专题03全等三角形和角平分线（6基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（海南专用）

专题03 全等三角形和角平分线 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知和和D分别是对应顶点，且，则的度数是（   ）    A．80° B．60° C．30° D．不能确定 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，点A和点D，点B和点E是对应点．如果，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，若，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，已知，则下列边或角的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，，则等于（    ） A．3 B． C．4 D． 7．（22-23八年级上·海南·期末）如图，，，，则对于结论：①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①③ 全等三角形的判定 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，分别延长中线至　，使，，连接．求证：　    9（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）把下面的说理过程补充完整： 已知：如图，，，，线段和线段平行吗？请说明理由． 答：，理由： ∵（已知） ∴______（等式的性质） ∴______ ∵（已知） ∴ （两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（                     ） ∴ （全等三角形的对应角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） 10．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，分别是、平分线，分别与、交于点，，与交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 11．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知在中，于点，，是上的一点，且，连接并延长交于点． (1)求证:； (2)猜想与的位置关系，并证明． 12．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，已知，，．求证： (1)； (2)． 13．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，，，．    （1）求证：； （2）求证：． 14．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，连接BD交AC于点F，连接CE交AD于点G，BD与CE交于点P． (1)求证：； (2)求的度数． 15．（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，已知点，，，在向一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，已知点、点在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作． (1)求证：； (2)如图2，连接交于E．求证：； (3)若，，求的面积． 18．（23-21八年级上·海南儋州·期末）如图所示，点O为AC和BD的中点，求证：． 19．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图所示，AD⊥BC，D为BC的中点，求证：． 20．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知：，，求证：． 21．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，已知，平分，要说明，请把下面的证明过程补充完整．    证明：∵平分， ∴___________（1）___________． 在和中 ∴（___________（4）___________）． 22．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 作一个角等于已知角 23．（2024八年级下·海南·期末）如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，图中的理由是（　　）    A．由可得，进而可证 B．由 可得，进而可证 C．由 可得 ，进而可证 D．由“等边对等角”可得 HL 判定三角形全等 24．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图所示，已知，，要使．    （1）若利用，需补充一个条件 ． （2）若利用，需补充一个条件 ． 25．（22-23八年级上·海南·期末）如图，点、是线段上的点，，，垂足分别是点和点，，，求证：． 添加条件使三角形全等 26．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，点A、F、C、D在同一直线上，，，要判定，还需要添加一个条件，下列所添加的条件中错误的是（  ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，在和中，，，还需在添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知AC∥BD，要使△ABC≌△BAD需再补充一个条件，下列条件中,不能选择的是（    ） A．BC∥AD B．AC=BD C．BC=AD D．∠C=∠D 29．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，要使△ABC≌△DEF需再补充一个条件，下列条件中，不能选择的是（  ） A．AB=DE B．BC=EF C．EF∥BC D．∠B=∠E 角平分线的性质 30．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，平分，若，则的面积为（     ） A．3 B．10 C．12 D．15 31．（2024·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点；分别以为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧交于点；作射线，交于点．若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图在中，平分于D，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在四边形中，，则的面积等于（   ） A．18 B．20 C．30 D．40 34．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，是的平分线，于点，若，，则的周长为（    ） A．22 B．25 C．26 D．28 35．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是10，，则的面积是（　　）    A．2.5 B．3 C．5 D．6 36．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 37．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知在中，是边上的高，平分交于点E，，，则的面积等于（　　） A．9 B．10 C．12 D．18 38．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，点是的中点，，，平分且，下列结论：；；；．结论中成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 39．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，OD平分，于点E，，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 40．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，点P是的角平分线OC上一点，于点E，已知，则点P到OB的距离是（    ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 41．（2024·海南·期末）如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③画射线，交于点D． 若，，则的长为（    ） A． B．4 C．2 D．3 42．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 43．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ． 44．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，是的角平分线，P是上一点．交于D，交于E，F是上的另一点，连接，．求证：． 45．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，为的平分线，, (1)求的长； (2)的周长． 46．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：是的角平分线，，垂足分别是，，求证：． 47．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，已知利用直尺和圆规，根据要求作图（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明），并解决后面的问题． (1)作的角平分线 (2)作交的延长线于点 (3)图中线段与线段相等吗？证明你的结论． 48．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，E是的中点，平分，，如图，求： (1)是多少度； (2)是多少度． 倍长中线 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 2．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________； (3)若，猜想与的数量关系，并加以证明． 3．（22-23八年级上·海南海口·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程． (1)求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E，使DE＝AD 在△ABD和△ECD中 ∵AD＝ED（已作） ∠ADB＝∠EDC（ ） CD＝ （中点定义） ∴△ABD≌△ECD（ ） (2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 角平分线的判定 4．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，，，与交于点，连接．求证： (1)； (2)； (3)平分． 作角平分线 5．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（    ）    A．20° B．25° C．30° D．50° 6．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，是的角平分线，，于点，，则 ．    7．（21-22九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在▱中，．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线EF，交AC于点G，连接GB．若GB与BC恰好垂直，则CG的长为 ． 8．（23-24八年级下·海南海口·期末）已知：线段 m、n 和∠ （1）求作：△ABC，使得 AB＝m，BC＝n，∠B＝∠； （2）作∠BAC 的平分线相交 BC 于 D．（以上作图均不写作法，但保留作图痕迹） 旋转模型 9．（24-25八年级上·海南海口·期末）在中，，，直线经过点C，于M，于N． (1)当直线经过外部时，如图1，求证：①；②； (2)当直线经过内部时，如图2，找出线段，，的数量关系并加以证明． (3)当直线经过内部时，如图3，线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不必证明． 一线三等角模型 10．（23-24八年级上·海南海口·期末）已知直线是经过的顶点是直线上的两点，且． (1)当直线经过的内部，且在射线上，请解决下面问题： ①如图1，当，则______，______；（填“＞”“<”或“＝”） ②如图2，当，则①中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (2)如图3，当直线不经过的内部，且时，若，请直接写出的取值范围． 11．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，于，于，，．求证：． 12．（22-23八年级上·海南·期末）如图，在中，于于，请证明：    (1)． (2)． 13．（22-23八年级上·海南海口·期末）已知，在中，D，A，E三点都在同一直线上，． (1)如图1，若，． 求证：①； ② (2)如图2，，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们的运动时间为，是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形和角平分线 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知和和D分别是对应顶点，且，则的度数是（   ）    A．80° B．60° C．30° D．不能确定 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】 本题考查了全等三角形的性质以及三角形的内角和性质，先根据得，，再运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 在中， 故选：A 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，点A和点D，点B和点E是对应点．如果，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应边是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等可得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，若，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质得到． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，已知，则下列边或角的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴、正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 5．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题、全等三角形的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，根据四边形的内角和定理求出，求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：，， ，， ， 在四边形中，， ， 平分， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是能熟记全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 6．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，，则等于（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形对应边相等，得，然后求出的长度，代入数据计算即可． 【详解】解：，， ， 即， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 7．（22-23八年级上·海南·期末）如图，，，，则对于结论：①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①③ 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【详解】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故①③正确； ∵∠EAF=∠BAC， ∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误，④正确； 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键． 全等三角形的判定 8．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，分别延长中线至　，使，，连接．求证：　    【答案】详见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，根据中线得，再利用证明，，从而得到，，利用等量代换从而得到结论． 【详解】证明：是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在 与中， ， ， ， ． 9（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）把下面的说理过程补充完整： 已知：如图，，，，线段和线段平行吗？请说明理由． 答：，理由： ∵（已知） ∴______（等式的性质） ∴______ ∵（已知） ∴ （两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（                     ） ∴ （全等三角形的对应角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） 【答案】，，， 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握利用证明． 根据线段和差证明，利用两直线平行内错角相等证明，利用证明，则根据全等三角形的性质可得，最后依据内错角相等，两直线平行得出． 【详解】解：，理由： ∵（已知） ∴（等式的性质） ∴ ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（） ∴（全等三角形的对应角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：，，，． 10．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，分别是、平分线，分别与、交于点，，与交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由三角形的内角和定理及角平分线的定义得，，，从而得，进而利用三角形的内角和定理即可得解； （2）在上截取，连接．证明，得，，进而证明即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，， ， ，分别是、平分线， ， ， ； （2）证明：如图，在上截取，连接． ，， ， ， 由（1） ， 又，， ， ， 【点睛】 11．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知在中，于点，，是上的一点，且，连接并延长交于点． (1)求证:； (2)猜想与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线的定义理解 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据，得出，即可得出，从而得出． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， ； （2）解：∵ ∴, ∵ ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角的余角相等，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 12．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，已知，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，进而利用得出，即可得出答案； （2）利用全等三角形的性质得出，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． ∴； （2）证明：由得． ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法和性质以及平行线的判定等知识，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 13．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，，，．    （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据垂直的定义和等式的基本性质可得∠EAC=∠BAF，然后利用SAS即可证出； （2）设AB与EC的交点为O，根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠ABF，然后根据对顶角相等可得∠AOE=∠BOM，再根据三角形的内角和定理和等量代换即可求出∠OMB=90°，最后根据垂直的定义即可证明． 【详解】解：（1）∵，， ∴∠EAB=∠CAF=90° ∴∠EAB＋∠BAC=∠CAF＋∠BAC ∴∠EAC=∠BAF 在△AEC和△ABF中 ∴（SAS） （2）设AB与EC的交点为O，如下图所示    ∵ ∴∠AEC=∠ABF ∵∠AOE=∠BOM ∴∠OMB=180°－∠ABF－∠BOM=180°－∠AEC－∠AOE=∠EAB=90° ∴ 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、对顶角的性质和垂直的判定，掌握全等三角形的判定及性质、对顶角相等和垂直的定义是解决此题的关键． 14．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，连接BD交AC于点F，连接CE交AD于点G，BD与CE交于点P． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据条件证明即可证明结论； （2）根据即可得到结论 【详解】（1）证明：∵， ∴ 即：， 在和中 ， ∴；     ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ，    ∴， ∵，    ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键 15．（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，已知点，，，在向一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）首先证明可得，根据平行线的判定即可求证； （）根据可得，利用等式的性质可得，然后由线段和差即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，已知点、点在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由判定，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ． 17．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作． (1)求证：； (2)如图2，连接交于E．求证：； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)30 【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、垂直的定义以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由，的角平分线交于点G，，得，从而利用即可证明； （2）先证明，从而证明，得，进而证明，即可得证； （3）由，得，从而利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：∵，的角平分线交于点G，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 18．（23-21八年级上·海南儋州·期末）如图所示，点O为AC和BD的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据全等三角形的判定可证得结论． 【详解】解：点O为AC和BD的中点， ∴AO=CO，BO=DO， 在△ABO和△CDO中， , ∴△ABO≌△CDO（SAS）． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握证明三角形全等的判定方法是解答的关键． 19．（23-24八年级上·海南儋州·期末）如图所示，AD⊥BC，D为BC的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、垂线的定义理解 【分析】根据全等三角形的判定证明即可． 【详解】证明：∵AD⊥BC，D为BC的中点， ∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握证明三角形全等的判定方法是解答的关键． 20．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知：，，求证：． 【答案】见解析所示 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】由，，且为公共边可证得结论． 【详解】证明：在和中， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，正确掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 21．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，已知，平分，要说明，请把下面的证明过程补充完整．    证明：∵平分， ∴___________（1）___________． 在和中 ∴（___________（4）___________）． 【答案】证明见详解 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据角平分线得到，根据边角边定理即可得到答案； 【详解】证明：∵平分， ∴ ． 在和中， ∴（）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键根据角平分线得到对应的夹角相等． 22．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、根据平行线的性质探究角的关系、全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据“”可判定全等； （2）根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 作一个角等于已知角 23．（2024八年级下·海南·期末）如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，图中的理由是（　　）    A．由可得，进而可证 B．由 可得，进而可证 C．由 可得 ，进而可证 D．由“等边对等角”可得 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及尺规作图－作与已知角相等的角，熟练掌握全等三角形的判定定理以及作与已知角相等的角的方法是解本题的关键．根据作图方式可得，然后根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：根据作图方式可得：， ∴， ∴， 故选：A． HL 判定三角形全等 24．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图所示，已知，，要使．    （1）若利用，需补充一个条件 ． （2）若利用，需补充一个条件 ． 【答案】 (答案不唯一) (答案不唯一) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，． （1）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案； （2）斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：，， ， （1）在中， ， ， 利用，需补充一个条件是(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． （2）在和中， ， 利用，需补充一个条件(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 25．（22-23八年级上·海南·期末）如图，点、是线段上的点，，，垂足分别是点和点，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】先根据“HL”证明△ADE≌△BCF，可证∠A=∠B，然后根据内错角相等，两直线平行即可解答． 【详解】∵，， ∴∠D=∠C=90°． ∵， ∴AE=BF． 在△ADE和△BCF中， ∵AE=BF，， ∴△ADE≌△BCF(HL)， ∴∠A=∠B， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 添加条件使三角形全等 26．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，点A、F、C、D在同一直线上，，，要判定，还需要添加一个条件，下列所添加的条件中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据已知条件可以确定两三角形有一组对应角相等以及这组角的一组邻边相等，然后根据选项逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，结合已知条件，可由判定，故A正确； 当时，已知条件为两边及其一边的对角，不能判定，故B错误； 当时，，结合已知条件，可由判定，故C正确； 当，结合已知条件，可由判定，故D正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 27．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，在和中，，，还需在添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案． 【详解】解：， ， 即， ∵在与中，，， 若，则可依据证明，故A选项不符合题意； 若，则可依据证明，故B选项不符合题意； 若，则可依据证明，故C选项不符合题意； 若，则不能证明，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：，，， ，，并熟练应用解决问题是解题的关键． 28．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知AC∥BD，要使△ABC≌△BAD需再补充一个条件，下列条件中,不能选择的是（    ） A．BC∥AD B．AC=BD C．BC=AD D．∠C=∠D 【答案】C 【分析】本题要判定△ABC≌△BAD，已知AC∥BD，即∠CAB=∠DBA，AB为公共边，故添加AC=BD或∠DAB=∠CBA或∠C=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS判定△ABC≌△BAD． 【详解】∵AC∥BD， ∴∠CAB=∠DBA， ∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD， ∴添加AC=BD或∠C=∠D后可分别根据SAS、AAS判定△ABC≌△BAD，故B、D选项不符合题意； A、∵BC∥AD， ∴∠CBA=∠DAB， ∴添加BC//AD后可根据ASA判定△ABC≌△BAD，故A选项不符合题意； 而添加C选项会出现SSA，SSA不能证明三角形全等， 故选C. 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 29．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，要使△ABC≌△DEF需再补充一个条件，下列条件中，不能选择的是（  ） A．AB=DE B．BC=EF C．EF∥BC D．∠B=∠E 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）能够判定两个三角形全等的常用方法有：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”及“HL”；（2）满足条件“有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”不一定全等. 【详解】∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠A=∠AME，∠AME=∠D， ∴∠A=∠D. A选项中，添加条件AB=DE，结合已有条件：∠A=∠D，AC=DF，可由“SAS”证得△ABC≌△DEF； B选项中，添加条件BC=EF，结合已有条件：∠A=∠D，AC=DF，两个三角形满足的是“有两边和其中一边的对角对应相等”，此时无法确定△ABC和△DEF是否全等； C选项中，如图，延长FD交BC于点N，添加条件EF∥BC后，结合DF∥AC，可证得∠C=∠F，结合已有条件：∠A=∠D，AC=DF，可由“ASA”证得△ABC≌△DEF； D选项中，添加条件∠B=∠E，结合已有条件：∠A=∠D，AC=DF，可由“AAS”证得△ABC≌△DEF； 故选B. 【点睛】本题考查全等三角形的判定.熟练掌握判定定理是解题的关键. 角平分线的性质 30．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，平分，若，则的面积为（     ） A．3 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”．过作于，根据角平分线性质得出，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过作于． 是的角平分线，，， ， ， ， ， 故选：D． 31．（2024·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点；分别以为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧交于点；作射线，交于点．若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，由作图可知为的角平分线，再根据角平分线的性质即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∵，， ∴点到的距离为， ∴点到的距离为， 故选：． 32．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图在中，平分于D，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，得出是解题关键． 直接利用角平分线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵在中，平分于D， ∴， ∴． 故选：D． 33．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图，在四边形中，，则的面积等于（   ） A．18 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而即可求解 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 34．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，是的平分线，于点，若，，则的周长为（    ） A．22 B．25 C．26 D．28 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：平分，，， ， ， 的周长． 故选：A． 35．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是10，，则的面积是（　　）    A．2.5 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、根据三角形中线求面积 【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图   过点作，，垂足分别为、， 是角平分线， ， 设， 解得， 是中的中线， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角分线上的点到角的两边的距离相等． 36．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据角平分线的性质及平行线的性质，全等三角形的判定和性质依次判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项A不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵（不是对应边相等）， ∴与不一定全等，故选项B符合题意； 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 所以选项C、D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 37．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知在中，是边上的高，平分交于点E，，，则的面积等于（　　） A．9 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】过点E作，垂足为F，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：过点E作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等． 38．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，点是的中点，，，平分且，下列结论：；；；．结论中成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】过E作于F，根据角平分线定义即可判断①，根据线段中点定义即可判断③；求出平分，求出，即可判断②；取的中点M，连接，根据梯形中位线性质和直角三角形斜边上中线性质即可判断④． 【详解】过E作于F， ∵平分， ，故①正确； ∵点E是的中点， ，故③正确； 平分， ， ， 平分 ， 故②正确； 取的中点M，连接， ∵E为的中点， M为的中点， ， ，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，梯形的中位线性质和角平分线性质等知识点，能熟记角平分线性质和梯形中位线性质是解此题的关键，①角平分线上的点到角两边的距离相等，②梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 39．（21-22八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，OD平分，于点E，，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、垂线段最短 【分析】根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断． 【详解】∵OD平分，于点E，， ∴D到OB的距离等于5， ∴ 故DF的长度不可能为4，故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键． 40．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，点P是的角平分线OC上一点，于点E，已知，则点P到OB的距离是（    ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】作PH⊥OB于H，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：作PH⊥OB于H， ∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，PH⊥OB， ∴PE=PH=2， ∴点P到OB的距离是2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 41．（2024·海南·期末）如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③画射线，交于点D． 若，，则的长为（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再利用基本作图得平分，所以，然后证明和即可．本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质． 【详解】解：， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 42．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 【答案】平分线 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线， 故答案为：平分线． 43．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ． 【答案】/84度 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，于， ，，，，， ， ，， 平分， ， 故答案为：． 44．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，是的角平分线，P是上一点．交于D，交于E，F是上的另一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 先根据证明，就可以得出，，就可以得出，就可以得出结论． 【详解】证明：是的角平分线，，， ，． ， ，． 在和中， ， ， ． 45．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，为的平分线，, (1)求的长； (2)的周长． 【答案】(1)5 (2)24 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，得，即可作答． （2）先证明，得，根据周长公式列式，代数进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，且为的平分线． ∴， ∴． （2）解：由（1）知：，又， ∴， ∴， ∴的周长． 46．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：是的角平分线，，垂足分别是，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由角平分线的性质定理得出，证明，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵是的角平分线，， ， 在与中， ， ∴， ∴． 47．（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，已知利用直尺和圆规，根据要求作图（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明），并解决后面的问题． (1)作的角平分线 (2)作交的延长线于点 (3)图中线段与线段相等吗？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)证明见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理、尺规作一个角等于已知角、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径作弧交于两点，以这两点为圆心，大于两点之间的距离为半径作弧，相交于一点，连接点和该点并延长即为角平分线． （2）根据作一个角等于已知角的作法解答． （3）根据角平分线和平行线的性质解答． 【详解】（1）如图所示： 为所作． （2）如图所示： 为所作． （3）是角平分线， 【点睛】本题主要考查了作图，熟悉角平分线的作法，已知角的作法是解此题的关键． 48．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，E是的中点，平分，，如图，求： (1)是多少度； (2)是多少度． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、角平分线的有关计算 【分析】（1）求出，根据角平分线定义得出，即可求出答案； （2）过作于，根据角平分线性质求出，求出，根据角平分线性质求出即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ； （2）过作于， 平分， ， 为中点， ， 平分， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 倍长中线 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 2．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________； (3)若，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)，证明见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明 【分析】(1)根据三角形全等的判定定理，即可证得； (2)由，可得，，据此即可解答； (3)根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答． 【详解】（1）证明：是BC边上的中线， ， 在与中 ， ； （2）解：， ，， ， 故答案为：，； （3）解： 证明：， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 3．（22-23八年级上·海南海口·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程． (1)求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E，使DE＝AD 在△ABD和△ECD中 ∵AD＝ED（已作） ∠ADB＝∠EDC（ ） CD＝ （中点定义） ∴△ABD≌△ECD（ ） (2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 【答案】(1)对顶角相等；BD；SAS (2) (3) 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）延长AD到点E，使DE＝AD 在△ABD和△ECD中 ∵AD＝ED（已作） ∠ADB＝∠EDC（对顶角相等） CD＝BD（中点定义） ∴△ABD≌△ECD（SAS） 故答案为：对顶角相等；BD；SAS （2）∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8， ， ， ， 故答案为； （3）延长AD交EC的延长线于F， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 又∵∠FDE＝∠ADE＝90° ED＝ED ∴△ADE≌△FDE ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件． 角平分线的判定 4．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，，，，，与交于点，连接．求证： (1)； (2)； (3)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据角的和差求出，利用即可证明； （2）由得出，继而得出；，即可得出答案； （3）过点作于，于，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）如图： ， ， ， ， ， ； （3）过点作于，于，如图所示： ， ，， ，， ， ，， 点在的平分线上， 平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 作角平分线 5．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（    ）    A．20° B．25° C．30° D．50° 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据作图可知平分，根据平行线的性质，求出的度数，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查平行线的性质，基本作图—作角平分线．解题的关键是根据作图方法，得到平分． 6．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，是的角平分线，，于点，，则 ．    【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，运用这一性质可直接得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 故答案为：2． 7．（21-22九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在▱中，．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线EF，交AC于点G，连接GB．若GB与BC恰好垂直，则CG的长为 ． 【答案】5 【知识点】利用平行四边形的性质求解、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再利用平行四边形的性质得到，设，则，然后再中利用勾股定理得到，再解方程即可； 【详解】由作法得到垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 解得：，即的长为5； 故答案是5． 【点睛】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键，同时也考查了垂直平分线的性质和平行四边形的性质． 8．（23-24八年级下·海南海口·期末）已知：线段 m、n 和∠ （1）求作：△ABC，使得 AB＝m，BC＝n，∠B＝∠； （2）作∠BAC 的平分线相交 BC 于 D．（以上作图均不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【知识点】尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）先作出∠MBN=∠，然后在边BM上截取BA=m得到点A，在以A为圆心AC=n为半径画弧角AN于C，得到点C，连接AC,即可得到符合要求的图形． （2）以点A为圆心，任意长为半径画弧，再以弧与角两边的交点为圆心，大于两弧交点的一半长为半径画弧，两弧的交点为E，连接AE，交BC于D，. AD就是所求∠BAC的角平分线． 【详解】解：（1）如图所示的△ABC就是所要求作的图形． （2）如图所示； 【点睛】本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，作已知角的角平分线，都是基本作图，需要熟练掌握． 旋转模型 9．（24-25八年级上·海南海口·期末）在中，，，直线经过点C，于M，于N． (1)当直线经过外部时，如图1，求证：①；②； (2)当直线经过内部时，如图2，找出线段，，的数量关系并加以证明． (3)当直线经过内部时，如图3，线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不必证明． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）①根据题意得到，即可证明全等； ②由全等三角形的性质即可证明； （2）证明，再根据全等对应边相等即可； （3）证明，再根据全等对应边相等即可 【详解】（1）证明：①， ， 于M，于N， ， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ； （2）证明：； ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）证明：； ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 一线三等角模型 10．（23-24八年级上·海南海口·期末）已知直线是经过的顶点是直线上的两点，且． (1)当直线经过的内部，且在射线上，请解决下面问题： ①如图1，当，则______，______；（填“＞”“<”或“＝”） ②如图2，当，则①中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (2)如图3，当直线不经过的内部，且时，若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②结论仍成立，理由见解析； (2)． 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题是三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）①由“”可证，可得到，，故； ②由“”可证，可得到，，故； （2）求出，，根据证，推出，，由三角形三边关系可求解． 【详解】（1）解：①在图1中， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； ②①中的两个结论仍然成立，理由如下： ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：， 又，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 11．（23-24八年级上·海南三亚·期末）如图，于，于，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出是证明三角形全等的关键．根据垂直的定义可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 12．（22-23八年级上·海南·期末）如图，在中，于于，请证明：    (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先证明，，再证明即可； （2）由，可得，，再利用线段的和差可得答案 【详解】（1）证明：，． ． ． ． ． ． ． ． （2）． ，． ． ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 13．（22-23八年级上·海南海口·期末）已知，在中，D，A，E三点都在同一直线上，． (1)如图1，若，． 求证：①； ② (2)如图2，，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们的运动时间为，是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)，或， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，，可得结论； （2）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ②∵， ∴，， ∴； （2）解：存在，当时， ∴，， ∴，此时； 当时， ∴，， ∴，， 综上：，或，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，注意进行分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！62 学科网（北京）股份有限公司 $$