专项5 锐角三角函数实际应用-华东师大版九年级上册期末专项（初中数学）

试卷第 1页，共 4页 专项 5 锐角三角函数实际应用 1．如图，在 ABC 中， 45C  ，tan 3B  ，AD BC 于点D， 2 6AC  ．若 E， F分别为 AC，BC的中点，则 EF的长为（ ） A． 2 3 3 B．2 C．3 D．2 3 2．如图，已知在 ABC 中， P是 BC上一点，连接 AP使得 CAP ABC   ． (1)求证： 2AC PC BC  ； (2)若 5AB AC  ， 4sin 5 ABC  ，求 tan APC ． 3．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安 置测角仪测得楼房CD顶部点D的仰角为 45，向前走 20米到达 1A处，测得点D的 仰角为67.5，已知测角仪 AB的高度为 1米，则楼房CD的高度为（ ） （ tan67.5 1 2   ） A．5 2 21 B．5 3 21 C．10 2 21 D．20 3 1 试卷第 2页，共 4页 4．如图，在河流的右岸边有一高楼 AB，左岸边有一坡度 1 2i  ：的山坡CF，点 C 与点 B在同一水平面上，CF与 AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 AB 的高度，在坡底 C处测得楼顶 A的仰角为 45，然后沿坡面CF上行了 20 5米（即 20 5CD  米）到达点 D处，此时在 D处测得楼顶 A的仰角为26.7．（参考数据： sin 26.7 0.45  ， cos26.7 0.89  ， tan 26.7 0.5  ） (1)求点 C到点 D的水平距离CE的长； (2)求楼 AB的高度． 5． 如图，一艘渔船位于小岛 B的北偏东30o方向，距离小岛40海里的点A处， 它沿着点A的南偏东15的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛 B距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最 近距离． 试卷第 3页，共 4页 (2)当渔船到达距离小岛 B最近的点后，按原航向继续航行20 6海里后到点C处 突然发生事故，渔船马上向小岛 B上的救援队求救，问救援队从 B处出发沿着哪 个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 6．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天， 我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明 国籍的船只停在C处海域．如图所示， ( 6 )60 2AB   海里，在 B处测得C在北 偏东 45的方向上，A处测得C在北偏西30的方向上，在海岸线 AB上有一灯塔D， 测得 120 2( 6 )AD   海里． (1)求出 A与 C距离 AC（结果保留根号）． (2)已知在灯塔D周围 100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿 AC前往C处 盘查，途中有无触礁的危险（参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 6 2.45) ． 7．如图，为了测量某建筑物 BC的高度，小明先在地面上用测角仪 A处测得建筑 物顶部的仰角是30，然后在水平地面上向建筑物前进了 20m到达 D处，此时遇 到一斜坡，坡度 1: 3i  ，沿着斜坡前进 40m到达 F处测得建筑物顶部的仰角是 45， （坡度 1: 3i  是指坡面的铅直高度 FE与水平宽度DE的比）． (1)求斜坡DF的端点 F到水平地面 AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少 米？ (2)求建筑物 BC的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点 B处）乘电梯至楼顶（点 C），电梯速 试卷第 4页，共 4页 度为 2( 3 3)m/s ，同时小明从测角仪处（点 A）出发，骑摩托车至斜坡的端点 F 处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时 间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 8．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一，也是重庆的“网红打卡地”之一， 某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度，如图 2，他们在桥下 水平地面上架设测角仪CM（测角仪垂直于地面放置），此时测得桥塔最高点A的 30ACE  ，然后将测角仪沿MB向前水平移动 132米达到点N处，并测得桥塔最 高点A的 45ADE  ∠ ，测角仪高度 1.6CM DN  米．（点M ，N， B在同一水平 线上， AB BM ）（结果保留整数，参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ） (1)求桥塔的高度 AB约为多少米？ (2)如图 3，在（1）的条件下，小语同学在洪崖洞的某地Q处测得千厮门大桥桥 塔最高点A的 30AQG  ，最低点 B的 60BQG  ，则小语同学所在地Q与 AB的水 平距离约为多少米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 5 锐角三角函数实际应用 1．B 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由 2sin 2 C  求出 2 2 3 2 AD AC  ， 由 tan 3B  求出 2BD  ，继而求出 2 2 4AB AD BD   由三角形中位线定理求出 1 2 2 EF AB  ． 【详解】解： 45 ,C AD BC    ， ∴ 2sin 2 6 2 2 3AD AC C     ， ∵ tan 3 ADB BD   ， ∴ 2 3 2 tan 3 ADBD B    ， ∴ 2 2 2 2(2 3) 2 4AB AD BD     ∵E，F分别为 AB BC、 的中点， ∴ EF是 ABCV 的中位线， ∴ 1 2 2 EF AB  ． 故选：B． 2．(1)见详解 (2) 247 【分析】（1）证明 ABC PAC△ ∽△ ，根据相似三角形的性质即可证明； （2）根据 ABC PAC△ ∽△ 和 5AB AC  得出 APC BAC   ，过点 C作CH AB ，根据 4sin 5 ABC  ， 5AB AC  ，在Rt ACH 中，结合勾股定理求出 ,CH AH ，根据 tan tanAPC BAC   即可求解． 【详解】（1）证明：∵ CAP ABC   ， C C   ， ∴ ABC PAC△ ∽△ ， ∴ AC BC PC AC  ， ∴ 2AC PC BC  ； （2）解：由（1）知 ABC PAC△ ∽△ ， ∴ APC BAC   ， 过点 C作CH AB ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∵ 4sin 5 ABC  ， 5AB AC  ， ∴ 4sin 5 CHABC BC    ， 设 4 , 5CH x BC x  ， 则 2 2 3BH BC CH x   ， 5 3AH AB BH x    ， 在Rt ACH 中， 2 2 2AC AH CH  ，即    2 225 4 5 3x x   ， 解得： 6 5 x  或 0（舍去）， ∴ 24 7, 5 5 CH AH  ， ∴ 24 245tan tan 7 7 5 CHAPC BAC AH       ． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方 程等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 3．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得出 BE DE ，设DE x 米，则BE x 米，  1 20B E x  米，再解直角三角形求出 x的值即可得解． 【详解】解：如图， ， 在Rt BDE△ 中， 45DBE  ， ∴ BE DE ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 设DE x 米，则BE x 米，  1 20B E x  米， 在 1Rt B DE 中， 1 1 tan tan 67.5 1 2 20 DE xDB E B E x         ， 解得： 10 2 20x   ， ∴楼房CD的高度为  10 2 20 1 10 2 21    米， 故选：C． 4．(1)40米 (2)楼 AB的高度约为 80米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线 是解题的关键． （1）根据题意可得DE CE ，设DE x 米，则 2CE x 米，然后利用勾股定理可求出 20x = ．据 此即可求得CE的长； （2）过点 D作DG AB ，垂足为 G，则 20DE GB  米，DG EE ，然后设 AB y 米，在Rt ABC△ 中，利用锐角是三角函数的定义求出 BC的长，从而求出 BE的长，再在Rt ADG 中，利用锐角 三角函数的定义列出关于 y的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：DE CE ， ∵山坡 CF的坡度 1 2i  ：， ∴ 1 2 DE CE  ， 设DE x 米，则 2CE x 米， ∴  22 2 2 2 5CD DE CE x x x     （米）， ∵ 20 5CD  米， ∴ 5 20 5x  ， ∴ 20x = ， ∴ 20DE  米， 2 40CE x  （米）； （2）解：过点 D作DG AB ，垂足为 G，则四边形DEBG是矩形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ 20DE GB  米，DG EB ， 设 AB y 米， ∴ ( 20)AG AB BG y    米， 在Rt ABC△ 中， 45ACB  ， ∴ tan 45 ABBC y   （米）， ∴ ( 40)DG EB EC BC y     米， 在Rt ADG 中， 26.7ADG   ， ∴ 20tan 26.7 0.5 40 AG y DG y       ， 解得： 80y  ， 经检验： 80y  是原方程的根， ∴ 80AB  米， ∴楼 AB的高度约为 80米． 5．(1)渔船航行 20 2海里距离小岛 B最近，渔船与小岛之间的最近距离为 20 2海里 (2)救援队从 B处出发沿点 B的南偏东 45的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是 40 2 海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过 B作BM AC 于M ，根据题意求得 45ABM  ，在Rt ABM 中，根据垂线段最短和锐 角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得 60MBC  ，进而可得 45CBG  ，在Rt BCM△ 中，利用两 点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过 B作BM AC 于M ，则 90AMB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 由题意可知 45BAM  ，则 45ABM  ， 在Rt ABM 中，∵ 45BAM  ， 40AB  ， ∴ 2 20 2 2 BM AM AB   ． 答：渔船航行 20 2海里距离小岛 B最近，渔船与小岛之间的最近距离为 20 2海里． （2）解：∵ 20 2BM ， 20 6MC  ， ∴ 20 6tan 3 20 2 MCMBC BM     ， ∴ 60MBC  ， ∴ 180 60 45 30 45CBG         ， 在Rt BCM△ 中，∵ 60CBM  ， 20 2BM ， ∴ 2 40 2cos60 BMBC BM   ． 故救援队从 B处出发沿点 B的南偏东 45的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是 40 2 海里． 6．(1)A与C的距离为120 2海里 (2)海监船沿 AC前往C处盘查，无触礁的危险 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角 三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． （1）如图所示，过点C作CE AB 于点 E，可求得 45CBD  ， 60CAD  ，设CE x ，在Rt CBE△ 与Rt CAE△ 中，分别表示出 BE、AE的长度，然后根据 ( 6 )60 2AB   海里，代入 BE、AE的式 子，求出 x的值，继而可求出 AC的长度； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 （2）如图所示，过点D作DF AC 于点 F，在 ADF△ 中，根据 AD的值，利用三角函数的知识 求出DF的长度，然后与 100比较，进行判断． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作CE AB 于点 E， 可得 45CBD  ， 60CAD  ， 设CE x ， 在Rt CBE△ 中，BE CE x  ， 在Rt CAE△ 中， 3 3 AE x ， 60( 6 2)AB   海里， 3 60( 6 2) 3 x x    ， 解得： 60 6x  ， 则 2 3 120 2 3 AC x  ， 答：A与C的距离为120 2海里； （2）解：如图所示，过点D作DF AC 于点 F， 在 ADF△ 中， 120( 6 2)AD   ， 60CAD  ， sin 60 180 2 60 6 106.8 100DF AD       ， 故海监船沿 AC前往C处盘查，无触礁的危险． 7．(1)斜坡DF的端点 F到水平地面 AB的距离为 20米，斜坡的水平宽度DE为 20 3米 (2)  30 10 3 米 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 (3)小明上坡时的车速为5m/s 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是 掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由 1: 3i  可得 30EDF  ，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可； （2）由 45CFG  可证GC GF ，设CG GF x  米，根据 tan BCBAC AB   得 3AB BC ，即 20 20 3 3( 20)x x    ，再求解即可； （3）设小明上坡时的车速为 m/sy ，小明在平地上的车速为 2 m/sy ，根据题意可列方程 30 10 3 1 20 40( ) 2 22( 3 3) y y     ，再求解即可． 【详解】（1）解： 1: 3i  ， 3tan 3 EDF   ， 30EDF  ， 1 2020(m), 20 3 2 tan 3 3 EFEF DF DE EDF        米， ∴斜坡DF的端点 F到水平地面 AB的距离为 20m，斜坡的水平宽度DE为 20 3米． （2）解：由题意知： 30BAC  ， 在Rt CGF△ 中， 45CFG   ， 45CFG FCG    ， GC GF  ， 设CG GF x  米， 在Rt ABC△ 中， tan BCBAC AB   ， 3 tan30 BCAB BC    ， 20 20 3 3( 20)x x     ， 解得： 10 10 3x   ，  30 10 3BC CG BG     米， 答：建筑物 BC的高度为  30 10 3 米； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （3）解：设小明上坡时的车速为 m/sy ，小明在平地上的车速为 2 m/sy ， 由题意得， 30 10 3 1 20 40( ) 2 22( 3 3) y y     ， 解得 5y  ， 经检验， 5y  是方程的解，且符合题意， ∴小明上坡时的车速为5m/s． 8．(1)184 (2)80 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过角度问题测量物体高度，熟练掌握锐角三角函数 的定义是解答本题的关键．（1）延长CD，交 AB于点 F， 60CF x  ，在Rt ADF 中， 45ADF  ， AF x ，在Rt ACF△ 中， 30ACE  ，再根据 AB AF BF  即可求解；（2）延长QG交 AB于点M ， 由题意可知QM AB ， 184AB  ，根据题意可得 60A  ， 30B  ，设 AM y ，则 184BM y  ， 根据锐角三角函数求出 y值，从而求出QM 的值． 【详解】（1）解：如图所示，延长CD，交 AB于点 F， 由题意得： 132CD MN  ，DF BN ， 90AFD  ， 1.6CM DN BF   ， 设DF x ，则 132CF x  ， 在Rt ADF 中， 45ADF  ， AF x  ， 在Rt ACF△ 中， 30ACE  ， tan 30 0.58 132 AF x CF x      ， 182x  ， 经检验 182x  是原方程的解且符合题意， 182 1.6 184AB AF BF      米 桥塔的高度约为184米 （2）解：延长QG交 AB于点M ，由题意可知QM AB ， 184AB  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 30AQG   ， 60BQG  ， 60A  ， 30B  ， 设 AM y ，则 184BM y  ， tan tan 60 1.73QMA AM      ， tan tan30 0.58QMB BM      ， tan 30 0.58 tan 60 184 1.73 AM y BM y       ， 解得： 46.2y  tan 60 46.2 3 80QM AM      故Q处与 AB的水平距离约为80米