12.1 全等三角形 ——角平分线模型及应用学案2022-2023学年人教版八年级数学上册

12.1《全等三角形》—— 角平分线模型及应用 班级：_____ 姓名：______ 模型 （一） 作垂线构AAS型全等 方法技巧：利用角平分线性质，取角平分线上一点，向被平分的角的两边作垂线 如图：若∠1=∠2，PA⊥OA, PB⊥OB,则PA=PB 例1.如图，在△ABC中，CD是角平分线，AC=3，BC=5，(1)求的值。 （2）在△ABC中，角平分线BD和CE交于点O，OF⊥BC于F,OF=2,S△ABC=16,则△ABC的周长为_________. 例2.如图所示，已知PA＝PB，∠1+∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB． 对应训练3：如图，在四边形ABCD中AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC=180°. 求证：（1）BC=CD； (2)AE-AD=BE (3)AB+AD=2AE (4)AB-AD=2BE 对应训练4.如图，△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠BDC＝∠BAC，BD交AC于O，AM⊥BD于M （1） 求证：∠1＝∠2； （2）求证：AD平分∠BDC的外角； （3）求的值． 模型（二）过边上的点向两边作垂线 方法：当垂线段与角平分线垂直时，延长垂线段，将图形补成一个轴对称的全等形. 如图：若∠1=∠2，AC⊥OC,延长AC交OB于点B,则△OCA≌△OCB 例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，探究∠ACE，∠B，∠ECD之间的数量关系。 例6.如图，在△ABC中，AB＜BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，若△ABC的面积为14，求△BPC的面积。 对应训练7：如图，在△ABC中，AO=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD延长线于点E。求证：BD=2AE。 对应训练8：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：DE＝CE； （3）若AE＝4，BE＝6，求四边形ABCD的面积． 模型（三）截长补短构SAS型全等 方法：在角的两边上实施截长或补短 ，构造出已角平分线为对称轴的全等三角形 如图：若∠1=∠2，OA=OB,则△OAP≌△OBP 例9.在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D,E为AB上一点，AE=AC, (1) 求证：∠C>∠B (2) 若BE=2,BC=3,求△BED的周长. 例10.如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD．求证：BC＝AB+CE． 例11.如图，AD∥BC，E是CD上一点．且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝AD+BC（3种方法）． 练12．如图，BC＞AB，∠1＝∠2，AD＝CD，探究∠BAD与∠C的关系．（用三种方法解答） 能力提升13：已知中，，、分别平分和，、交于点，求证：（1）+= （2）OE=OD 　　 学科网（北京）股份有限公司 $