平分线的
性质得�� = �� = ℎ ,根据48 = �△��� = �△��� + �△���推出ℎ � = 12,继而得到�△��� = 18,
即
1
2
�� ⋅ �� = 18,再根据��
��
= 1
3
,即可得出结论.解题的关键是掌握:角平分线上的点到角两
边的距离相等.
【详解】解:设�� = 3�,�� = 5� � ≠ 0 ,
过点�作�� ⊥ ��于点�,过点�作�� ⊥ ��于点�,过点�作�� ⊥ ��于点�,设�� = ℎ ,
∵��平分∠���,△���的面积为 48,
∴�� = �� = ℎ ,
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∴48 = �△��� = �△��� + �△��� =
1
2
�� ⋅ �� + 1
2
�� ⋅ ��,
∴
1
2
× 3� × ℎ + 1
2
× 5� × ℎ = 48,
∴ℎ � = 12,
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 3
2
ℎ � = 3
2
× 12 = 18,
∴18 = �△��� =
1
2
�� ⋅ ��,
∵
��
��
= 1
3
,
∴�� = 3
2
��,
∴18 = 1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 3
2
�� ⋅ ��,
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 18 × 2
3
= 12,
∴△ ���的面积为 12.
故选:B.
8.【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、与三角形的高有关的计算问题
【分析】如图,在��上截取�� = ��,�� = ��,连接��,��.根据题意易证△ ��� ≌△
���(SAS),△ ��� ≌△ ���(SAS).即得出∠��� = ∠���,∠��� =∠���,�� = ��,�� =
��.继而求出∠��� = ∠��� = ∠��� =∠��� =∠��� = 45°,再由题意可知,��
��
= ��
��
= 4,
即又可推出�� = 1
4
��,�� = 3
4
��.由 OF平分∠���,得��
��
= ��
��
= ��
��
= 1
4
,可推出�� = 4
5
×
3
4
�� = 3
5
��.最后由��平分∠���,可得��
��
= ��
��
= ��
��
.即可求出
��
��
的值.
【详解】解:如图,在��上截取�� = ��,�� = ��,连接��,��.
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根据题意可知∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
又∵�� = ��,�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ���(SAS),△ ��� ≌△ ���(SAS).
∴∠��� = ∠���,∠��� =∠���,�� = ��,�� = ��.
∵∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 45°,
∴∠��� = ∠��� = 45°,
∴∠��� =∠��� = 45°,
∴∠��� = 180° − (∠��� +∠���) −∠��� −∠��� = 180° − 45° − 45° − 45° = 45°,
∵��平分∠���,
∴ �到��、��的距离相等,
∴
�△���
�△���
= ��
��
= ��
��
= 4,即�� = 4��,
∴�� = 1
4
��,�� = 3
4
��,
又∵∠��� = ∠��� = 45°,即��平分∠���.
同理可得:
��
��
= ��
��
= ��
��
= 1
4
,即�� = 1
4
��,
∴�� = 4
5
��,
∴�� = 4
5
× 3
4
�� = 3
5
��,
∵��平分∠���,
∴
��
��
= ��
��
= ��
��
= ��3
5��
= 5
3
.
故选:B
【点睛】本题主要考查角平分线的判定和性质,三角形全等的判定和性质.推理论证过程较难,
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作出辅助线,根据角平分线的性质得出三角形的角平分线分对边成两条线段,那么这两条线段
的比等于对应相邻的两边的比是解答本题的关键.
9.【答案】4
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)、
角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形外角和定理和角平分性质,过 C作
�� ⊥ ��交��延长线于 H,则∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +∠���,结合已
知可得∠��� = 90°,∠��� = 45°,则∠��� = ∠��� + 45°和∠��� = ∠��� + 90°,进一
步求得∠��� = 2∠���,有∠��� =∠���,即可证明△ ��� ≌△ ���,则�� = �� = 5,
利用三角形面积公式即可求得��.
【详解】解:过 C作�� ⊥ ��交��延长线于 H,如图,
则∠��� = ∠��� +∠���,∠��� = ∠��� +∠���,
∵�� ⊥ ��,∠��� = 135°,
∴∠��� = 90°,∠��� = 45°,
∴∠��� = ∠��� + 45°,∠��� = ∠��� + 90°,
∵��平分∠���,
∴∠��� = 2∠���,
即∠��� = 2∠��� + 90° = 2 ∠��� + 45° ,
∴∠��� = 2∠���,
则∠��� = ∠���,
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∵�� = ��,∠��� = ∠� = 90°,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴�� = �� = 5,
∵�△��� = 10,
∴
1
2
�� ⋅ �� = 10,
则
1
2
�� ⋅ 5 = 10,
解得�� = 4.
故答案为:4.
10.【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、全等的性
质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,角平分线的性
质与判定,先根据等边对等角得到∠��� = ∠���,则由角平分线的定义得到∠��� = ∠���,
证明△ ��� ≌△ ��� ASA ,得到�� = ��,则�� = ��;由角平分线的判定定理得到��平分
∠���,则由三线合一定理得到�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,则�� ∥ ��,如图所示,过点 E作�� ⊥
��,�� ⊥ ��,垂足分别为 N、M,由角平分线的性质得到�� = ��,证明�△��� =
1
2
�△���,
得到�� = 2�� = 12,则�� = �� = 12,由平行线的性质得到�� = �� = 12,即点 D到边��
的距离为 12.
【详解】解:∵�� = ��,
∴∠��� = ∠���,
∵��、��分别是∠���与∠���的平分线,
∴∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∴∠��� = ∠���,
又∵�� = ��,
∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,
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∴�� = ��,
∴�� = ��;
∵点 D到△ ���两边��、��的距离均为 6,
∴��平分∠���,
∴�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴�� ∥ ��,
如图所示,过点 E作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,垂足分别为 N、M,
∴�� = ��,
∵点 D为��的中点,
∴�△��� =
1
2
�△���,
∴
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
⋅ 1
2
⋅ �� ⋅ ��,
∴�� = 2�� = 12,
∴�� = �� = 12,
∵�� ⊥ ��,
∴�� = �� = 12,
∴点 D到边��的距离为 12,
故答案为:12.
11.【答案】(1)①详见解析;②�� = ��,理由见解析
(2)90° − 1
2
�
【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和 SAS综合(SAS)、三角形内角和定理的应
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15
用
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定,角平分线的判定,三角形内角和定理的应用;
(1)①先证明∠��� = ∠���,结合已知条件即可证明△ ��� ≌△ ��� SAS ,根据全等三角
形的性质即可得证;
②过点�, �分别作��的垂线,垂足分别为�,�,证明△ ��� ≌△ ��� AAS ,根据全等三角形
的性质即可得证;
(2)过点 A作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��延长线,根据全等三角形的性质得出�△��� = �△���,�� = ��,
∠��� = ∠���,根据三角形内角和定理可得∠��� = ∠��� = �,进而根据等面法可得
�� = ��,则以��为∠���的角分线,设∠��� = �°,根据平角的定义列出方程,解方程,
即可求解.
【详解】(1)①证明:∵∠��� = ∠��� = �
∴∠��� +∠��� = ∠��� +∠���
∴∠��� = ∠���
在△ ���与△ ���中
�� = ��
∠��� =∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ��� SAS
∴ �� = ��
②�� = ��
如图过点�, �分别作��的垂线,垂足分别为�,�,
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∵∠��� = 90°
∴∠��� +∠��� = 90°,
∵△ ��� ≌△ ���
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵�� = ��
∴∠��� =∠���
∴∠��� +∠��� = 90°
又∵∠��� = ∠��� +∠��� = 90°
∴∠��� =∠���
∴△ ��� ≌△ ��� AAS
∴�� = ��,
又∵∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴△ ��� ≌△ ���,
∴�� = ��.
(2)90° − 1
2
�
如图所示,过点 A作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��延长线
∵△ ��� ≌△ ���
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∴�△��� = �△���,�� = ��,∠��� = ∠���
∴∠��� = ∠��� = �
∴ �� = ��
所以��为∠���的角分线
设∠��� = �°
∴2� + � = 180
∴∠��� = 90° − 1
2
�
12.【答案】(1)10
(2)�� + �� = 2��
(3) 6,6 , 9,0 , −3, − 6
【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等的性质和 HL综合(HL)、
坐标与图形
【分析】(1)证明△ ��� ≌△ ��� ASA ,根据全等三角形的性质即可得证;
(2)连接��, ��,过点 E作�� ⊥ ��于点 M,过点 E作�� ⊥ ��于点 N,根据折叠的性质和
角平分线的性质推出�� = �� = ��,通过证明 Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,得出�� = ��,
通过证明 Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,得出�� = ��,即可得出�� + �� = 2��,最后证明
Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,得出�� = ��,即可得证.
(3)根据题意分 3种情况讨论 P点位置,利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案.
【详解】(1)解:∵�� ⊥ �轴,∠��� = 90°
∴∠��� = ∠��� = 90°
∴∠��� +∠� =∠��� +∠�
∴∠��� = ∠���,
在△ ���, △ ���中
∠��� = ∠���
�� = ��
∠��� = ∠���
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∴△ ��� ≌△ ��� ASA
∴�� = �� = 10;
(2)�� + �� = 2��
证明:连接��, ��,过点 E作�� ⊥ ��于点 M,过点 E作�� ⊥ ��于点 N,
由折叠的性质可得:∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠���,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴�� = ��,
∵��为∠���的角平分线,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴�� = �� = ��,
在 Rt △ ���和 Rt △ ���中,
�� = ��
�� = ��
∴Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,
∴�� = ��,
在 Rt △ ���和 Rt △ ���中,
�� = ��
�� = ��,
∴Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,
∴�� = ��,
∴�� + �� = �� + �� + �� = �� + �� + �� = �� + �� = 2��,
在 Rt △ ���和 Rt △ ���中,
�� = ��
�� = �� ,
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∴Rt △ ��� ≌ Rt △ ��� HL ,
∴�� = ��,
∴�� + �� = 2��
(3)解:∵∠��� = 90°, �� = ��,
∴△ ���是等腰直角三角形,
∵△ ���与△ ���全等
∴△ ���是等腰直角三角形,
如图所示,△ ��� ≌△ ���
过点�作�轴的平行线��,过点�, �分别作��的垂线,垂足分别为�,�,
∴∠� =∠� = 90°
∵� −6,0 , � 0,3 ,
∴�� = �� = 3,�� = �� = 6
∵△ ��� ≌△ ���
∴�� = ��
又∵∠��� =∠���
∴△��� ≌△���
∴�� = �� = 6, �� = �� = 3
∴� 6,6
如图所示,△ ��� ≌△ ���
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∴∠��� = ∠��� = 45°,
∴∠��� = 45°,
∴��平分∠���,
∴�� ⊥ ��且��平分��,
∴�� = ��,
∵�� = �� = ��,
∴�� = ��,
又∵∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 45° = 45°
∴△ ���是等腰直角三角形,
∴∠��� = 45°
∴∠��� =∠��� +∠��� = 90°
如图所示,过点�作�轴的平行线��,过点�, �分别作��的垂线,垂足分别为�, �,
∴∠��� = 90° −∠��� = ∠���
∴△ ��� ≌△ ���
∴�� = �� = 3, �� = �� = 6
∴� −3, − 6
如图所示,△ ��� ≌△ ���,
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过点�分别作�, �轴的垂线,垂足分别为�, �,
∴∠��� = ∠���
∵△ ��� ≌△ ���,∠��� = 90°, �� = ��
∴∠��� = ∠���
∴��∥��
∴∠��� = ∠���,
∵�� = �� = ��,
∴△ ��� ≌△ ���
∴�� = �� = 3,�� = �� = 6
在△ ���, △ ���中,
∠��� = 90° −∠��� = ∠���,�� = ��,∠��� = ∠���
∴△ ��� ≌△ ���
∴�� = �� = 3
∴�� = �� + �� = 9
∴� 9,0 .
综上所述,�点的坐标为: 6,6 , 9,0 , −3, − 6 .
【点睛】本题主要考查了三角形综合,折叠的性质,坐标与图形,全等三角形的判定和性质,
角平分线的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定方法,全等三角形对应边相等,对应角
相等;折叠前后对应角相等;角平分线上的点到两边距离相等.
13.【答案】(1)�(4,0),�(0,8)
(2)(8,12),(12,4),( − 8,4),( − 4, − 4)
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(3)4
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA
或者 AAS)、角平分线的性质定理
【分析】(1)由二次根式及平方的非负性质可得� − 4 = 0,8 − � = 0,再求解即可;
(2)分点�为直角顶点和点�为直角顶点两种情况,构造全等三角形求解即可;
(3)过点 C分别作�� ⊥ �轴,�� ⊥ �轴,�� ⊥ ��,垂足分别为 D,E,F,先证△ ��� ≌△
��� AAS ,可得�� = ��,再证△ ��� ≌△ ��� ASA ,可得�� = ��,再证△��� ≌△
��� SAS ,可得∠��� = ∠���,最后由角平分线的性质求解即可.
【详解】(1)解:由题意可知:� − 4 = 0,8 − � = 0,
解得� = 4,� = 8,
∴ �(4,0),�(0,8);
(2)解:以点�为直角顶点,且��在��的上方时,
如图,作�� ⊥ ��于点�.
∵∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 90°.
∵ �� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∴∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠���,
∵ �� = ��,
∴△ ��� ≌△ ���(AAS),
∴ �� = �� = 8,�� = �� = 4,
∴ �� = 4 + 8 = 12,
∴ �(12,4),
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以点�为直角顶点,且��在��的下方时,
同理可得�( − 4, − 4);
当以点�为直角顶点,且��在��的上方时
作�� ⊥ ��于点�.如图,
同理可求:�� = �� = 8,�� = �� = 4,
∴ �� = 4 + 8 = 12,
∴ �(8,12),
以点�为直角顶点,且��在��的下方时,
同理可得�( − 8, − 4);
综上,所有可能的点 C的坐标有:(8,12),(12,4),( − 8,4),( − 4, − 4).
(3)解:如图,过点 C分别作�� ⊥ �轴,�� ⊥ �轴,�� ⊥ ��,垂足分别为 D,E,F,
∵�(4,0),�(0,8),
∴�� = 4,�� = 8,
由(2)可知 C点坐标为( − 4, − 4),
∴�� = �� = 4,
在△ ���和△ ���中,
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∠��� =∠���
∠��� =∠���
�� = ��
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴�� = ��,
∵∠��� +∠��� = 90°,∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� =∠���,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
在△ ���和△ ���中,
∠��� =∠���
�� = ��
∠��� =∠���
∴△ ��� ≌△ ��� ASA ,
∴�� = ��,
∴�� = ��,
∵∠��� = 45°,∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠��� = 45°,
在△���和△ ���中,
�� = ��
∠��� = ∠���
�� = ��
∴△��� ≌△ ��� SAS ,
∴∠��� =∠���,
即��平分∠���,
又∵�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴�� = �� = 4,
即点 C到��的距离为 4
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性质、全等三角形的判定与性质,坐标与图形的性质,
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角平分线的性质,以及等腰三角形的定义等知识,数形结合是解答本题的关键.
14.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和 ASA(AAS)综合(ASA或者 AAS)
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理,全等三角形的判定和性质.
(1)利用角平分线的性质证明得到�� = ��,再根据角平分线的判定定理即可得证;
(2)(I)过点 O作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,同(1)即可得证;
(Ⅱ)证明△��� ≌△���,推出�� = ��,同理推出�� = ��,�� = ��,�� = ��,据此
即可得证;
(3)作出∠���,∠��C的角平分线,两条角平分线交于点 O.过点 O作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
�� ⊥ ��,垂足分别为�,�,�.同理利用角平分线的性质和判定定理即可得证.
【详解】(1)证明:过点 P作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,垂足分别为�,�,�.
∵ ��平分∠���,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴ �� = ��,
同理�� = ��,
∴ �� = ��,
∴点 P在∠�的平分线上;
(2)(I)过点 O作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,垂足分别为�,�,�,�.
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∵ ��平分∠���,
∴ �� = ��.
同理�� = ��,�� = ��.
∴ �� = ��.
∴点 O在∠�的平分线上;
(Ⅱ)∵ �� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴∠��� = ∠��� = 90°,
∵ ��平分∠���,
∴∠��� = ∠���,
在△���和△���中,
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ���,
∴ �� = ��,
同理�� = ��,�� = ��,�� = ��,
∴ �� + �� = �� + ��+ �� + �� = �� + �� + �� + �� = �� + ��;
(3)交于一点.
如图④,作出∠���,∠��C的角平分线,两条角平分线交于点O.过点O作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
�� ⊥ ��,垂足分别为�,�,�.
同理(1)问的证明,可得�� = �� = ��,�� = ��,�� = ��,
又因为�� + �� = �� + ��,可得�� + �� = ��,
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所以(3)的问题可转化成:“如图⑤,已知∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,�� + �� = ��,
求证:��平分∠���,��平分∠���.”
证明:如图⑥,延长��至点�′,使��′ = ��,连接��,��′,��.
∵ ��' = ��,∠���' = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴△ ���′ ≌△ ���.
∴ ��′ = ��,��′ = �� + ��′ = �� + �� = ��,∠��′� = ∠���,
又�� = ��,
∴△ ���′ ≌△���.
∴∠���′ = ∠���,∠��� = ∠��′� = ∠���,
∴ ��平分∠���,��平分∠���.
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1
专项 3 角平分线的判定和性质的综合
1.如图,在 Rt △ ���中,∠��� = 90°,�� = 1,M为边��上的点,连接��,如果将△ ���
沿直线��翻折后,点�恰好落在边��的中点处,那么点�到��的距离是( )
A.2
3
B.3
5
C.3
4
D.1
2
2.如图,△ ���中,∠���、∠���的角平分线��、��交于点 P,延长��、��,�� ⊥ ��,
�� ⊥ ��,则下列结论中正确的个数( )
①��平分∠���; ②∠��� + 2∠��� = 180°;
③∠��� = 2∠���; ④�△��� = �△��� + �△���.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,钝角三角形���的面积为 14,最长边�� = 7,��平分∠���,点 M、N分别是��、
��上的动点,则��+��的最小值为 .
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2
4.如图,在∠���的边��,��上取点�、�.连接��, ��平分∠���,��平分∠���,若
�� = 1,△ ���的面积是 1,△���的面积是 5,则��+ ��的值是 .
5.如图,在△ ���中,�� = ��,∠��� = 90°,在△ ���中,�� = ��,∠��� = 90°,��,
��相交于点 F,
(1)求证:�� ⊥ ��;
(2)求∠���的度数.
6.综合与实践
【情境再现】
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3
如图①,∠���的平分线与△ ���的外角∠���的平分线相交于点�.
【提出问题】
1 试说明∠�与∠�满足怎样的数量关系,请写出证明过程.
【数学感悟】
2 如图②,在△���中,∠��� = 102°,�是��上一点,将△ ���沿��翻折得到△ ���,��
与��相交于点�.延长��交��于点�,若��平分∠���,��平分∠���,求∠�的度数.
【学以致用】
3 如图③,在四边形����中,��平分∠���,2∠��� +∠��� = 180°,若∠��� = 18°,
则∠���的度数为______.
7.如图,在△ ���中,��平分∠���,点�在��上,若��
��
= 3
5
,
��
��
= 1
3
,△ ���的面积为 48,
则△ ���的面积为( )
A.9 B.12 C.15 D.18
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4
8.如图,四边形����中,∠��� +∠��� = 90°,对角线��、��相交于�点,且分别平分∠���
和∠���,若�� = 4��,则��
��
的值为( )
A.9
5
B.5
3
C.3
2
D.4
3
9.如图,��、��分别是△ ���的高线和角平分线,交于点 F,∠���=135°, △ ���的面积
是 10,�� = 5,则线段��的长度为 .
10.如图所示,已知�� = ��,��、��分别是∠���与∠���的平分线,点 D是��的中点,
若点 D到△ ���两边��、��的距离均为 6,则点 D到边��的距离为 .
11.已知�� = ��,�� = ��,∠��� = ∠��� = �,连接��和��.
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5
(1)如图 1,①求证:�� = ��;
②当�� ⊥ ��时,��的延长线交��于点 F,写出��与��的数量关系并证明;
(2)如图 2,��与��的延长线交于点 P,连接��,直接写出∠���的度数(用含�的式子表示).
12.已知在平面直角坐标系中,点�, �分别是�轴和�轴上的动点,∠��� = 90°, �� = ��.
(1)如图 1,过点�作�� ⊥ �轴 ,交�轴于点�,交��的延长线于点�, ��交�轴于点�,若�� =
10, 求��的长;
(2)如图 2,当点�运动到原点 O时,∠���的平分线交�轴 于点�, 点�为线段��上一点将
△ ���沿��翻折,��的对应边的延长线交��于点�, �为线段��上一点,且�� = ��, 试判
断线段��、��、��之间的数量关系并证明你的结论;
(3)如图 3,若� −6,0 , � 0,3 , 在坐标平面内是否存在一点�(不与点�重 合),使△ ���
与△ ���全等?若存在,请直接写出点�的坐标;若不存在,请说明理由.
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13.如图①所示,在平面直角坐标系中,若�(�, 0),�(0, �),且 � − 4 2 + 8 − � = 0.
(1)求 A,B两点的坐标;
(2)若以��为直角边作等腰直角三角形���,请直接写出所有可能的点 C的坐标;
(3)如图②,在(2)中,若点 C为第三象限的点,且��与 y轴交于点 N,��与 x轴交于点 M,
连接��,过点 C作�� ⊥ ��交 x轴于点 P,求点 C到��的距离.
14.教材回顾:证明:三角形的三条角平分线交于一点.
(1)补全教材中例题的证明过程.
已知:如图①,△ ���的角平分线��,��相交于点 P.
求证:点 P在∠�的平分线上.
证明:过点P作�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,垂足分别为�,�,�.
∵ ��平分∠���,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,
∴_______.
同理_______
∴_______.
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∴点 P在∠�的平分线上.
拓展研究
如果一个四边形的四条角平分线交于一点,那么这个四边形会具有怎样的性质?
(2)如图②,在四边形����中,∠���,∠���,∠���的平分线相交于点 O.
求证:(I)点 O在∠���的平分线上;
(Ⅱ)�� + �� = �� + ��.
逆向思考
满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点?
(3)如图③,在四边形����中,如果�� + �� = �� + ��,那么它的四条角平分线交于一点
吗?说明理由.
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