3.2 空间向量基本定理（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.2 空间向量基本定理 题型1：空间向量的共面定理 1．向量共面定理 如果两个非零向量， ，那么向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使得 ，这就是说，向量可以用两个不共线的向量，线性表示. 2．空间的任意三个向量，，，它们一定是( ) A．共线向量      B．共面向量      C．不共面向量      D．既不共线也不共面向量 3．已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量：①，，；②，，；③，，.其中不共面的是 （填序号）. 4．在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 5．是空间四点，有以下条件： ①；    ②； ③；    ④， 能使四点一定共面的条件是 题型2：根据空间向量的共面定理求参数 6．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 7．若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 8．已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 题型3：空间向量基本定理的概念辨析 9．空间向量基本定理 （1）定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . （2）基底：如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 ，都叫作 .. 10．若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是 ．（填序号） ①，，；        ②，，； ③，，；            ④，，． 11．已知是空间五点，且任何三点不共线，若与均不能构成空间的一个基底，则有下列结论: ①不能构成空间的一个基底；   ②不能构成空间的一个基底； ③不能构成空间的一个基底；  ④能构成空间的一个基底． 其中正确的有 个． 12．判断 （1）空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( ) （2）若{}为空间的一组基底，则全不是零向量.( ) （3）如果向量与任何向量都不能构成空间的一组基底，则一定有与共线.( ) （4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底.( ) 题型4：表示空间向量 13．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 14．已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 15．在空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则 . 16．如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）    17．如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设，，，用向量，，表示向量为 .    18．在平行六面体中，设，则 .（用表示） 19．如图，空间四边形OABC中，，，，点M、N分别是OA、BC的中点，则 .（用、、的线性组合表示） 20．如图，已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，，则向量 .（用，，表示） 题型5：根据空间向量基本定理求参数 21．已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为 ． 22．如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 23．在正方体中，取为基，若点为平面的中心，且，则 ． 24．已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 题型6：空间向量基本定理，共线、共面等结合求参数 25．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 26．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 27．已知是空间的一个基底，若，若，则 . 28．已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 ． 29．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 30．在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 题型7：空间向量基本定理的应用 31．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则 . 32．在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 33．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则 . 34．如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 35．如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为 ． 36．已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 题型8：解答题 37．已知是空间的一个基底，且，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 38．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)若、、三点共线，求实数的取值． 39．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 40．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)若，求的值. 41．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 一、填空题 1．在正四棱锥中，若，，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥与四棱锥的体积比为 ． 2．点是正四面体的中心，.若，其中，则动点扫过的区域的体积为 . 二、单选题 3．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则 =（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 三、解答题 5．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设．若，求： (1)试用向量表示，并求的值； (2)求． 6．在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 空间向量基本定理 题型1：空间向量的共面定理 1．向量共面定理 如果两个非零向量， ，那么向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使得 ，这就是说，向量可以用两个不共线的向量，线性表示. 【答案】 不共线 【分析】略 【解析】略 2．空间的任意三个向量，，，它们一定是( ) A．共线向量      B．共面向量      C．不共面向量      D．既不共线也不共面向量 【答案】B 【解析】由向量可以用向量，表示，所以三个向量，，是共面向量 故选：B 3．已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量：①，，；②，，；③，，.其中不共面的是 （填序号）. 【答案】①③/③① 【分析】利用空间共面向量定理判断即可 【解析】解：对于①，因为是空间三个不共面的向量，且，所以不共面，所以①符合题意； 对于②，因为，所以是共面向量，所以②不符合题意；、 对于③，若是共面向量，则存在实数，使，即，因为是空间三个不共面的向量，所以，矛盾，所以不共面，所以③符合题， 故答案为：①③ 4．在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【解析】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 5．是空间四点，有以下条件： ①；    ②； ③；    ④， 能使四点一定共面的条件是 【答案】④ 【分析】利用空间向量共面定理即可判断. 【解析】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件. 故答案为：④ 【点睛】本题考查空间向量共面定理，属于基础题. 题型2：根据空间向量的共面定理求参数 6．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【解析】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 7．若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【解析】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 8．已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由三点共面得到系数之和为，从而解出的值. 【解析】因为，动点在所在平面内运动，所以，解得． 故选：B． 题型3：空间向量基本定理的概念辨析 9．空间向量基本定理 （1）定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . （2）基底：如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 ，都叫作 .. 【答案】 不共面 基底 基向量 【解析】略 10．若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是 ．（填序号） ①，，；        ②，，； ③，，；            ④，，． 【答案】③ 【分析】根据空间向量基本定理判断可得； 【解析】解：由空间向量基本定理得： 对于①，，所以，，三个向量共面； 对于②，，所以，，三个向量共面； 对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线， 且与 、共面，与、共面，又、、三个向量不共面， 所以，，不共面，故，，可以作为一组基底； 对于④，，所以，，三个向量共面， 故答案为：③． 11．已知是空间五点，且任何三点不共线，若与均不能构成空间的一个基底，则有下列结论: ①不能构成空间的一个基底；   ②不能构成空间的一个基底； ③不能构成空间的一个基底；  ④能构成空间的一个基底． 其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】先确定给定的五个点共面，再利用空间向量的基底的意义即可判断①②③④作答. 【解析】是空间五点，因不能构成空间的一个基底，则点A，B，C，D共面，而点A，B，C不共线， 即点D在点A，B，C确定的平面内，因不能构成空间的一个基底，同理，点E在点A，B，C确定的平面内， 于是得空间五点共面，从而得五点中每两点确定的所有向量都共面，因此，①②③正确，④错误， 所以正确的有3个. 故答案为：3 12．判断 （1）空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( ) （2）若{}为空间的一组基底，则全不是零向量.( ) （3）如果向量与任何向量都不能构成空间的一组基底，则一定有与共线.( ) （4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基底.( ) 【答案】 × √ √ × 【解析】根据空间任何一个向量都可用三个不共面的向量表示，判断(1)错误； 根据空间向量的基底定义，判断(2)正确； 根据空间向量基底的定义，判断(3)正确； 根据空间向量一组基底的定义，判断(4)错误. 【解析】对于(1), 空间任何一个向量都可用三个不共面的向量表示,(1)中忽略了三个基底不共面的限制条件,错误; 对于(2), 若{}为空间的一组基底，则互不共面,即全不是零向量,正确; 对于(3), 向量与任何向量都不能构成空间的一组基底，则一定有与共线,正确; 对于(4), 任何三个不共面的向量都可构成空间的一组基底,三个向量不共线时也可能是共面向量,错误. 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了空间向量的基底与应用问题，考查学生逻辑推理能力,是基础题． 题型4：表示空间向量 13．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底向量的定义以及向量共面的判定定理逐项分析判断即可. 【解析】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量， 对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误； 对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误； 对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误； 对于D：假设，，共面， 则， 可得，方程组无解， 可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确； 故选：D. 14．已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】假设向量共面，设出向量共面对应的关系式，确定方程组是否有解，由此作出判断. 【解析】对于A：设，，不能构成基底，则， 所以，此时方程组无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 对于B：设，，不能构成基底，则， 因为不共面，所以上式显然无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 对于C：设，，不能构成基底，则， 所以，解得，所以假设成立，所以不能构成基底，符合； 对于D：设，，不能构成基底，则， 所以，此时方程组无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 故选：C. 15．在空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【解析】如下图所示，连接， ， 所以，. 故答案为：. 16．如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）    【答案】． 【分析】根据空间向量的线性运算结合基底向量运算求解即可. 【解析】因为、分别是棱、的中点，且， 所以 . 故答案为：. 17．如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设，，，用向量，，表示向量为 .    【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解. 【解析】因为 ， 又， 所以. 故答案为： 18．在平行六面体中，设，则 .（用表示） 【答案】 【分析】依据平行六面体结构特征和向量加减法几何意义去求. 【解析】. 故答案为：. 19．如图，空间四边形OABC中，，，，点M、N分别是OA、BC的中点，则 .（用、、的线性组合表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算即可得答案. 【解析】如图所示，连接， 则， 所以. 故答案为： 20．如图，已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，，则向量 .（用，，表示） 【答案】 【分析】由已知，，根据向量线性运算法则，结合图形运算可得结论. 【解析】因为，故， 所以， 因为，分别是边，的中点， 所以，， 所以， 因为，，， 所以. 故答案为：. 题型5：根据空间向量基本定理求参数 21．已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用空间向量基本定理得到，进而可得到，结合条件有，即可求出结果. 【解析】因为点在平面上，由空间向量基本定理知，， 得到，即， 又，所以，解得， 故答案为：. 22．如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 【答案】 【分析】利用图形，结合空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可得解. 【解析】依题意， ， 又，所以，则. 故答案为：. 23．在正方体中，取为基，若点为平面的中心，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据图象将向量分解为的组合，进而得出相应的系数求和. 【解析】为的中点，由图可知，，所以. 故答案为：. 24．已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 【答案】4 【分析】变形得到，从而得到方程组，求出答案. 【解析】， 又，所以， 故. 故答案为：4 题型6：空间向量基本定理，共线、共面等结合求参数 25．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】由列方程，化简求得的值. 【解析】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 26．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理求解即可. 【解析】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则解得： 故选：A. 27．已知是空间的一个基底，若，若，则 . 【答案】3 【分析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果 【解析】，， 因为，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，得，， 所以. 故答案为：3. 28．已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据向量共面列出线性关系得出坐标计算即可. 【解析】若，，三个向量共面，则存在实数x，，使得， 即， 则，解得. 故答案为：. 29．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【解析】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 30．在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可. 【解析】因为， ， 所以有，因此， 故选：C 题型7：空间向量基本定理的应用 31．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【解析】解：， ， 所以，解得， 所以， 故答案为：1 32．在正三棱锥中，是的中心，，则 ． 【答案】16 【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可. 【解析】如图： 首先：，. 又. 所以. 故答案为：16 33．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则 . 【答案】 【分析】由条件，结合空间向量基本定理可求，由此可求结论. 【解析】因为，，，不共面， 所以，，， 所以. 故答案为：. 34．如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 【答案】/0.25 【分析】利用平面向量基本定理得到，利用向量数量积运算法则和得到方程，求出答案. 【解析】长方体中，， ， ， ， 故 ， 解得或， 因为，所以满足要求，不合要求，舍去. 故答案为： 35．如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为 ． 【答案】或/或 【分析】根据空间向量基本定理，将用表示出来，借助于相关模长、夹角条件，利用空间向量的数量积运算律列出方程，求解即得. 【解析】 由已知，得或， 设，因为，而, 则 当时，可得，解得：； 当时，可得，解得. 综上可知，即公垂线段的长为或. 故答案为：或. 36．已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【答案】4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【解析】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 题型8：解答题 37．已知是空间的一个基底，且，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）确定，，，得到，得到证明. （2）计算得到，故不能作为基底，得到答案. 【解析】（1）； ； ； 设，即 故，解得，故， 故A，B，C，D四点共面. （2）假设，则， 故，解得，， 故不能作为基底. 38．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)若、、三点共线，求实数的取值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，由、、三点共线，则，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【解析】（1）依题意， . （2）因为， 点在对角线上，且， 所以， 则， 因为、、三点共线，所以， 即， 又、、不共面，所以、、可以作为空间中的一组基底， 所以，解得. 39．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【解析】（1）由向量的线性运算法则可得， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 40．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解析】（1）证明： ， ∴，，，四点共面. （2） ， ∴，，， ∴. 41．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【解析】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 一、填空题 1．在正四棱锥中，若，，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥与四棱锥的体积比为 ． 【答案】 【分析】利用已知四点共面推得.然后由椎体体积公式，求出和的值，即可得出答案. 【解析】   由已知可得，. 设， 由四点共面可设， 则， 所以 ， 整理可得，. 又不共面， 所以有，解得，即. 设分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， . 又， 所以. 同理可得， . 又， 所以. 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：将点共面问题转化为向量共面，根据向量共面列出关系式. 2．点是正四面体的中心，.若，其中，则动点扫过的区域的体积为 . 【答案】/ 【分析】将正四面体放入正方体中，得到正方体的体对角线是，从而得到该正方体的边长，再根据条件得到扫过的区域的体积即可. 【解析】图，作出正四面体，    将正四面体放入正方体中，如下图所示：    则是该正方体的中心， 设该正方体的棱长为，则，解得：， 又，， 则知扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面如下图所示：    可得动点扫过的区域的体积为该正方体体积的倍， 即动点扫过的区域的体积. 故答案为：. 二、单选题 3．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则 =（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量加减、数乘的几何意义得到，再由四点共面的推论得，即可得答案. 【解析】由题设，而， 所以， 又四点共面，则，所以. 故选：C 4．在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用四点共面定理可知，若四点共面，则可用表示，且系数和为1，通过条件表示向量，可得的关系，代入计算可得结果. 【解析】连结并延长交于，因为为重心，则为中点， ， ， 四点共面，则，即， 因为，所以，解得：， ，，， 即， 故选：A    【点睛】知识点点睛：若四点共面，且面外一点，则可用表示且系数和为1. 三、解答题 5．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设．若，求： (1)试用向量表示，并求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出，再利用数量积的运算律求出值. （2）由表示，再利用数量积的运算律求出向量的模. 【解析】（1）令正六边形的中心为，连接， 则四边形为菱形，，所以； ； 由，得，， 所以 . （2）由（1）知，，， 所以 . 6．在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)2 (3). 【分析】（1）先由为基底表示，再由求解； （2）先论证，，再利用线面垂直的判定地理证明平面，从而为到直线的距离求解； （3）设，由求解. 【解析】（1）如图所示：    由题知，， 因为，所以， ， 而， ， ， 所以，即的长度为. （2）因为，所以， 所以， 在中，， 所以，即，又因为，平面， 所以平面， 而平面，所以，即为到直线的距离， 而，所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设，则 ， 当时，这时的最小，且为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$