专题03 一次方程（组）（考题猜想，易错必刷54题13种题型）（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材湘教版

专题03 一次方程（组）（易错必刷54题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 方程及一元一次方程定义 · 等式的性质 · 解一元一次方程 · 一元一次方程的应用 · 二元一次方程定义 · 二元一次方程组的解法 · 二元一次方程组的应用 · 三元一次方程组的解法 · 三元一次方程组的应用 · 方程的同解问题 · 方程的错解问题 · 含绝对值的一次方程 · 新定义一次方程问题 一．方程及一元一次方程定义（共3小题） 1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 二．等式的性质（共4小题） 4．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24七年级上·云南红河·期末）若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 则 7．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三．解一元一次方程（共4小题） 8．（23-24七年级上·全国·期末）若是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 10．（23-24七年级上·北京西城·期末）解方程： (1)； (2)． 11．（23-24七年级上·山东济宁·期末）解方程： (1) (2) 四．一元一次方程的应用（共7小题） 12．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为，那么该“十”字型中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 13．（23-24七年级上·全国·期末）若的值与的值互为相反数，则m的值为 ． 14．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 15．（23-24七年级上·河南商丘·期末）小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满 150 元，减24元；消费满300元，减48 元……以此类推 B套餐 1份盖饭杯饮料 28 C套餐 1份盖饭杯饮料份小菜 32 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次点好． 已知他们点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜． (1)他们共点了 份B套餐；（用含 x的代数式表示） (2)若他们点餐优惠后共花费264元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 16．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），也即在的方格中填写了9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．请你解答下列问题： (1)在图2中空格处填上合适的数，使它构成一个三阶幻方； (2)计算图3方格中m，n的值为多少时，它能构成一个三阶幻方． 17．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 18．（23-24七年级上·广西百色·期末）某校七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学体育课使用，共买了2个篮球和3个排球，花360元，并且每个排球比篮球便宜30元． (1)求篮球和排球的单价； (2)商店里搞活动，有两种套餐， ①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折； ②满减活动：999减100，1999减200； 两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？ 五．二元一次方程定义（共4小题） 19．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列方程属于二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列各式中属于二元一次方程的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．（23-24七年级下·河南许昌·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 22．（23-24七年级下·云南红河·期末）方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 六．二元一次方程组的解法（共4小题） 23．（23-24七年级下·云南红河·期末）解下列方程（组）： (1) (2) 24．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）解方程组： (1)； (2)． 25．（23-24八年级上·四川达州·期末）解方程组： (1)； (2)． 26．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）解二元一次方程组：． 七．二元一次方程组的应用（共5小题） 27．（23-24七年级下·江苏常州·期末）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为尺，木长为尺，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为 （利润率利润成本）． 29．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元） 2 零售价（元） (1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？ (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？ 30．（23-24八年级上·四川达州·期末）某乐园的门票价格规定如下表所列．某校初一（1）、（2）两个班共104人去游长风乐园其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱．问两班各有多少名学生？ 购票人数 1~50人 51~100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 31．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）6月份，甲、乙两个工厂用水量共为195吨．为了积极响应上级节约用水的号召，7月份，甲工厂用水量比6月份减少了，乙工厂用水量比6月份减少了，两个工厂7月份用水量共为162吨，试求甲、乙两工厂6月份的用水量分别为多少吨？（注：列二元一次方程组解答） 8． 三元一次方程组的解法（共2小题） 32．（22-23六年级下·上海静安·期末）解方程组：． 33．（23-24六年级下·上海闵行·期中）解方程组. 九．三元一次方程组的应用（共6小题） 34．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（    ）元 A．31 B．32 C．34 D．36 35．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了两本书共花费元，丽丽买了本书共花费，则B书比C书贵 元；若又知两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则三本书的总价钱为 ． 36．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有 种． 37．（23-24七年级下·河北保定·期末）先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足，①，，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 39．（23-24八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 一十．方程的同解问题（共3小题） 40．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 41．（23-24七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 42．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知方程组和方程组的解相同求、的值． 一十一．方程的错解问题（共4小题） 43．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）小刚在解方程组时，本应解出，由于看错了系数，而得到的解为那么的值为 ． 44．（23-24七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 45．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 46．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 一十二．含绝对值的一次方程（共4小题） 47．（23-24七年级上·山东聊城·期末）若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 48．（23-24七年级下·浙江金华·期末）方程的整数解共有（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．2022 49．（23-24七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为 ． 50．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）已知数轴上表示的点到原点的距离为10，表示的点在原点的左侧，求的值． 一十三．新定义一次方程问题（共4小题） 51．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）有两个三位数和，若m，n满足为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”， ，，若p，q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的数字之和能被12整除，则 52．（23-24七年级下·重庆·期中）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 53．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 54．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程．请根据上述规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． $$专题03 一次方程（组）（易错必刷54题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 方程及一元一次方程定义 · 等式的性质 · 解一元一次方程 · 一元一次方程的应用 · 二元一次方程定义 · 二元一次方程组的解法 · 二元一次方程组的应用 · 三元一次方程组的解法 · 三元一次方程组的应用 · 方程的同解问题 · 方程的错解问题 · 含绝对值的一次方程 · 新定义一次方程问题 一．方程及一元一次方程定义（共3小题） 1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④，函数2个未知数，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程． 一元一次方程有：②③⑤共3个． 故选：B 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 【详解】解：∵若关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：0． 二．等式的性质（共4小题） 4．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的基本性质判断即可． 【详解】解：A．若，则，故A不符合题意； B．若，则，故B不符合题意； C．若，则，故C符合题意； D．若，且，则，故D不符合题意； 故选：C 5．（23-24七年级上·云南红河·期末）若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：A、由等式性质1可知，故该选项正确，不符合题意； B、由等式性质2可知当时，，故该选项不正确，符合题意； C、由等式性质1可知，故该选项正确，不符合题意； D、由等式性质2可知，故该选项正确，不符合题意； 故选B． 6．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式的基本性质逐项验证即可得到答案，熟练掌握等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、若，则，选项中的变形错误，不符合题意； B、若，则，选项中的变形错误，不符合题意； C、若，则，选项中的变形错误，不符合题意； D、若， 则，选项中的变形正确，符合题意； 故选：D． 7．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则或，原说法错误，不符合题意； B、若，则，原说法错误，不符合题意； C、若，因为，则，原说法正确，符合题意； D、若，且，则，原说法错误，不符合题意； 故选C． 三．解一元一次方程（共4小题） 8．（23-24七年级上·全国·期末）若是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，求解方程即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得：，即， 解得：， 故选：A． 9．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为，得 ； （2）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 10．（23-24七年级上·北京西城·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 11．（23-24七年级上·山东济宁·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去括号，移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】（1）解： ∴， 解得：． （2）解：， ∴， ∴； 四．一元一次方程的应用（共7小题） 12．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为，那么该“十”字型中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算．设中心数为x，根据5个数之和等于115，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设中心数为x，根据题意得： ， 解得：， ∴该“十”字型中正中间的号数为23， 故选：D． 13．（23-24七年级上·全国·期末）若的值与的值互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查相反数的定义及一元一次方程的应用．先根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，然后解关于m的一元一次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：，即， 解得：， 故答案为：． 14．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）48；80；亏损；（2）降价前共售出羽绒服150件 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价分别求出两件衣服的原本售价即可得到答案； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价） 销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）元，元， ∴盈利的衣服的原本售价为48元，亏损的衣服的原本售价为80元， ∵元， ∴卖这两件衣服总的是亏损了8元， 故答案为：48；80；亏损； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件． 15．（23-24七年级上·河南商丘·期末）小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满 150 元，减24元；消费满300元，减48 元……以此类推 B套餐 1份盖饭杯饮料 28 C套餐 1份盖饭杯饮料份小菜 32 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次点好． 已知他们点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜． (1)他们共点了 份B套餐；（用含 x的代数式表示） (2)若他们点餐优惠后共花费264元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 【答案】(1) (2)他们点了5份A套餐，1份B套餐，5份C套餐，或者他们点了2份A套餐，4份B套餐，5份C套餐 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，分两种情况，分别列出一元一次方程，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：他们共点了份套餐； （2）解：根据题意得：他们点了份套餐，份套餐，5份套餐， 当消费满150元但不满300元时，， 解得：， ∴，，    ∴他们点了5份套餐，1份套餐，5份套餐       当消费满300元时，， 解得：， ∴，， ∴他们点了2份套餐，4份套餐，5份套餐，    所以他们点了5份套餐，1份套餐，5份套餐，或者他们点了2份套餐，4份套餐，5份套餐． 16．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），也即在的方格中填写了9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．请你解答下列问题： (1)在图2中空格处填上合适的数，使它构成一个三阶幻方； (2)计算图3方格中m，n的值为多少时，它能构成一个三阶幻方． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系． （1）由题意可得图三个数的和为，从而可求解； （2）由题意可得，从而可求得的值，，从而可求得的值． 【详解】（1）解：由题意得：图中三个数的和为， ∴第一行中间的数为：， 第二行第3个数为：， 第二行第1个数为：， 第三行第1个数为：． 如图， （2）由题意得：， 解得：，． 17．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调入6名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读㯵题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得， ∴调入6名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 18．（23-24七年级上·广西百色·期末）某校七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学体育课使用，共买了2个篮球和3个排球，花360元，并且每个排球比篮球便宜30元． (1)求篮球和排球的单价； (2)商店里搞活动，有两种套餐， ①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折； ②满减活动：999减100，1999减200； 两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？ 【答案】(1)篮球的单价是90元，排球的单价是60元 (2)按照套装①购买更划算，且可多得2个排球 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设篮球的单价为元，则排球的单价为元，根据买了2个篮球和3个排球花360元，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两种套装需要的花费，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，则排球的单价为元，根据题意得： ， 解得：， （元）， 答：篮球的单价是90元，排球的单价是60元； （2）解：按照套装①打折，买15个篮球和15个排球需付款： （元） 单买15个篮球和13个排球需付款： （元）， 按照套装②，买15个篮球和13个排球实际付款： （元）， ∵， ∴按照套装①购买更划算，且可多得2个排球． 五．二元一次方程定义（共4小题） 19．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列方程属于二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、只有一个未知数，故不是二元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，故是二元一次方程，符合题意； D、含有两个未知数，但未知数项的次数是2，故不是二元一次方程，不符合题意． 故选：C． 20．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列各式中属于二元一次方程的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．根据此概念进行判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的概念知，①③两个方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④中项的次数是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤中左边不是整式，故不是二元一次方程； 综上所述，是二元一次方程的有两个； 故选：A． 21．（23-24七年级下·河南许昌·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故选A． 22．（23-24七年级下·云南红河·期末）方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，则，再代值计算即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 六．二元一次方程组的解法（共4小题） 23．（23-24七年级下·云南红河·期末）解下列方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程的解法． （1）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：， 得： ， ， ， ， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为． 24．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 应用加减消元法，求出两个方程组的解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， 方程组的解为； （2）， ①×2，得：③， ②③，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， 方程组的解为． 25．（23-24八年级上·四川达州·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求； （2）利用加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： ，得， 将代入①得，，解得． ∴原方程组的解是． （2） ，得，解得， 再代入②得，解得 ∴原方程组的解是 26．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，解得， ∴方程组的解为． 七．二元一次方程组的应用（共5小题） 27．（23-24七年级下·江苏常州·期末）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为尺，木长为尺，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳多出4.5尺； ∴； ∵将绳对折再量木，绳缺少1尺， ∴， ∴根据题意可得方程组为， 故选：A． 28．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为 （利润率利润成本）． 【答案】 【分析】本题考查了含参的二元一次方程的应用， 设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元，根据“当售出的甲产品的件数与乙产品的件数比为时，该超市出售这两种产品的总利润率是”列出二元一次方程可求出，然后再根据“出售这两种产品获得的总利润率为”列二元一次方程求解即可，能够根据题意列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元， ∵当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为， ∴可设此时售出的甲产品的件数与乙产品的件数分别为，， 由题意得：， 整理得：， 设售出的甲产品件数与乙产品件数分别为a，b时，获得的总利润率为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∴即售出的甲产品件数与乙产品件数的比应为：， 故答案为：． 29．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元） 2 零售价（元） (1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？ (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？ 【答案】(1)此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克； (2)卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． （1）设他购进黄瓜千克，茄子千克，根据黄瓜的批发价是元，茄子批发价是2元，共花了180元，列出方程，求出的值，即可求出答案； （2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 【详解】（1）解：设当天批发了黄瓜千克，茄子千克．根据题意， 得， 解得． 答：此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克； （2）解：（元）． 卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元． 30．（23-24八年级上·四川达州·期末）某乐园的门票价格规定如下表所列．某校初一（1）、（2）两个班共104人去游长风乐园其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱．问两班各有多少名学生？ 购票人数 1~50人 51~100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 【答案】初一（1）班48人，（2）班56人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设初一（1）班有x人，（2）班有y人，根据初一（1）班人数加（2）班人数等于两个班的总人数，如果是两个班都以班为单位分别购票，结合表格可知（1）班人数较少，不到50人，所以每人门票价格为13元，（2）班人数较多，所以每人门票价格为11人，结合题意列方程组，解之即可； 【详解】解：设初一（1）班有x人，（2）班有y人， 由题意可得：， 解得， ∴初一（1）班48人，（2）班56人． 31．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）6月份，甲、乙两个工厂用水量共为195吨．为了积极响应上级节约用水的号召，7月份，甲工厂用水量比6月份减少了，乙工厂用水量比6月份减少了，两个工厂7月份用水量共为162吨，试求甲、乙两工厂6月份的用水量分别为多少吨？（注：列二元一次方程组解答） 【答案】甲工厂6月份的用水量是75吨，乙工厂6月份的用水量是120吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲工厂6月份的用水量是吨，乙工厂6月份的用水量是吨，根据题意列二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设甲工厂6月份的用水量是吨，乙工厂6月份的用水量是吨， 依题意，得， 解得． 答：甲工厂6月份的用水量是75吨，乙工厂6月份的用水量是120吨． 8． 三元一次方程组的解法（共2小题） 32．（22-23六年级下·上海静安·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟记方程组的解法是解题关键．先将方程组的第一个方程与第二个方程相加、第二个方程与第三个方程相加可得一个含有x、z的二元一次方程组，再利用加减消元法可求出x、z的值，然后代入第三方程可求出y的值，从而可得方程组的解． 【详解】解： ①②得：， ②③得：， 联立④⑤得， ④⑤得： ，解得：， 将代入④得：，解得：， 将，代入③得：，解得：， 方程组的解为： ． 33．（23-24六年级下·上海闵行·期中）解方程组. 【答案】 【分析】首先将方程组中的①-②消去得, 然后可以通过②和③消去，最后转化为二元一次方程组，解这个二元一次方程组即可得到x和y的值，把和的值代入①中即可算出的值. 【详解】 得,④, 得, ⑤， 得, , 即: ， 得, , , 得, , , 把代入①得, , , ∴原方程组的解为 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握消元法解三元一次方程组是解题的关键. 九．三元一次方程组的应用（共6小题） 34．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（    ）元 A．31 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】此题主要考查了方程组的应用．首先假设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．根据题意列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果． 【详解】解：设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元． 则由题意得：， 由②①得④ 由②①得⑤ 由⑤④③得 故选：C． 35．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了两本书共花费元，丽丽买了本书共花费，则B书比C书贵 元；若又知两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则三本书的总价钱为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数，正确解读题意，找出等量关系列出方程组．设A、B、C书的单钱分别是元，根据题意可得： ；可求问题一；得：；将③代入④可得，据此即可求解问题二； 【详解】解：设A、B、C书的单钱分别是元，根据题意可得： ∴得： ∴B书比C书贵元； 得：； 将③代入④得：， 解得：； ∴ ∴三本书的总价钱为元， 故答案为：①② 36．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有 种． 【答案】2 【分析】设租住二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据房间一共5间，人数一共15人列出方程组求解即可． 【详解】解：设租住二人间x间、三人间y间、四人间z间， 由题意得， 得：，解得， 得：，解得， ∵x、y、z都是正整数， ∴当时，，， 当时，，， 当时，，，此种方案不符合题意； ∴一共有2种租房方案， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了三元一次不定方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是正整数求解，注意分类讨论思想的应用． 37．（23-24七年级下·河北保定·期末）先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足，①，，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 【答案】(1)；1 (2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 (3) 【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，再乘5即可求出结论； （3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：． 故答案为：；1； （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意，得：， 由可得， ； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）解：依题意，得：， 由可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 38．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 【答案】任务一：4，1；任务二：最多能制作成600把学生椅；任务三：需要购买该型号板材块，裁切方案为：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【分析】任务一：根据板材长为列式计算即可； 任务二：由板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅，可知方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套，此时共用11块板材，能制作成60把学生椅，然后可得答案； 任务三：先计算出还需要多少椅座和椅背，再计算一共需要的总长度，除以300即为需要该型号板材的数量， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数），由题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得：（个），（个）， 故方法二：裁切椅背8个和椅座4个；方法三：裁切椅背1个和椅座8个； 故答案为：4，1； 任务二：因为方法二可以裁切出椅背8个和椅座4个，方法三可以裁切出椅背1个和椅座8个， 所以方法二和方法三各裁一块时，能得到椅背9个和椅座12个， 又因为当板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅， 所以方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套， 此时共用11块板材，裁出60个椅背和60个椅座，即能制作成60把学生椅， 所以若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成600把学生椅； 任务三：由题意得：需裁出个椅座，个椅背， ∵（块）， ∴恰好全部用完时，需要购买该型号板材块， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数）， 由题意得：， 整理可得：， 当时，则，， 答：需要购买该型号板材块，裁切方案可以是：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和三元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 39．（23-24八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆 (3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元 【分析】（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得： 3，4，5． 解得：，，． 所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）；③（元）． 对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 一十．方程的同解问题（共3小题） 40．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得，， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（23-24七年级下·河南许昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组： （1）将两个不含参数的方程组成新的方程组，解方程组即可； （2）根据（1）中的解求出参数的值，再代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：由题意：方程组的解与两个方程组的解也相同， 解，得：； ∴相同的解为：． （2）解：由题意，可知：方程组的解也为， ∴，解得：， ∴． 42．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知方程组和方程组的解相同求、的值． 【答案】 【分析】求出方程组的解为，再根据二元一次方程组解的定义得出求解即可． 【详解】解：方程组的解为， 由于方程组和方程组的解相同， 所以， 解得 ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提． 一十一．方程的错解问题（共4小题） 43．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）小刚在解方程组时，本应解出，由于看错了系数，而得到的解为那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，根据方程的解的定义，把正确的解代入两方程 ，可得一个关于、的方程，并能求出的值，又因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把解为再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用． 【详解】解：由题意得， ，， 解得：，，， ∴， 故答案为：． 44．（23-24七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【答案】、、、的值是：4，5，，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值． 【详解】解：把代入得： ， ， 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ， ， 、、、的值是：4，5，，． 45．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1 (2) 【分析】 此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可； （2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1） 解：将，代入方程组得 ， 解得：， 将，代入方程组得 ， 解得：， ∴甲把错看成了1；乙把错看成了1； （2） 解：根据（1）得正确的，， 则方程组为， 解得：． 46．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，由题意可知是的解，是的解，分别代入，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：由题意是的解， ∴， 解得：， 又是的解， ∴， 解得：， ． 一十二．含绝对值的一次方程（共4小题） 47．（23-24七年级上·山东聊城·期末）若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 【答案】D 【分析】本题考查解绝对值方程，由绝对值的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或． 故选：D 48．（23-24七年级下·浙江金华·期末）方程的整数解共有（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．2022 【答案】C 【详解】根据绝对值的意义，方程表示整数到与的距离和等于到与的距离的和，进而得出为与2022之间的整数，据此即可求解． 【分析】解：方程的整数解是1011至2022之间的所有整数，共有1012个． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点的距离，理解绝对值的意义是解题的关键． 49．（23-24七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意即可.根据题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：． ∴或 故答案为：3或． 50．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）已知数轴上表示的点到原点的距离为10，表示的点在原点的左侧，求的值． 【答案】2 【分析】根据绝对值的意义以及数轴上点的特性即可求出答案． 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离为10， ， 或， 或． 当时，在原点左侧； 当时，在原点右侧． 表示的点在原点的左侧， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴上的点，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义． 一十三．新定义一次方程问题（共4小题） 51．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）有两个三位数和，若m，n满足为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”， ，，若p，q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的数字之和能被12整除，则 【答案】467或687 【分析】本题考查不定方程整数解的求法，运用了分类讨论的思想，根据位值原则正确改写p和q是本题解题的关键． 先根据q的数字之和能被12整除，求出y和z的值，然后将p和q根据位值原则改写，根据“搭档数”的定义列出代数式，根据不定方程整数解的求法进行求解即可． 【详解】解：根据q的各个数位上的数字之和能被12整除， 可得：能被12整除， ， 即， 或4， 当时，， 当时，， ， 当时，， 根据“搭档数”定义可得： 为整数， 或0， 当时， 根据“搭档数”定义可得： 为整数， 或0， 综上所述，或0， 或687． 故答案为：467或687． 52．（23-24七年级下·重庆·期中）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 【答案】17 【分析】此题考查了解三元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新运算法则列出方程组，用含b的式子表示出a和c的值，再根据新运算法则计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， ②﹣①得：，即， ②+①得：，即， 则原式． 故答案为：17． 53．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 54．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程．请根据上述规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【答案】(1)是差解方程 (2) 【分析】本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先解方程：，再利用差解方程的定义进行验证即可得到答案； （2）先解方程：，再由差解方程的定义可得：，再解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴是差解方程； （2）解：由， ， ∵关于x的一元一次方程是差解方程， ∴， ， ， ， 解得：． $$