第13讲 表示一组数据波动程度的量（四类知识点+六大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第13讲 表示一组数据波动程度的量（六大题型） 学习目标 1、 了解方差与标准差的概念，并学会计算； 2、 学会用方差决策； 3、 掌握用计算器计算方差、标准差。 一、*极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为*极差，*极差＝最大值－最小值. 要点：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 　　要点：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 二、*极差、方差和标准差的联系与区别 联系：*极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：*极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 三、用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2） 用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 四、用计算器计算方差、标准差 【即学即练1】一组数据1、3、5、7的方差是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是方差的计算，由方差公式分别计算即可． 【解析】解：， 方差； 故答案为： 【即学即练2】若一组数据1，3，a，2，5的平均数是3，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平均数、方差，熟练掌握公式是解题的关键． 先根据平均数的计算方法列出方程，求出a的值，进而根据方差公式算出这组数据的方差即可． 【解析】解：∵一组数据1，3，a，2，5的平均数是3 ， ∴， 解得：， ∴这组数据的方差为：． 故答案为：2． 【即学即练3】用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【解析】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入MODE 2状态； ②依次输入各数据； ③按求的功能键，即可得出结果． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 【即学即练4】有甲、乙两组数据， 如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 15 甲、乙两组数据的方差分别为，，则 （填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可． 【解析】解：由题意得： ，， ∴， ， ∴， ∴； 故答案为>． 【即学即练5】一组数据1， 2， 3， 3， 4，1． 若添加一个数据3， 则下列统计量中， 没有发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】A 【分析】分别根据平均数，中位数，众数和方差的定义计算出添加数据前后的平均数，中位数，众数和方差即可得到答案。 【解析】解：A．原平均数是： ， 添加一个数据3后的平均数是： ， ∴平均数不发生变化，故此选项符合题意； B．原众数是 1和3；添加一个数据3后的众数是：3； ∴众数发生变化，故此选项不符合题意； C．原中位数是，添加一个数据3后的中位数是3； ∴中位数发生变化，故此选项不符合题意； D．原方差是： ， 添加一个数据3后的方差是： ， ∴方差发生了变化，故此选项不符合题意． 故选 A． 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 题型1：求一组数据的方差 【典例1】．数据的方差为 ． 【答案】0.4/ 【分析】本题考查方差的计算，方差，熟记方差公式是解题的关键． 【解析】解：这组数据的平均数为：， 则方差为：， 故答案为：0.4． 【典例2】．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为 ． 【答案】2 【分析】根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果． 【解析】解：平均数为：， 方差． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【典例3】．已知一组数据136，138，139，137，140，则该组数据的方差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差：一般地设n个数据，的平均数为，则 方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据题意得出这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可． 【解析】解：∵这组数据的平均数是， ∴这组数据的方差为： ． 故答案为：2． 【典例4】．计算一组数据的方差的式子为，则该组数据共 个数据． 【答案】8 【分析】考查方差计算公式中各数据的含义．对比方差公式很容易得出结论．方差．据此求解即可． 【解析】解：方差， 其中是这个样本的容量，是样本的平均数， 所以中样本的容量是8，即该组数据共8个数据． 故答案为：8． 【典例5】．某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了方差的知识，理解并掌握方差公式是解题关键．根据方差公式可直接得出答案． 【解析】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据的平均数是7． 故答案为：7． 题型2：利用方差求未知数据的值 【典例6】．小明5次射击环数：．已知这组数据的方差为0，则 ． 【答案】9 【分析】由这组数据的方差为0，可得这组数据中的每个数据都相等，从而可得答案． 【解析】解：∵这组数据的方差为0， ∴这组数据中的每个数据都相等， ∴， 故答案为：9 【点睛】本题考查的是方差的含义，熟记方差为0的数据的特点是解本题的关键． 【典例7】．一组数据，6，6，6，6，6的方差为0，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查方差的有关计算，熟练掌握方差计算公式是解题关键，若一组数据、……，为平均数，那么该组数据的方差为：．先求出该组数据的平均数，再利用方差公式计算求解即可． 【解析】解：∵，6，6，6，6，6的平均数为， ∴这组数据的方差为：， 整理，得：， 解得， 故答案为：． 【典例8】．已知甲组数据为，乙组数据是，如果两组数据的方差相等，那么 ． 【答案】5或10/10或5 【分析】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．利用方差的意义，把一组数据都加上一个数，方差不变，由于甲乙两组数据的方差相等，所以把甲组数据都加上4或5可得到x的值． 【解析】解：把甲组数据都加上4得5，6，7，8，9，或甲组数据都加上5得6，7，8，9，10， 因为乙组数据是6，7，8，9，x，两组数据的方差相等， 所以x为5或10． 故答案为：5或10． 【典例9】．用方差公式计算一组数据的方差：，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了方差公式，方差是各数据值离差的平方和的平均数，熟练掌握计算公式是解答本题的关键．对于n个数，方差的计算公式为：．根据方差计算公式列式求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 【典例10】．若一组数据2，3，x，4，5的方差为2，则这组数据的中位数为 ． 【答案】3或4/4或3 【分析】首先表示出平均数，然后根据方差为2列方程求出，，然后分情况结合中位数的概念求解即可． 此题考查了方差的公式，解一元二次方程，中位数的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【解析】∵一组数据2，3，x，4，5， ∴平均数为 ∵方差为2 ∴ 整理得， ∴ 解得， ∴当时，原数据从小到大排列为：1，2，3，4，5 ∴中位数为3 ∴当时，原数据从小到大排列为：2，3，4，5，6 ∴中位数为4， 综上所述，这组数据的中位数为3或4． 故答案为：3或4． 题型3：利用方差决策 【典例11】．团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 ． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案，解题的关键是正确理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解析】解：∵，，， ∴， ∴应选甲， 故答案为：甲． 【典例12】．某校体育队的4名学生（①、②、③、④）参加训练，近期的8次百米测试平均成绩都是秒，方差如下表所示，这4名学生中发挥最稳定的是 （填序号）． 选手 ① ② ③ ④ 方差 0.103 0.089 0.035 0.042 【答案】③ 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，方差越小，数据的波动程度越小，数据越稳定；找到最小的方差，即是发挥最稳定的．据此即可得答案． 【解析】解：∵4名学生的平均成绩都是秒，方差， ∴发挥最稳定的是③号． 故答案为：③ 【典例13】．甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投1次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题主要考查方差的计算、平均数的计算、方差的意义等知识点，正确求得甲的方差成为解题的关键． 先计算出甲的平均数、再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小即可判定谁的成绩稳定． 【解析】解：甲的平均数， 所以甲的方差， 因为甲的方差比乙的方差小， 所以甲的成绩比较稳定． 故答案为：甲． 【典例14】．图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则 ．（填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了折线统计图和方差，根据折线统计图和方差的意义进行求解即可，掌握方差的意义是解题的关键． 【解析】解：由图象可知，甲地的气温波动小，比较稳定，乙地的气温波动大，更不稳定， ∴， 故答案为：． 【典例15】．甲、乙两支足球队，每支足球队队员身高数据的平均数都是米，方差分别为，，则身高较整齐的球队是 队 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．根据平均数相等时，方差越小，数据越整齐求解即可． 【解析】解：∵甲、乙两支足球队，每支足球队队员身高数据的平均数都是米，方差分别为，， ∴， ∴身高较整齐的球队是乙队， 故答案为：乙． 【典例16】．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷） 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 10 乙 经计算，，，根据这组数据估计 种水稻品种的产量比较稳定． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差．根据方差公式分别求出两种水稻的产量的方差，再进行比较即可． 【解析】解：甲种水稻产量的方差是： ， 乙种水稻产量的方差是： ， ∴. ∴产量比较稳定的小麦品种是甲． 故答案为：甲． 【典例17】．宁城有机苹果园引进了甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树．为了了解每种苹果树的产量情况，从每个品种中随机抽取棵进行采摘，经统计每种苹果树棵产量的平均数和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 若从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种为 ． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先比较平均数得到甲组和乙组的产量较好，然后比较方差得到乙品种既高产又稳定． 【解析】解：因为丙、丁的平均数比甲、乙的平均数小， 而乙的方差比甲的小， 所以乙的产量既高产又稳定， 所以产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是乙； 故答案为：乙． 题型4：标准差 【典例18】．为了解A，B两种型号的铁观音茶叶的亩产情况，工作人员对某茶叶园进行调查，通过收集数据并整理分析发现，A，B两种铁观音平均亩产干茶都是，A种铁观音的亩产量的方差为7.4，B种铁观音的亩产量的方差为15.8．若要比较A，B两种铁观音的亩产量的稳定性，则亩产量稳定性较好的铁观音型号是 ． 【答案】A种铁观音 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可，解题的关键是掌握方差的意义． 【解析】解：∵A种铁观音的亩产量的方差为7.4，B种铁观音的亩产量的方差为15.8， ∴， ∴亩产量稳定性较好的铁观音型号是A种铁观音， 故答案为：A种铁观音． 【典例19】．数据5，6，7，8，9的标准差是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差． 【解析】解：数据5、6、7、8、9的平均数为， 方差为， 标准差． 故答案为：． 【典例20】．小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了平均数与方差，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．先根据平均数的定义求出，再代入公式求出方差，然后求出方差的算术平方根即标准差的值． 【解析】解：根据题意知，， 则， ． 故答案为． 【典例21】．已知一组数据1，2，8，x，7，4的众数为2，则x的值是 ，这组数据的标准差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了标准差，根据众数定义求得x的值，掌握方差、标准差的计算公式是解题的关键．先根据众数的定义求出x的值，再求出平均数，继而根据方差公式计算方差，然后求出标准差即可． 【解析】解：∵1，2，8，x，7，4的众数为2， ∴， ∴这组数据的平均数是， 则方差为 ． ∴标准差为； 故答案为：，． 【典例22】．已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了标准差，先求出四个数据的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【解析】解：设原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了，则平均数变为， 则原数据的方差， 现在的方差， ， ∴数据的标准差为， 故答案为：． 【典例23】．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【解析】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 【典例24】．表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位成绩优异且发挥稳定的同学参加数学竞赛，最合适的是（   ） 甲 乙 丙 丁 平均分 95 98 95 98 方差 0.1 0.1 0.5 0.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案． 【解析】解：由表知四位同学中乙、丁的平均成绩较好，又乙的方差小于丁， 所以乙的成绩好且稳定， 故选：B． 【典例25】．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可． 【解析】解：∵， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵， ∴选择甲参赛； 故选：A． 【典例26】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 182 186 183 186 方差 3.5 3.5 6.5 7.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．此题考查了平均数和方差，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【解析】解：，，，， ， ，， ， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择乙， 故选：B． 题型5：选择合适的统计量 【典例27】．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【解析】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可， 故选：B． 【典例28】．某中学校园文化艺术节歌唱比赛有15名同学参赛，得分前8名的同学进入决赛，经过角逐，这15名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学得分的（   ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】本题主要考查了中位数的知识，熟练掌握中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义分析判断即可． 【解析】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的成绩和中位数，就可以知道是否进入决赛． 故选：D． 【典例29】．初秋时节，贵州省黔东南苗族侗族自治州锦屏县敦寨镇万亩大坝种植的水稻相继成熟．近年来，敦寨镇大力推进高标准农田建设的同时，引导农户选购优良水稻品种，实施农田精细化管理，促进水稻增产提质．为评估一种水稻的种植效果，选了块地作试验田．这块地的单位面积产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻单位面积产量稳定程度的是（    ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差 C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平均数、方差、众数及中位数，解题的关键是掌握算术平均数、方差、众数及中位数的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 根据方差的意义求解即可． 【解析】解：给出的统计量中可以用来评估这种水稻单位面积产量稳定程度的是这组数据的方差． 故选B． 题型6：用计算器计算方差、标准差 【典例30】．打开计算器后，按键 、 进入统计状态． 【答案】 MODE 2 【分析】根据科学计算器的使用方法解答即可. 【解析】解：根据科学计算器的使用，打开计算器后，要启动计算器的统计计算功能应按键MODE　2． 故答案为MODE， 2. 【点睛】本题考查科学计算器的使用方法，熟练应用计算器是解题关键． 【典例31】．输入数据后，按 键计算这组数据的方差． 【答案】SHIFT X-M ＝ 【分析】根据科学计算器求方差的步骤解答即可． 【解析】解：输入数据后，按SHIFT X-M ＝键计算这组数据的方差． 故答案为SHIFT X-M ＝. 【点睛】本题考查科学计算器求方差的方法，牢记按键顺序是解题的关键. 【典例32】．利用计算器求标准差和方差时，首先要进入 计算状态，再依次输入每一个数据，最后按求方差的功能键 ，即可得出结果． 【答案】 MODE 【分析】根据计算器求标准差和方差的步骤解答即可． 【解析】解：利用计算器求标准差和方差时，首先要进入MODE计算状态，再依次输入每一个数据，最后按求方差的功能键，即可得出结果． 【点睛】本题考查计算器求方差和标准差的方法，牢记按键顺序是解题的关键. 【典例33】．求一组数据的方差时，如果有重复出现的数据，比如有10个数据是11，那么输入时可按（　　） A．10 MODE :  11 DATA B．11 MODE :  10 DATA C．10 SHIFT :  11 DATA D．11 SHIFT :  10 DATA 【答案】D 【分析】根据计算器求方差的方法即可得到答案. 【解析】解：输入10个数据是11时可按键11 SHIFT :  10 DATA， 所以选D． 【点睛】本题主要考查利用计算器求方差的操作步骤，熟练掌握计算器求方差的方法是解题关键． 【典例34】．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数与标准差（精确到0.1）分别为（   ） A．287.1，14.4 B．287，14 C．287，14.4 D．14.4，287.1 【答案】A 【分析】借助计算器即可求得这组数据的平均数和标准差. 【解析】借助计算器可求得这组数据的平均数与标准差分别为287.1，14.4． 故答案为A. 【点睛】本题主要考查利用计算器求平均数与标准差，熟练掌握计算器求平均数与标准差的方法是解题关键． 【典例35】．计算器在统计状态下，先看到显示数字952，按下后，显示5，这两个数的含义是（    ） A．已经输入了952个5 B．已经输入了5个952 C．已经输入了952个数，最后一个是5 D．已经输入了5个数，最后一个是592 【答案】D 【分析】本题主要考查了统计状态下的计算器方法，解决本题的关键是掌握和学会使用计算器进行统计，掌握键的功能． 根据题意，统计数据的方法为输入数据后按，屏幕就会显示此时一共输入进去多少个数据，即可得到答案． 【解析】解：根据计算器的相关知识可得先看到显示数字952，按后，显示5，这两个数的含义是已经输入了5个数，最后一个是952． 故选：D 【典例36】．对一组数据65，67，69，70，71，73，75，用计算器求该组数据的方差和标准差 （1）其计算过程正确的顺序为（  ） ①按键 2ndF ，STAT，显示0； ②按键： 65，DATA，67，DATA ……75，DATA 输入所有数据；显示1 2，3 ……7； ③按键2ndF S显示3.16227766， ④按键×，=，显示10； A．①②③④     B．②①③④   C．③①②④     D．①③②④ （2）计算器显示的方差是________，标准差是________． 【答案】（1）A，（2）10，3.16 【分析】根据用计算器求方差与标准差的方法解答即可. 【解析】（1）用计算器求数据65，67，69，70，71，73，75的方差和标准差,按键顺序是： ①按键 2ndF ，STAT，显示0； ②按键： 65，DATA，67，DATA ……75，DATA 输入所有数据；显示1 2，3 ……7； ③按键2ndF S显示3.16227766， ④按键×，=，显示10； 故选A. （2）由（1）得，这组数据的方差为10；标准差为3.16. 故答案为10；3. 16. 【点睛】本题考查了利用计算器求一组数据的方差及标准差，熟知利用计算器求一组数据的方差及标准差的方法是解题的关键. 一、单选题 1．为了解同一型号50辆汽车每耗油所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下数据（单位：）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（　　） A．20 B．12 C．4 D．2 【答案】C 【分析】求方差时，先求这组数据的平均数，接下来根据方差是各数据与平均数的差的平方和的平均数，即可解题． 【解析】解：平均数， 方差： ． 故选：C． 【点睛】本题考查方差的计算，解题的关键是掌握方差是各数据与平均数的差的平方和的平均数，需联系方差的计算公式解答． 2．如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（    ） A．甲 B．一样 C．乙 D．不能确定 【答案】A 【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案． 【解析】解：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， ∴甲成绩的方差为， 乙成绩的方差为， ∴， ∴甲的成绩更稳定． 故选：A 【点睛】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差． 3．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．进行判断即可． 【解析】解析：解：，，，， ， 成绩最稳定的是甲， 故选：． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4．某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：40，60，70，90，90，100；乙：60，60，80，80，80，90其中90分以上为优秀，则下列说法正确的是（　　） A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定 C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高 【答案】C 【分析】分别求出甲、乙两组学生成绩的平均数、方差、中位数以及优秀率即可． 【解析】解：甲组平均成绩为：（分）， 乙组平均成绩为：（分）， ∴甲组平均成绩等于乙组，A选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩的方差为：， 乙组成绩的方差为：， ∴乙组成绩比甲组更稳定，B选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩中位数为：， 乙组成绩中位数为：， ∴甲组成绩中位数与乙组相同，C选项说法正确，符合题意； 甲组成绩优秀率为：， 乙组成绩优秀率为：， ∴甲组成绩优秀率更高，D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数以及优秀率，掌握各自的定义以及计算公式是解题的关键． 5．九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同学中选择一个代表班级参加学校“春季运动会”的50米跑项目，班委利用课余时间对4位同学进行了50米跑的选拔．将四位同学的测试数据整理在下表中，为了选出一名成绩较好且稳定的同学为班级争光，应该选择（        ） 甲 乙 丙 丁 平均用时/秒 8.2 7.9 7.9 8.2 方差 2.2 1.4 2.4 1.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【解析】解：∵乙、丙的平均用时最少，且乙的方差最小，最稳定， ∴应选乙． 故选：B． 【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键． 6．小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：）：155，162，173，162，，160，发现其中一个数据的个位数被墨水抹黑了，则以下统计量不受影响的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义进行解答即可． 【解析】解：A．这组数据从小到大排序后，个位数被墨水抹黑的排在后面，排在第3和第4的数都是162， ∴中位数为162， 这组数据的中位数不受影响，故A符合题意； B．6个数中有两个162，如果个位数被墨水抹黑的数为173，则众数为162和173，如果个位数被墨水抹黑的数不是173，那么众数为162， ∴众数受影响，故B不符合题意； C、D．个位数被墨水抹黑的数影响平均数的大小，方差与平均数有关，因此也会影响方差，故CD不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的定义． 7．如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据（    ） A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变 C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变 【答案】C 【分析】由每个数都减去，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少，方差不变，据此可得答案． 【解析】解：如果将一组数据中的每个数都减去， 易得，所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少， 而根据方差公式可知，每个数和平均数的差不变，方差不变． 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，掌握方差、众数、中位数和平均数的定义是解题的关键． 8．已知一组数据的平均数是4，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（    ） A．5，12 B．5，3 C．6，12 D．6，3 【答案】A 【分析】根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，，，的平均数是，方差是，再进行计算即可． 【解析】解：的平均数是4，方差是3， 数据，，，，的平均数是， 方差是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数和方差的特点，若在原来数据前乘以或除以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上或减去同一个数，平均数也加上或减去同一个数，方差不变，即数据的波动情况不变． 9．2022年2月18日，北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国队“青蛙公主”谷爱凌高分夺冠．6名裁判给她第二跳所打成绩如表． 成绩（分） 95 96 频数 4 2 去掉一个最高分和一个最低分，下列关于余下的4个选项说法错误的是（   ） A．平均分95.25 B．中位数是95 C．众数是95 D．方差是1 【答案】D 【分析】利用平均数的求法求出平均数来确定A，先将这组数据从小到大排列求出中位数来判定B，确定出现次数最多的数来判定C，利用方差的计算方法求出方差来判定D． 【解析】解：由列表可知：这列数从小到大排列为95、95、95、95、96、96，去掉一个最高分和一个最低分后为：95、95、95、96， 则它们的平均数为（分），故A正确，不符合题意； 这组数据的中位数为95，故B项正确，，不符合题意； 这组数据的众数是95，故C项正确，不符合题意； 这组数据的差差为：，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本是主要考查了频数统计表，平均数，中位数，众数和方差的求法，理解相关知识是解答关键． 10．有一组数据：，若将这组数据中的a和f去掉后平均数仍不变，则原数据的方差和新数据的方差的大小关系为(   ) A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用方差的计算公式，即可得出结论． 【解析】解：s12＝×[（a﹣）2+（b﹣）2+（c﹣）2+（d﹣）2+（e﹣）2+（f﹣）2]， s22＝×[（b﹣）2+（c﹣）2+（d﹣）2+（e﹣）2]， ∵a＜b＜c＜d＜e＜f， ∴（a﹣）2，（f﹣）2的值大于（b﹣）2，（c﹣）2，（d﹣）2，（e﹣）2的值， ∴s12＞s22， 故选：A． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式． 二、填空题 11．若甲组数据，，，，的方差是，乙组数据，，，，的方差是，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】把乙组数据都减去2得到，，，，，根据方差的意义得到新数据与原数据的方差不变，从而可判断甲乙方差的大小关系． 【解析】解：把乙组数据都减去2得到，，，，，新数据与甲组的数据一样，所以甲、乙的方差相等， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 12．一组数据6，8，10，x的平均数是8，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可． 【解析】解：∵数据6，8，10，x的平均数是8， ∴， 解得：， ∴这组数据的方差为：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 13．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的平均数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方差，平均数．由，可知这组数据为7、7、8、8、8、9，然后根据平均数的定义求解作答即可． 【解析】解：∵， ∴这组数据为7、7、8、8、8、9， ∴这组数据的平均数为， 故答案为：． 14．如图是某射击运动员在射击训练中连续10次的射击成绩（单位：环），则这些成绩的方差为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方差，先求出平均数，再根据方差的公式计算即可得出答案． 【解析】解：平均数为环， 方差为：， 故答案为：． 15．若样本数据，，，的平均数是，中位数是，众数是，则数据，，的方差是 ． 【答案】0 【分析】确定出，，后，根据方差的公式计算，，的方差 【解析】解：平均数； 中位数； 众数； ，，的方差． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义并求解出各数． 16．小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表： 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 1 3 2 5 3 由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是 ． 【答案】4和2 【分析】根据平均数算出5天气温的总和，进而算出第四日的气温，根据平均数和每日的气温算出方差． 【解析】解：3×5=15， 15-1-3-2-5=4， ∴方差， 故答案为：4和2． 【点睛】本题考查平均数和方差，能够根据平均数和每日的气温算出方差是解决本题的关键． 17．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ． 【答案】4 【分析】先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【解析】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 . 所以方差不变，标准差为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变． 18．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为 ． 【答案】49 【分析】根据平均数及方差知识，直接计算即可. 【解析】∵数据，，，，的平均数是2， ，即， ，，，，的平均数为： ， ∵数据，，，，的方差是5， ， 即，， ，，，，的方差为： ， ， ， ， ， 平均数和方差的和为， 故答案为：49. 【点睛】本题是对平均数及方差知识的考查，熟练掌握平均数及方差计算是解决本题的关键. 三、解答题 19．甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩（单位：分）如图所示． (1)甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是______分、______分； (2)利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性； (3)结合数据，请再写出一条与（1）（2）不同角度的结论． 【答案】(1)80，80 (2)，，可知，甲同学的成绩更加稳定 (3)见解析 【分析】（1）根据平均数的计算方法，即可求出答案； （2）根据方差的计算方法，即可求出方差，根据方差的大小，即可判断出这两名同学该项测试成绩的稳定性； （3）利用极差，也可以判断出这两名同学该项测试成绩的稳定性． 【解析】（1）， ， 故答案为：80；80． （2）方差分别是： 由可知，甲同学的成绩更加稳定． （3）甲同学的极差为：（分），乙同学的极差为：（分） ∵ ∴从极差的角度判断甲同学的测试成绩更稳定． 【点睛】本题考查了平均数、方差，牢记平均数、方差的计算公式和意义是解题的关键，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 20．某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮成绩测试，每天投3分球10次，五天中进球的个数统计结果如下： 队员 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． (1)求乙进球的平均数； (2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员参赛？为什么？ 【答案】(1)8 (2)选乙，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的求法即可求解． （2）将乙的方差求出，再进行比较甲与乙的方差即可求解． 【解析】（1）解：乙进球的平均数为：． （2）乙的方差：， ∵， ∴乙成绩稳，选乙合适． 【点睛】本题考查了平均数、根据方差判断数据的稳定性，熟练掌握平均数的求法及方法的求法是解题的关键． 21．甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； 将下表填完整： （2）甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； （3）你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由． 【答案】（1）见解析（2）178；178（3）甲仪仗队 【分析】根据平均数和方差的概念求平均数和方差，哪支仪仗队更为整齐可通过方差进行比较． 【解析】（1） 甲队队员身高的平均数为：（厘米） ， 乙队队员身高的平均数为：（厘米）; ∵，∴甲仪仗队身高更为整齐. 22．王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c d (1)以上成绩统计分析表中_______，________，______； (2)d______（填“＞”、＜或“＝”）： (3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 【答案】(1)6，7，7 (2) (3)乙同学，理由见解析 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果； （2）根据平均数和方差的计算结果求出答案； （3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可． 【解析】（1）解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为； 乙的平均数， 乙的数据中7最多有4个，所以众数， 故答案为：6，7，7； （2）， ， 故答案为：； （3）选择乙同学， 理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定． 【点睛】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键． 23．小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求小聪、小明的平均成绩； (2)求小聪成绩的方差； (3)现求得小明成绩的方差为，根据折线统计图及上述计算结果，请说明哪位同学更适合参加学校竞赛？ 【答案】(1)小聪、小明的平均成绩均为8分 (2) (3)小聪 【分析】（1）分别将小聪和小明6次测验成绩相加，再除以6，即可求解； （2）根据方差的定义：方差等于各个数据与平均数的差的平方的平均数，即可求解； （3）分别比较两人成绩的平均数和方差，根据方差越小越稳定，即可作出决策． 【解析】（1）解：． ． 所以，小聪、小明的平均成绩均为8分． （2）． 所以，小聪成绩的方差为． （3）从平均数看，两人的平均水平一样；从方差看，小聪的成绩比较稳定．所以，小聪更适合参加学校竞赛． 【点睛】本题主要考查了求平均数和方差，以及根据方差作决策，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义，以及方差越小越稳定． 24．在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： 9.6   8.8   8.8   8.9   8.6   8.7 对打分数据有以下两种处理方式： 方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计： 平均分 中位数 方差 8.9 a 0.107 方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计： 平均分 中位数 方差 b 8.8 c (1)a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由． 【答案】(1)8.8，8.8，0.005 (2)答案不唯一，理由见解析 【分析】（1）根据中位数、平均数、方差的数据特征进行求解即可． （2）根据方式一、二对应的数据特征进行合理分析即可． 【解析】（1）解：将数据排序得：8.6  8.7  8.8  8.8  8.9  9.6 则位于中间的数为：8.8 ，8.8， 中位数 平均数 方差 故答案为：8.8，8.8；0.005； （2）解：答案不唯一， 参考答案一：方式二更合理． 理由：方式二去掉了最高分和最低分，减少了极端分值对平均分的影响，比方式一更合理． 参考答案二：方式一更合理． 理由：方式一没有去掉任何数据，用6个原始数据计算平均分，能全面反映所有评委的打分结果，比方式二更合理． 【点睛】本题主要考查了统计初步中的数据特征，涉及到平均数、中位数、方差等数据特征，熟知每个数据的特征是解决本题的关键． 25．某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）： (1)请根据以上信息，完成下列问题： ①七年级身高在的学生有__________人； ②七年级样本的中位数所在范围是__________，请说明理由； (2)已知七年级共有名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人，并说明理由． (3)体育组对抽查的数据进行分析，计算出各年级的平均身高及方差如下表所示： 年级 七 八 九 那么学生的身高比较整齐是哪个年级？为什么． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)人，理由见解析 (3)八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小 【分析】（1）①先算出总数后，再利用即可求出则的频数； ②因为一共个数据，根据中位数是第和个数据的平均数即可得出答案； （2）求出样本中身高若身高低于的人数所占的百分比，即可估计该校七年级身高偏矮的人数． （3）根据方差的定义即可得出答案． 【解析】（1）①总数， 则的频数． 故答案为：18 ②因为一共个数据，中位数是第和个数据的平均数，而第和个数据在的范围内，所以样本的中位数在的范围内； 故答案为：； （2）； 故估计该校七年级身高偏矮的共有人． （3）八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小． 【点睛】本题主要考查了统计表、中位数、方差以及利用样本估计总体等有关知识，属于常考题型，读懂统计图是关键． 26．良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下： 七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82 八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50 整理数据： 年级 x＜60 60≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 七年级 0 10 4 1 八年级 1 5 8 1 （说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格） 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 　 　 75 75 八年级 77.5 80 　 　 得出结论： （1）根据上述数据，将表格补充完整； （2）可以推断出　 　年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由； （3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）76.8，81；（2）八，见解析；（3）20人． 【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果； （2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些； （3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果． 【解析】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8， 八年级的众数为81； 故答案为76.8；81； （2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下： 八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些； 故答案为八； （3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×＝20（人）． 【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 20 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 表示一组数据波动程度的量（六大题型） 学习目标 1、 了解方差与标准差的概念，并学会计算； 2、 学会用方差决策； 3、 掌握用计算器计算方差、标准差。 一、*极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为*极差，*极差＝最大值－最小值. 要点：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 　　要点：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 二、*极差、方差和标准差的联系与区别 联系：*极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：*极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 三、用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2） 用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 四、用计算器计算方差、标准差 【即学即练1】一组数据1、3、5、7的方差是 ． 【即学即练2】若一组数据1，3，a，2，5的平均数是3，则这组数据的方差是 ． 【即学即练3】用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】有甲、乙两组数据， 如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 15 甲、乙两组数据的方差分别为，，则 （填“>”，“<”或“=”）． 【即学即练5】一组数据1， 2， 3， 3， 4，1． 若添加一个数据3， 则下列统计量中， 没有发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 题型1：求一组数据的方差 【典例1】．数据的方差为 ． 【典例2】．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为 ． 【典例3】．已知一组数据136，138，139，137，140，则该组数据的方差为 ． 【典例4】．计算一组数据的方差的式子为，则该组数据共 个数据． 【典例5】．某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是 ． 题型2：利用方差求未知数据的值 【典例6】．小明5次射击环数：．已知这组数据的方差为0，则 ． 【典例7】．一组数据，6，6，6，6，6的方差为0，则的值为 ． 【典例8】．已知甲组数据为，乙组数据是，如果两组数据的方差相等，那么 ． 【典例9】．用方差公式计算一组数据的方差：，则 ． 【典例10】．若一组数据2，3，x，4，5的方差为2，则这组数据的中位数为 ． 题型3：利用方差决策 【典例11】．团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 ． 【典例12】．某校体育队的4名学生（①、②、③、④）参加训练，近期的8次百米测试平均成绩都是秒，方差如下表所示，这4名学生中发挥最稳定的是 （填序号）． 选手 ① ② ③ ④ 方差 0.103 0.089 0.035 0.042 【典例13】．甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投1次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 【典例14】．图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则 ．（填“”，“”，“”） 【典例15】．甲、乙两支足球队，每支足球队队员身高数据的平均数都是米，方差分别为，，则身高较整齐的球队是 队 【典例16】．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷） 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 10 乙 经计算，，，根据这组数据估计 种水稻品种的产量比较稳定． 【典例17】．宁城有机苹果园引进了甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树．为了了解每种苹果树的产量情况，从每个品种中随机抽取棵进行采摘，经统计每种苹果树棵产量的平均数和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 若从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种为 ． 题型4：标准差 【典例18】．为了解A，B两种型号的铁观音茶叶的亩产情况，工作人员对某茶叶园进行调查，通过收集数据并整理分析发现，A，B两种铁观音平均亩产干茶都是，A种铁观音的亩产量的方差为7.4，B种铁观音的亩产量的方差为15.8．若要比较A，B两种铁观音的亩产量的稳定性，则亩产量稳定性较好的铁观音型号是 ． 【典例19】．数据5，6，7，8，9的标准差是 ． 【典例20】．小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 【典例21】．已知一组数据1，2，8，x，7，4的众数为2，则x的值是 ，这组数据的标准差是 ． 【典例22】．已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ． 【典例23】．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 【典例24】．表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位成绩优异且发挥稳定的同学参加数学竞赛，最合适的是（   ） 甲 乙 丙 丁 平均分 95 98 95 98 方差 0.1 0.1 0.5 0.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例25】．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例26】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 182 186 183 186 方差 3.5 3.5 6.5 7.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型5：选择合适的统计量 【典例27】．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【典例28】．某中学校园文化艺术节歌唱比赛有15名同学参赛，得分前8名的同学进入决赛，经过角逐，这15名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学得分的（   ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【典例29】．初秋时节，贵州省黔东南苗族侗族自治州锦屏县敦寨镇万亩大坝种植的水稻相继成熟．近年来，敦寨镇大力推进高标准农田建设的同时，引导农户选购优良水稻品种，实施农田精细化管理，促进水稻增产提质．为评估一种水稻的种植效果，选了块地作试验田．这块地的单位面积产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻单位面积产量稳定程度的是（    ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差 C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数 题型6：用计算器计算方差、标准差 【典例30】．打开计算器后，按键 、 进入统计状态． 【典例31】．输入数据后，按 键计算这组数据的方差． 【典例32】．利用计算器求标准差和方差时，首先要进入 计算状态，再依次输入每一个数据，最后按求方差的功能键 ，即可得出结果． 【典例33】．求一组数据的方差时，如果有重复出现的数据，比如有10个数据是11，那么输入时可按（　　） A．10 MODE :  11 DATA B．11 MODE :  10 DATA C．10 SHIFT :  11 DATA D．11 SHIFT :  10 DATA 【典例34】．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数与标准差（精确到0.1）分别为（   ） A．287.1，14.4 B．287，14 C．287，14.4 D．14.4，287.1 【典例35】．计算器在统计状态下，先看到显示数字952，按下后，显示5，这两个数的含义是（    ） A．已经输入了952个5 B．已经输入了5个952 C．已经输入了952个数，最后一个是5 D．已经输入了5个数，最后一个是592 【典例36】．对一组数据65，67，69，70，71，73，75，用计算器求该组数据的方差和标准差 （1）其计算过程正确的顺序为（  ） ①按键 2ndF ，STAT，显示0； ②按键： 65，DATA，67，DATA ……75，DATA 输入所有数据；显示1 2，3 ……7； ③按键2ndF S显示3.16227766， ④按键×，=，显示10； A．①②③④     B．②①③④   C．③①②④     D．①③②④ （2）计算器显示的方差是________，标准差是________． 一、单选题 1．为了解同一型号50辆汽车每耗油所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油所行路程的试验，得到如下数据（单位：）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（　　） A．20 B．12 C．4 D．2 2．如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（    ） A．甲 B．一样 C．乙 D．不能确定 3．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：40，60，70，90，90，100；乙：60，60，80，80，80，90其中90分以上为优秀，则下列说法正确的是（　　） A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定 C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高 5．九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同学中选择一个代表班级参加学校“春季运动会”的50米跑项目，班委利用课余时间对4位同学进行了50米跑的选拔．将四位同学的测试数据整理在下表中，为了选出一名成绩较好且稳定的同学为班级争光，应该选择（        ） 甲 乙 丙 丁 平均用时/秒 8.2 7.9 7.9 8.2 方差 2.2 1.4 2.4 1.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：）：155，162，173，162，，160，发现其中一个数据的个位数被墨水抹黑了，则以下统计量不受影响的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 7．如果将一组数据中的每个数都减去，那么所得的一组新数据（    ） A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变 C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变 8．已知一组数据的平均数是4，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（    ） A．5，12 B．5，3 C．6，12 D．6，3 9．2022年2月18日，北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国队“青蛙公主”谷爱凌高分夺冠．6名裁判给她第二跳所打成绩如表． 成绩（分） 95 96 频数 4 2 去掉一个最高分和一个最低分，下列关于余下的4个选项说法错误的是（   ） A．平均分95.25 B．中位数是95 C．众数是95 D．方差是1 10．有一组数据：，若将这组数据中的a和f去掉后平均数仍不变，则原数据的方差和新数据的方差的大小关系为(   ) A． B． C． D．无法确定 二、填空题 11．若甲组数据，，，，的方差是，乙组数据，，，，的方差是，则 ．（填“”、“”或“”） 12．一组数据6，8，10，x的平均数是8，则这组数据的方差是 ． 13．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的平均数是 ． 14．如图是某射击运动员在射击训练中连续10次的射击成绩（单位：环），则这些成绩的方差为 ． 15．若样本数据，，，的平均数是，中位数是，众数是，则数据，，的方差是 ． 16．小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表： 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 1 3 2 5 3 由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是 ． 17．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ． 18．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为 ． 三、解答题 19．甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩（单位：分）如图所示． (1)甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是______分、______分； (2)利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性； (3)结合数据，请再写出一条与（1）（2）不同角度的结论． 20．某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮成绩测试，每天投3分球10次，五天中进球的个数统计结果如下： 队员 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． (1)求乙进球的平均数； (2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员参赛？为什么？ 21．甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； 将下表填完整： （2）甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； （3）你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由． 22．王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c d (1)以上成绩统计分析表中_______，________，______； (2)d______（填“＞”、＜或“＝”）： (3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 23．小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求小聪、小明的平均成绩； (2)求小聪成绩的方差； (3)现求得小明成绩的方差为，根据折线统计图及上述计算结果，请说明哪位同学更适合参加学校竞赛？ 24．在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： 9.6   8.8   8.8   8.9   8.6   8.7 对打分数据有以下两种处理方式： 方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计： 平均分 中位数 方差 8.9 a 0.107 方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计： 平均分 中位数 方差 b 8.8 c (1)a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由． 25．某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）： (1)请根据以上信息，完成下列问题： ①七年级身高在的学生有__________人； ②七年级样本的中位数所在范围是__________，请说明理由； (2)已知七年级共有名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人，并说明理由． (3)体育组对抽查的数据进行分析，计算出各年级的平均身高及方差如下表所示： 年级 七 八 九 那么学生的身高比较整齐是哪个年级？为什么． 26．良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下： 七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82 八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50 整理数据： 年级 x＜60 60≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 七年级 0 10 4 1 八年级 1 5 8 1 （说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格） 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 　 　 75 75 八年级 77.5 80 　 　 得出结论： （1）根据上述数据，将表格补充完整； （2）可以推断出　 　年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由； （3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$