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专项 2 三角形双角平分线的应用
1.如图,�� ⊥ ��, ��平分∠���交��于点 E,�� ⊥ ��,∠1 +∠2 = 90°,M,N分别是��, ��
延长线上的点,∠���和∠���的平分线交于点 F.下列结论:①��//��;②∠��� +
∠��� = 180°;③��平分∠���;④∠�为定值.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,��∥��,∠���、∠���的平分线交于点 G,则图中∠�、∠�、∠�之间的数量关
系是 .
3.如图,已知��∥��,点 E在直线��与��之间.
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2
(1)如图 1,求证:∠� −∠� +∠� = 180°
(2)如图 2,∠���和∠���的平分线交于点 F,若∠�比∠�大 60°,求∠�的度数.
(3)如图 3,∠��� = 90°,连接��,过点 E作�� ⊥ ��于点 H,∠���和∠���的平分线分
别交��和��于 M,N.若∠��� +∠��� = 180°,∠��� = 3
2
∠���,请直接写出∠���
的大小_________.
4.如图 1,在平面直角坐标系中,A(3,0)是 x轴正半轴上一点,C是第四象限一点,CB
⊥y轴,交 y轴负半轴于 B(0,﹣4),S 四边形AOBC=16
(1)求 C点坐标;
(2)如图 2,设 D为线段 OB上一动点,当 AD⊥AC时,∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分
线的反向延长线交于点 P,求∠APD的度数;
(3)如图 3,当 D点在线段 OB上运动时,作 DM⊥AD交 BC于 M点,∠BMD、∠DAO的平
分线交于 N点,则 D点在运动过程中,∠N的大小是否变化?若不变,求出其值,若变化,
说明理由.
5.如图,在△ ���中,点�在��上,过点�作�� ∥ ��,交��于点�,��平分∠���,交∠���
的平分线于点�,��与��相交于点�,∠���的平分线��与��相交于点�.
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(1)若∠� = 40°,∠�=60°,则∠��� =___________°,∠� =___________°;
(2)若∠� = �(其中�是固定值),当∠�的度数发生变化时,∠�的度数是否发生变化?若有
变化,说明理由;若不变化,求∠�的度数(用�的代数式表示);
(3)若△ ���中存在一个内角等于另一个内角的三倍,请直接写出所有符合条件的∠�的度数.
6.如图 1至图 2,在△ ���中,∠��� = �,点 D在边��所在直线上,作��垂直于直线��,
垂足为点 E;��为△ ���的角平分线,∠���的平分线交直线��于点 G.
解决问题:
(1)如图 1,延长��交��于点 F,若�� ∥ ��,∠� = 30°.试说明:�� ⊥ ��;
深入探究;
(2)如图 2,若� = 68°,��与��反向延长线交于点 H,求∠���的度数
拓展延伸:
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(3)当点 D在直线��上移动时,若射线��与射线��相交,设交点为 N,直接写出....∠���
的度数(用含�的代数式表示)
7.两张直角三角形纸片如图 1摆放,点 D在��上,已知∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠�.
(1)判断��与��的位置关系,并说明理由.
(2)如图 2,分别作∠���与∠���的平分线交于点 F,求∠�的度数.
(3)如图 3,点 P,G分别在��,��上,连��,作∠���的平分线交��于点 Q,点 H是射线..��
上一点,连��,且∠��� = 2∠���,设∠��� = �,∠��� = �,∠��� = �,请画出图形,
并直接写出�,�,�之间的数量关系.
8.【课本再现】苏科新版七年级数学下册第 7章平面图形的认识(二)第 43页第 21题如下:
如图 1,∠��� = 90°,点 A、B分别在��、��上运动(不与点 O重合),��是∠���的平
分线,��的反向延长线交∠���的平分线于点 D.
【特殊探究】(1)当∠��� = 60°时,∠��� = °;
【推理论证】(2)随着点 A、B的运动,∠���的大小会变吗?如果不会,求∠���的度数,
请说明理由;
【拓展探究 1】(3)如图 2,在图 1的基础上分别作∠���与∠���的平分线,交于点 E,则
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∠��� = °;
【拓展探究 2】(4)如图 3,若将图 1中的“∠��� = 90°”拓展为一般情况,即∠��� = �,
连接��,∠���与∠���的平分线相交于点 Q,试判断∠���与∠�的数量关系,并说明理由.
9.如图,∠��� = 90°,点�在射线��上运动(点�不与点�重合),点�在射线��上运动(点
�不与点�重合),且��,��分别是∠���和∠���的平分线,它们相交于点�.
(1)如图 1,当∠��� = 70°时,求∠���的度数;
(2)点�,�在运动过程中,∠���的大小是否会发生变化?如果发生变化,请说明变化的情况;
若不发生变化,试求出∠���的度数;
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(3)如图 2,作△ ���的两外角∠���和∠���的平分线交于点�,延长��,��交于点�,在
△ ���中,存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的 2倍,请直接写出此时∠���的度数.
10.如图,��//��,点�在直线��上,点�在直线��和��之间,∠��� = ∠��� = �,��
平分∠���.
(1)求∠���的度数(用含�的式子表示);
(2)过点�作��//��交��的延长线于点�,作∠���的平分线��交��于点�,请在备用图中
补全图形,猜想��与��的位置关系,并证明;
(3)将(2)中的“作∠���的平分线��交��于点�”改为“作射线��将∠���分为 1: 3两
个部分,交��于点�”,其余条件不变,连接��,若��恰好平分∠���,请直接写出
∠��� =__________(用含�的式子表示).
11.直线��与直线��垂直相交于�,点�在直线��上运动,点�在直线��上运动.
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(1)如图 1,已知��、��分别是∠���和∠���角的平分线,点�、�在运动的过程中,∠���
的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况;若不发生变化,试求出∠���的大
小.
(2)如图 2,已知��不平行��,��、��分别是∠���和∠���的角平分线,又��、��分别是
∠���和∠���的角平分线,点�、�在运动的过程中,∠���的大小是否会发生变化?若发生
变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值.
(3)如图 3,延长��至�,已知∠���、∠���的角平分线与∠���的角平分线及延长线相交于
�、�,在△ ���中,如果有一个角是另一个角的 3倍,试求∠���的度数.
12.我们知道:光线反射时,反射光线、入射光线分别在法线两侧,反射角等于入射角.如图
1,��为一镜面,��为入射光线,入射点为点 O,��为法线(过入射点 O且垂直于镜面��的
直线),��为反射光线,此时反射角∠���等于入射角∠���,由此可知∠���等于∠���.
(1)两平面镜��、��相交于点 O,一束光线从点 A出发,经过平面镜两次反射后,恰好经
过点 B.
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①如图 2,当∠���为多少度时,光线��//��?请说明理由.
②如图 3,若两条光线��、��所在的直线相交于点 E,延长��发现��和��分别为△���
一个内角和一个外角的平分线,则∠���与∠���之间满足的等量关系是_______.(直接写
出结果)
(2)三个平面镜��、��、��相交于点 M、N,一束光线从点 A出发,经过平面镜三次反射
后,恰好经过点 E,请直接写出∠�、∠�、∠���与∠���之间满足的等量关系.
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专项 2 三角形双角平分线的应用
1.【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与平行线有关的三角形内角和问题、角平分
线的有关计算
【分析】先根据 AB⊥BC,AE平分∠BAD交 BC于点 E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,∠EAM和
∠EDN的平分线交于点 F,由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论.
【详解】解:∵AB⊥BC,AE⊥DE,
∴∠1+∠AEB=90°,∠DEC+∠AEB=90°,
∴∠1=∠DEC,
又∵∠1+∠2=90°,
∴∠DEC+∠2=90°,
∴∠C=90°,
∴∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,故①正确;
∴∠ADN=∠BAD,
∵∠ADC+∠ADN=180°,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
又∵∠AEB≠∠BAD,
∴AEB+∠ADC≠180°,故②错误;
∵∠4+∠3=90°,∠2+∠1=90°,而∠3=∠1,
∴∠2=∠4,
∴ED平分∠ADC,故③正确;
∵∠1+∠2=90°,
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°.
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点 F,
∴∠EAF+∠EDF=1
2
×270°=135°.
∵AE⊥DE,
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2
∴∠3+∠4=90°,
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°,
∴∠F=180°-(∠FAD+∠FDA)=180-45°=135°,故④正确.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平
分线的计算,熟知三角形的内角和等于 180°是解答此题的关键.
2.【答案】∠� = 180° − 1
2
∠� − 1
2
∠�
【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】先作辅助线��∥��,然后根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理,
即可得到∠�、∠�、∠�之间的数量关系.
【详解】解:过点 C作��∥��,则��∥��,
∴∠��� +∠��� = 180°,∠��� = ∠�,
∵∠��� +∠� +∠��� = 180°,
∴∠��� = 180° −∠� −∠��� = 180° −∠� −∠�,
∵��平分∠���,��平分∠���,
∴∠��� = 2∠���,∠��� = 2∠���,
∵∠��� +∠� +∠��� = 180°,
∴∠� = 180° −∠��� −∠���,
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∵∠��� +∠��� = 180°,
∴2∠��� + 2∠��� +∠��� = 180°,
∴2∠��� + 2∠��� = 180° −∠��� = ∠� +∠�,
∴∠��� +∠��� = 1
2
∠� + 1
2
∠�,
∴∠� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − ∠��� +∠��� =180° − 1
2
∠� + 1
2
∠� =
180° − 1
2
∠� − 1
2
∠�,
故答案为:∠� = 180° − 1
2
∠� − 1
2
∠�.
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理,解题的关键是明确题
意,通过作辅助线进行解答.
3.【答案】(1)见解析
(2)120°
(3)120°
【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明
【分析】
本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,三角形内角和等知识,解题的关键是:
(1)过点 E作��∥��,根据平行线的传递性得出��∥��∥��,根据平行线的性质得出∠� =
∠���,∠��� +∠� = 180°,即可得证;
(2)由(1)知∠� −∠��� +∠��� = 180°,∠� −∠��� +∠��� = 180°,根据角平分
线的定义得出∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,则可得出 2∠� −∠� = 180°,结合∠�
比∠�大 60°即可求解;
(3)利用四边形内角和为 360°可求出∠��� +∠��� +∠��� = 180°,结合∠��� +
∠��� = 2∠��� +∠��� = 2∠��� +∠��� = 180° , 可 求 出 ∠��� = ∠��� , 设
∠��� = �,结合角平分线定义等可求出设∠��� = ∠��� = �,∠��� = 3
2
∠��� = 3
2
�,
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∠��� = ∠��� = 2�,∠��� = 1
2
90° + 2� = 45° + �,在△���中,利用三角形内角和等
于 180°可得出关于 x的方程,然后求解即可解答.
【详解】(1)证明:过点 E作��∥��,
∵��∥��,
∴��∥��∥��,
∴∠� = ∠���,∠��� +∠� = 180°,
又∠��� = ∠��� −∠���,
∴∠��� −∠� +∠� = 180°;
(2)解:由(1)知∠� −∠��� +∠��� = 180°,∠� −∠��� +∠��� = 180°,
∵∠���和∠���的平分线交于点 F,
∴∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∴∠� − 1
2
∠��� + 1
2
∠��� = 180°,
又∠� −∠��� +∠��� = 180°,
∴2∠� −∠� = 180°,
又∠� −∠� = 60°,
∴∠� = 120°;
(3)解:∵��∥��,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� +∠��� +∠��� +∠��� = 360°,∠��� = 90°, �� ⊥ ��,
∴∠��� +∠��� + 90° +∠��� + 90° = 360°,
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∴∠��� +∠��� +∠��� = 180°,
∵∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� +∠��� = 2∠��� +∠��� = 2∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� = ∠���,
∵∠���和∠���的平分线分别交��和��于 M,N,
∴∠��� = ∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
设∠��� = ∠��� = �,则∠��� = 3
2
∠��� = 3
2
�,∠��� = ∠��� = 2�,∠��� =
1
2
90° + 2� = 45° + �,
在△���中,∠��� +∠��� +∠��� = 180°,
∴
3
2
� + 45° + � + 2� = 180°,
解得� = 30°,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = 120°,
故答案为:120°.
4.【答案】(1)�(5, − 4)
(2)90°
(3)不变化,45°
【知识点】三角形的外角的定义及性质、坐标与图形、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】(1)由点�,�的坐标求出��和��的长,根据梯形面积公式,从而求得��的长,进
而求得点�坐标;
(2)可设∠��� = ∠��� = �,从而表示出∠���,∠���,∠���,进而表示出∠���,∠���,
进而根据三角形内角和定理得出结果;
(3)连接��,并延长至�,根据三角形内角和定理推论,可得出∠��� = ∠��� +∠��� +
∠���,根据三角形内角和定理推出∠��� +∠��� = 90°,进而得出∠��� +∠��� =
45°,再根据三角形内角和求得结果.
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【详解】(1)解:由题意得:�� = 3,�� = 4,
由�四边形���� = 16得,
1
2
(�� + ��) ⋅ �� = 16,
∴ (3 + ��) × 4 = 32,
∴ �� = 5,
∴ �(5, − 4);
(2)解:设∠��� = ∠��� = �,
∵ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = 90° −∠��� = 90° − 2�,
∵ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� = 90° −∠��� = 2�,
∵ ��平分∠���,
∴ ∠��� = 1
2
∠��� = �,
∴ ∠��� = ∠��� = �,
在Δ���中,
∠��� = 180° − (∠��� +∠���)
= 180° − (� +∠��� +∠���)
= 180° − (� + 90° − 2� + �)
= 90°;
(3)解:如图,
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�点在运动过程中,∠�的大小不变化,理由如下:
连接��,并延长至�,
∵ ∠���是Δ���的外角,
∴ ∠��� = ∠��� +∠���,
同理可得,
∠��� = ∠���+∠���,
∴ ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠���+∠���,
即∠��� = ∠��� +∠��� +∠���,
∵ �� ⊥ �轴,�� ⊥ ��,
∴ ∠��� = 90°,∠��� = 90°,
∴ ∠���+∠��� = 90°,∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� = ∠���,
∵ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°
∵ ��平分∠���,��平分∠���;
∴ ∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 1
2
(∠���+∠���) = 45°,
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∵ ∠��� = ∠��� +∠��� +∠���,
∴ 90° = 45° +∠���,
∴ ∠��� = 45°,
即原∠� = 45°.
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和线段长之间关系,角平分线的定义,三角形
内角和定理及其推论等知识,解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识.
5.【答案】(1)110,20;
(2)1
2
�;
(3)45°或 60°或 120°或 135°.
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、两
直线平行同位角相等
【分析】(1)由平行线的性质,角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解;
(2)同理由平行线的性质,角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解;
(3)设∠� = �,由(2)可知∠��� = 90° − 1
2
�,∠� = 1
2
�.再由∠��� = 90°不变,即可
分类讨论①当∠��� = 3∠���时,②当∠��� = 3∠�时,③当∠��� = 3∠�时和④当
3∠��� = ∠�时,分别列出关于�的等式,解出�即可.
【详解】(1)解:∵∠� = 40°,∠� = 60°,
∴∠��� = 180° −∠� −∠� = 80°.
∵��平分∠���,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = 40°.
∵��∥��,
∴∠��� = ∠� = 60°,∠��� = ∠��� = 40°.
∵��平分∠���,
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∴∠��� = 1
2
∠��� = 30°.
∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 110°;
∴∠��� = 180° − 110° = 70°.
∵��平分∠���,��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���.
∵∠��� +∠��� = 180°,
∴∠��� +∠��� = 90°,即∠��� = 90°,
∴∠� = 90° −∠��� = 20°.
故答案为:110,20;
(2)解:∵∠� = �,
∴∠��� +∠� = 180° − �.
∵��∥��,
∴∠��� = ∠�,∠��� = ∠���.
∵��平分∠���,��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
∠�,∠��� = 1
2
∠��� = ∠���.
∴∠��� = 180° − ∠��� +∠���
= 180° −
1
2 ∠
� +∠���
= 180° −
1
2 × (180 − �)°
= 90° + 1
2
�.
∴∠��� = 180° − (90° + 1
2
�) = 90° − 1
2
�.
由(1)可知∠��� = 90°不变,
∴∠� = 90° −∠��� = 90° − (90° − 1
2
�) = 1
2
�.
(3)解:设∠� = �,
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由(2)可知∠��� = 90° − 1
2
�,∠� = 1
2
�.
∵∠��� = 90°,
∴可分类讨论:①当∠��� = 3∠���时,
∴90° − 1
2
� = 1
3
× 90°,
解得:� = 120°,
∴∠� = 120°;
②当∠��� = 3∠�时,
∴
1
2
� = 1
3
× 90°,
解得:� = 60°,
∴∠� = 60°;
③当∠��� = 3∠�时,
∴90° − 1
2
� = 3 × 1
2
�,
解得:� = 45°,
∴∠� = 45°;
④当 3∠��� = ∠�时,
∴3 × (90° − 1
2
�) = 1
2
�,
解得:� = 135°,
∴∠� = 135°.
综上可知∠� = 45°或 60°或 120°或 135°.
【点睛】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,直角三角形的两锐角互余,三角形内角和
定理等知识.利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键.
6.【答案】(1)见解析;(2)11°(3)∠��� = 45° + 1
2
�或 135° ± 1
2
�
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数
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【分析】 (1)根据平行线的性质得∠���=∠���=30°,再根据垂直的定
义和角平分线的定义可得结论;
(2)在△���和△���中,利用三角形的内角和定理结合对顶角相等,得到∠��� = ∠��� +
90° −∠���,再利用四边形内角和整理可得答案;
(3)分情况讨论,分别画出对应图形,再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可.
【详解】解:(1)∵��∥��,
∴∠��� = ∠� = 30°,
∵��为△ ���的角平分线,
∴∠��� = 2∠��� = 60°,∠��� = ∠��� = 30°,
∵��∥��,
∴∠��� = ∠��� = 30°,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
∴∠��� = 60°,
∵��平分∠���,
∴∠��� = ∠��� = 60°,
∴∠� = 180° − 30° − 60° = 90°,
∴�� ⊥ ��.
(2)在△ ���和△���中,∠��� +∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� +∠��� = 180°,
又∵∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠��� + 90° −∠���,
=
1
2
∠��� + 90° − 180° −
1
2
∠���
=
1
2 ∠
��� +∠��� − 90°
=
1
2
360° − 90° −∠��� − 90°
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12
= 45° − 1
2
�.
∴当� = 68°时,∠��� = 45° − 1
2
× 68° = 11°
故答案为:11°.
(3)①如图,当点�在��延长线上时,
同(2)可得:△ ���和△���中,
∠��� = ∠��� +∠��� −∠���
=
1
2∠
��� + � −
1
2
90° −∠���
=
1
2
(∠��� +∠���) + � − 45°
= 1
2
(180° − �) + � − 45°,
= 45° + 1
2
�;
②如图,当点�在线段��上时,
由四边形的内角和得,
∠��� = 360° − 90° −
1
2∠
��� −
1
2∠
���
= 270° −
1
2
(∠��� +∠���)
= 270° −
1
2 (360° − 90° − �)
= 135° + 1
2
�;
③如图,当点�在��延长线上时,
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同(2)可得:,∠��� +∠��� = ∠��� +∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� + 180° − � − 1
2
∠���
=
1
2
90° −∠��� + 180° − � −
1
2∠
���
= 180° + 45° − � −
1
2 ∠
��� +∠���
= 225° − � −
1
2
180° − �
= 135° − 1
2
�;
综上分析可知,∠���=45° + 1
2
�或 135° ± 1
2
�.
【点睛】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质,熟练掌握平行线
的性质和三角形的内角和是解题关键.
7.【答案】(1)��∥��,证明见解析
(2)45°
(3)� = 3� − �或� = 3� − �;
【知识点】三角形内角和定理的应用、几何问题(二元一次方程组的应用)、根据平行线判定与
性质证明、角平分线的有关计算
【分析】(1)先证明∠� = ∠���,从而可得结论;
(2)证明∠��� +∠��� = 90° = ∠��� +∠���,∠��� +∠��� = 1
2
∠��� +∠��� =
45°,如图,过�作��∥��,��∥��∥��,再进一步利用平行线的性质可得答案;
(3)如图,当�在线段��上,设∠��� = 2∠��� = 2�°,则∠��� = �°,由(2)的结论可
得:
� = 2� + 3�
� = � + � ,如图,当�在线段��的延长线上时,设∠��� = 2∠��� = 2�°,则∠��� =
∠��� = �°,同理可得:∠��� = ∠��� +∠���,证明∠��� = ∠��� = �,∠��� +
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∠��� = ∠���, � = 2� + �� + � = � ,从而可得答案;
【详解】(1)解:��∥��,理由如下:
∵∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠�,
∴∠� = ∠���,
∴��∥��;
(2)解:∵∠� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠���.
∴∠��� +∠��� = 90° = ∠��� +∠���,
∵∠���与∠���的平分线交于点 F,
∴∠��� +∠��� = 1
2
∠��� +∠��� = 45°,
如图,过�作��∥��,
∵��∥��,
∴��∥��∥��,
∴∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠��� +∠��� = ∠��� +∠��� = 45°;
(3)解:如图,当�在线段��上,
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设∠��� = 2∠��� = 2�°,则∠��� = �°,
由(2)的结论可得:
∠��� = ∠��� +∠���,
∠��� = ∠��� +∠���,
∵∠��� = �,∠��� = �,∠��� = �,∠���的平分线交��于点 Q,
∴∠��� = ∠��� = �,
∴
� = 2� + 3�
� = � + � ,
整理可得:� = 3� − �;
如图,当�在线段��的延长线上时,
设∠��� = 2∠��� = 2�°,则∠��� = ∠��� = �°,
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∵∠��� = �,∠��� = �,∠��� = �,∠���的平分线交��于点 Q,
∴∠��� = ∠��� = �,
同理可得:∠��� = ∠��� +∠���,
∵��∥��,
∴∠��� = ∠��� = �,
而∠��� +∠��� +∠��� = 180° = ∠��� +∠���,
∴∠��� +∠��� = ∠���,
∴
� = 2� + �
� + � = � ,
整理可得:� = 3� − �;
综上:� = 3� − �或� = 3� − �;
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质,三角形的内角和定理的应用,角平分线的定义,
二元一次方程组的应用,作出合适的辅助线是解本题的关键.
8.【答案】(1)45;(2)∠���的大小不会变,理由见解析;(3)67.5;(4)∠��� = ∠�,
理由见解析
【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平面图形中角的计算、与角平分线有关的三角形内角和问题,根据图形推
理证明是解题的关键.
(1)根据已知角度和角平分线,先求出∠���和∠���的度数,再根据∠��� = 180° −
∠��� −∠���计算即可;
(2)设∠��� = �,根据已知角度和角平分线,用含�的代数式表示∠���和∠���,再根据
∠��� = 180° −∠��� −∠���计算即可;
(3)设∠��� = �,根据已知角度和角平分线,用含�的代数式表示∠���和∠���,再根据
∠��� = 180° −∠��� −∠���计算即可;
(4)设∠��� = �,∠��� = �,则∠��� = 1
2
�,∠��� = 1
2
�,表示出 ∠��� = 180° − 1
2
� −
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1
2
�,∠��� = 1
2
� − 1
2
�,根据∠� = 180° −∠��� −∠���, 表 示出∠� = 1
2
�,根据
∠��� = 180° −∠��� −∠���,表示出 ∠��� = 180° − 1
2
�,根据∠��� = 180° − ���
得∠��� = 1
2
� ,即可得 ∠��� = ∠�.
【详解】解:(1)∵ ∠��� = 90°,∠��� = 60°,��是∠���的平分线,��的反向延长线
交∠���的平分线于点 D,
∴ ∠��� = 1
2
× 60° = 30°,∠��� = 90° −∠��� = 30°,∠��� = 180° −∠��� = 150°,
∠��� = 1
2
∠��� = 75°,
∴ ∠��� = 180° −∠��� = 180° − 75° = 105°,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 105° − 30° = 45°,
故答案为:45;
(2)∠���的大小不会变,理由如下:
设∠��� = �,
∵ ∠��� = 90°,��是∠���的平分线,��的反向延长线交∠���的平分线于点 D,
∴ ∠��� = 1
2
�,∠��� = 90° − �,∠��� = 180° −∠��� = 90° + �,∠��� = 1
2
∠��� =
45° + 1
2
�,∠��� = 180° −∠��� = 180° − 45° − 1
2
� = 135° − 1
2
�,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠���
= 180° − 135° − 1
2
� − 1
2
� = 180° − 135° + 1
2
� − 1
2
� = 45°;
(3)设∠��� = �,
∵ ∠��� = 90°,��是∠���的平分线,��的反向延长线交∠���的平分线于点 D,
∴ ∠��� = ∠��� = 1
2
�,∠��� = 90° − �,∠��� = 180° −∠��� = 90° + �,∠��� =
∠��� = ∠��� = 45° + 1
2
�,
∵在图 1的基础上分别作∠���与∠���的平分线,交于点�,
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∴ ∠��� = 1
2
∠��� = 1
4
�,∠��� = ∠��� +∠��� = 3
4
�,∠��� = 1
2
∠��� = 22.5 + 1
4
�,
∠��� = ∠��� +∠��� = 112.5° − 3
4
�,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 3
4
� − 112.5° + 3
4
� = 67.5°,
故答案为:67.5;
(4)∠��� = ∠�,理由如下:
设∠��� = �,∠��� = �,
∵ ∠��� = �,��是∠���的平分线,��的反向延长线交∠���的平分线于点 D,∠���与
∠���的平分线相交于点 Q,
∴ ∠��� = ∠��� = 1
2
�,∠��� = 180° − � −�,∠��� = 180° −∠��� = � +�,
∠��� = 1
2
� + 1
2
�,
∴ ∠��� = 1
2
� + 1
2
�+ 180° − � −� = 180° − 1
2
� − 1
2
�,
∴ ∠� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 180° − 1
2
� − 1
2
� − 1
2
� = 1
2
�,
∵ ∠��� = ∠��� = 1
2
�,∠��� = 180° − �,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 180° − � − � = � − �,∠��� = 1
2
∠��� =
1
2
� − 1
2
�,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 1
2
� − 1
2
� − 1
2
� = 180° − 1
2
�,
∴ ∠��� = 180° − ��� = 1
2
�,
∴ ∠��� = ∠�.
9.【答案】(1)∠��� = 135°
(2)不发生变化,∠��� = 135°
(3)∠��� = 60°
【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算
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【分析】本题考查了三角形内角和定理,角平分线的定义,
(1)先求出∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 20°,再根据角平分线的定义可得∠��� =
1
2
∠��� = 10°,∠��� = 1
2
∠��� = 35°,问题随之得解;
(2)根据角平分线的定义可得 2∠��� = ∠���,2∠��� = ∠���,进而可得∠��� +
∠��� = 45°,问题随之得解;
(3)设∠��� = �,可得∠��� = 2∠��� = 2�,根据∠���为锐角,可得 0° < � < 45°,
再依次得出∠��� = 90° − �, ∠� = 45° + �,∠� = 45° − �,即可得∠��� > ∠�,∠� >
∠�,再分当∠��� = 2∠�时,当∠��� = 2∠�时,当∠� = 2∠���时,当∠� = 2∠�时四
种情况讨论即可作答.
【详解】(1)∵∠��� = 70°,∠��� = 90°,
∴∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 20°,
∵��,��分别是∠���和∠���的平分线,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 10°,∠��� = 1
2
∠��� = 35°,
∴∠��� = 180° − ∠��� +∠��� = 135°;
(2)∠���不发生变化,∠��� = 135°,理由如下,
∵��,��分别是∠���和∠���的平分线,
∴2∠��� = ∠���,2∠��� = ∠���,
∵∠��� = 90°,
∴2∠��� + 2∠��� = ∠��� +∠��� = 180° − 90° = 90°,
∴∠��� +∠��� = 45°,
∴∠��� = 180° − ∠��� +∠��� = 135°;
(3)设∠��� = �,
∵��是∠���的平分线,
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∴∠��� = ∠��� = �,
∴∠��� = 2∠��� = 2�,
∵∠���为锐角,
∴0° < 2� < 90°,
∴0° < � < 45°,
∵∠��� +∠��� = 90°,
∴∠��� = 90° −∠��� = 90° − 2�,
∵��是∠���的平分线,
∴∠��� = 2∠���,
∴∠��� +∠��� = 180°,
∴2� + 2∠��� = 180°,
∴∠��� = 90° − �,
∵∠��� = 90°,
∴∠��� = 180° −∠��� = 90°,
∵��是∠���的平分线,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 45°,
∴∠� = 180° − ∠��� +∠��� = 45° + �,
∵∠��� = ∠��� +∠�,
∴∠� = ∠��� −∠��� = 45° − �,
在△ ���中,∠��� = 90° − �,∠� = 45° − �,∠� = 45° + �,
∴∠��� > ∠�,∠� > ∠�,
∴在△ ���中,存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的 2倍的情况有四种,
第一种:当∠��� = 2∠�时,
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则 90° − � = 2 45° − � ,
解得:� = 0°,不符合题意,舍去;
第二种:当∠��� = 2∠�时,
则 90° − � = 2 45° + � ,
解得:� = 0°,不符合题意,舍去;
第三种:当∠� = 2∠���时,
则 45° + � = 2 90° − � ,
解得:� = 45°,不符合题意,舍去;
第四种:当∠� = 2∠�时,
则 45° + � = 2 45° − � ,
解得:� = 15°,
∴∠��� = 90° − 2� = 60°;
综上所述:在△ ���中,存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的 2倍时,∠��� = 60°.
10.【答案】(1)∠��� = 2�;(2)画图见解析,�� ⊥ ��,证明见解析;(3)45° − �
2
或 45° − 3
2
�
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关
计算、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】(1)根据平行线的传递性推出��//��//��,再利用平行线的性质进行求解;
(2)猜测�� ⊥ ��,根据��平分∠���,∠��� = 2�,推导出∠��� = ∠��� = 2�,再根据
��//��、��平分∠���,通过等量代换求解;
(3)分两种情况进行讨论,即当∠���:∠��� = 1: 3与∠���:∠��� = 1: 3,充分利用平行
线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解.
【详解】(1)过点�作��//��,
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∵ ��//��, ��//��,
∴ ��//��//��,
∴ ∠��� = ∠��� = �,∠��� = ∠��� = �,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 2�.
(2)根据题意,补全图形如下:
猜测�� ⊥ ��,
由(1)可知:∠��� = 2�,
∵ ��平分∠���,∠��� = 2�,
∴ ∠��� = ∠��� = 2�,
∵ ��//��,
∴ ∠��� = ∠��� = 2�,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 180° − 4�,
又��平分∠���,
∠��� = 1
2
∠��� = 90° − 2�,
∴ ∠��� = 180° −∠��� −∠��� = 90°,
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∴ �� ⊥ ��.
(3)①如图 1,
∠���:∠��� = 1: 3,
由(2)可知:∠��� = ∠��� = ∠��� = 2�,∠��� = 180° − 4�,
∵ ∠���:∠��� = 1: 3,
∴ ∠��� = 1
4
∠��� = 45° − �,
∠��� = 3
4
∠��� = 135° − 3�,
∵ ��//��,
∴ ∠��� = ∠���,
∠��� +∠��� = 180°,
∵ ∠��� = 2�,∠��� = �,
∴ ∠��� = ∠��� +∠��� = 3�,
∠��� = 180° −∠��� = 180° − 3�,
又��平分∠���,
∴ ∠��� = ∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = 90° − 3
2
�,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 135° − 3� − (90° − 3
2
�) = 45° − 3
2
�;
②如图 2,
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∠��� = 180° − 4�,∠��� = 180° − 3�(同①);
若∠���:∠��� = 1: 3,
则有∠��� = 1
4
∠��� = 1
4
× (180° − 4�) = 45° − �,
又∠��� = ∠��� = 1
2
∠��� = 1
2
× (180° − 3�) = 90° − 3
2
�,
∵ ��//��,
∴ ∠��� = ∠��� = 90° − 3
2
�,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 45° − 1
2
�,
综上所述:∠��� = 45° − 3
2
�或 45° − �
2
,
故答案是:45° − �
2
或 45° − 3
2
�.
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点,解题
的关键是掌握相关知识点,做出适当的辅助线,通过分类讨论及等量代换进行求解.
11.【答案】(1)∠��� = 135°
(2)∠� = 67.5°
(3)60°或 45°
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了角平分线的定义,三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用,解
题时注意:三角形内和为 180°;三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.解题时注意
分类思想的灵活运用.
(1)根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算,即可得到∠���的大小不变;
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(2)根据延长 AD、BC交于点 F.根据角平分线的定义以及三角形内角和定理,可得∠� = 45°,
再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理,即可得到∠� = 67.5°;
(3)先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理,得到∠E = ∠EOQ −∠EAO =
1
2
∠��� −∠��� = 1
2
∠���,再根据��、��分别是∠���和∠���的角平分线,可得
∠��� = 90°.最后根据△���中,有一个角是另一个角的 3倍,分四种情况进行讨论,即可
得到∠���的度数.
【详解】(1)∠���的大小不变.
∵直线��与直线��垂直相交于�,
∴ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∵��、��分别是∠���和∠���角的平分线,
∴ ∠��� = 1
2
∠���, ∠��� = 1
2
∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 1
2
(∠��� +∠���) = 45°
∴ ∠��� = 135°;
(2)如图 2,延长��、��交于点�.
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26
∵直线��与直线��垂直相交于�,
∴ ∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 90°,
∴ ∠��� +∠��� = 270°,
∵��、��分别是∠���和∠���的角平分线,
∴ ∠��� = 1
2
∠���, ∠��� = 1
2
∠���,
∴ ∠��� +∠��� = 1
2
(∠��� +∠���) = 135°
∴∠� = 45°,
∴∠��� +∠��� = 135°,
∴∠��� +∠��� = 225°,
∵��、��分别是∠���和∠���的角平分线,
∴ ∠��� +∠��� = 112.5°,
∴∠� = 67.5°;
(3)∵∠���与∠���的角平分线相交于�,
∴ ∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∴ ∠� = ∠��� −∠��� = 1
2
(∠��� −∠���) = 1
2
∠���
∵��、��分别是∠���和∠���的角平分线,
∴ ∠��� = 90°.
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27
在△ ���中,有一个角是另一个角的 3倍,故有:
①∠��� = 3∠�,∠� = 30°, ∠��� = 60°;
②∠��� = 3∠�,∠� = 60°, ∠��� = 120°(舍去)
③∠� = 3∠�,∠� = 22.5°, ∠��� = 45°;
④∠� = 3∠�,∠� = 67.5°, ∠��� = 135°(舍去)
∴ ∠��� = 60°或 45°.
12.【答案】(1)①90°,理由见解析;②∠MEN=2∠POQ;(2)2(∠M+∠N)-∠BCD=360°
-∠BFD
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、多边形内角和问题、
三角形的外角的定义及性质
【分析】(1)①设∠AMP=∠NMO=α,∠BNQ=∠MNO=β,根据∠AMN+∠BNM=180°,可
得α+β=90°,再根据三角形内角和定理进行计算即可;
②设∠AMP=∠NMO=α,∠BNO=∠MNQ=β,根据三角形外角性质可得∠MEN=2(β-α),
再根据三角形外角性质可得∠POQ=β-α,进而得出∠MEN=2∠POQ;
(2)分别表示出∠M,∠N,∠BCD,利用四边形内角和表示出∠BFD,再将∠M,∠N,∠
BCD进行运算,变形得到∠BFD,即可得到关系式.
【详解】解:(1)①设∠AMP=∠NMO=α,∠BNQ=∠MNO=β,
当 AM∥BN时,∠AMN+∠BNM=180°,
即 180°-2α+180°-2β=180°,
∴180°=2(α+β),
∴α+β=90°,
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28
∴△MON中,∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-(α+β)=90°,
∴当∠POQ为 90度时,光线 AM∥NB;
②设∠AMP=∠NMO=α,∠BNO=∠MNQ=β,
∴∠AMN=180°-2α,∠MNE=180°-2β,
∵∠AMN是△MEN的外角,
∴∠MEN=∠AMN-∠MNE=(180°-2α)-(180°-2β)=2(β-α),
∵∠MNQ是△MNO的外角,
∴∠POQ=∠MNQ-∠NMO=β-α,
∴∠MEN=2∠POQ;
(2)设∠PBE=∠MBC=∠1,∠MCB=∠NCD=∠2,∠CDN=∠ADQ=∠3,
可知:∠M=180°-∠1-∠2,∠N=180°-∠2-∠3,∠BCD=180°-2∠2,
∵∠CBA=180°-2∠1,∠CDA=180°-2∠3,
∴∠BFD=360°-∠CDA-∠CBA-∠BCD
=360°-(180°-2∠1)-(180°-2∠2)-(180°-2∠3)
=2(∠1+∠2+∠3)-180°
又∵2(∠M+∠N)-∠BCD
=2(180°-∠1-∠2+180°-∠2-∠3)-(180°-2∠2)
=540°-2(∠1+∠2+∠3)
=360°-[2(∠1+∠2+∠3)-180°]
=360°-∠BFD
∴2(∠M+∠N)-∠BCD=360°-∠BFD.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,三角形外角的性质以及多边形内角和定理的综合应
用,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和.