专项2 三角形双角平分线的应用-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)

2024-12-02
| 2份
| 36页
| 243人阅读
| 2人下载

资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学鲁教版(五四制)(2012)七年级上册
年级 七年级
章节 第一章 三角形
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期末
学年 2024-2025
地区(省份) 山东省
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.83 MB
发布时间 2024-12-02
更新时间 2024-12-02
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-12-02
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/49064299.html
价格 3.00储值(1储值=1元)
来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 2 三角形双角平分线的应用 1.如图,�� ⊥ ��, ��平分∠���交��于点 E,�� ⊥ ��,∠1 +∠2 = 90°,M,N分别是��, �� 延长线上的点,∠���和∠���的平分线交于点 F.下列结论:①��//��;②∠��� + ∠��� = 180°;③��平分∠���;④∠�为定值.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,��∥��,∠���、∠���的平分线交于点 G,则图中∠�、∠�、∠�之间的数量关 系是 . 3.如图,已知��∥��,点 E在直线��与��之间. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 (1)如图 1,求证:∠� −∠� +∠� = 180° (2)如图 2,∠���和∠���的平分线交于点 F,若∠�比∠�大 60°,求∠�的度数. (3)如图 3,∠��� = 90°,连接��,过点 E作�� ⊥ ��于点 H,∠���和∠���的平分线分 别交��和��于 M,N.若∠��� +∠��� = 180°,∠��� = 3 2 ∠���,请直接写出∠��� 的大小_________. 4.如图 1,在平面直角坐标系中,A(3,0)是 x轴正半轴上一点,C是第四象限一点,CB ⊥y轴,交 y轴负半轴于 B(0,﹣4),S 四边形AOBC=16 (1)求 C点坐标; (2)如图 2,设 D为线段 OB上一动点,当 AD⊥AC时,∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分 线的反向延长线交于点 P,求∠APD的度数; (3)如图 3,当 D点在线段 OB上运动时,作 DM⊥AD交 BC于 M点,∠BMD、∠DAO的平 分线交于 N点,则 D点在运动过程中,∠N的大小是否变化?若不变,求出其值,若变化, 说明理由. 5.如图,在△ ���中,点�在��上,过点�作�� ∥ ��,交��于点�,��平分∠���,交∠��� 的平分线于点�,��与��相交于点�,∠���的平分线��与��相交于点�. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 (1)若∠� = 40°,∠�=60°,则∠��� =___________°,∠� =___________°; (2)若∠� = �(其中�是固定值),当∠�的度数发生变化时,∠�的度数是否发生变化?若有 变化,说明理由;若不变化,求∠�的度数(用�的代数式表示); (3)若△ ���中存在一个内角等于另一个内角的三倍,请直接写出所有符合条件的∠�的度数. 6.如图 1至图 2,在△ ���中,∠��� = �,点 D在边��所在直线上,作��垂直于直线��, 垂足为点 E;��为△ ���的角平分线,∠���的平分线交直线��于点 G. 解决问题: (1)如图 1,延长��交��于点 F,若�� ∥ ��,∠� = 30°.试说明:�� ⊥ ��; 深入探究; (2)如图 2,若� = 68°,��与��反向延长线交于点 H,求∠���的度数 拓展延伸: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 (3)当点 D在直线��上移动时,若射线��与射线��相交,设交点为 N,直接写出....∠��� 的度数(用含�的代数式表示) 7.两张直角三角形纸片如图 1摆放,点 D在��上,已知∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠�. (1)判断��与��的位置关系,并说明理由. (2)如图 2,分别作∠���与∠���的平分线交于点 F,求∠�的度数. (3)如图 3,点 P,G分别在��,��上,连��,作∠���的平分线交��于点 Q,点 H是射线..�� 上一点,连��,且∠��� = 2∠���,设∠��� = �,∠��� = �,∠��� = �,请画出图形, 并直接写出�,�,�之间的数量关系. 8.【课本再现】苏科新版七年级数学下册第 7章平面图形的认识(二)第 43页第 21题如下: 如图 1,∠��� = 90°,点 A、B分别在��、��上运动(不与点 O重合),��是∠���的平 分线,��的反向延长线交∠���的平分线于点 D. 【特殊探究】(1)当∠��� = 60°时,∠��� = °; 【推理论证】(2)随着点 A、B的运动,∠���的大小会变吗?如果不会,求∠���的度数, 请说明理由; 【拓展探究 1】(3)如图 2,在图 1的基础上分别作∠���与∠���的平分线,交于点 E,则 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 ∠��� = °; 【拓展探究 2】(4)如图 3,若将图 1中的“∠��� = 90°”拓展为一般情况,即∠��� = �, 连接��,∠���与∠���的平分线相交于点 Q,试判断∠���与∠�的数量关系,并说明理由. 9.如图,∠��� = 90°,点�在射线��上运动(点�不与点�重合),点�在射线��上运动(点 �不与点�重合),且��,��分别是∠���和∠���的平分线,它们相交于点�. (1)如图 1,当∠��� = 70°时,求∠���的度数; (2)点�,�在运动过程中,∠���的大小是否会发生变化?如果发生变化,请说明变化的情况; 若不发生变化,试求出∠���的度数; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 (3)如图 2,作△ ���的两外角∠���和∠���的平分线交于点�,延长��,��交于点�,在 △ ���中,存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的 2倍,请直接写出此时∠���的度数. 10.如图,��//��,点�在直线��上,点�在直线��和��之间,∠��� = ∠��� = �,�� 平分∠���. (1)求∠���的度数(用含�的式子表示); (2)过点�作��//��交��的延长线于点�,作∠���的平分线��交��于点�,请在备用图中 补全图形,猜想��与��的位置关系,并证明; (3)将(2)中的“作∠���的平分线��交��于点�”改为“作射线��将∠���分为 1: 3两 个部分,交��于点�”,其余条件不变,连接��,若��恰好平分∠���,请直接写出 ∠��� =__________(用含�的式子表示). 11.直线��与直线��垂直相交于�,点�在直线��上运动,点�在直线��上运动. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 (1)如图 1,已知��、��分别是∠���和∠���角的平分线,点�、�在运动的过程中,∠��� 的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况;若不发生变化,试求出∠���的大 小. (2)如图 2,已知��不平行��,��、��分别是∠���和∠���的角平分线,又��、��分别是 ∠���和∠���的角平分线,点�、�在运动的过程中,∠���的大小是否会发生变化?若发生 变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值. (3)如图 3,延长��至�,已知∠���、∠���的角平分线与∠���的角平分线及延长线相交于 �、�,在△ ���中,如果有一个角是另一个角的 3倍,试求∠���的度数. 12.我们知道:光线反射时,反射光线、入射光线分别在法线两侧,反射角等于入射角.如图 1,��为一镜面,��为入射光线,入射点为点 O,��为法线(过入射点 O且垂直于镜面��的 直线),��为反射光线,此时反射角∠���等于入射角∠���,由此可知∠���等于∠���. (1)两平面镜��、��相交于点 O,一束光线从点 A出发,经过平面镜两次反射后,恰好经 过点 B. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 ①如图 2,当∠���为多少度时,光线��//��?请说明理由. ②如图 3,若两条光线��、��所在的直线相交于点 E,延长��发现��和��分别为△��� 一个内角和一个外角的平分线,则∠���与∠���之间满足的等量关系是_______.(直接写 出结果) (2)三个平面镜��、��、��相交于点 M、N,一束光线从点 A出发,经过平面镜三次反射 后,恰好经过点 E,请直接写出∠�、∠�、∠���与∠���之间满足的等量关系. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 1 专项 2 三角形双角平分线的应用 1.【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与平行线有关的三角形内角和问题、角平分 线的有关计算 【分析】先根据 AB⊥BC,AE平分∠BAD交 BC于点 E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,∠EAM和 ∠EDN的平分线交于点 F,由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论. 【详解】解:∵AB⊥BC,AE⊥DE, ∴∠1+∠AEB=90°,∠DEC+∠AEB=90°, ∴∠1=∠DEC, 又∵∠1+∠2=90°, ∴∠DEC+∠2=90°, ∴∠C=90°, ∴∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD,故①正确; ∴∠ADN=∠BAD, ∵∠ADC+∠ADN=180°, ∴∠BAD+∠ADC=180°, 又∵∠AEB≠∠BAD, ∴AEB+∠ADC≠180°,故②错误; ∵∠4+∠3=90°,∠2+∠1=90°,而∠3=∠1, ∴∠2=∠4, ∴ED平分∠ADC,故③正确; ∵∠1+∠2=90°, ∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°. ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点 F, ∴∠EAF+∠EDF=1 2 ×270°=135°. ∵AE⊥DE, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 2 ∴∠3+∠4=90°, ∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°, ∴∠F=180°-(∠FAD+∠FDA)=180-45°=135°,故④正确. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平 分线的计算,熟知三角形的内角和等于 180°是解答此题的关键. 2.【答案】∠� = 180° − 1 2 ∠� − 1 2 ∠� 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】先作辅助线��∥��,然后根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理, 即可得到∠�、∠�、∠�之间的数量关系. 【详解】解:过点 C作��∥��,则��∥��, ∴∠��� +∠��� = 180°,∠��� = ∠�, ∵∠��� +∠� +∠��� = 180°, ∴∠��� = 180° −∠� −∠��� = 180° −∠� −∠�, ∵��平分∠���,��平分∠���, ∴∠��� = 2∠���,∠��� = 2∠���, ∵∠��� +∠� +∠��� = 180°, ∴∠� = 180° −∠��� −∠���, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 3 ∵∠��� +∠��� = 180°, ∴2∠��� + 2∠��� +∠��� = 180°, ∴2∠��� + 2∠��� = 180° −∠��� = ∠� +∠�, ∴∠��� +∠��� = 1 2 ∠� + 1 2 ∠�, ∴∠� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − ∠��� +∠��� =180° − 1 2 ∠� + 1 2 ∠� = 180° − 1 2 ∠� − 1 2 ∠�, 故答案为:∠� = 180° − 1 2 ∠� − 1 2 ∠�. 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理,解题的关键是明确题 意,通过作辅助线进行解答. 3.【答案】(1)见解析 (2)120° (3)120° 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】 本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,三角形内角和等知识,解题的关键是: (1)过点 E作��∥��,根据平行线的传递性得出��∥��∥��,根据平行线的性质得出∠� = ∠���,∠��� +∠� = 180°,即可得证; (2)由(1)知∠� −∠��� +∠��� = 180°,∠� −∠��� +∠��� = 180°,根据角平分 线的定义得出∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���,则可得出 2∠� −∠� = 180°,结合∠� 比∠�大 60°即可求解; (3)利用四边形内角和为 360°可求出∠��� +∠��� +∠��� = 180°,结合∠��� + ∠��� = 2∠��� +∠��� = 2∠��� +∠��� = 180° , 可 求 出 ∠��� = ∠��� , 设 ∠��� = �,结合角平分线定义等可求出设∠��� = ∠��� = �,∠��� = 3 2 ∠��� = 3 2 �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 4 ∠��� = ∠��� = 2�,∠��� = 1 2 90° + 2� = 45° + �,在△���中,利用三角形内角和等 于 180°可得出关于 x的方程,然后求解即可解答. 【详解】(1)证明:过点 E作��∥��, ∵��∥��, ∴��∥��∥��, ∴∠� = ∠���,∠��� +∠� = 180°, 又∠��� = ∠��� −∠���, ∴∠��� −∠� +∠� = 180°; (2)解:由(1)知∠� −∠��� +∠��� = 180°,∠� −∠��� +∠��� = 180°, ∵∠���和∠���的平分线交于点 F, ∴∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���, ∴∠� − 1 2 ∠��� + 1 2 ∠��� = 180°, 又∠� −∠��� +∠��� = 180°, ∴2∠� −∠� = 180°, 又∠� −∠� = 60°, ∴∠� = 120°; (3)解:∵��∥��, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 360°,∠��� = 90°, �� ⊥ ��, ∴∠��� +∠��� + 90° +∠��� + 90° = 360°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 5 ∴∠��� +∠��� +∠��� = 180°, ∵∠��� +∠��� = 180°, ∴∠��� +∠��� = 2∠��� +∠��� = 2∠��� +∠��� = 180°, ∴∠��� = ∠���, ∵∠���和∠���的平分线分别交��和��于 M,N, ∴∠��� = ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, 设∠��� = ∠��� = �,则∠��� = 3 2 ∠��� = 3 2 �,∠��� = ∠��� = 2�,∠��� = 1 2 90° + 2� = 45° + �, 在△���中,∠��� +∠��� +∠��� = 180°, ∴ 3 2 � + 45° + � + 2� = 180°, 解得� = 30°, ∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120°, 故答案为:120°. 4.【答案】(1)�(5, − 4) (2)90° (3)不变化,45° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、坐标与图形、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】(1)由点�,�的坐标求出��和��的长,根据梯形面积公式,从而求得��的长,进 而求得点�坐标; (2)可设∠��� = ∠��� = �,从而表示出∠���,∠���,∠���,进而表示出∠���,∠���, 进而根据三角形内角和定理得出结果; (3)连接��,并延长至�,根据三角形内角和定理推论,可得出∠��� = ∠��� +∠��� + ∠���,根据三角形内角和定理推出∠��� +∠��� = 90°,进而得出∠��� +∠��� = 45°,再根据三角形内角和求得结果. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6 【详解】(1)解:由题意得:�� = 3,�� = 4, 由�四边形���� = 16得, 1 2 (�� + ��) ⋅ �� = 16, ∴ (3 + ��) × 4 = 32, ∴ �� = 5, ∴ �(5, − 4); (2)解:设∠��� = ∠��� = �, ∵ ∠��� = 90°, ∴ ∠��� = 90° −∠��� = 90° − 2�, ∵ ∠��� = 90°, ∴ ∠��� = 90° −∠��� = 2�, ∵ ��平分∠���, ∴ ∠��� = 1 2 ∠��� = �, ∴ ∠��� = ∠��� = �, 在Δ���中, ∠��� = 180° − (∠��� +∠���) = 180° − (� +∠��� +∠���) = 180° − (� + 90° − 2� + �) = 90°; (3)解:如图, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 7 �点在运动过程中,∠�的大小不变化,理由如下: 连接��,并延长至�, ∵ ∠���是Δ���的外角, ∴ ∠��� = ∠��� +∠���, 同理可得, ∠��� = ∠���+∠���, ∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠���+∠���, 即∠��� = ∠��� +∠��� +∠���, ∵ �� ⊥ �轴,�� ⊥ ��, ∴ ∠��� = 90°,∠��� = 90°, ∴ ∠���+∠��� = 90°,∠��� +∠��� = 90°, ∴ ∠��� = ∠���, ∵ ∠��� = 90°, ∴ ∠��� +∠��� = 90°, ∴ ∠��� +∠��� = 90° ∵ ��平分∠���,��平分∠���; ∴ ∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���, ∴ ∠��� +∠��� = 1 2 (∠���+∠���) = 45°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 8 ∵ ∠��� = ∠��� +∠��� +∠���, ∴ 90° = 45° +∠���, ∴ ∠��� = 45°, 即原∠� = 45°. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和线段长之间关系,角平分线的定义,三角形 内角和定理及其推论等知识,解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识. 5.【答案】(1)110,20; (2)1 2 �; (3)45°或 60°或 120°或 135°. 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、两 直线平行同位角相等 【分析】(1)由平行线的性质,角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解; (2)同理由平行线的性质,角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解; (3)设∠� = �,由(2)可知∠��� = 90° − 1 2 �,∠� = 1 2 �.再由∠��� = 90°不变,即可 分类讨论①当∠��� = 3∠���时,②当∠��� = 3∠�时,③当∠��� = 3∠�时和④当 3∠��� = ∠�时,分别列出关于�的等式,解出�即可. 【详解】(1)解:∵∠� = 40°,∠� = 60°, ∴∠��� = 180° −∠� −∠� = 80°. ∵��平分∠���, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� = 40°. ∵��∥��, ∴∠��� = ∠� = 60°,∠��� = ∠��� = 40°. ∵��平分∠���, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 9 ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 30°. ∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 110°; ∴∠��� = 180° − 110° = 70°. ∵��平分∠���,��平分∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���. ∵∠��� +∠��� = 180°, ∴∠��� +∠��� = 90°,即∠��� = 90°, ∴∠� = 90° −∠��� = 20°. 故答案为:110,20; (2)解:∵∠� = �, ∴∠��� +∠� = 180° − �. ∵��∥��, ∴∠��� = ∠�,∠��� = ∠���. ∵��平分∠���,��平分∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 1 2 ∠�,∠��� = 1 2 ∠��� = ∠���. ∴∠��� = 180° − ∠��� +∠��� = 180° − 1 2 ∠ � +∠��� = 180° − 1 2 × (180 − �)° = 90° + 1 2 �. ∴∠��� = 180° − (90° + 1 2 �) = 90° − 1 2 �. 由(1)可知∠��� = 90°不变, ∴∠� = 90° −∠��� = 90° − (90° − 1 2 �) = 1 2 �. (3)解:设∠� = �, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 10 由(2)可知∠��� = 90° − 1 2 �,∠� = 1 2 �. ∵∠��� = 90°, ∴可分类讨论:①当∠��� = 3∠���时, ∴90° − 1 2 � = 1 3 × 90°, 解得:� = 120°, ∴∠� = 120°; ②当∠��� = 3∠�时, ∴ 1 2 � = 1 3 × 90°, 解得:� = 60°, ∴∠� = 60°; ③当∠��� = 3∠�时, ∴90° − 1 2 � = 3 × 1 2 �, 解得:� = 45°, ∴∠� = 45°; ④当 3∠��� = ∠�时, ∴3 × (90° − 1 2 �) = 1 2 �, 解得:� = 135°, ∴∠� = 135°. 综上可知∠� = 45°或 60°或 120°或 135°. 【点睛】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,直角三角形的两锐角互余,三角形内角和 定理等知识.利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键. 6.【答案】(1)见解析;(2)11°(3)∠��� = 45° + 1 2 �或 135° ± 1 2 � 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 11 【分析】 (1)根据平行线的性质得∠���=∠���=30°,再根据垂直的定 义和角平分线的定义可得结论; (2)在△���和△���中,利用三角形的内角和定理结合对顶角相等,得到∠��� = ∠��� + 90° −∠���,再利用四边形内角和整理可得答案; (3)分情况讨论,分别画出对应图形,再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可. 【详解】解:(1)∵��∥��, ∴∠��� = ∠� = 30°, ∵��为△ ���的角平分线, ∴∠��� = 2∠��� = 60°,∠��� = ∠��� = 30°, ∵��∥��, ∴∠��� = ∠��� = 30°, ∵�� ⊥ ��, ∴∠��� = 90°, ∴∠��� = 60°, ∵��平分∠���, ∴∠��� = ∠��� = 60°, ∴∠� = 180° − 30° − 60° = 90°, ∴�� ⊥ ��. (2)在△ ���和△���中,∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = 180°, 又∵∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠��� + 90° −∠���, = 1 2 ∠��� + 90° − 180° − 1 2 ∠��� = 1 2 ∠ ��� +∠��� − 90° = 1 2 360° − 90° −∠��� − 90° 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 12 = 45° − 1 2 �. ∴当� = 68°时,∠��� = 45° − 1 2 × 68° = 11° 故答案为:11°. (3)①如图,当点�在��延长线上时, 同(2)可得:△ ���和△���中, ∠��� = ∠��� +∠��� −∠��� = 1 2∠ ��� + � − 1 2 90° −∠��� = 1 2 (∠��� +∠���) + � − 45° = 1 2 (180° − �) + � − 45°, = 45° + 1 2 �; ②如图,当点�在线段��上时, 由四边形的内角和得, ∠��� = 360° − 90° − 1 2∠ ��� − 1 2∠ ��� = 270° − 1 2 (∠��� +∠���) = 270° − 1 2 (360° − 90° − �) = 135° + 1 2 �; ③如图,当点�在��延长线上时, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 13 同(2)可得:,∠��� +∠��� = ∠��� +∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠��� + 180° − � − 1 2 ∠��� = 1 2 90° −∠��� + 180° − � − 1 2∠ ��� = 180° + 45° − � − 1 2 ∠ ��� +∠��� = 225° − � − 1 2 180° − � = 135° − 1 2 �; 综上分析可知,∠���=45° + 1 2 �或 135° ± 1 2 �. 【点睛】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质,熟练掌握平行线 的性质和三角形的内角和是解题关键. 7.【答案】(1)��∥��,证明见解析 (2)45° (3)� = 3� − �或� = 3� − �; 【知识点】三角形内角和定理的应用、几何问题(二元一次方程组的应用)、根据平行线判定与 性质证明、角平分线的有关计算 【分析】(1)先证明∠� = ∠���,从而可得结论; (2)证明∠��� +∠��� = 90° = ∠��� +∠���,∠��� +∠��� = 1 2 ∠��� +∠��� = 45°,如图,过�作��∥��,��∥��∥��,再进一步利用平行线的性质可得答案; (3)如图,当�在线段��上,设∠��� = 2∠��� = 2�°,则∠��� = �°,由(2)的结论可 得: � = 2� + 3� � = � + � ,如图,当�在线段��的延长线上时,设∠��� = 2∠��� = 2�°,则∠��� = ∠��� = �°,同理可得:∠��� = ∠��� +∠���,证明∠��� = ∠��� = �,∠��� + 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 14 ∠��� = ∠���, � = 2� + �� + � = � ,从而可得答案; 【详解】(1)解:��∥��,理由如下: ∵∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠�, ∴∠� = ∠���, ∴��∥��; (2)解:∵∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠���. ∴∠��� +∠��� = 90° = ∠��� +∠���, ∵∠���与∠���的平分线交于点 F, ∴∠��� +∠��� = 1 2 ∠��� +∠��� = 45°, 如图,过�作��∥��, ∵��∥��, ∴��∥��∥��, ∴∠��� = ∠���,∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = 45°; (3)解:如图,当�在线段��上, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 15 设∠��� = 2∠��� = 2�°,则∠��� = �°, 由(2)的结论可得: ∠��� = ∠��� +∠���, ∠��� = ∠��� +∠���, ∵∠��� = �,∠��� = �,∠��� = �,∠���的平分线交��于点 Q, ∴∠��� = ∠��� = �, ∴ � = 2� + 3� � = � + � , 整理可得:� = 3� − �; 如图,当�在线段��的延长线上时, 设∠��� = 2∠��� = 2�°,则∠��� = ∠��� = �°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 16 ∵∠��� = �,∠��� = �,∠��� = �,∠���的平分线交��于点 Q, ∴∠��� = ∠��� = �, 同理可得:∠��� = ∠��� +∠���, ∵��∥��, ∴∠��� = ∠��� = �, 而∠��� +∠��� +∠��� = 180° = ∠��� +∠���, ∴∠��� +∠��� = ∠���, ∴ � = 2� + � � + � = � , 整理可得:� = 3� − �; 综上:� = 3� − �或� = 3� − �; 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质,三角形的内角和定理的应用,角平分线的定义, 二元一次方程组的应用,作出合适的辅助线是解本题的关键. 8.【答案】(1)45;(2)∠���的大小不会变,理由见解析;(3)67.5;(4)∠��� = ∠�, 理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平面图形中角的计算、与角平分线有关的三角形内角和问题,根据图形推 理证明是解题的关键. (1)根据已知角度和角平分线,先求出∠���和∠���的度数,再根据∠��� = 180° − ∠��� −∠���计算即可; (2)设∠��� = �,根据已知角度和角平分线,用含�的代数式表示∠���和∠���,再根据 ∠��� = 180° −∠��� −∠���计算即可; (3)设∠��� = �,根据已知角度和角平分线,用含�的代数式表示∠���和∠���,再根据 ∠��� = 180° −∠��� −∠���计算即可; (4)设∠��� = �,∠��� = �,则∠��� = 1 2 �,∠��� = 1 2 �,表示出 ∠��� = 180° − 1 2 � − 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 17 1 2 �,∠��� = 1 2 � − 1 2 �,根据∠� = 180° −∠��� −∠���, 表 示出∠� = 1 2 �,根据 ∠��� = 180° −∠��� −∠���,表示出 ∠��� = 180° − 1 2 �,根据∠��� = 180° − ��� 得∠��� = 1 2 � ,即可得 ∠��� = ∠�. 【详解】解:(1)∵ ∠��� = 90°,∠��� = 60°,��是∠���的平分线,��的反向延长线 交∠���的平分线于点 D, ∴ ∠��� = 1 2 × 60° = 30°,∠��� = 90° −∠��� = 30°,∠��� = 180° −∠��� = 150°, ∠��� = 1 2 ∠��� = 75°, ∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 75° = 105°, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 105° − 30° = 45°, 故答案为:45; (2)∠���的大小不会变,理由如下: 设∠��� = �, ∵ ∠��� = 90°,��是∠���的平分线,��的反向延长线交∠���的平分线于点 D, ∴ ∠��� = 1 2 �,∠��� = 90° − �,∠��� = 180° −∠��� = 90° + �,∠��� = 1 2 ∠��� = 45° + 1 2 �,∠��� = 180° −∠��� = 180° − 45° − 1 2 � = 135° − 1 2 �, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 135° − 1 2 � − 1 2 � = 180° − 135° + 1 2 � − 1 2 � = 45°; (3)设∠��� = �, ∵ ∠��� = 90°,��是∠���的平分线,��的反向延长线交∠���的平分线于点 D, ∴ ∠��� = ∠��� = 1 2 �,∠��� = 90° − �,∠��� = 180° −∠��� = 90° + �,∠��� = ∠��� = ∠��� = 45° + 1 2 �, ∵在图 1的基础上分别作∠���与∠���的平分线,交于点�, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 18 ∴ ∠��� = 1 2 ∠��� = 1 4 �,∠��� = ∠��� +∠��� = 3 4 �,∠��� = 1 2 ∠��� = 22.5 + 1 4 �, ∠��� = ∠��� +∠��� = 112.5° − 3 4 �, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 3 4 � − 112.5° + 3 4 � = 67.5°, 故答案为:67.5; (4)∠��� = ∠�,理由如下: 设∠��� = �,∠��� = �, ∵ ∠��� = �,��是∠���的平分线,��的反向延长线交∠���的平分线于点 D,∠���与 ∠���的平分线相交于点 Q, ∴ ∠��� = ∠��� = 1 2 �,∠��� = 180° − � −�,∠��� = 180° −∠��� = � +�, ∠��� = 1 2 � + 1 2 �, ∴ ∠��� = 1 2 � + 1 2 �+ 180° − � −� = 180° − 1 2 � − 1 2 �, ∴ ∠� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 180° − 1 2 � − 1 2 � − 1 2 � = 1 2 �, ∵ ∠��� = ∠��� = 1 2 �,∠��� = 180° − �, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 180° − � − � = � − �,∠��� = 1 2 ∠��� = 1 2 � − 1 2 �, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 1 2 � − 1 2 � − 1 2 � = 180° − 1 2 �, ∴ ∠��� = 180° − ��� = 1 2 �, ∴ ∠��� = ∠�. 9.【答案】(1)∠��� = 135° (2)不发生变化,∠��� = 135° (3)∠��� = 60° 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 19 【分析】本题考查了三角形内角和定理,角平分线的定义, (1)先求出∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 20°,再根据角平分线的定义可得∠��� = 1 2 ∠��� = 10°,∠��� = 1 2 ∠��� = 35°,问题随之得解; (2)根据角平分线的定义可得 2∠��� = ∠���,2∠��� = ∠���,进而可得∠��� + ∠��� = 45°,问题随之得解; (3)设∠��� = �,可得∠��� = 2∠��� = 2�,根据∠���为锐角,可得 0° < � < 45°, 再依次得出∠��� = 90° − �, ∠� = 45° + �,∠� = 45° − �,即可得∠��� > ∠�,∠� > ∠�,再分当∠��� = 2∠�时,当∠��� = 2∠�时,当∠� = 2∠���时,当∠� = 2∠�时四 种情况讨论即可作答. 【详解】(1)∵∠��� = 70°,∠��� = 90°, ∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 20°, ∵��,��分别是∠���和∠���的平分线, ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 10°,∠��� = 1 2 ∠��� = 35°, ∴∠��� = 180° − ∠��� +∠��� = 135°; (2)∠���不发生变化,∠��� = 135°,理由如下, ∵��,��分别是∠���和∠���的平分线, ∴2∠��� = ∠���,2∠��� = ∠���, ∵∠��� = 90°, ∴2∠��� + 2∠��� = ∠��� +∠��� = 180° − 90° = 90°, ∴∠��� +∠��� = 45°, ∴∠��� = 180° − ∠��� +∠��� = 135°; (3)设∠��� = �, ∵��是∠���的平分线, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 20 ∴∠��� = ∠��� = �, ∴∠��� = 2∠��� = 2�, ∵∠���为锐角, ∴0° < 2� < 90°, ∴0° < � < 45°, ∵∠��� +∠��� = 90°, ∴∠��� = 90° −∠��� = 90° − 2�, ∵��是∠���的平分线, ∴∠��� = 2∠���, ∴∠��� +∠��� = 180°, ∴2� + 2∠��� = 180°, ∴∠��� = 90° − �, ∵∠��� = 90°, ∴∠��� = 180° −∠��� = 90°, ∵��是∠���的平分线, ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 45°, ∴∠� = 180° − ∠��� +∠��� = 45° + �, ∵∠��� = ∠��� +∠�, ∴∠� = ∠��� −∠��� = 45° − �, 在△ ���中,∠��� = 90° − �,∠� = 45° − �,∠� = 45° + �, ∴∠��� > ∠�,∠� > ∠�, ∴在△ ���中,存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的 2倍的情况有四种, 第一种:当∠��� = 2∠�时, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 21 则 90° − � = 2 45° − � , 解得:� = 0°,不符合题意,舍去; 第二种:当∠��� = 2∠�时, 则 90° − � = 2 45° + � , 解得:� = 0°,不符合题意,舍去; 第三种:当∠� = 2∠���时, 则 45° + � = 2 90° − � , 解得:� = 45°,不符合题意,舍去; 第四种:当∠� = 2∠�时, 则 45° + � = 2 45° − � , 解得:� = 15°, ∴∠��� = 90° − 2� = 60°; 综上所述:在△ ���中,存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的 2倍时,∠��� = 60°. 10.【答案】(1)∠��� = 2�;(2)画图见解析,�� ⊥ ��,证明见解析;(3)45° − � 2 或 45° − 3 2 � 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关 计算、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】(1)根据平行线的传递性推出��//��//��,再利用平行线的性质进行求解; (2)猜测�� ⊥ ��,根据��平分∠���,∠��� = 2�,推导出∠��� = ∠��� = 2�,再根据 ��//��、��平分∠���,通过等量代换求解; (3)分两种情况进行讨论,即当∠���:∠��� = 1: 3与∠���:∠��� = 1: 3,充分利用平行 线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解. 【详解】(1)过点�作��//��, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 22 ∵ ��//��, ��//��, ∴ ��//��//��, ∴ ∠��� = ∠��� = �,∠��� = ∠��� = �, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 2�. (2)根据题意,补全图形如下: 猜测�� ⊥ ��, 由(1)可知:∠��� = 2�, ∵ ��平分∠���,∠��� = 2�, ∴ ∠��� = ∠��� = 2�, ∵ ��//��, ∴ ∠��� = ∠��� = 2�, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 4�, 又��平分∠���, ∠��� = 1 2 ∠��� = 90° − 2�, ∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 90°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 23 ∴ �� ⊥ ��. (3)①如图 1, ∠���:∠��� = 1: 3, 由(2)可知:∠��� = ∠��� = ∠��� = 2�,∠��� = 180° − 4�, ∵ ∠���:∠��� = 1: 3, ∴ ∠��� = 1 4 ∠��� = 45° − �, ∠��� = 3 4 ∠��� = 135° − 3�, ∵ ��//��, ∴ ∠��� = ∠���, ∠��� +∠��� = 180°, ∵ ∠��� = 2�,∠��� = �, ∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 3�, ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 3�, 又��平分∠���, ∴ ∠��� = ∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� = 90° − 3 2 �, ∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 135° − 3� − (90° − 3 2 �) = 45° − 3 2 �; ②如图 2, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 24 ∠��� = 180° − 4�,∠��� = 180° − 3�(同①); 若∠���:∠��� = 1: 3, 则有∠��� = 1 4 ∠��� = 1 4 × (180° − 4�) = 45° − �, 又∠��� = ∠��� = 1 2 ∠��� = 1 2 × (180° − 3�) = 90° − 3 2 �, ∵ ��//��, ∴ ∠��� = ∠��� = 90° − 3 2 �, ∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 45° − 1 2 �, 综上所述:∠��� = 45° − 3 2 �或 45° − � 2 , 故答案是:45° − � 2 或 45° − 3 2 �. 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点,解题 的关键是掌握相关知识点,做出适当的辅助线,通过分类讨论及等量代换进行求解. 11.【答案】(1)∠��� = 135° (2)∠� = 67.5° (3)60°或 45° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义,三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用,解 题时注意:三角形内和为 180°;三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.解题时注意 分类思想的灵活运用. (1)根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算,即可得到∠���的大小不变; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 25 (2)根据延长 AD、BC交于点 F.根据角平分线的定义以及三角形内角和定理,可得∠� = 45°, 再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理,即可得到∠� = 67.5°; (3)先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理,得到∠E = ∠EOQ −∠EAO = 1 2 ∠��� −∠��� = 1 2 ∠���,再根据��、��分别是∠���和∠���的角平分线,可得 ∠��� = 90°.最后根据△���中,有一个角是另一个角的 3倍,分四种情况进行讨论,即可 得到∠���的度数. 【详解】(1)∠���的大小不变. ∵直线��与直线��垂直相交于�, ∴ ∠��� = 90°, ∴ ∠��� +∠��� = 90°, ∵��、��分别是∠���和∠���角的平分线, ∴ ∠��� = 1 2 ∠���, ∠��� = 1 2 ∠���, ∴ ∠��� +∠��� = 1 2 (∠��� +∠���) = 45° ∴ ∠��� = 135°; (2)如图 2,延长��、��交于点�. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 26 ∵直线��与直线��垂直相交于�, ∴ ∠��� = 90°, ∴ ∠��� +∠��� = 90°, ∴ ∠��� +∠��� = 270°, ∵��、��分别是∠���和∠���的角平分线, ∴ ∠��� = 1 2 ∠���, ∠��� = 1 2 ∠���, ∴ ∠��� +∠��� = 1 2 (∠��� +∠���) = 135° ∴∠� = 45°, ∴∠��� +∠��� = 135°, ∴∠��� +∠��� = 225°, ∵��、��分别是∠���和∠���的角平分线, ∴ ∠��� +∠��� = 112.5°, ∴∠� = 67.5°; (3)∵∠���与∠���的角平分线相交于�, ∴ ∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���, ∴ ∠� = ∠��� −∠��� = 1 2 (∠��� −∠���) = 1 2 ∠��� ∵��、��分别是∠���和∠���的角平分线, ∴ ∠��� = 90°. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 27 在△ ���中,有一个角是另一个角的 3倍,故有: ①∠��� = 3∠�,∠� = 30°, ∠��� = 60°; ②∠��� = 3∠�,∠� = 60°, ∠��� = 120°(舍去) ③∠� = 3∠�,∠� = 22.5°, ∠��� = 45°; ④∠� = 3∠�,∠� = 67.5°, ∠��� = 135°(舍去) ∴ ∠��� = 60°或 45°. 12.【答案】(1)①90°,理由见解析;②∠MEN=2∠POQ;(2)2(∠M+∠N)-∠BCD=360° -∠BFD 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、多边形内角和问题、 三角形的外角的定义及性质 【分析】(1)①设∠AMP=∠NMO=α,∠BNQ=∠MNO=β,根据∠AMN+∠BNM=180°,可 得α+β=90°,再根据三角形内角和定理进行计算即可; ②设∠AMP=∠NMO=α,∠BNO=∠MNQ=β,根据三角形外角性质可得∠MEN=2(β-α), 再根据三角形外角性质可得∠POQ=β-α,进而得出∠MEN=2∠POQ; (2)分别表示出∠M,∠N,∠BCD,利用四边形内角和表示出∠BFD,再将∠M,∠N,∠ BCD进行运算,变形得到∠BFD,即可得到关系式. 【详解】解:(1)①设∠AMP=∠NMO=α,∠BNQ=∠MNO=β, 当 AM∥BN时,∠AMN+∠BNM=180°, 即 180°-2α+180°-2β=180°, ∴180°=2(α+β), ∴α+β=90°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 28 ∴△MON中,∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-(α+β)=90°, ∴当∠POQ为 90度时,光线 AM∥NB; ②设∠AMP=∠NMO=α,∠BNO=∠MNQ=β, ∴∠AMN=180°-2α,∠MNE=180°-2β, ∵∠AMN是△MEN的外角, ∴∠MEN=∠AMN-∠MNE=(180°-2α)-(180°-2β)=2(β-α), ∵∠MNQ是△MNO的外角, ∴∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α, ∴∠MEN=2∠POQ; (2)设∠PBE=∠MBC=∠1,∠MCB=∠NCD=∠2,∠CDN=∠ADQ=∠3, 可知:∠M=180°-∠1-∠2,∠N=180°-∠2-∠3,∠BCD=180°-2∠2, ∵∠CBA=180°-2∠1,∠CDA=180°-2∠3, ∴∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD =360°-(180°-2∠1)-(180°-2∠2)-(180°-2∠3) =2(∠1+∠2+∠3)-180° 又∵2(∠M+∠N)-∠BCD =2(180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3)-(180°-2∠2) =540°-2(∠1+∠2+∠3) =360°-[2(∠1+∠2+∠3)-180°] =360°-∠BFD ∴2(∠M+∠N)-∠BCD=360°-∠BFD. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,三角形外角的性质以及多边形内角和定理的综合应 用,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和.

资源预览图

专项2 三角形双角平分线的应用-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
1
专项2 三角形双角平分线的应用-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
2
专项2 三角形双角平分线的应用-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
3
专项2 三角形双角平分线的应用-鲁教版五四制七年级上册期末专项(初中数学)
4
所属专辑
相关资源
由于学科网是一个信息分享及获取的平台,不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系学科网,我们核实后将及时进行处理。