专题04垂直平分线和等腰三角形（8基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（海南专用）

专题04 垂直平分线和等腰三角形 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图所示，图案是轴对称图形的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列图案是四种车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）小李用圆规、直尺和彩笔画出以下几种图形，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列手机的中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 轴对称图形的折叠问题 5．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在长方形纸片中，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交AB于点G，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 线段垂直平分线的性质 6．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为19，则的周长为 （   ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，垂直平分,若,则等于（  ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（   ） A．9 B．13 C．13.5 D．18 10．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝5 cm，作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，如果△BCD的周长是17 cm，那么AB的长为(　　) A．12 cm B．6 cm C．7 cm D．5 cm 12．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC=10，则AC等于（  ） A．11 B．12 C．14 D．16 13．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则 ，的周长的最小值为 ． 14．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在四边形ABCD中，AB//DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为 ．    15．（22-23八年级下·海南海口·期末）如图 ，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD 的周长为 15cm， 那么△ABC 的周长是 cm. 16．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分． (1)求证：； (2)求的长． 17．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，． (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． 作线段的垂直平分线交于点D，连接； 在线段的延长上求作一点E，使． (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 垂直平分线的判定 18．（21-22八年级上·海南儋州·期末）命题“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上” 的结论是（    ）． A．在这条线段的垂直平分线上 B．线段的垂直平分线上有个点 C．这点在这条线段的垂直平分线上 D．这点在垂直平分线上 19．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列命题中，其逆命题成立的是 ．（只填写序号） ①对顶角相等；②线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 20．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，．    (1)作出的垂直平分线； (2)证明作法是正确的． 作垂直平分线或垂线 21．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）尺规作图：如图，电信部门要在区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，两条高速公路交于点，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（只保留作图痕迹，不写作图过程） 23．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，点E是的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作的平分线； ②连接，并延长交于点G； ③过点A作的垂线，垂足为F． (2)猜想与证明：猜想与有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由． 24．（22-23八年级上·海南·期末）如图，在中，是钝角．按下列要求画图，不写画法． (1)画出的角平分线BD； (2)画出BC边上的中线AE； (3)画出AC边上的高BF． 25．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，已知点A、B以及直线l，AE⊥l，垂足为点E． （1）过点B作BF⊥l，垂足为点F； （2）在直线l上求作一点C，使CA＝CB； （要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） （3）在所作的图中，连接CA、CB，若∠ACB＝90°，求证：△AEC≌△CFB． 坐标与图形变化 26．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）点关于轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·海南海口·期末）点关于x轴对称的点坐标是（　　） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若点，关于y轴对称，则（    ） A．8 B． C．1 D．7 31．（22-23八年级下·海南儋州·期末）点关于y轴的对称点的坐标是(    )． A． B． C． D． 32．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）若点与点关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 33．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知点A的坐标是，则点A关于x轴的对称点坐标（    ） A． B． C． D． 34．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，点B的坐标是，已知点A的坐标与点B关于x轴对称，则点A的坐标是(    ) A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 36．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若和关于y轴对称，则的值为 ． 37．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）点关于轴对称的点为，则 ， ． 38．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）设与B关于x轴对称，B与C关于y轴对称，则点C的坐标为 ． 39．（22-23八年级上·海南海口·期末）已知点和点关于y轴对称，则 ． 40．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)请画出关于轴的对称图形； (2)写出各顶点坐标：______，______，______； (3)的面积是______． 41．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的图形（其中分别是A，B，C的对应点）； (2)直接写出三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． 42．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，其中．    (1)请画出关于轴对称的；（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)直接写出，，三点的坐标分别为___________，__________，__________； (3)在轴上作出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 43．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，． (1)请画出关于y轴对称的． (2)写出三点的坐标： ， ， ． (3)的面积是 ． 等边对等角 44．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，于点D，则等于（   ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，于点D，则等于（   ）    A． B． C． D． 46．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 47．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（    ） A． B． C． D． 48．（21-22八年级上·海南海口·期末）若等腰三角形中一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或100° 49．（23-23八年级上·海南·期末）张燕同学按如图所示方法用量角器测量的大小，她发现边恰好经过的刻度线末端．你认为的大小应该为（ ）    A． B． C． D． 三线合一 50．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，等腰的底边长为，面积为，腰的垂直平分线交于点E，交于点F，D为的中点，M为直线上的动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 51．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是边上的中点，，则等于（　　） A．36° B．45° C．54° D．72° 52．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最 值（填入“大”或“小”），最值为 ． 53．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，．将一个含角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)求证：； (2)连接，，如图所示，求证：； (3)延长交于点P，交于点Q．猜想并证明和的位置关系． 根据三线合一证明 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，为中点，为直线上的任一点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 找图中等腰三角形 2．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图1，在中，，，点在边上，于点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：； (2)如图2，过点作交于点，连接交于点． 判断的形状，并说明理由． 根据等角对等边证明等腰三角形 3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是 三角形，线段的长为 ． 根据等角对等边证明线段相等 4．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，平分，与相交于点，过点作于点，交延长线于点，过点作于点，交于点， (1)求证： ① ② ③ (2)若，，求． 等腰三角形的性质和判定 5．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，平分，于点D，过点D作，交于点E，若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 6．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，若以点A为圆心，AC长为半径画弧，交腰BC于点D，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠B＝22.5°AC＝6，则CE为（    ）． A．6 B．8 C．3 D．12 8．（22-23八年级上·海南·期末）如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，与的平分线交于点，过点作DE∥BC，分别交于点若，则的周长为（   ） A．9 B．15 C．17 D．20 10．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，点、分别在边、上（均不与点、、重合），且，若，则 度， 度．    11．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，， ，分别以点、为圆心，大于的长为径作弧，两弧相交于点、，作直线，分别交、于点、，连接，则的度数是 °． 12．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 13．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接作等腰直角三角形且． (1)当点B在y轴负半轴上时， ①如图1，若，则______度； ②如图2，交x轴于点E，轴与交于点F，若，求证：平分； (2)如图3，当点B在y轴正半轴上且时，若，取点，连接交x轴于点Q．当点B运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 14．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，且，连接． (1)求证． (2)若，求的度数． (3)若，求的面积． (4)若，求的周长． 15．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，求点坐标； (2)如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，连接，当点在线段上，求证：； (3)在（2）的条件下若、、三点共线，求此时的度数及点坐标．（直接写出答案，无需写解答过程） 16．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．    (1)如图1，当点D在线段上时，如果， ①求证：； ②直接写出的度数； (2)设，． ①如图2，当点D在线段上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线上移动时，，之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论． 17．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，已知，，点P、D分别在上． (1)如图1，若，则______°（直接写答案） (2)如图1，在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． (3)如图2中，若，点P在上移动，且满足，于点E，试问：此时的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明． 18．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图1，在中，于点D，，将绕点D顺时针旋转，它的两边分别交点E、F．    (1)求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 19．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 20．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，AE＝BE，CE＝DE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED； (2)若∠1＝40°，求∠BDE的度数. 21．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形ABCD中，，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF=∠ADF． (1)求证：△ADE≌△BFE； (2)如果FM=CM，求证：EM垂直平分DF． 等腰三角形的定义 22．（2324七年级·海南·期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为 23．（22-23八年级上·海南·期末）如图，和都是等腰三角形，且，当点在边上时， 度．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 垂直平分线和等腰三角形 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图所示，图案是轴对称图形的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：左起第一、第三和第四个图形均能找到一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 第二个的图形不能找到一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 所以图案是轴对称图形的有个． 故选：C． 2．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列图案是四种车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】图形沿着某条直线对折，直线两侧的图形能完全重合，则该图形为轴对称图形． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，A、B、C均为轴对称图形，只有D不是， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 3．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）小李用圆规、直尺和彩笔画出以下几种图形，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的意义及在实际当中的运用．理解轴对称的意义是解题的关键． 4．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列手机的中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念“把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形”对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 轴对称图形的折叠问题 5．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在长方形纸片中，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交AB于点G，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定与性质，理解折叠的性质及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由四边形是矩形，可得，而将沿折叠，点C落在点E处，故，根据可得； （2）由，可得，即得，即，由折叠可知，从而． 【详解】（1）∵长方形纸片， ∴ 由折叠的性质得，， ∴ 在和中 ∴； （2）由得 ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴． 线段垂直平分线的性质 6．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为19，则的周长为 （   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的周长公式．根据垂直平分线的性质，得，；根据的周长为19，则，可得到，即可得到的周长． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴，， ∴ ∵的周长为19， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：A． 7．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，垂直平分,若,则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得AD=BD=4，再根据已知条件即可求解. 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD=4， ∵BC=3DC, ∴BD=2DC, ∴DC=2， ∴BC=3DC=6. 故选：D. 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握其性质内容是解答此题的关键. 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，由的周长是21得出，结合计算即可得出答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是21， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（   ） A．9 B．13 C．13.5 D．18 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用基本作图得到垂直平分，则，得到，然后利用等线段代换得到． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴ ∴ ∴的周长 故选：B． 10．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由垂直平分线的性质可得，，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 11．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝5 cm，作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，如果△BCD的周长是17 cm，那么AB的长为(　　) A．12 cm B．6 cm C．7 cm D．5 cm 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】∵点D在AB的垂直平分线上， ∴BD=AD， ∴△BCD的周长＝BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋DA＝BC＋AC＝17 cm， ∵BC＝5 cm， ∴AB＝AC＝12 cm. 故选A. 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 12．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC=10，则AC等于（  ） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， 又∵C△BCD=BC+BD+CD=24，BC=10， ∴AD+BD=AB=24-10=14， 又∵AB=AC， ∴AC=14. 故选C. 13．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则 ，的周长的最小值为 ． 【答案】 3 13 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握线段垂直平分线的性质，两点间线段最短是解题的关键．连接，依据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，依据，可知当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，而长不变，故的周长最小值等于的值． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ，， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，而长不变， 的周长最小值等于， 故答案为：，． 14．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在四边形ABCD中，AB//DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为 ．    【答案】8 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】首先由E为BC的中点，得出BE＝EC，又由AB//CD，得出∠F＝∠CDE，且∠BEF＝∠CED，BE＝EC，进而判定△BEF≌△CED（AAS），得出EF＝DE，BF＝CD，进而得出AF，最后由AE⊥DE，EF＝DE，即可得出AD． 【详解】∵E为BC的中点， ∴BE＝EC， ∵AB//CD， ∴∠F＝∠CDE，且∠BEF＝∠CED，BE＝EC， ∴△BEF≌△CED（AAS） ∴EF＝DE，BF＝CD＝3， ∴AF＝AB+BF＝8， ∵AE⊥DE，EF＝DE， ∴AF＝AD＝8． 【点睛】此题主要考查平行的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握，即可解题． 15．（22-23八年级下·海南海口·期末）如图 ，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD 的周长为 15cm， 那么△ABC 的周长是 cm. 【答案】21 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据DE是AC的垂直平分线以及AE=3cm，即可得出DA=DC且AC=6cm，再根据△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系即可得出C△ABC的值． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm， ∴AC=2AE=6cm，DA=DC． ∵C△ABD=AB+BD+DA，C△ABC=AB+BD+DC+CA=AB+BD+DA+CA=C△ABD+CA，且C△ABD=10cm， ∴C△ABC=15+6=21cm． 故答案为21． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长，解题的关键是找出△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系．本题属于基础题，难道不大，解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键． 16．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，由平行线的性质可得，最后利用“”即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，推出，再由线段垂直平分线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 17．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，． (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． 作线段的垂直平分线交于点D，连接； 在线段的延长上求作一点E，使． (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 【答案】(1)见详解，见详解 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点D，连接，即可；以C点为圆心，以为半径画圆，交于的延长线于点E，连接，即可； （2）根据垂直平分线段，可得，根据（1）可知，．即可得，问题随之得解． 【详解】（1）分别以点A、B为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点D，连接，如图， 线段的垂直平分线，线段，即为所求； 以C点为圆心，以为半径画圆，交于的延长线于点E，连接，如图， 即有， 证明：∵， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴． （2）∵垂直平分线段， ∴， 根据（1）可知，． ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质及其尺规作图的方法，掌握垂直平分线的尺规作图方法是解答本题的关键． 垂直平分线的判定 18．（21-22八年级上·海南儋州·期末）命题“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上” 的结论是（    ）． A．在这条线段的垂直平分线上 B．线段的垂直平分线上有个点 C．这点在这条线段的垂直平分线上 D．这点在垂直平分线上 【答案】C 【知识点】写出命题的题设与结论、线段垂直平分线的判定 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的可写成：如果点到线段两端距离相等，那么这点在这条线段的垂直平分线上． 故选C． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的判定定理以及写出命题的题设和结论，正确写出命题的题设和结论成为解答本题的关键． 19．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列命题中，其逆命题成立的是 ．（只填写序号） ①对顶角相等；②线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 【答案】② 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、线段垂直平分线的判定 【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：对顶角相等的逆命题为：相等的两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等的逆命题是：到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意； 如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，是假命题，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出原命题的逆命题，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键． 20．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，．    (1)作出的垂直平分线； (2)证明作法是正确的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的基本作法是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可； （2）分别证明点A、D在的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）， ∴点A在的垂直平分线上， ． ∴点D在的垂直平分线上， 垂直平分． 作垂直平分线或垂线 21．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、直角三角形两锐角互余等知识，理解并掌握作垂线的尺规作图方法是解题关键．根据“直角三角形两锐角互余”可得，结合题意可知，然后计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知，， ∴． 故选：A． 22．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）尺规作图：如图，电信部门要在区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，两条高速公路交于点，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（只保留作图痕迹，不写作图过程） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作角平分线、线段的垂直平分线，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线与的平分线交于点，点即为所求，熟练掌握角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作出线段的垂直平分线与的平分线交于点，点即为所求， ． 23．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，点E是的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作的平分线； ②连接，并延长交于点G； ③过点A作的垂线，垂足为F． (2)猜想与证明：猜想与有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，．理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）利用基本作图（作一个角的平分线和过一点作直线的垂线）求解； （2）先利用等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质和角平分线定义可得，则可判断；接着根据“”证明得到，然后根据等腰三角形的性质，由得到，所以． 【详解】（1）如图所示； （2），． 理由如下：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即； ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 24．（22-23八年级上·海南·期末）如图，在中，是钝角．按下列要求画图，不写画法． (1)画出的角平分线BD； (2)画出BC边上的中线AE； (3)画出AC边上的高BF． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作∠ABC的平分线即可； （2）根据中线的作图步骤作图即可； （3）根据垂线的作图步骤作图即可． 【详解】（1）解：如图，BD即为所求； ； （2）解：如图，AE即为所求； （3）解：如图，BF即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，角平分线、中线，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤是解答本题的关键． 25．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，已知点A、B以及直线l，AE⊥l，垂足为点E． （1）过点B作BF⊥l，垂足为点F； （2）在直线l上求作一点C，使CA＝CB； （要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） （3）在所作的图中，连接CA、CB，若∠ACB＝90°，求证：△AEC≌△CFB． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析； 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）利用尺规作图法，任取一点，使点在点B的两侧，以B点为圆心，B点到该点的长为半径画弧，交直线于两点，再分别以这两点为圆心，以大于两点一半距离为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与该点与直线l交于点F，即为所求点； （2）利用尺规作图法，在线段AB的两端点用同一半径画弧，在线段的两旁各得一个交点，将此两交点连接起来，这个连线即为线段的垂直平分线，与直线l交于点C，即为所求点； （3）首先由AE⊥l，得出∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°，再由∠ACB＝90°，∠3+∠2＝90°，得出∠1＝∠3，即可判定△AEC≌△CFB. 【详解】（1）解：如图，直线BF就是要求作的垂线； （2）解：如图，点C就是所要求作的点； （3）证明：∵AE⊥l， ∴∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴∠3+∠2＝90°． ∴∠1＝∠3， 在△AEC和△CFB中 ∴△AEC≌△CFB （AAS）． 【点睛】此题主要考查尺规作图法过直线外一点作其垂线，以及线段的垂直平分线，三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题. 坐标与图形变化 26．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称与坐标变化．根据“关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同”确定即可． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是． 故选：A． 27．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）点关于轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出答案． 【详解】解：点关于轴的对称点是， 故选：D． 28．（23-24八年级上·海南海口·期末）点关于x轴对称的点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点坐标是． 故选：B． 29．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化，根据关于轴对称的点的坐标的规律即可求解，熟练掌握关于轴对称的点的坐标的规律是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选A． 30．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若点，关于y轴对称，则（    ） A．8 B． C．1 D．7 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求出m、n的值，进而可得出结论． 【详解】∵点，关于y轴对称， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 31．（22-23八年级下·海南儋州·期末）点关于y轴的对称点的坐标是(    )． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据点的坐标关于y轴对称的方法“关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数”可直接得解． 【详解】解：由题意得： 点关于轴的对称点的坐标是； 故选A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标关于坐标轴对称的问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 32．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）若点与点关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】由题意知，，计算求出的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标的特征，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 33．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知点A的坐标是，则点A关于x轴的对称点坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】直接利用关于x轴对的称点的性质，横坐标相同纵坐标互为相反数，得出答案． 【详解】解：∵点A的坐标是， ∴点A关于x轴的对称点的坐标是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 34．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，点B的坐标是，已知点A的坐标与点B关于x轴对称，则点A的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】直接利用关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点B的坐标是，点A与点B关于x轴对称， ∴点A的坐标是：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 35．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查的是关于y轴对称的两点坐标关系，掌握关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等，是解决此题的关键． 根据关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可求出a、b的值，代入即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 36．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若和关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化．根据关于y轴对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标相等”，即可求出a和b的值，代入即可解答． 【详解】∵和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故答案为： 37．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）点关于轴对称的点为，则 ， ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，即， ∴，， 故答案为：，． 38．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）设与B关于x轴对称，B与C关于y轴对称，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，首先利用关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出B点坐标，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得出C点坐标即可． 【详解】解：∵与B关于x轴对称， ∴B点坐标为， ∵B与C关于y轴对称， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 39．（22-23八年级上·海南海口·期末）已知点和点关于y轴对称，则 ． 【答案】1 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据坐标关于y轴对称的特点，得到、的值，代入求值即可． 【详解】解：点和点关于y轴对称， ，， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了坐标关于轴对称，解题关键是掌握坐标关于轴对称的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 40．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)请画出关于轴的对称图形； (2)写出各顶点坐标：______，______，______； (3)的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据各点在直角坐标系中的位置写出各点坐标即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：由图可得：，，； （3）解：的面积是． 41．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的图形（其中分别是A，B，C的对应点）； (2)直接写出三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． 【答案】(1)图形见详解； (2)． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了三角形的轴对称变换，解题关键是在坐标系中找准关键点的对称点和对应点的位置． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后依次连接即可； 【详解】（1）解：的三个顶点的坐标分别为， ∴这三个点关于y轴对称的点的坐标分别是，在平面直角坐标系中依次描出这三个点，分别得点，再顺次连接，得，如下图所示： （2）由（1）可知，的坐标分别是， 故答案为：． 42．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，其中．    (1)请画出关于轴对称的；（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)直接写出，，三点的坐标分别为___________，__________，__________； (3)在轴上作出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，以及轴对称求最短距离． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据（1）中所画图形写出坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求． 熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求；    （2）由图得，，， 故答案为：，，； （3）如图所示，点即为所求．    43．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，． (1)请画出关于y轴对称的． (2)写出三点的坐标： ， ， ． (3)的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）由图形可直接得出结果； （3）根据割补法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质以及割补法的运用． 等边对等角 44．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，于点D，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等边对等角、垂线的定义、三角形内角和定理等，熟知相关定义与定理是解题的关键． 先利用“等边对等角”与三角形内角和定理求得的度数，再根据求得的度数，最后即可求得的度数． 【详解】∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 45．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，于点D，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点D， ∴． 故选：A． 46．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到，由此即可得到答案． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 47．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=72°，然后利用BD平分∠ABC，求得∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理，即可求得． 【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠CDB=180°−(∠C+∠DBC)=180°−72°−36°=72°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质． 48．（21-22八年级上·海南海口·期末）若等腰三角形中一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或100° 【答案】C 【知识点】等边对等角 【分析】根据等腰三角形的性质进行分类讨论即可求解． 【详解】解：①当角为顶角时，则该等腰三角形的顶角度数为 ②当角为底角时 顶角度数为： 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 49．（23-23八年级上·海南·期末）张燕同学按如图所示方法用量角器测量的大小，她发现边恰好经过的刻度线末端．你认为的大小应该为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角 【分析】如图，连接DC，可知∠ODC=80°，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】如图，连接DC， ∵OD=CD，∠ODC=80°， ∴∠AOB=(180°-80°)÷2=50°． 故选D．    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两个底角相等是解答本题的关键． 三线合一 50．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，等腰的底边长为，面积为，腰的垂直平分线交于点E，交于点F，D为的中点，M为直线上的动点．则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，即A、M、D三点共线时，的最小值为，根据面积求出的长，即可求出问题． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ， ，即点A、M、D共线时的最小值为的长， ，点D是的中心， ，， ，， ，即 ， ， 的周长的最小值为的值， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，将转化为是解题的关键． 51．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，D是边上的中点，，则等于（　　） A．36° B．45° C．54° D．72° 【答案】A 【知识点】三线合一 【分析】根据，D是边上的中点，推出，即可求出． 【详解】∵在中，已知，D是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形底边的 “三线和一”是解题的关键． 52．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最 值（填入“大”或“小”），最值为 ． 【答案】 小 11 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD，MA， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴， 解得AD=8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点A关于直线EF的对称点为点C， ∴MA=MC， ∴MC+DM=MA+DM≥AD， ∴MC+DM有最小值， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短为：， 故答案为：小，11． 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 53．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，．将一个含角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)求证：； (2)连接，，如图所示，求证：； (3)延长交于点P，交于点Q．猜想并证明和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【详解】（1）证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； （3）解：猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质． 根据三线合一证明 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，为中点，为直线上的任一点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，得出直线是线段的垂直平分线是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一的性质得出，那么直线是线段的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质即可得出． 【详解】解：如图．   ，为中点， ， 直线是线段的垂直平分线， 为直线上的任一点， ． 故选：C． 找图中等腰三角形 2．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图1，在中，，，点在边上，于点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：； (2)如图2，过点作交于点，连接交于点． 判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定； （1）根据等角的余角相等得出，进而根据平行弦的性质得出，根据，即可证明； （2）先证明，由（1）知，，得出，可得，根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证． 【详解】（1）如图，    ， ． ， ， ． ， ． 又 ， （）． （2）如图4．2， 是等腰三角形，且．        ， ，． ， ． ． ， 又 ． （）． 由（1）知，， ，             ． ， ． ． ，即是等腰三角形． 根据等角对等边证明等腰三角形 3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是 三角形，线段的长为 ． 【答案】 等腰 3 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定； 先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到是等腰三角形，，，进而计算即可． 【详解】解：∵和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，，， ∴． 故答案为：等腰，3． 根据等角对等边证明线段相等 4．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，，平分，与相交于点，过点作于点，交延长线于点，过点作于点，交于点， (1)求证： ① ② ③ (2)若，，求． 【答案】(1)①见解析②见解析③见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）①根据三角形内角和定理可得出，再根据证明即可； ②先证明得出，连接，证明得出； ③由①知，，再证明可得结论； （2）作于M．利用角平分线的性质定理即可证明． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ 又， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ； ③由①知，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， （2）解：过点G作于点M，如图， ∴ ∵ ∴， 而 ∴ 又 ∴， ∴ 等腰三角形的性质和判定 5．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，平分，于点D，过点D作，交于点E，若，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键． 6．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，若以点A为圆心，AC长为半径画弧，交腰BC于点D，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的基本性质以及三角形的内角和性质进行逐项分析即可． 【详解】解：由题意，为等腰三角形，也为等腰三角形， ∴，，，， 设，则， ∴， ∴一定成立，B选项正确； ∵， ∴与不一定相等， 从而与不一定相等， ∴与也不一定相等， ∴A、D选项错误； 当点为的中点时，成立，但是题目条件无法得出此结论， ∴C选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的基本性质并熟练运用是解题关键． 7．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠B＝22.5°AC＝6，则CE为（    ）． A．6 B．8 C．3 D．12 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【解析】利用线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质解答. 【详解】已知∠C= 90°，∠B= 22.5°，DE垂直平分AB. 故∠B=∠EAB= 22.5°， 所以∠AEC=∠B+∠EAB = 45°. 又∵∠C= 90°， △ACE为等腰直角三角形， 所以CE= AC= 6 故选:A. 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等)，难度一般. 8．（22-23八年级上·海南·期末）如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点B关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点A，因为BC的长度不变，所以根据轴对称的性质可知此时的周长最小． 【详解】作点B关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点A，此时的周长最小．作CE⊥y轴于点E． ∵B(0，1)， ∴D(0，-1)， ∴OB=OD=1． ∵C(3，2)， ∴OC=2，CE=3， ∴DE=1+2=3， ∴DE=CE， ∴∠ADO=45°， OA=OD=1， ∴m=1． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，图形与坐标的性质，以及轴对称最短的性质，根据轴对称最短确定出点A的位置是解答本题的关键． 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，与的平分线交于点，过点作DE∥BC，分别交于点若，则的周长为（   ） A．9 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】由与的平分线交于点，DE∥BC，可得：DB=DO，EO=EC，进而即可求解． 【详解】∵BO是∠ABC的平分线， ∴∠OBC=∠DBO， ∵DEBC， ∴∠OBC=∠DOB， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DB=DO， 同理：EO=EC， ∴的周长=AD+AE+DO+EO= AD+AE+DB+EC=AB+AC=5+4=9． 故选A． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定定理，掌握“双平等腰”模型，是解题的关键． 10．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，点、分别在边、上（均不与点、、重合），且，若，则 度， 度．    【答案】 96 27 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再利用三角形内角和定理计算的值；证明，结合全等三角形的性质证明为等腰三角形，进而可得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：96；27． 11．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，， ，分别以点、为圆心，大于的长为径作弧，两弧相交于点、，作直线，分别交、于点、，连接，则的度数是 °． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】由作图方法可知是线段的垂直平分线，则，进而得到，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：由作图方法可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 12．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 13．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接作等腰直角三角形且． (1)当点B在y轴负半轴上时， ①如图1，若，则______度； ②如图2，交x轴于点E，轴与交于点F，若，求证：平分； (2)如图3，当点B在y轴正半轴上且时，若，取点，连接交x轴于点Q．当点B运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 【答案】(1)①20；②见解析 (2)长度不变， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质； （1）根据同角的余角相等即可解决问题； （2）如图2中，证明，可得垂直平分，利用等腰三角形的性质即可解决问题； （3）如图3中，过点C作轴于点H，证明，可得，，然后证明，即可解决问题． 【详解】（1）①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵是等腰直角三角形且 ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 即 ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴平分； （2）的长度不变，． 过点C作轴于点H，如图所示 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，且，连接． (1)求证． (2)若，求的度数． (3)若，求的面积． (4)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定，三角形内角和定理，勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （3）利用勾股定理求出，即可求的面积； （4）根据已知能推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ； （2）解：由（1）知， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ，， ； （3）解：， ， ， ， 的面积为：； （4）解：由（2）知：， ∵． ∴， ∴的周长为：． 的周长为． 15．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，求点坐标； (2)如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，连接，当点在线段上，求证：； (3)在（2）的条件下若、、三点共线，求此时的度数及点坐标．（直接写出答案，无需写解答过程） 【答案】(1) (2)详见解析 (3)，，详见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质， （1）作轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，，求出，得到点坐标； （2）证明，根据全等三角形的性质得到； （3）根据C、P，Q三点共线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，得到P点坐标． 【详解】（1）解：如图1，作轴于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （2）如图2，与都是等腰直角三角形 ，，， ， ， ， ； （3）， 理由如下： 足等数直角三角形， ， 当、，三点共线时，， 由（2）可如， ， ， ， 点坐标为． 故答案为： 16．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．    (1)如图1，当点D在线段上时，如果， ①求证：； ②直接写出的度数； (2)设，． ①如图2，当点D在线段上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线上移动时，，之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论． 【答案】(1)①见解析；② (2)①，理由见解析；②或，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①由“”可证， ②根据全等三角形的性质可得，可求的度数； （2）①由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，    在和中， ， ∴， ②∵ ∴， ∴， （2）①， 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ②如图4，当点D在的延长线上时，，    证明方法同①； 如图5，当点在的延长线上时，，    理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 17．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，已知，，点P、D分别在上． (1)如图1，若，则______°（直接写答案） (2)如图1，在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． (3)如图2中，若，点P在上移动，且满足，于点E，试问：此时的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)PE的值不变，，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据等腰直角三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理和得到，进而求解即可； （3）过点O作于M，则，然后证明出是等腰直角三角形，根据角度直接的和差关系得到，然后证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：， ∴ 在中， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； （3）解：的值不变，，理由如下： 如图，过点O作于M，则 ∵， ∴是等腰直角三角形，，点M为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的值不变，PE的值为6． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图1，在中，于点D，，将绕点D顺时针旋转，它的两边分别交点E、F．    (1)求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】 （1）由已知条件和等腰直角三角形的性质得到，由，即可得到，则，即可证明； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1） 证明：如图，    ∵ ∴， ∴. ∵， ∴，. ∴， ∴ （2） 如图，    由（1）知， ∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是是解题的关键． 19．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）只需要利用证明即可证明； （2）根据（1）的结论和已知条件推出，即可证明是等腰三角形； （3）先求出的度数，再根据等边对等角结合三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 20．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，AE＝BE，CE＝DE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED； (2)若∠1＝40°，求∠BDE的度数. 【答案】(1)见详解 (2)∠BDE＝70° 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED； （2）由（1）可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数． 【详解】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠AED＝∠2＋∠AED， 即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ∵， ∴△AEC≌△BED（SAS） （2）解：由（1）可知，△AEC≌△BED ∴∠BDE＝∠C ∵EC＝ED，∠1＝40° ∴∠C＝∠EDC＝＝70° ∴∠BDE＝70°； 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 21．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形ABCD中，，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF=∠ADF． (1)求证：△ADE≌△BFE； (2)如果FM=CM，求证：EM垂直平分DF． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据，可得∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，由E是AB的中点，可得AB=BE，从而可以证明△ADE≌△BFE； （2）由△ADE≌△BFE，可得DE与EF相等，点E为DF的中点，再根据∠MDF=∠ADF，，FM=CM，可以得到MF=MD，然后根据等腰三角形三线合一，可以证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F． ∵E是AB的中点， ∴AE=BE． 在△ADE与△BFE中，， ∴△ADE≌△BFE（AAS）； （2）证明：∵， ∴∠ADE=∠F． ∵∠MDF=∠ADF， ∴∠MDF=∠F． ∴FM=DM． ∵△ADE≌△BFE， ∴EF=DE． ∴点E为边DF的中点． ∴ME⊥DF． 即EM垂直平分DF． 【点睛】本题考查了三角形的全等、平行线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是正确分析题意，找出所求问题需要的条件． 等腰三角形的定义 22．（2324七年级·海南·期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为 【答案】60°或120° 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时（如图1）， ∵， ∴，即顶角是60°； 当高在三角形外部时（如图2）， ∵， ∴， ∴，即顶角是120°． 故答案为：60或120． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 23．（22-23八年级上·海南·期末）如图，和都是等腰三角形，且，当点在边上时， 度．    【答案】40 【知识点】等腰三角形的定义、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先根据“SAS”证明△ABE≌△CBD，从而∠BAE=∠C．再根据等腰三角形的两底角相等求出∠C的度数，然后即可求出∠BAE的度数． 【详解】∵和都是等腰三角形， ∴AB=BC，BE=BD， ∵， ∴∠ABE=∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BE=BD， ∴△ABE≌△CBD， ∴∠BAE=∠C． ∵AB=BC，∠ABC=100°， ∴∠C=(180°-100°) ÷2=40°, ∴∠BAE=40°． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！72 学科网（北京）股份有限公司 $$