第七单元专练篇·09：百分数乘除法应用题·单位“1”转化问题和不变量问题-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第七单元专练篇·09：百分数乘除法应用题· 单位“1”转化问题和不变量问题 1．小光看一本书，第一天看了全书的20%，第二天看了剩下的25%，还剩下120页没有看。那么这本书共有多少页？ 2．仓库里有20吨大米，第一次运走总数的30%，第二次运走剩下的15%，两次共运走多少吨大米？ 3．李奶奶将自己积攒多年的钱分给5个儿子。老大分到总钱数的20%，老二分到老大取走后剩下的25%，老三分到的钱数和老大一样多，老四分到的钱数是老三取走后剩下的50%，结果剩下400元钱分给了老五。这样分配公平吗？ 4．食堂购进一批大米，第一天用去总数的，第二天用去剩下的40%，这时用去的大米比剩下的大米多12袋，食堂共购进大米多少袋？ 5．梅岭镇要修一条红色旅游路，第一天修了全长的25%多50米，第二天修了剩下的40%少20米，这时还剩下890米没有修，这条红色旅游路全长多少米？ 6．某山区为了改变出行难的问题，计划修一条公路。第一周修了这条公路的，第二周修了剩下的25%，还剩240米没修，请问这条公路全长多少米？ 7．修路队计划修一条1400米的公路。第一周修了全长的25%，第二周修了剩下的。第一周和第二周哪一周修得多，多修了多少米？ 8．乐乐三天看完一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了余下的40%，第三天看了27页。这本书一共有多少页？ 9．有一批货物，第一天运走了40%，第二天运走了余下的，第一天比第二天多运走了15吨，这批货物原有多少吨？ 10．“快乐阅读，健康成长”，轩轩坚持每天阅读。有一本书共150页，第一天读了全书的，第二天读了余下的40%，还剩多少页没读？ 11．一本故事书有120页，小明第一天读了全书的，第二天读了余下的25%。第三天应从第几页读起？ 12．小敏坚持每天阅读。有一本书共120页，第一天读了全书的，第二天读了余下的，还剩多少页没读？ 13．一堆沙子，第一天用去了总数的40%多2吨，第二天用去了余下的少1吨，还时还剩15吨，原来这堆沙子有多少吨？ 14．小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了余下的40%，他第三天从第217页看起。这本故事书共有多少页？ 15．王宇看一本名著，第一天看了这本书的20%，第二天看了余下的30%，还有140页没有看完。这本名著共有多少页？ 16．甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的70%，如果从乙仓库调50吨到甲仓库，甲仓库存粮就是乙仓库的80%。甲仓库原来存粮多少吨？（列方程解答） 17．红星汽配厂甲车间的人数是乙车间的30%。如果从乙车间调70人到甲车间，那么两车间人数相等。甲、乙两车间各有多少人？ 18．某工厂有职工128人，男职工人数占全厂总人数的25%，后来调进男职工若干人，这时男职工人数占全厂总人数的40%，后来调进的男职工有多少名？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第七单元专练篇·09：百分数乘除法应用题· 单位“1”转化问题和不变量问题 1．小光看一本书，第一天看了全书的20%，第二天看了剩下的25%，还剩下120页没有看。那么这本书共有多少页？ 【答案】200页 【分析】设这本书共有x页，则第一天看了20％x页，还剩下（x－20％x）页，再把剩下的页数看作单位“1”， 第二天看了剩下的25%，则第二天看了（x－20％x）×25％页，根据等量关系：“总页数＝第一天看的页数＋第二天看的页数＋120页”列方程解答即可。 【详解】解：设这本书共有x页。 x＝20％x＋（x－20％x）×25％＋120 x＝0.2x＋0.25x－0.05x＋120 x－0.4x＝120 0.6x＝120 x＝200 答：这本书共有200页。 2．仓库里有20吨大米，第一次运走总数的30%，第二次运走剩下的15%，两次共运走多少吨大米？ 【答案】8.1吨 【分析】从题意可知：以总数为单位“1”，第一次运走总数的30%，用20×30%＝6吨，即求出了第一次运走的吨数；第一次运走后，剩下总数的1－30%＝70%，用20×（1－30%）＝14吨，即剩下的吨数；以剩下的吨数为单位“1”，用14×15%即可求出第二次运走的吨数；将两次的吨数相加，即可求出两次一共运走的吨数。据此解答。 【详解】20×30%＋20×（1－30%）×15% ＝6＋20×70%×15% ＝6＋2.1 ＝8.1（吨） 答：两次共运走8.1吨大米 3．李奶奶将自己积攒多年的钱分给5个儿子。老大分到总钱数的20%，老二分到老大取走后剩下的25%，老三分到的钱数和老大一样多，老四分到的钱数是老三取走后剩下的50%，结果剩下400元钱分给了老五。这样分配公平吗？ 【答案】公平 【分析】把李奶奶积攒的钱数看作单位“1”，老大占20%，还剩下（1－20%），再用（1－20%）×25%，求出老二分到的钱数占总钱数的百分比；老三占20%；用（1－老大分到的钱数占总钱数的百分比－老二分到的钱数占总钱数的百分比－老三分到的钱数占总钱数的百分比）×40%，求出老四分到的钱数占总钱数的百分比；再用1减去老大分到的钱数占总钱数的百分比－老二分到的钱数占总钱数的百分比－老三分到的钱数占总钱数的百分比－老四分到的钱数占总钱数的百分比，求出老五分到的钱数占总钱数的百分比，再进行比较，如果分到的钱数占总钱数的百分比相等，则分配公平，否则，就不公平，据此解答。 【详解】老大：20% 老二：（1－20%）×25% ＝80%×25% ＝20% 老三：20% 老四： （1－20%－20%－20%）×50% ＝（80%－20%－20%）×50% ＝（60%－20%）×50% ＝40%×50% ＝20% 老五： 1－20%－20%－20%－20% ＝80%－20%－20%－20% ＝60%－20%－20% ＝40%－20% ＝20% 20%＝20%＝20%＝20%＝20%，这样分配公平。 答：这样分配公平。 4．食堂购进一批大米，第一天用去总数的，第二天用去剩下的40%，这时用去的大米比剩下的大米多12袋，食堂共购进大米多少袋？ 【答案】84袋 【分析】先计算出两天共用去占总数的分率，再求出剩下部分占总数的分率，这个分率对应的是12袋，要求总数，12除以对应的分率即可。 【详解】＋（1－）×40% ＝＋×40% ＝＋ ＝ 1－＝ 12÷（－） ＝12÷ ＝12×7 ＝84（袋） 答：食堂共购进大米84袋。 【点睛】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 5．梅岭镇要修一条红色旅游路，第一天修了全长的25%多50米，第二天修了剩下的40%少20米，这时还剩下890米没有修，这条红色旅游路全长多少米？ 【答案】2000米 【分析】首先把第一天修完剩下的看作单位“1”，这时还剩下的（890－20）米占第一天修完剩下的（1－40%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出第一天修完剩下的是多少米，再把这条红色旅游路的全长看作单位“1”，第一天修完剩下的加上50米占这条公路全长的（1－25%），再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】[（890－20）÷（1－40%）＋50]÷（1－25%） ＝[870÷60%＋50]÷75% ＝1500÷75% ＝2000（米） 答：这条红色旅游路全长2000米。 【点睛】解答本题时要注意：首先把第一天修完剩下的部分看作单位“1”，再把这条公路的全长看作单位“1”，再据题中的数量关系列式解答。 6．某山区为了改变出行难的问题，计划修一条公路。第一周修了这条公路的，第二周修了剩下的25%，还剩240米没修，请问这条公路全长多少米？ 【答案】400米 【分析】将公路全长看作单位“1”，第一周修了这条公路的，还剩下全程的，剩下的对应分率×第二周修的对应百分率＝第二周修了全长的对应分率；1－第一周修了全长的对应分率－第二周修了全长的几分之几＝还剩全长的几分之几没有修，剩下没修的长度÷对应分率＝公路全长，据此列式解答。 【详解】 （米） 答：这条公路全长400米。 【点睛】关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率或百分率＝整体数量。 7．修路队计划修一条1400米的公路。第一周修了全长的25%，第二周修了剩下的。第一周和第二周哪一周修得多，多修了多少米？ 【答案】第二周；70米 【分析】先算出第一周修的，再算出剩下的，据此求出第二周修的长度，最后求出第二周多修的长度。 【详解】1400×25%＝350（米） 1400×（1－25%）× ＝1050×0.4 ＝420（米） 420－350＝70（米） 350＜420 答：第二周修得多，多70米。 【点睛】本题考查百分数，解答本题的关键是找准单位“1”。 8．乐乐三天看完一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了余下的40%，第三天看了27页。这本书一共有多少页？ 【答案】60页 【分析】把这本数的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的25%，用1－25%，求出剩下的页数占全书的百分比，再乘40%，求出第二天看的页数占全书的百分比，再用1－第一天看的页数占全书的百分比，减去第二天看的页数占全书的百分比，求出第三天看的页数占全书的百分比，对应的是27页，求单位“1”，用第三天看的页数÷第三天看的页数占全书的百分比，即可解答。 【详解】27÷[1－25%－（1－25%）×40%] ＝27÷[75%－75%×40%] ＝27÷[75%－30%] ＝27÷0.45 ＝60（页） 答：这本书一共有60页。 9．有一批货物，第一天运走了40%，第二天运走了余下的，第一天比第二天多运走了15吨，这批货物原有多少吨？ 【答案】600吨 【分析】把这批货物的总吨数看作单位“1”，已知第一天运走了40%，那么还剩下总吨数的（1－40%）。又知第二天运走了余下的，则把剩下的吨数看作单位“1”，第二天运走了（1－40%）的，求出第二天运走的占总数的百分率，用第一天运走的百分率减去第二天运走的百分率，求出第一天比第二天多运走的占总数的百分率。又因为第一天比第二天多运走了15吨，用15吨除以第一天比第二天多运走的占总数的百分率，即可求出这批货物原有多少吨。 【详解】（1－40%）× ＝60%× ＝37.5% 15÷（40%－37.5%） ＝15÷2.5% ＝600（吨） 答：这批货物原有600吨。 10．“快乐阅读，健康成长”，轩轩坚持每天阅读。有一本书共150页，第一天读了全书的，第二天读了余下的40%，还剩多少页没读？ 【答案】54页 【分析】将总页数看作单位“1”，第一天读了全书的，第一天读完余下总页数的（1－），总页数×第一天读完余下的对应分率＝第一天读完余下的页数；再将第一天读完余下的页数看作单位“1”，第二天读了余下的40%，还剩余下页数的（1－40%），第一天读完余下的页数×第二天读完还剩的对应百分率＝最后剩下的页数，据此列式解答。 【详解】150×（1－） ＝150× ＝90（页） 90×（1－40%） ＝90×0.6 ＝54（页） 答：还剩54页没读。 11．一本故事书有120页，小明第一天读了全书的，第二天读了余下的25%。第三天应从第几页读起？ 【答案】46页 【分析】把故事书的总页数看作单位“1”，已知故事书有120页，小明第一天读了全书的，根据分数乘法的意义，用120×即可求出第一天读的页数，用总页数减去第一天读的页数即可求出第一天余下的页数，再把第一天余下的页数看作单位“1”，已知第二天读了余下的25%，根据分数乘法的意义，用第一天余下的页数×25%即可求出第二天读的页数，最后用第一天读的页数＋第二天读的页数＋1即可求出第三天应从第几页读起。 【详解】120×＝20（页） 120－20＝100（页） 100×25%＝25（页） 20＋25＋1＝46（页） 答：第三天应从第46页读起。 【点睛】本题考查了分数和百分数的应用，明确求一个数的几（百）分之几是多少，用乘法计算。 12．小敏坚持每天阅读。有一本书共120页，第一天读了全书的，第二天读了余下的，还剩多少页没读？ 【答案】45页 【分析】先把这本书的总页数看成单位“1”，依据分数乘法意义，用总页数乘，求出第一天看书页数，再用总页数减去第一天看书页数，求出余下的页数，再把余下的页数看成单位“1”，第二天读完剩下的页数占余下页数的，所以用余下的页数乘即可解答。 【详解】（页 （页 答：还剩45页没读。 【点睛】此题解答的关键在于运用分数乘法的意义来解答：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 13．一堆沙子，第一天用去了总数的40%多2吨，第二天用去了余下的少1吨，还时还剩15吨，原来这堆沙子有多少吨？ 【答案】吨 【分析】先把第一天用后剩下的质量看成单位“1”，最后剩下15吨，如果第二天多用1吨，剩下的质量就是15－1＝14吨，正好用去第一天用后质量的，那么还剩下第一天用后质量的（1－），它对应的数量是14吨，根据分数除法的意义求出第一天用后剩下的质量；再把总质量看成单位“1”，如果第一天少用2吨，那么就会多剩下2吨，由此得出此时第一天用后的质量，它也就是总质量的（1－40%），再根据百分数除法的意义求出原来这堆沙子有多少吨。 【详解】（15－1）÷（1－） ＝14÷ ＝21（吨） （21＋2）÷（1－40%） ＝23÷60% ＝（吨） 答：原来这堆沙子有吨。 【点睛】解决本题要逆着事情发展的顺序，从结果出发，找出两个不同的单位“1”，并找出分率与数量的对应关系，再根据分数除法的意义求解。 14．小明看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了余下的40%，他第三天从第217页看起。这本故事书共有多少页？ 【答案】360页 【分析】把全书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的，还剩下（1－）没看，第二天看了余下的40%，说明是看了（1－）的40%，两天总共看了全书的＋（1－）×40%，第三天从第217页看起，说明前两天总共看了216页，除以两天看了的分率之和，即可求出这本故事书的总页数。 【详解】根据分析得， ＝ ＝ ＝ ＝360（页） 答：这本故事书共有360页。 【点睛】此题的解题关键是确定单位“1”的不同，再根据“量÷对应的分率”，求出单位“1”的量，也就是这本故事书的总页数。 15．王宇看一本名著，第一天看了这本书的20%，第二天看了余下的30%，还有140页没有看完。这本名著共有多少页？ 【答案】250页 【分析】这本名著的总页数看作单位“1”，第一天看了这本书的20%，余下1－20%，第二天看了余下的30%，第二天看了总页数的（1－20%）×30%，求出还余下总页数的百分之几，用没有看的页数÷对应百分率即可。 【详解】140÷[1－20%－（1－20%）×30%] ＝140÷（1－0.2－0.8×0.3） ＝140÷（0.8－0.24） ＝140÷0.56 ＝250（页） 答：这本名著共有250页。 【点睛】本题考查了百分数复合应用题，单位“1”有一次转化，关键是求出第二天看了总页数的百分之几，进而求出剩下总页数的百分之几。 16．甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的70%，如果从乙仓库调50吨到甲仓库，甲仓库存粮就是乙仓库的80%。甲仓库原来存粮多少吨？（列方程解答） 【答案】630吨 【分析】根据“甲仓库存粮是乙仓库的70%”，设乙仓库原来存粮吨，则甲仓库原来存粮70%吨； 根据“如果从乙仓库调50吨到甲仓库，甲仓库存粮就是乙仓库的80%”可得出等量关系：（乙仓库原来的存粮吨数－50）×80%＝甲仓库原来的存粮＋50，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙仓库原来存粮吨，则甲仓库原来存粮70%吨。 （－50）×80%＝70%＋50 （－50）×0.8＝0.7＋50 0.8－50×0.8＝0.7＋50 0.8－40＝0.7＋50 0.8－0.7＝50＋40 0.1＝90 ＝90÷0.1 ＝900 甲仓库： 900×70% ＝900×0.7 ＝630（吨） 答：甲仓库原来存粮630吨。 17．红星汽配厂甲车间的人数是乙车间的30%。如果从乙车间调70人到甲车间，那么两车间人数相等。甲、乙两车间各有多少人？ 【答案】甲车间：60人；乙车间：200人 【分析】把乙车间的人数看作单位“1”，设乙车间有x人，则甲车间有30％x人，根据等量关系：“乙车间的人数－70＝甲车间的人数＋70”列方程解答即可。 【详解】解：设乙车间有x人。 x－70＝30%x＋70 x－30%x＝70＋70 0.7x＝140 x＝200 200×30%＝60（人） 答：甲车间有60人，乙车间有200人。 18．某工厂有职工128人，男职工人数占全厂总人数的25%，后来调进男职工若干人，这时男职工人数占全厂总人数的40%，后来调进的男职工有多少名？ 【答案】32名 【分析】把原来全厂的总人数看作单位“1”， 男职工人数占全厂总人数的25%，所以女职工占全厂总人数的（1－25%），根据求一个数的百分之几是多少，用乘法，求出原来女职工的人数；后来调进男职工若干人，但女职工的人数不变，把现在全厂的总人数看作单位“1”，用单位“1”减去男职工人数占全厂总人数的40%，求出现在女职工占全厂总人数的（1－40%），已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法，即用女职工的人数除以（1－40%），求出现在全厂的总人数，减去原来全厂的总人数，即是后来调进的男职工的人数。 【详解】128×（1－25%）÷（1－40%）－128 ＝128×75%÷60%－128 ＝96÷0.6－128 ＝160－128 ＝32（名）     答：后来调进的男职工有32名。 【点睛】此题的解题关键是抓住前后女职工的人数不变的原则，确定前后单位“1”的不同，利用百分数相关应用题的处理方法，解决实际的问题。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 4 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第七单元专练篇·09：百分数乘除法应用题· 单位“1”转化问题和不变量问题 1．小光看一本书，第一天看了全书的 20%，第二天看了剩下的 25%，还剩下 120 页没有看。那么这本书共有多少页？ 2．仓库里有 20吨大米，第一次运走总数的 30%，第二次运走剩下的 15%，两 次共运走多少吨大米？ 3．李奶奶将自己积攒多年的钱分给 5个儿子。老大分到总钱数的 20%，老二分 到老大取走后剩下的 25%，老三分到的钱数和老大一样多，老四分到的钱数是老 三取走后剩下的 50%，结果剩下 400元钱分给了老五。这样分配公平吗？ 4．食堂购进一批大米，第一天用去总数的 27，第二天用去剩下的 40%，这时用 去的大米比剩下的大米多 12袋，食堂共购进大米多少袋？ 5．梅岭镇要修一条红色旅游路，第一天修了全长的 25%多 50米，第二天修了剩 下的 40%少 20米，这时还剩下 890米没有修，这条红色旅游路全长多少米？ 2 / 4 6．某山区为了改变出行难的问题，计划修一条公路。第一周修了这条公路的 15， 第二周修了剩下的 25%，还剩 240米没修，请问这条公路全长多少米？ 7．修路队计划修一条 1400米的公路。第一周修了全长的 25%，第二周修了剩下 的 2 5 。第一周和第二周哪一周修得多，多修了多少米？ 8．乐乐三天看完一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了余下的 40%，第 三天看了 27页。这本书一共有多少页？ 9．有一批货物，第一天运走了 40%，第二天运走了余下的 5 8 ，第一天比第二天 多运走了 15吨，这批货物原有多少吨？ 10．“快乐阅读，健康成长”，轩轩坚持每天阅读。有一本书共 150页，第一天读 了全书的 2 5 ，第二天读了余下的 40%，还剩多少页没读？ 11．一本故事书有 120页，小明第一天读了全书的 1 6 ，第二天读了余下的 25%。 第三天应从第几页读起？ 3 / 4 12．小敏坚持每天阅读。有一本书共 120页，第一天读了全书的 38，第二天读了 余下的40%，还剩多少页没读？ 13．一堆沙子，第一天用去了总数的 40%多 2吨，第二天用去了余下的 13少 1吨， 还时还剩 15吨，原来这堆沙子有多少吨？ 14．小明看一本故事书，第一天看了全书的 13，第二天看了余下的 40%，他第三 天从第 217页看起。这本故事书共有多少页？ 15．王宇看一本名著，第一天看了这本书的 20%，第二天看了余下的 30%，还 有 140页没有看完。这本名著共有多少页？ 16．甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的 70%，如果从乙仓库调 50吨 到甲仓库，甲仓库存粮就是乙仓库的 80%。甲仓库原来存粮多少吨？（列方程解 答） 17．红星汽配厂甲车间的人数是乙车间的 30%。如果从乙车间调 70人到甲车间， 那么两车间人数相等。甲、乙两车间各有多少人？ 4 / 4 18．某工厂有职工 128人，男职工人数占全厂总人数的 25%，后来调进男职工若 干人，这时男职工人数占全厂总人数的 40%，后来调进的男职工有多少名？