精品解析：广东省广州市第二中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省广州二中八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 以下十二生肖的简笔画中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称的知识，解题的关键是掌握轴对称图形的识别，即可． 【详解】如图所示，A、B、D均不是轴对称图形， ∴C是轴对称图形， 故选：C． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A. 5cm  2cm  3cm B. 5cm  2cm  2cm C. 5cm  2cm  4cm D. 5cm  12cm  6cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A、3＋2＝5，不能组成三角形，不符合题意； B、2＋2＝4＜5，不能组成三角形，不符合题意； C、4＋2＝6＞5，能够组成三角形，符合题意； D、5＋6＝11＜12，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 3. 如图，表示ABC的AB边上的高的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义，即可求解． 【详解】解：A、AD是BC边的中线，故本选项不符合题意； B、AD是△BAC的角平分线，故本选项不符合题意； C、BD是AC边的高，故本选项不符合题意； D、CD是AB边的高，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的高的定义：熟练掌握从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 4. 如图，在中，，是的平分线，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得：为边上的中线，从而求解． 【详解】解：是的平分线，， 为边上的中线， ． 故选C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质． 5. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 故选：B． 6. 如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，根据三角形具有稳定性解答．因此要使一些图形具有稳定的结构． 【详解】解：常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性． 故选：D． 7. 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP等于（　　） A. 24° B. 30° C. 32° D. 42° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出∠ABP＝∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP＝CP，求出∠CBP＝∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°，求出方程的解即可． 【详解】解：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵直线l是线段BC的垂直平分线， ∴BP＝CP， ∴∠CBP＝∠BCP， ∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP， ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°， ∴3∠ABP+24°+60°＝180°， 解得：∠ABP＝32°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键． 8. 点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（　　） A. ∠B＝∠C B. ∠BEA＝∠CDA C. BE＝CD D. AB＝AC 【答案】C 【解析】 【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．在△ABE和△ACD中，已知了AE=AD，公共角∠A，因此只需添加一组对应角相等或AC=AB即可判定两三角形全等． 【详解】解：A．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠B＝∠C可依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意； B．由AE＝AD、∠A＝∠A、∠BEA＝∠CDA可依据“ASA”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意； C．由BE＝CD、AE＝AD、∠A＝∠A不能判定△ABE≌△ACD，此选项符合题意； D．由AE＝AD、∠A＝∠A、AB＝AC可依据“SAS”判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 9. 如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（ ） ①与的面积相等；②；③；④ A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法. 10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得周长为，最后根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 图中x的值为______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据外角的性质得到，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：70． 13. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边 是________cm． 【答案】2或4 【解析】 【分析】已知等腰三角形的周长，与一边长为4cm，这一边可能为底也可为腰，为此要分类讨论求底边长，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm， 当4cm为底时，设腰长为xcm，4+2x=10，x=3cm，3+3>4,能构成等腰三角形， 当4cm为腰时，则底为10-2×4=2cm，4+4>2,能构成等腰三角形 周长为10cm时，其中一边长为4cm，底为4cm或2cm． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查等腰三角形的底长问题，掌握等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系． 14. 如图，将含角的直角三角板放在平行线a和b上，，，若，则的度数为______________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质得出∠3=42°，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：如图，AB与直线a相交于点M， ∵∠1=∠AMN，∠1=12°， ∴∠AMN=12°， ∵∠A=30°， ∴∠3=∠A+∠AMN=42°， ∵， ∴∠2=∠3=42°； 故答案为：42° 【点睛】此题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，若，，则点A的坐标为______． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 分两种情况讨论：①如图，过点作直线轴，过作于，过作于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，由，得到，于是得到；②如图，过点作直线轴，过作于，过作于，同理得到． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图，过点作直线轴，过作于，过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作直线轴，过作于，过作于， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为和， 故答案为：和． 16. 在平面直角坐标系中，对于任意点，将点T的“元变化”定义为：当时，作点T关于x轴对称：当时，作点T关于y轴对称．根据定义，解决问题： 如图，点，点，其中，点P，Q“元变化”后的对应点是点，． （1）直接写出坐标，______，______（用含b的式子表示）； （2）若，则b的值为______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，难度较大． （1）根据定义，结合轴对称性质即可求解； （2）连接，延长交于点H，则，可证明，则，继而得到关于b的方程，即可求解． 【详解】解：（1）对于点，可知， ∴点为， 对于点，其中， 则， ∴， 故答案为：，； （2）点，点，，， 连接，延长交于点H，如图， ∴，， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 三．解答题（共72分） 17. 正多边形的一个外角是，求这个多边形的边数与内角和的度数． 【答案】5， 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得正确的方程或算式是解题的关键．根据多边形的外角和及正多边形的性质求得边数，然后利用多边形的内角和公式列式计算即可． 【详解】解：由题意可得该正多边形的边数为， 则其内角和为， 即这个正多边形的内角和为． 18. 已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，还涉及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．利用证明即可求证． 【详解】略 19. 如图，中，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 在△ABD和△ACE中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据证明即可证明． 【详解】略 20. 如图，，点P是上一点，点Q与点P关于对称． （1）对称轴是线段的 线； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：过点Q作交于点M；（保留作图痕迹，不写作法） （3）连接，若，求线段的长． 【答案】（1）垂直平分； （2）见解答； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线、勾股定理、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识点，是理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）结合轴对称的性质可知，对称轴是线段的垂直平分线即可解答； （2）根据垂线的作图方法作图即可； （3）由题意可得、，则可得，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图：∵点Q与点P关于对称， ∴对称轴是线段的垂直平分线． 故答案为：垂直平分； 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 【小问3详解】 解：由（1）可知，对称轴是线段的垂直平分线， ∴ ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出关于y轴对称的，点的坐标为______； （2）在y轴上取一点P，使点P到点B和点C的距离之和最小，则点P的坐标为______； （3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等（不与重合），直接写出所有符合条件的点D坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）连接交轴于点，则点即为所求，即可得出答案； （3）结合全等三角形的判定可确定点的位置，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接交轴于点，连接， 由轴对称性质得， ∵， ∴当三点共线时，点P到点B和点C的距离之和最小， 点的坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，点，，均满足题意， 点的坐标为或或． 故答案为：或或． 22. 如图，在中，，是中线，延长至E，使，若． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）在中，点P是边上的定点，点M、N分别是边、上的动点．当的周长取最小值时，直接写出此时的度数． 【答案】（1）见解答 （2）见解答 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角和三角形外角的性质证明即可； （2）先求出，再利用有一个角等于的等腰三角形是等边三角形证明即可； （3）作出的周长取最小值时，的位置，再利用三角形内角和定理及其推论即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ． 【小问2详解】 证明：∵是中线， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ∴是等边三角形； 【小问3详解】 解：． 理由：作点关于的对称点，连接，分别交于点，连接，此时则的周长取最小值， 如图，当点共线时，的周长取最小值， 由题意知， 则， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短，三角形内角和定理及其推论，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 23. 已知：如图1，点A的坐标是，动点在y轴上，，点D在线段上，过点D作交y轴于点B，交于点E． （1）当时， ①求点B的坐标； ②连接，求的度数； （2）如图2，点H为第四象限上一动点，，，当取得最小值时，求点H的坐标． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，两点之间距离公式，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形时解题的关键． （1）利用证明，即可求解； （2）延长至点G，使得，连接，证明，得到为等腰直角三角形，则； （3）过点H作轴于点M，则，则证明，表示出，则，根据非负数性质求得当时，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②延长至点G，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：过点H作轴于点M，则， ∴， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当时等号成立， ∴． 24. 如图，在中，，点D为射线上一点，过点D作于E． （1）如图1，当点D在边上，若，求的度数； （2）如图2，当点D在的延长线上时，记，，，，当时，． ①当时，求的值： ②请判断，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）①2； ②，理由如下： 如图：作于M，作于N， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴平分， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 延长至F，使，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形的内角和、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得，再根据垂直的性质可得，最后根据直角三角形的两锐角互余即可解答； （2）①如图：作于M，作于N， 根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得，根据三角形内角和可得；设，由直角三角形的性质可得，再结合已知条件可得、、，易得，即、，然后代入求解即可；②如图：作于M，作于N，根据题意可得，进而得到，即；再根据角平分线的判定定理可得平分；设，则，再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可得，进而得到；如图：延长至F，使，连接，易证可得，进而得到；根据勾股定理可得，即，然后整理即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州二中八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 以下十二生肖的简笔画中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A. 5cm  2cm  3cm B. 5cm  2cm  2cm C. 5cm  2cm  4cm D. 5cm  12cm  6cm 3. 如图，表示ABC的AB边上的高的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是的平分线，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 6. 如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 7. 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP等于（　　） A. 24° B. 30° C. 32° D. 42° 8. 点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AE＝AD，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（　　） A. ∠B＝∠C B. ∠BEA＝∠CDA C. BE＝CD D. AB＝AC 9. 如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（ ） ①与的面积相等；②；③；④ A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是_________． 12. 图中x的值为______． 13. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边 是________cm． 14. 如图，将含角的直角三角板放在平行线a和b上，，，若，则的度数为______________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，若，，则点A的坐标为______． 16. 在平面直角坐标系中，对于任意点，将点T的“元变化”定义为：当时，作点T关于x轴对称：当时，作点T关于y轴对称．根据定义，解决问题： 如图，点，点，其中，点P，Q“元变化”后的对应点是点，． （1）直接写出坐标，______，______（用含b的式子表示）； （2）若，则b的值为______． 三．解答题（共72分） 17. 正多边形的一个外角是，求这个多边形的边数与内角和的度数． 18. 已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：． 19. 如图，中，，．求证：． 20. 如图，，点P是上一点，点Q与点P关于对称． （1）对称轴是线段的 线； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：过点Q作交于点M；（保留作图痕迹，不写作法） （3）连接，若，求线段的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出关于y轴对称的，点的坐标为______； （2）在y轴上取一点P，使点P到点B和点C的距离之和最小，则点P的坐标为______； （3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等（不与重合），直接写出所有符合条件的点D坐标为______． 22. 如图，在中，，是中线，延长至E，使，若． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）在中，点P是边上的定点，点M、N分别是边、上的动点．当的周长取最小值时，直接写出此时的度数． 23. 已知：如图1，点A的坐标是，动点在y轴上，，点D在线段上，过点D作交y轴于点B，交于点E． （1）当时， ①求点B的坐标； ②连接，求的度数； （2）如图2，点H为第四象限上一动点，，，当取得最小值时，求点H的坐标． 24. 如图，在中，，点D为射线上一点，过点D作于E． （1）如图1，当点D在边上，若，求的度数； （2）如图2，当点D在的延长线上时，记，，，，当时，． ①当时，求的值： ②请判断，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $