专题07相似（考点串讲，3大考点+11大题型突破+8大易错剖析）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题07 相似 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 十一大题型典例剖析 八大易错易混经典例题 精选3道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 B D 6 2.4 (4,6)或(－4，－6) (－2，－3) A 题型剖析 专题强化一　相似三角形的基本类型 54 D C ①②③ A D 专题强化二　相似在圆中的运用 A 易混易错 42 A 押题预测 2.【2023·内江】如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为________． 2 3．【2023·上海闵行区期末】如图，AD是△ABC的中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长，交AC于F，连接CP并延长，交AB于E，连接EF.求证：EF∥BC. 证明：如图，延长PD到点M，使DM＝PD， 连接BM，CM.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 又∵DM＝PD，∴四边形BPCM是平行四边形， ∴BP∥MC，即PF∥MC，∴AFAC＝APAM. 同理AEAB＝APAM，∴AEAB＝AFAC. 又∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC， ∴∠AEF＝∠ABC，∴EF∥BC. 【考点分类训练】 　线段成比例 1．线段a、b、c、d满足ad＝bc，则下列各式中不成立的是( ) A.eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)　　　　　　 B.eq \f(a＋1,b＋1)＝eq \f(c＋1,d＋1) C.eq \f(a±b,b)＝eq \f(c±d,d) D．eq \f(a±c,b±d)＝eq \f(a,b) 2. (哈尔滨中考)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( ) A.eq \f(AB,AE)＝eq \f(AG,AD) B．eq \f(DF,CF)＝eq \f(DG,AD) C.eq \f(FG,AC)＝eq \f(EG,BD) D．eq \f(AE,BE)＝eq \f(CF,DF) 3. (长春中考)如图，直线a∥b∥c，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为　 　. 4. (临沂中考)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF//AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为　 　. 　坐标系里的位似 5. (滨州中考)在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C(2,3)、D(1,0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为　 　. 6. (长春中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B、C的坐标为(2,1)、(6,1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P.若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为　 　. 　相似三角形的判定与性质的综合运用 7. (济宁中考)如图，在正方形 ABCD 中，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.猜想DG 与CF 的数量关系，并证明你的结论． 解：结论：CF＝2DG.理由：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝BC＝CD＝AB，∠ADC＝∠C＝90°，∵DE＝AE，∴AD＝CD＝2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG＝90°，∴∠CDF＋∠DGE＝90°，∠DGE＋∠DEG＝90°，∴∠CDF＝∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴eq \f(DG,CF)＝eq \f(DE,DC)＝eq \f(1,2)，∴CF＝2DG. 8. (东营中考)如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上． (1)求证：∠CAD＝∠BDC； 证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB＋∠BDC＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠OBD＋∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BDC；　 (2)若BD＝eq \f(2,3)AD，AC＝3，求CD的长． 解：∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴eq \f(BD,AD)＝eq \f(CD,AC).∵BD＝eq \f(2,3)AD，∴eq \f(BD,AD)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(2,3)，又∵AC＝3，∴CD＝2. 9. (昆明中考)如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点( DP＜CP)，∠APB＝90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N. (1)求证：AD2＝DP·PC； (2)请判断四边形PMBN的形状，并说明理由； (3)如图2，连接AC，分别交PM、PB于点E、F.若eq \f(DP,AD)＝eq \f(1,2)，求eq \f(EF,AE)的值． 解：(1)过点P作PG⊥AB于点G，∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG＋∠GPB＝∠GPB＋∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴eq \f(PG,AG)＝eq \f(GB,PG)，∴PG2＝AG·GB，即AD2＝DP·PC；　 (2)∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB－∠PAM＝∠APB－∠APM，即∠ABP＝∠MPB，∴AM＝PM，PM＝MB，∵PM＝MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；　 (3)由于eq \f(DP,AD)＝eq \f(1,2)，可设DP＝1，AD＝2，由(1)可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，∵PG2＝AG·GB，∴4＝1·GB，∴GB＝PC＝4，AB＝AG＋GB＝5，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴eq \f(CF,AF)＝eq \f(PC,AB)＝eq \f(4,5)，∴eq \f(AF,AC)＝eq \f(5,9)，又易证：△PCE∽△MAE，AM＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(5,2)，∴eq \f(CE,AE)＝eq \f(PC,AM)＝eq \f(4,\f(5,2))＝eq \f(8,5)，∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(5,13)，∴EF＝AF－AE＝eq \f(5,9)AC－eq \f(5,13)AC＝eq \f(20,117)AC，∴eq \f(EF,AE)＝eq \f(\f(20,117)AC,\f(5,13)AC)＝eq \f(4,9). 强化角度1　“A”字型 1．在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，DE＝4，则BC等于( ) A．10　　　 B．8　　　 C．9　　　 D．6 2．如图，▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F,3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为 　 　. eq \f(5,2) 3．如图，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？ 解：设经过x秒，两三角形相似，则CP＝AC－AP＝8－x，CQ＝2x，①当CP与CA是对应边时，eq \f(CP,AC)＝eq \f(CQ,BC)，即eq \f(8－x,8)＝eq \f(2x,16)，解得x＝4.②当CP与BC是对应边时，eq \f(CP,BC)＝eq \f(CQ,AC)，即eq \f(8－x,16)＝eq \f(2x,8)，解得x＝eq \f(8,5).故经过4s或eq \f(8,5)s，两个三角形相似． 强化角度2　“X”字型 4．如图所示，AB、CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36.当OA＝ 　 　时，△AOC∽△BOD；当OA＝　 　时，△AOC∽△DOB. 5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于( ) A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2 eq \f(75,2) 6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE＝CF，连接AE、FB，FB的延长线交AE于点M. 求证：(1)△BEM∽△BFC； (2)CF2＝FB·ME. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE∽△BCF(SAS)，∴∠E＝∠F，∵∠EBM＝∠FBC，∴△BEM∽△BFC；　 (2)由(1)得△BEM∽△BFC，∴eq \f(BE,BF)＝eq \f(ME,CF)，∵BE＝CF，∴eq \f(CF,FB)＝eq \f(ME,CF)，∴CF2＝FB·ME. 强化角度3　旋转型 7．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列等式正确的是( ) A.eq \f(AB,AD)＝eq \f(DE,BC) B．eq \f(AC,AE)＝eq \f(AD,AB) C.eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE) D．eq \f(BC,DE)＝eq \f(AE,AC) 8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点 (不与点A，B重合)，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE.下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；③DE2＝2CF·CA；④若AB＝3eq \r(2)，AD＝2BD，则AF＝eq \f(5,3).其中正确的结论是　 　 (填写所有正确结论的序号)． 9．已知：如图所示，eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE)，点B、D、F、E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由． 解：∵eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE)，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠BAD＝∠EAC，又∵eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE)，∴△ABD∽△ACE. 强化角度4　垂直型 10．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF＝90°，则三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中一定相似的是( ) A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅲ和Ⅳ C．Ⅰ和Ⅳ D．Ⅱ和Ⅳ 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1cm，DB＝2cm.求AC的长． 解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，在△ACD与△ABC中，∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC∶AB＝AD∶AC，∴AC2＝AD·AB＝1×(1＋2)＝3，∴AC＝eq \r(3)cm. 12．如图，BE、CD是△ABC的两条高．求证：DE·AB＝AE·BC. 证明：∵BE、CD是△ABC的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB).又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AB)，即DE·AB＝AE·BC. 强化角度5　等角型 13．如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠1＝∠2＝∠B，则图中相似三角形有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP； (2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C，∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴eq \f(BP,CD)＝eq \f(AB,CP)，∴AB·CD＝CP·BP，∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；　 (2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴eq \f(BA,BC)＝eq \f(BP,BA)，∵AB＝10，BC＝12，∴eq \f(10,12)＝eq \f(BP,10)，∴BP＝eq \f(25,3). 强化角度1　在圆中证明三角形相似 1. (柳州中考)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D. (1)求证：△DAC∽△DBA； (2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE＝eq \f(1,2)AD. 证明：(1)∵AB是⊙O直径，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA；　 (2)∵EA、EC是⊙O的切线，∴AE＝CE(切线长定理)，∴∠DAC＝∠ECA，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＋∠DCE＝90°，∠DAC＋∠D＝90°，∴∠D＝∠DCE，∴DE＝CE，∴AD＝AE＋DE＝CE＋CE＝2CE，∴CE＝eq \f(1,2)AD. 强化角度2　利用相似证明线段成比例 2. (恩施中考)如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC.求证： (1)BC平分∠ABP； (2)PC2＝PB·PE. 证明：(1)∵BE∥CD，∴∠1＝∠3，又∵OB＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即BC平分∠ABP；　 (2)如图，连接EC、AC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCD＝90°，又∵BE∥DC，∴∠P＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∵AB为⊙O直径，∴∠A＋∠2＝90°，又∠A＝∠5，∴∠5＋∠2＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠4，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCE，∴eq \f(PC,PE)＝eq \f(PB,PC)，即PC2＝PB·PE. 强化角度3　利用相似求圆中线段的长 3. (重庆中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( ) A．4　　 B．2eq \r(3)　　 C．3　　 D．2.5 4. (黄冈中考)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C. (1)求证：∠CBP＝∠ADB； (2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长． (1)证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠A＋∠ADB＝90°，∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，而OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠CBP＝∠ADB；　 (2)解：∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P＋∠A＝90°，∴∠P＝∠D， ∴△AOP∽△ABD，∴eq \f(AP,AD)＝eq \f(AO,AB)，即eq \f(1＋BP,4)＝eq \f(2,1)，∴BP＝7. 5. (随州中考)如图，AB是⊙O的直径 ，C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于点D、M两点． (1)求证：MD＝MC； (2)若⊙O的半径为5，AC＝4eq \r(5)，求MC的长． (1)证明：连接OC，∵CN为⊙O的切线，，∴OC⊥CM，∠OCA＋∠ACM＝90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC＋∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，∴MD＝MC； (2)解：由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4eq \r(5)，∵AB是⊙O的直径 ，∴∠ACB＝90°，∴BC＝eq \r(102－4\r(5)2)＝2eq \r(5)，∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ACB，∴eq \f(OD,BC)＝eq \f(AO,AC)，即eq \f(OD,2\r(5))＝eq \f(5,4\r(5))，可得OD＝2.5，设MD＝MC＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得，(x＋2.5)2＝x2＋52，解得x＝eq \f(15,4)，即MC＝eq \f(15,4). 强化角度4　利用相似求圆的半径 6. (柯桥中考)如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E. (1)求证：CB平分∠ACE； 证明：如图①，连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∵CE⊥AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE； (2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径． 解：如图②，连接BD，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴BC＝eq \r(BE2＋CE2)＝eq \r(32＋42)＝5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∴△DBC∽△BEC，∴eq \f(CD,BC)＝eq \f(BC,CE)，∴BC2＝CD·CE，∴CD＝eq \f(52,4)＝eq \f(25,4)，∴OC＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(25,8)，∴⊙O的半径＝eq \f(25,8). 强化角度5　利用相似在圆中求线段的比 7. (云南中考)已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f. (1)求证：PC是⊙ 的切线； 证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AC∥OP，∴∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，∴∠COP＝∠BOP，∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠OBP＝90°，在△POC与△POB中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(OC＝OB,∠COP＝∠BOP,OP＝OP))，∴△COP≌△BOP，∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴PC是⊙O的切线； (2)设OP＝eq \f(3,2)AC，求AB∶OP的值； 解：过O作OD⊥AC于D，∴∠ODC＝∠OCP＝90°，CD＝eq \f(1,2)AC，∵∠DCO＝∠COP，∴△ODC∽△PCO，∴eq \f(CD,OC)＝eq \f(OC,PO)，∴CD·OP＝OC2，∵OP＝eq \f(3,2)AC，∴AC＝eq \f(2,3)OP，∴CD＝eq \f(1,3)OP，∴eq \f(1,3)OP·OP＝OC2∴eq \f(OC,OP)＝eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(AB,OP)＝eq \f(2\r(3),3). (3)设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围． 解：过点A作AE⊥MC于点E，并延长交⊙O于点K，则AE＝d.过点B作BF⊥MC于点F，则BF＝F，连接BK，则四边形EKBF是矩形，∴EK＝BF，∴d＋f＝AE＋BF＝AE＋EK＝AK，∵AC≤AK≤AB，∴9≤d＋f≤15. 强化角度6　利用相似在圆中求角的大小 8. (邵阳中考)如图所示，直线DP和圆O 相切于点C，交直线AE 的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平形四边形ABCD , 连结BE、DO、CO. (1)求证：DA＝DC； 证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∵CB⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠DAO＝90°，∵DP与⊙O相切于点C，∴DC⊥OC，∴∠DCO＝90°，在Rt△DAO和Rt△DCO中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(DO＝DO,AO＝CO))，∴Rt△DAO≌Rt△DCO，∴DA＝DC； (2)求∠P 及∠AEB 的大小 . 解：∵CB⊥AE，AE是直径，∴CF＝FB＝eq \f(1,2)BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴CF＝eq \f(1,2)AD，∵CF∥DA，∴△PCF∽△PDA，∴eq \f(PC,PD)＝eq \f(CF,DA)＝eq \f(1,2)，∴PC＝eq \f(1,2)PD，DC＝eq \f(1,2)PD，∵DA＝DC，∴DA＝eq \f(1,2)PD，在Rt△DAP中，∠P＝30°，∵DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠AEB＝60°. 1．【2023·北京大兴区期末】若＝，则的值是(　　) A. B．2 C. D．1 【点拨】由D，E为边AB的三等分点，可得BE＝DE＝AD，∴AB＝3BE.易得DH是△AEF的中位线，∴DH＝EF.∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，即＝，解得EF＝4，∴DH＝EF＝×4＝2. $$