第36讲 直线的方程（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第36讲 直线的方程 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第3题，4分 点到直线的距离、圆的方程 2023年北京卷，第15题，5分 平面上两点间的距离与函数结合 2022年北京卷，第3题，4分 直线方程及对称性、圆的方程 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容较少单独考查，常与其他知识如圆的方程结合，难度一般较低，主要在选择与填空题中考查 【备考策略】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式； 3.能判定两条直线的平行或垂直关系； 4.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 【命题预测】根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，可能会成为命题的重点．同时直线方程可能会与其他知识点如圆的方程、椭圆等结合考查，形成综合性问题． 知识讲解 知识点1 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点2 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 考点一、直线的倾斜角与斜率 【典例1】（24-25高三上·河南许昌·期中）过点和点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·湖南衡阳·模拟考试）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）直线l：的倾斜角为 ． 2．（24-25高三上·北京·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二、求直线的方程 【典例1】（24-25高三上·上海·期中）经过点且法向量为的直线方程为 . 【典例2】（22-23高三下·北京丰台·二模）已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是 ． 1．直线l的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 . 考点三、直线方程的综合应用 【典例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）边长为1的正三角形ABC的内心为，过的直线与边AB，AC交于P、Q，则的最大值为 . 【典例2】已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当取得最小值时，求直线的方程． 1．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 2．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）设直线的方程为. (1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P； (2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 考点四、两条直线平行与垂直 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知直线，直线，且，则（   ） A． B．1 C． D．4 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）若直线：与：垂直，则 . 1．（23-24高三上·北京·期中）已知直线与直线平行，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．或1 考点五、两条直线的交点与距离问题 【典例1】（23-24高三下·北京西城·开学考试）已知圆经过点，且点到点的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·云南·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．或11 B．或16 C．1或11 D．1或16 1．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线与直线均过点，则原点到直线距离的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 考点六、两直线的对称问题及其应用 【典例1】（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·山西大同·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 . 2．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京·模拟预测）若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，直线，且，则（    ） A．1 B． C．4 D． 4．（24-25高三上·山东青岛·模拟考试）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，当，变化时，点到直线的距离最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24高三上·北京·阶段练习）直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为 . 1．（24-25高三上·福建福州·期中）设直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·北京·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高三下·北京东城·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 4．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·上海·期中）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 . 6．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为 ． 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角 . 4．（2021·全国·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 5．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第36讲 直线的方程 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第3题，4分 点到直线的距离、圆的方程 2023年北京卷，第15题，5分 平面上两点间的距离与函数结合 2022年北京卷，第3题，4分 直线方程及对称性、圆的方程 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容较少单独考查，常与其他知识如圆的方程结合，难度一般较低，主要在选择与填空题中考查 【备考策略】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式； 3.能判定两条直线的平行或垂直关系； 4.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 【命题预测】根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，可能会成为命题的重点．同时直线方程可能会与其他知识点如圆的方程、椭圆等结合考查，形成综合性问题． 知识讲解 知识点1 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点2 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 考点一、直线的倾斜角与斜率 【典例1】（24-25高三上·河南许昌·期中）过点和点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知直线的斜率， 设直线倾斜角为， 则，所以.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·湖南衡阳·模拟考试）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是.故选：C 1．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）直线l：的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】直线l：方程化为：，则直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故答案为： 2．（24-25高三上·北京·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故．故选：C． 考点二、求直线的方程 【典例1】（24-25高三上·上海·期中）经过点且法向量为的直线方程为 . 【答案】 【解析】因为直线的法向量为，则直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 【典例2】（22-23高三下·北京丰台·二模）已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是 ． 【答案】(答案不唯一) 【解析】直线的斜率为，故只需所求直线方程斜率不是即可， 可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为. 故答案为：(答案不唯一). 1．直线l的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线可化为，其斜率为， ∴其倾斜角为，∴直线的倾斜角为， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为， 即.故选：C 2．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 . 【答案】或 【解析】①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为． ②当的斜率存在时， 设，即， 由点到直线的距离公式得，，解得， ． 故所求的方程为或． 故答案为：或． 考点三、直线方程的综合应用 【典例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）边长为1的正三角形ABC的内心为，过的直线与边AB，AC交于P、Q，则的最大值为 . 【答案】 【解析】如图，以为原点，所在直线为轴，与平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 所以直线方程为，直线方程为， 过的直线与边AB，AC交于P、Q，设直线为，且， 所以，， 则， 故， 因为，故当时，取到最大值为. 故答案为：18 【典例2】已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】 【解析】方法一：由已知得直线斜率存在，设斜率为，设直线， 则令,则,令,则, 则，． 所以． 当且仅当，即时取等号． 此时直线的方程为． 方法二：设直线为则，，，，所以． 所以 ， 当且仅当时取等号，此时直线的方程为． 1．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为. 2．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）设直线的方程为. (1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P； (2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)见解析. 【解析】（1）由得: ； 则，解得 所以不论为何值，直线必过一定点； （2）由得， 当时，，当时，， 又由，得， ∴, 当且仅当，即时取等号 ∴，， ∴的周长为； （3）直线在两坐标轴上的截距均为整数， 即，均为整数， 所以，均为整数，∴，，，，，0，，2， 又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线的方程为，，，， ，，，. 考点四、两条直线平行与垂直 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知直线，直线，且，则（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【解析】因为直线，，， 所以，则直线可化为， 由，得，解得或， 当时，，，满足题意； 当时，，，两直线重合，不满足题意； 所以.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）若直线：与：垂直，则 . 【答案】6 【解析】因为，所以，解得. 故答案为：6. 1．（23-24高三上·北京·期中）已知直线与直线平行，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】直线与直线平行， 则，解得或， 当时，与重合，排除. 当时，，平行，成立. 故.故选：B 2．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．或1 【答案】C 【解析】因为：，：垂直， 所以，解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，.故选：. 考点五、两条直线的交点与距离问题 【典例1】（23-24高三下·北京西城·开学考试）已知圆经过点，且点到点的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：，整理得：① 又由点到点的距离为3可得：② 联立①②，解得：或. 故.故选：B. 【典例2】（24-25高三上·云南·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．或11 B．或16 C．1或11 D．1或16 【答案】C 【解析】因为直线与平行， 所以，解得，则直线，即为， 又与之间的距离是，所以，解得或； 所以或.故选：C 1．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或.故选：C. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线与直线均过点，则原点到直线距离的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为两直线交于，则，即， 且，则； 由原点到直线的距离， 易知，则， 当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大.故选：A. 考点六、两直线的对称问题及其应用 【典例1】（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·山西大同·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点是所求直线上任意一点， 则关于直线对称的点为，且在直线上， 所以，代入可得，整理得． 所以，所求直线方程为.故选：B 1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 . 【答案】 【解析】作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点， 则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线， 得，易得，， 直线的方程是， 设，则得，即， . 故答案为： 2．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线，和围成,如图所示， 点在内（含边界）运动， 在轴上运动，作点关于轴的对称点，则， 的最小值为到直线的距离，即.故选：B. 1．（23-24高三下·北京·模拟预测）若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线经过两点， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ，且，解得， 所以直线的倾斜角为.故选：D. 2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，， 因为过点的直线与线段相交， 结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为.故选：B. 3．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，直线，且，则（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意直线，直线，且， 所以，解得.故选：B. 4．（24-25高三上·山东青岛·模拟考试）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为.故选：D 5．（23-24高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，当，变化时，点到直线的距离最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】直线，即，令，解得， 所以直线恒过点， 又点为圆上的点，圆心为，半径， 则， 所以点到直线的距离最大值为.故选：D 6．（23-24高三上·北京·阶段练习）直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为 . 【答案】/ 【解析】因为直线与直线平行， 所以，所以， 所以直线为，即，满足题意， 所以这两条平行线间的距离为. 故答案为：. 1．（24-25高三上·福建福州·期中）设直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，则，解得或， 若，，，两直线平行，符合题意； 若，，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：等价于. 所以“”是“”的充要条件.故选：C. 2．（24-25高三上·北京·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题设，解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B. 3．（22-23高三下·北京东城·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 【答案】C 【解析】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分， 联立与，解得， 则将代入中，，解得， 当与平行时，满足要求，此时， 当与平行时，满足要求，此时， 综上，满足条件的的值共有3个.故选：C 4．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意两直线均有斜率，所以， 若取，则有，但； 若， 又，所以， 而， 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件.故选：B. 5．（24-25高三上·上海·期中）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 . 【答案】 【解析】 可得：， 令可得：， 所以直线过定点， 当时，两点间的距离即为最大值， 又,所以， 所以直线方程为，即. 故答案为： 6．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】可化为， 由得，则直线过定点． ①当时，直线与线段相交，满足题意． ②当时，直线的斜率， 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以或，解得或． 综上可得的取值范围为． 故答案为：. 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D. 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴， 所以圆心在直线上，即，解得．故选：A． 3．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角 . 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为， 易知直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 4．（2021·全国·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】由已知，，所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线的距离为. 故答案为： 5．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，， 易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，结合图像，易知在，且接近于处， 的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，，故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值， 则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$